1、4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 1 of 37 4-3-1.4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型三角形等高模型与鸟头模型 例题精讲例题精讲 板块一三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1 3
2、，则三角形面积与原来的一 样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 12 :SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACDBCD SS ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； 三角形面积等于
3、与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 【例【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3 个面积相等的三角形；个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形；个面积相等的三角形； 6 个面积相等的三角形个面积相等的三角形 【考点】三角形的等高模型【难度】1 星【题型】解答 【解析】 如下图，D、E 是 BC 的三等分点，F、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 2 of 37
4、 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【答案】答案不唯一： 答案不唯一： 答案不唯一： 【例【例 2】 如图，如图，BD 长长 12 厘米，厘米，DC 长长 4 厘米，厘米，B、C 和和 D 在同一条直线上在同一条直线上 求三角形求三角形 ABC 的面积是三角形的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？面积的多少倍？ 求三角形求三角形 ABD 的面积是三角形的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？面积的多少倍？ 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】因为三角形 ABD、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD、BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 A 点向 BC 边上
5、所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等 于是：三角形 ABD 的面积12高26 高 三角形 ABC 的面积124（）高28 高 三角形 ADC 的面积4高22 高 所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的 4 3 倍； 三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍 【答案】 4 3 、3 【例【例 3】 如右图，如右图，ABFE和和CDEF都是矩形，都是矩形，AB的长是的长是4厘米，厘米，BC的长是的长是3厘米，那么图中阴影部分的厘米，那么图中阴影部分的 面积是面积是平方厘米平方厘米 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 3 of 37 【考点】三角形的等高
6、模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326 (平方厘米) 【答案】6 【巩固【巩固】(2009 年四中小升初入学测试题)如图所示如图所示，平行四边形的面积是平行四边形的面积是 50 平方厘米平方厘米，则阴影部分的面积是则阴影部分的面积是 平方厘米平方厘米 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也 等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米 【答案】25 【巩固【巩固】如下图如下图，长方形长方形AFEB和长方形和长方形FDCE拼成了
7、长方形拼成了长方形ABCD，长方形长方形ABCD的长是的长是 20，宽是宽是 12，则则 它内部阴影部分的面积是它内部阴影部分的面积是 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 1 20 12120 2 【答案】120 【例【例 4】 如图如图，长方形长方形ABCD的面积是的面积是56平方厘米平方厘米，点点E、F、G分别是长方形分别是长方形ABCD边上的中点边上的中点，H为为 AD边上的任意一点，求阴影部分的面积边上的任意一点，求阴影部分的面积 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】本题是等底等高
8、的两个三角形面积相等的应用 连接BH、CH AEEB， AEHBEH SS 同理， BFHCFH SS ，S=S CGHDGH ， 11 5628 22 ABCD SS 阴影长方形 (平方厘米) 【答案】28 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 4 of 37 【巩固】图中的【巩固】图中的E、F、G分别是正方形分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部，那么阴影部 分的面积是分的面积是 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段把H
9、和这些分点以及正 方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形这9个三角形的底边分别是 在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一阴影部分被分割成了3个三角形，右 边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形 的面积和第5个第6个三角形相等 因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等 于正方形面积的三分之一正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48 【答案】48 【例【例 5】 长方形长方形ABCD的面积为的面积为 36，E、F、G为各边中点为各边中点，H为为AD边上任意一
10、点边上任意一点，问阴影部分面积是问阴影部分面积是 多少？多少？ 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】（法 1）特殊点法由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图） ， 那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD 面积的 1 8 和 1 4 ，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的 113 848 ，为 3 3613.5 8 （法 2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图 可得： 1 2 EHBAHB SS 、 1 2 FHBCHB SS 、 1 2 DHGDHC SS ，而36 ABCDAHBC
11、HBCHD SSSS ， 即 11 ()3618 22 EHBBHFDHGAHBCHBCHD SSSSSS ； 而 EHBBHFDHGEBF SSSSS 阴影 ， 11111 ()()364.5 22228 EBF SBEBFABBC 所以阴影部分的面积是：18184.513.5 EBF SS 阴影 【答案】13.5 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 5 of 37 【巩固】在边长为【巩固】在边长为 6 厘米的正方形厘米的正方形ABCD内任取一点内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分， 分别与分别与P点连接点连接,
12、求阴影部分面积求阴影部分面积 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】（法 1）特殊点法由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴 影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 1 4 和 1 6 ，所以阴影部 分的面积为 2 11 6()15 46 平方厘米 （法 2）连接PA、PC 由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积 之和等于正方形ABCD面积的 1 4 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面 积的 1 6 ，所以阴影部分的面积为 2 11 6(
13、)15 46 平方厘米 【答案】15 【例【例 6】 如右图，如右图，E 在在 AD 上，上，AD 垂直垂直 BC，12AD 厘米，厘米，3DE 厘米求三角形厘米求三角形 ABC 的面积是三角的面积是三角形形 EBC 面积的几倍？面积的几倍？ ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为 AD 垂直于 BC，所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时，AD 是三角形 ABC 的高，ED 是三角形 EBC 的高， 于是：三角形 ABC 的面积1226BCBC 三角形 EBC 的面积321.5BCBC 所以三角形 ABC 的
14、面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍 【答案】4 【例【例 7】 如图如图，在平行四边形在平行四边形 ABCD 中中，EF 平行平行 AC，连结连结 BE、AE、CF、BF 那么与那么与BEC 等积的三角形等积的三角形 一共有哪几个三角形？一共有哪几个三角形？ ? F ? D ? E ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】AEC、AFC、ABF 【答案】AEC、AFC、ABF 【巩固】如图，在【巩固】如图，在ABC 中，中，D 是是 BC 中点，中点，E 是是 AD 中点，连结中点，连结 BE、CE，那么与，那么与ABE 等积的三角形一等积的三角
15、形一 共有哪几个三角形？共有哪几个三角形？ 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 6 of 37 ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】3 个，AEC、BED、DEC 【解析】【答案】3 个，AEC、BED、DEC 【巩固】如图，在梯形【巩固】如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ ? O ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】ABD 与ACD，ABC 与DBC，ABO 与DC
16、O 【答案】ABD 与ACD，ABC 与DBC，ABO 与DCO 【例【例 8】 如图，三角形如图，三角形ABC的面积为的面积为 1，其中，其中3AEAB，2BDBC，三角形，三角形BDE的面积是多少？的面积是多少？ ? A ? B ? E ? C ? D ? D ? C ? E ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】连接CE，3AEAB，2BEAB，2 BCEACB SS VV 又2BDBC，244 BDEBCEABC SSS VVV 【答案】4 【例【例 9】 如右图如右图，ADDB，AEEFFC， 已知阴影部分面积为已知阴影部分面积
17、为 5 平方厘米平方厘米，ABC的面积是的面积是平平 方厘米方厘米 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】2008 年，四中考题 【解析】连接CD根据题意可知，DEF的面积为DAC面积的 1 3 ，DAC的面积为ABC面积的 1 2 ，所 以DEF的面积为ABC面积的 111 236 而DEF的面积为 5 平方厘米，所以ABC的面积为 1 530 6 (平方厘米) 【答案】30 【巩固【巩固】 图中三角形图中三角形ABC的面积是的面积是 180 平方厘米平方厘米，D是是BC的中点的中点，AD的长是的长是AE长的长的 3 倍倍，EF的长是的长是BF 长的长的 3 倍那么三
18、角形倍那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 7 of 37 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】ABDV，ABCV等高，所以面积的比为底的比，有 1 2 ABD ABC SBD SBC V V , 所以 ABD SV= 11 18090 22 ABC S V (平方厘米) 同理有 1 9030 3 ABEABD AE SS AD VV (平方厘米)， 3 4 AFEABE FE SS BE VV 3022.5(平方厘米)即三角形AEF的面积是 22.5 平方厘米 【答案】22.5 【巩固【巩固】
19、如图如图，在长方形在长方形ABCD中中，Y是是BD的中点的中点，Z是是DY的中点的中点，如果如果24AB 厘米厘米，8BC 厘米厘米，求求 三角形三角形ZCY的面积的面积 ? A ? B ? C ? D ? Z ? Y 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】Y是BD的中点，Z是DY的中点， 11 22 ZYDB， 1 4 ZCYDCB SS VV ， 又ABCD是长方形， 111 24 442 ZCYDCBABCD SSS VVY (平方厘米) 【答案】24 【巩固【巩固】如图如图，三角形三角形 ABC 的面积是的面积是 24，D、E 和和 F 分别是分别是 BC、AC
20、和和 AD 的中点的中点求三角形求三角形 DEF 的面积的面积 ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】三角形 ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半24212， 三角形 ADE 又是三角形 ADC 面积的一半1226 三角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积623 【答案】3 【巩固】如图，在三角形【巩固】如图，在三角形 ABC 中，中，8BC 厘米，高是厘米，高是 6 厘米，厘米，E、F 分别为分别为 AB 和和 AC 的中点，那么三角的中点，那么三角形形 EBF 的面积是多少平方
21、厘米？的面积是多少平方厘米？ ? F ? E ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】F是AC的中点 2 ABCABF SS 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 8 of 37 同理2 ABFBEF SS 486246 BEFABC SS (平方厘米) 【答案】6 【例【例 10】如图所示如图所示，A、B、C都是正方形边的中点都是正方形边的中点，COD比比AOB大大15平方厘米平方厘米。AOB的面积为的面积为 平方厘米。平方厘米。 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 8 题，10
22、分 【解析】 2 15 CODABOBCDABDABD SSSSScm ，所以， 2 7.5 ABO Scm 。 【答案】7.5 【例【例 11】如图如图 ABCD 是一个长方形是一个长方形，点点 E、F 和和 G 分别是它们所在边的中点分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是如果长方形的面积是 36 个平个平 方单位，求三角形方单位，求三角形 EFG 的面积是多少个平方单位的面积是多少个平方单位 ? F ? E ? G ? D ? C ? B ? A ? F ? E ? G ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】如右图分割后可得，2436
23、49 EFGDEFCABCD SSS 矩形矩形 （平方单位） 【答案】9 【巩固】【巩固】如图，长方形如图，长方形ABCD的面积是的面积是1，M是是AD边的中点，边的中点，N在在AB边上，且边上，且2ANBN.那么，阴影部那么，阴影部 分的面积是多少？分的面积是多少？ 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】连接BM，因为M是中点所以ABM的面积为 1 4 又因为2ANBN，所以BDC的面积为 111 4312 ，又因为BDC面积为 1 2 ，所以阴影部分的面积为： 115 1 12212 . 【答案】 5 12 【例【例 12】如图，大长方形由面积
24、是如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、平方厘米、24 平方厘米、平方厘米、36 平方厘米、平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形平方厘米的四个小长方形 组合而成求阴影部分的面积组合而成求阴影部分的面积 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 9 of 37 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】如图，将大长方形的长的长度设为 1，则 121 12364 AB ， 241 24483 CD ， 所以 111 3412 MN ，阴影部分面积为 2 11 (12243648)5(cm ) 212 【答案】5 【例【例 13】图中图中 ABCD 是个直角梯形是个直
25、角梯形(DAB=ABC=90)，以以 AD 为一边向外作长方形为一边向外作长方形 ADEF，其面积为其面积为 6.36 平方厘米。连接平方厘米。连接 BE 交交 AD 于于 P，再连接，再连接 PC。则图中阴影部分的面积是。则图中阴影部分的面积是()平方厘米。平方厘米。 (A)6.36(B)3.18(C)2.12（D）1.59 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 5 题 【解析】如图,连接 AE，BD。因为 ADBC，则： PDCPDB SS ,又 ABED，则： EADEBD SS ,所以， 11 6.363.18 22 EPDPDCEPDPDBE
26、DAADEF SSSSSSS 阴影 （平方厘米） 说明：答案和直角梯形形状无关，可以让 BC 边趋近 AD 边，直到和 AD 边重合，此时，P 与 A 重合， PE 是 ADEF 的对角线，所以，阴影部分的面积是 ADEF 面积的一半，等于 3.18 平方厘米。 【答案】3.18 【例【例 14】如图，如图，BC是半径为是半径为6的圆的圆O上的弦，且上的弦，且BC的长度与圆的半径相等，的长度与圆的半径相等，A是圆外的一点，是圆外的一点，OA的长的长 度为度为12，且，且OA与与BC平行，那么图中阴影部分的面积是平行，那么图中阴影部分的面积是。 （3.14） 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型
27、 题库page 10 of 37 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】学而思杯，6 年级，第 11 题 【解析】由于OA与BC平行，如果连接OB、OC，ABC的面积是等于OBC的面积，于是把求阴影部分 的面积转化为扇形BOC的面积。如图1，连接OB、OC。由于OA与BC平行，根据面积比例模型， ABC是等边三角形，那么BOC为60，扇形BOC的面积为 60 618.84 360 。 【答案】18.84 【巩固【巩固】 在下图中在下图中， A 为半径为为半径为 3 的的0 外一点外一点。 弦弦 BCA0 且且 BC=3。 连结连结 AC。 阴影面积等于阴影面积等于.(=
28、3.14) 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 3 题，10 分 【解析】D 为 OA 与圆 0 的交点，连接 OC，OB，BD(见下图). CBOD，CB=OD=3， 四边形 CBDO 是平行四边形，COB 是等边三角形. CAB S= COB S 阴影面积等于扇形 COB 的面积，S阴影= COB S扇形=r2 60 360 =323.14 1 6 =4.71. 【答案】4.71 【例【例 15】如图如图，三角形三角形ABC中中，2DCBD，3CEAE，三角形三角形 ADE 的面积是的面积是 20 平方厘米平方厘米，三角形三角形ABC
29、的面积是多少？的面积是多少？ ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】3CEAE，4ACAE，4 ADCADE SS ； 又2DCBD，1.5BCDC，1.56120 ABCADCADE SSS (平方厘米) 【答案】120 【例【例 16】如图如图， 在三角形在三角形ABC中中， 已知三角形已知三角形ADE、 三角形三角形DCE、 三角形三角形BCD的面积分别是的面积分别是 89， 28， 26 那那 么三角形么三角形DBE的面积是的面积是 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 11 of 37 【考点】三角形的等高模
30、型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】希望杯，复赛，六年级 【解析】根据题意可知，8928117 ADCADEDCE SSS ， 所以:26:1172:9 BDCADC BD ADSS ， 那么:2:9 DBEADE SSBD AD ， 故 2227 89(901)2019 9999 DBE S 【答案】 7 19 9 【例【例 17】如图如图，梯形梯形 ABCD 被它的一条对角线被它的一条对角线 BD 分成了两部分分成了两部分三角形三角形 BDC 的面积比三角形的面积比三角形 ABD 的面积的面积 大大 10 平方分米平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是已知梯形的上底与下底的长度之和是
31、 15 分米分米，它们的差是它们的差是 5 分米分米求梯形求梯形 ABCD 的面积的面积 ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】小数报 【解析】如右图，作 AB 的平行线 DE三角形 BDE 的面积与三角形 ABD 的面积相等，三角形 DEC 的面积就 是三角形 BDC 与三角形 ABD 的面积差(10 平方分米)从而，可求出梯形高(三角形 DEC 的高)是： 2 1054(分米)，梯形面积是：154230(平方分米) 【答案】30 【例【例 18】图中图中AOB 的面积为的面积为 2 15cm，线段，线段 OB 的长度为的长度为 OD
32、的的 3 倍，求梯形倍，求梯形 ABCD 的面积的面积 ? O ? C ? B ? D ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】在ABD中，因为 2 15cm AOB S ，且3OBOD，所以有 2 35cm AODAOB SS 因为ABD和ACD等底等高，所以有 ABDACD SS 从而 2 15cm OCD S ，在BCD中， 2 345cm BOCOCD SS ，所以梯形面积： 2 155154580 cm （） 【答案】80 【例【例 19】如图，把四边形如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形改成一个等积的三角形 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型
33、 题库page 12 of 37 ? D ? C ? B ? A ? A ? A ? B ? C ? D 【考点】三角形的等高模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可 以利用三角形等积变形的方法， 如右上图把顶点 A 移到 CB 的延长线上的 A处，ABD 与ABD面 积相等，从而ADC 面积与原四边形 ABCD 面积也相等这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角 形ADC问题是 A位置的选择是依据三角形等积变形原则过 A 作一条和 DB 平行的直线与 CB 的延长线交于 A点 具体做法： 连接 BD； 过
34、A 作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A 连接 AD，则ACD 与四边形 ABCD 等积 【答案】具体做法： 连接 BD； 过 A 作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A 连接 AD，则ACD 与四边形 ABCD 等积 ? A ? A ? B ? C ? D 【例【例 20】一个长方形分成一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是，黄色三角形面积是 2 21cm问：长方形的面积是多少平方厘米？问：长方形的面积是多少平方厘米？ ? 红 ? 绿 ? 黄 ? 红 【考点】三角形的等高模型【难度
35、】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿 色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形 面积占长方形面积的50%15%35% 已知黄色三角形面积是 2 21cm，所以长方形面积等于2135%60（ 2 cm） 【答案】60 【例【例 21】O是长方形是长方形ABCD内一点内一点，已知已知OBC的面积是的面积是 2 5cm，OAB的面积是的面积是 2 2cm，求求OBD的面积是的面积是 多少？多少？ 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答
36、【解析】由于ABCD是长方形，所以 1 2 AODBOCABCD SSS ，而 1 2 ABDABCD SS ，所以 AODBOCABD SSS ， 则 BOCOABOBD SSS ，所以 2 523cm OBDBOCOAB SSS 【答案】3 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 13 of 37 【例【例 22】如右图如右图，过平行四边形过平行四边形ABCD内的一点内的一点P作边的平行线作边的平行线EF、GH，若若PBD的面积为的面积为 8 平方分米平方分米， 求平行四边形求平行四边形PHCF的面积比平行四边形的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？的面积大多少平方分
37、米？ 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边 形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差 如右上图，连接CP、AP 由于 1 2 BCPADPABPBDPADPABCD SSSSSS ，所以 BCPABPBDP SSS 而 1 2 BCPBCFE SS ， 1 2 ABPABHG SS ，所以2216 BCFEABHGBCPABPBDP SSSSS (平方分米) 【答案】16 【例【例 23】如右图，正方形如右图，正方形ABCD的面积是的面积是20，正三角形，正三角形BPC的面积是
38、的面积是15，求阴影，求阴影BPD的面积的面积 【考点】三角形的等高模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】连接AC交BD于O点，并连接PO如下图所示， 可得/ /PODC，所以DPO与CPO面积相等(同底等高)，所以有： BPOCPOBPOPDOBPD SSSSS ， 因为 11 205 44 BOCABCD SS ，所以15510 BPD S 【答案】10 【巩固】如右图，正方形【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是的面积是12，正三角形，正三角形BPC的面积是的面积是5，求阴影，求阴影BPD的面积的面积 【考点】三角形的等高模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】连接AC交BD于O点，并
39、连接PO如右上图所示， 可得/ /PODC，所以DPO与CPO面积相等(同底等高)，所以有: BPOCPOBPOPDOBPD SSSSS ， 因为 1 3 4 BOCABCD SS ，所以532 BPD S 【答案】2 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 14 of 37 【例【例 24】在长方形在长方形ABCD内部有一点内部有一点O，形成等腰，形成等腰AOB的面积为的面积为 16，等腰，等腰DOC的面积占长方形面积的的面积占长方形面积的 18%，那么阴影，那么阴影AOC的面积是多少？的面积是多少？ 【考点】三角形的等高模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】先算出长方形面积，
40、再用其一半减去DOC的面积(长方形面积的18%)，再减去AOD的面积，即 可求出AOC的面积 根据模型可知 1 2 CODAOBABCD SSS ，所以 1 1618%50 2 ABCD S（）， 又AOD与BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以AOD的面积等于长方 形面积的 1 4 ， 所以 1 25%18% 2 AOCACDAODCODABCDABCDABCD SSSSSSS 2512.593.5 【答案】3.5 【例【例 25】如右图所示，在梯形如右图所示，在梯形ABCD中，中，E、F分别是其两腰分别是其两腰AB、CD的中点，的中点，G是是EF上的任意一点，上的任意一点
41、， 已知已知ADG的面积为的面积为 2 15cm，而而BCG的面积恰好是梯形的面积恰好是梯形ABCD面积的面积的 7 20 ，则梯形则梯形ABCD的面积的面积 是是 2 cm ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G 【考点】三角形的等高模型【难度】4 星【题型】解答 【关键词】陈省身杯，六年级 【解析】如果可以求出ABG与CDG的面积之和与梯形ABCD面积的比，那么就可以知道ADG的面积占 梯形ABCD面积的多少，从而可以求出梯形ABCD的面积 如图，连接CE、DE则 AEGDEG SS ， BEGCEG SS ，于是 A
42、BGCDGCDE SSS 要求CDE与梯形ABCD的面积之比， 可以把梯形ABCD绕F点旋转180， 变成一个平行四边形 如 下图所示： 从 中 容 易看 出CDE的 面 积 为梯 形ABCD的 面 积 的一 半 ( 也 可 以 根据 1 2 BECABC SS ， 1 2 AEDAFDADC SSS ， 111 222 BECAEDABCADCABCD SSSSS 得来) 那么，根据题意可知ADG的面积占梯形ABCD面积的 173 1 22020 ，所以梯形ABCD的面积是 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 15 of 37 2 3 15100cm 20 小结：梯形一条腰的
43、两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半， 这是一个很有用的结论 本题中， 如果知道这一结论， 直接采用特殊点法， 假设G与E重合， 则CDE 的面积占梯形面积的一半，那么ADG与BCG合起来占一半 【答案】100 【例【例 26】如图所示，四边形如图所示，四边形ABCD与与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等都是平行四边形，请你证明它们的面积相等 ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两
44、个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等 高的平行四边形面积的一半 证明：连接BE(我们通过ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起) 在平行四边形ABCD中， 1 2 ABE SABAB 边上的高， 1 2 ABEABCD SS 同理， 1 2 ABEAEGF SS ，平行四边形ABCD与AEGF面积相等 【答案】证明：连接BE(我们通过ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起) 在平行四边形ABCD中， 1 2 ABE SABAB 边上的高， 1 2 ABEABCD SS 同理， 1 2 ABEAEGF SS ，平行四边形ABCD与AEGF面积相等 【巩固【巩固】 如如图所示
45、图所示， 正方形正方形ABCD的边长为的边长为8厘米厘米， 长方形长方形EBGF的长的长BG为为10厘米厘米， 那么长方形的宽为几厘米？那么长方形的宽为几厘米？ ? A ? B ? G ? C ? E ? F ? D ? A ? B ? G ? C ? E ? F ? D 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接AG(我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一起) 在正方形ABCD中， G 1 2 AB SABAB
46、边上的高， 1 2 ABGABCD SS (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理， 1 2 ABGEFGB SS 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等 长方形的宽8 8 106.4 (厘米) 【答案】6.4 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 16 of 37 【例【例 27】如图，正方形如图，正方形 ABCD 的边长为的边长为 6，AE1.5，CF2长方形长方形 EFGH 的面积为的面积为 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 8 题，10 分，6 年级，决赛，第 9 题，10 分 【解析】连接 DE，
47、DF，则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍。三角形 DEF 的面积等于正方形 的面积减去三个三角形的面积：66-(61.5+4.54+26)2=16.5，所以长方形的面积为 33。 【答案】33 【例【例 28】如图，如图，ABCD 为平行四边形，为平行四边形，EF 平行平行 AC，如果，如果ADE 的面积为的面积为 4 平方厘米求三角形平方厘米求三角形 CDF 的面的面 积积 ? A ? E ? B ? F ? C ? D ? D ? C ? F ? B ? E ? A 【考点】三角形的等高模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】连结 AF、CE ADEACE SS ； C
48、DFACF SS ； 又AC 与 EF 平行， ACEACF SS 4 ADECDF SS (平方厘米) 【答案】4 【巩固【巩固】如右图如右图，在平行四边形在平行四边形ABCD中中，直线直线CF交交AB于于E，交交DA延长线于延长线于F，若若1 ADE S ，求求BEF 的面积的面积 ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? A ? B ? C ? D ? E ? F 【考点】三角形的等高模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组平行线之间的三角形面积 相等)和等量代换的思想连接AC ABCD， ADEACE SS 同理
49、ADBC， ACFABF SS 又 ACFACEAEF SSS ， ABFBEFAEF SSS ， ACEBEF SS ，即1 BEFADE SS 【答案】1 【例【例 29】梯形梯形 ABCD 中，中，AE 与与 DC 平行，平行，15 ABE S, BCF S. 4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库page 17 of 37 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 4 题 【解析】连结 DE，因为 AE 与 DC 平行，根据蝴蝶定理易知 DEFCEF SS ，同样可知 ABFDEF SS ，所以 ABFCEF SS ，那么 15 ABE
50、BCF SS 。 【答案】15 【例【例 30】图中两个正方形的边长分别是图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】4428 【答案】8 【例【例 31】如图如图，有三个正方形的顶点有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上恰好在同一条直线上，其中正方形其中正方形GFEB的边长为的边长为 10 厘米厘米， 求阴影部分的面积求阴影部分的面积 【考点】三角形的等高模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的
