1、7-2-1.简单乘法原理.题库教师版page1of8 7-2-1.7-2-1.简单乘法原理简单乘法原理 教学目标教学目标 1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法； 2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系 3.培养学生准确分解步骤的解题能力； 乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯 知识要点知识要点 一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课， 首先得从家出发到长宁上8点的课， 然后得赶到黄埔去上下午1点半的课 如 果说申老师的家到长宁有 5 种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步
2、行），然后再从长宁到 黄埔有 2 种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？ 我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔这几个环节是必不可少的，老师是一定 要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显 而易见一共是 10 条路线但是要是老师从家到长宁有 25 种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有 30 种 可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了这个时候我们的乘法原 理就派上上用场了 二、乘法原理的定义 完成一件事，这个事情可以分成 n 个必不可少的步骤（比如说
3、老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么 一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第 1 步有 A 种不同的方法，第 二步有 B 种不同的方法，第 n 步有 N 种不同的方法那么完成这件事情一共有 ABN 种不同的 方法 结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 2 个步骤，第 1 步是从家到长宁，一共 5 种 选择；第 2 步从长宁到黄埔，一共 2 种选择；那么老师从家到黄埔一共有 52 个可选择的路线了，即 10 条 三、乘法原理解题三部曲 1、完成一件事分 N 个必要步骤； 2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； 3、步步相乘 四、乘法原理
4、的考题类型 1、路线种类问题比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题； 2、 字的染色问题比如说要 3 个字， 然后有 5 种颜色可以给每个字然后， 问 3 个字有多少种染色方法； 3、地图的染色问题同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张 7-2-1.简单乘法原理.题库教师版page2of8 包括几个部分的地图有几种染色的方法； 4、排队问题比如说 6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法； 5、数码问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 邮递员投递邮件由邮递员投递邮件由 A 村去村去 B
5、 村的道路有村的道路有 3 条条，由由 B 村去村去 C 村的道路有村的道路有 2 条条，那么邮递员从那么邮递员从 A 村村经经 B 村去村去 C 村，共有多少种不同的走法？村，共有多少种不同的走法？ ? 2 ? ? 号路号路 ? 1 ? ? 号路号路 ? ? 南南 ? ? 中中 ? ? 北北 ? C ? B ? A 【考点】简单乘法原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】把可能出现的情况全部考虑进去 第一步第二步 由分析知邮递员由 A 村去 B 村是第一步，再由 B 村去 C 村为第二步，完成第一步有 3 种方法，而每 种方法的第二步又有 2 种方法根据乘法原理，从 A 村经 B 村去 C
6、村，共有 32=6 种方法 【答案】6 【巩固】【巩固】 如下图所示如下图所示，从从 A 地去地去 B 地有地有 5 种走法种走法，从从 B 地去地去 C 地有地有 3 种走法种走法，那么李明从那么李明从 A 地经地经 B 地去地去 C 地有多少种不同的走法？地有多少种不同的走法？ ? C ? B ? A 【考点】简单乘法原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】从 A 地经 B 地去 C 地分为两步，由 A 地去 B 地是第一步，再由 B 地去 C 地为第二步，完成第一步 有 5 种方法， 而每种方法的第二步又有 3 种方法 根据乘法原理， 从 A 地经 B 地去 C 地， 共有 53=15
7、种方法 【答案】15 【例【例 2】 如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过问：他最多有几种不同如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过问：他最多有几种不同 走法？走法？ ? ? 家家 ? ? 学校学校 【考点】简单乘法原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】从家到中间结点一共有 2 种走法， 从中间结点到学校一共有 3 种走法， 根据乘法原理， 一共有 32=6 种走法 【答案】6 【巩固】【巩固】 在下图中在下图中，一只甲虫要从一只甲虫要从A点沿着线段爬到点沿着线段爬到B点点，要求任何点不得重复经过要求任何点不得重复经过问问：这只甲虫最多有这只
8、甲虫最多有 几种不同走法？几种不同走法？ 7-2-1.简单乘法原理.题库教师版page3of8 ? C ? B ? A 【考点】简单乘法原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，需要经过两步，第一步是从 A 点到 C 点，一共有 3 种走法；第二 步是从 C 点到 B 点，一共也有 3 种走法，根据乘法原理一共有 33=9 种走法 【答案】9 【巩固】【巩固】 在右图中在右图中，一只甲虫要从一只甲虫要从A点沿着线段爬到点沿着线段爬到B点点，要求任何点不得重复经过要求任何点不得重复经过问问：这只甲虫最多有这只甲虫最多有 几种不同走法？几种不同走法？ ? D ?
9、 C ? B ? A 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】从 A 点沿着线段爬到 B 点需要分成三步进行，第一步，从 A 点到 C 点，一共有 3 种走法；第二步， 从 C 点到 D 点，有 1 种走法；第三步，从 D 点到 B 点，一共也有 3 种走法根据乘法原理，一共 有 313=9 种走法 【答案】9 【巩固】【巩固】 在右图中在右图中，一只蚂蚁要从一只蚂蚁要从A点沿着线段爬到点沿着线段爬到B点点，要求任何点不得重复经过要求任何点不得重复经过问问：这只蚂蚁最多有这只蚂蚁最多有 几种不同走法？几种不同走法？ ? B ? D ? C ? A 【考点】简单乘法原理【难度】2
10、 星【题型】解答 【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，第一步，A 点到 C 点的走法是 3 种；第二步，从 C 点到 D 点， 有 1 种走法；但第三步，从 D 点到 B 点的走法并不是 3 种，由 D 出去有 2 条路选择，到下一岔路口又 有 2 条路选择，所总共有 22=4（种）走法，根据乘法原理，这只蚂蚁最多有3 1 412 （种）不同 走法 【答案】12 【巩固】【巩固】 在右图中，一只甲虫要从在右图中，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到点沿着线段爬到 B 点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多 有几种不同走法？有几种不同走法？ ?
11、D ? C ? B ? A 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】从 A 点沿着线段爬到 B 点需要分成三步进行，第一步，从 A 点到 C 点，一共有 3 种走法；第二步， 从C点到D点，一共也有 3 种走法；第三步，从D点到B点，一共也有 3 种走法根据乘法原理， 一共有3 3 327 种走法 【答案】27 【巩固】【巩固】 在右图中在右图中，一只甲虫要从一只甲虫要从A点沿着线段爬到点沿着线段爬到B点点，要求任何点不得重复经过要求任何点不得重复经过问问：这只甲虫最多有这只甲虫最多有 几种不同走法几种不同走法? 7-2-1.简单乘法原理.题库教师版page4of8 ? C ?
12、 B ? A 【考点】简单乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，A点到C点的走法不是 3 种，而是 4 种，C点到B点的走 法也是 4 种，根据乘法原理，这只甲虫最多有4416种走法 【答案】16 【例【例 3】 如果将四面颜色不同的小旗子挂在一根绳子上如果将四面颜色不同的小旗子挂在一根绳子上， 组成一个信号组成一个信号， 那么这四面小旗子可组成那么这四面小旗子可组成种种 不同的信号。不同的信号。 【考点】简单乘法原理【难度】1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】4321=24 【答案】24种 【巩固】【巩固】 按下表给出的词
13、造句按下表给出的词造句，每句必须包括一个人每句必须包括一个人、一个交通工具一个交通工具，以及一个目的地以及一个目的地，请问可以造出多少请问可以造出多少 个不同的句子？个不同的句子？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】1、造一个句子必须包含三个部分，即人、交通工具、目的地 2、那么这个句子可以分成三个部分；第一个步选择人物，有三种选择；第二步选择交通工 具，有三种选择；第三个步选择目的地，有三种选择 3、根据乘法原理：333=27 【答案】27 【巩固】【巩固】 小琴小琴、小惠小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳小梅三人报名参加运动会的跳绳，跳高和短跑这三个项目的比赛跳高和短
14、跑这三个项目的比赛，每人参加一项每人参加一项，报报 名的情况有名的情况有_ 种。种。 【考点】简单乘法原理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】乘法原理，333=27 种 【巩固】【巩固】 题库中有三种类型的题目题库中有三种类型的题目，数量分别为数量分别为 30 道道、40 道和道和 45 道道，每次考试要从三种类型的题目中各取每次考试要从三种类型的题目中各取 一道组成一张试卷问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？一道组成一张试卷问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】从该题库每一类试卷中分三步各选一道题
15、，每一步分别有 30、40、45 种选法根据乘法原理，一共 有 304045=54000 种不同的选法，所以一共可以组成 54000 种不同试卷 【答案】54000 【巩固】【巩固】 文艺活动小组有文艺活动小组有 3 名男生，名男生，4 名女生，从男、女生中各选名女生，从男、女生中各选 1 人做领唱，有多少种选法？人做领唱，有多少种选法？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】完成这件事需要两步：一步是从女生中选 1 人，有 4 种选法；另一步是从男生中选 1 人，有 3 种选 法因此，由乘法原理，选出 1 男 1 女的方法有3412种还可以用乘法的意义来理解这道题： 男生有
16、 3 种选法，每选定 1 个男生，再选 1 个女生，对应着 4 种选法，即 3 个男生，每个男生对应 4 种选女生的方法，因此选出 1 男 1 女共有3412种方法 【答案】12 【巩固】【巩固】 要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 7-2-1.简单乘法原理.题库教师版page5of8 【解析】第一步选出学习先进集体一共有 6 种方法，第二步选出体育先进集体一共有 6 种方法，第三步选出 卫生先进集体一共有 6 种评选方法，根据乘法原
17、理，一共有666216 种评选方法 【答案】216 【例【例 4】 小丸子有许多套服装，帽子的数量为小丸子有许多套服装，帽子的数量为 5 顶、上衣有顶、上衣有 10 件，裤子有件，裤子有 8 条，还有皮鞋条，还有皮鞋 6 双，每次出行双，每次出行 要从几种服装中各取一个搭配问：共可组成多少种不同的搭配要从几种服装中各取一个搭配问：共可组成多少种不同的搭配(帽子可以选择戴与不戴帽子可以选择戴与不戴)？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】小丸子搭配服装分四步第一步选帽子，由于不戴帽子可以看作戴了顶空帽子，所以有516 种选 法；第二步选上衣，有 10 种选法；第三步选裤子，有
18、 8 种选法；第四步选皮鞋，有 6 种选法根据 乘法原理， 四种服装中各取一个搭配 一共有5110 862880 （）种选法， 所以一共可以组成 2880 种不同搭配 【答案】2880 【例【例 5】 已知图已知图 3 是一个轴对称图形，若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对是一个轴对称图形，若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对 称图形共有（称图形共有（）个。）个。 （A）9（B）8（C）7（D）6 【考点】简单乘法原理【难度】3 星【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛，第 4 题 【解析】两个眼睛可以去掉也可以不去掉有2种选择，同理嘴和脚也是各有两种
19、选择，所以共有222=8 种 选择，但是题目说的新图型，所以要去掉题目已给的形式，共有81=7种，所以答案是：C 【答案】C 【例【例 6】 从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集 体，那么一共有多少种评选方法？体，那么一共有多少种评选方法？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】第一步选出学习先进集体共有 6 种方法，第二步从剩下班级中选出体育先进集体共有 5 种方法，第 三步选出卫生先进集体只剩有 4 种评选方法，根据乘法原理，共有 654=1
20、20 种评选方法 【答案】120 【巩固】【巩固】 奥运吉祥物中的奥运吉祥物中的 5 个个“福娃福娃”取取“北京欢迎您北京欢迎您”的谐音的谐音：贝贝贝贝、京京京京、欢欢欢欢、迎迎迎迎、妮妮妮妮。如果在盒子如果在盒子 中从左向右放中从左向右放 5 个不同的个不同的“福娃福娃”，那么，有，那么，有_种不同的放法。种不同的放法。 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 2 题 【解析】5个“福娃”各不相同，所以放第一个时有5种放法，放第二个时有4种放法，放第三个时有3种放法， 放第四个时有2种放法，放第五个时有1种放法，总共有：5432 1120 种放法。
21、 【答案】120种 【例【例 7】 从全班从全班 20 人中选出人中选出 3 名学生排队，一共有多少种排法？名学生排队，一共有多少种排法？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】分三步，分别挑选第一人，第二人，第三人，分别有 20，19，18 种挑选法，一共有20 19 186840 种排法 【答案】6840 【例【例 8】 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目如果贝贝五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目如果贝贝 7-2-1.简单乘法原理.题库教师版page6of8 和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法
22、？和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？ 【考点】简单乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】五位同学的排列方式共有 54321=120（种） 如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有 4321=24（种） ； 因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有 242=48(种)； 贝贝和妮妮不相邻的排列方式有 120-48=72（种） 【答案】72 【巩固】【巩固】 10 个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？ 【考点】简单乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】两
23、人相邻的情况有 10 种， 第三个人不能与他们相邻， 所以对于每一种来说， 只剩 6 个人可选， 106=60 （种）共有 60 种不同的选法 【答案】60种 【巩固】【巩固】 12 个人围成一圈，从中选出个人围成一圈，从中选出 3 个人，其中恰有两个人相邻，共有个人，其中恰有两个人相邻，共有种不同的选法。种不同的选法。 【考点】简单乘法原理【难度】星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第 4 题 【解析】现在恰有两个人相邻，我们首先来从这 12 个人中选出两个相邻的人，由于这 12 个人是围成 1 圈的，那 么共有 12 种选法； 根据乘法原理，共有 128=96 种 【答案】96种
24、 【例【例 9】“数学数学”这个词的英文单词是这个词的英文单词是“MATH”用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个 字母染的颜色都不一样这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？字母染的颜色都不一样这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】为了完成对单词“MATH”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成： 第 1 步对字母“M”染色，此时有5种颜色可以选择； 第 2 步对字母“A”染色， 由于字母“M”已经用过一种颜色， 所以对字母“A”染色只有 4 种颜色可以
25、 选择； 第3步对字母“T”染色，由于字母“M”和“A”已经用去了 2 种颜色，所以对字母“T”染色只剩3种颜 色可以选择； 第 4 步对字母“H”，染色，由于字母“M”、“A”和“T”已经用去了 3 种颜色，所以对字母“H”染色 只有 2 种颜色可以选择 由乘法原理，共可以得到5432120 种不同的染色方式 【小结】【小结】下面的这棵枚举树清晰地揭示了利用乘法原理分步计数的过程： 思考一下，如果不要求“每个字母染的颜色都不一样”，会有多少种不同的染色方式？ 每个字母都有种颜色可选，那么染色方式一共有 5555=625 种染色方式 【答案】120 【巩固】【巩固】“IMO”是国际数学奥林匹克
26、的缩写是国际数学奥林匹克的缩写，把这把这 3 个字母用个字母用 3 种不同颜色来写种不同颜色来写，现有现有 5 种不同颜色的笔种不同颜色的笔， 问共有多少种不同的写法？问共有多少种不同的写法？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】第一步写“I”有 5 种方法，第二步写“M”有 4 种方法，第三步写“O”有 3 种方法，共有54360 种 方法 【答案】60 7-2-1.简单乘法原理.题库教师版page7of8 【巩固】【巩固】“学习改变命运学习改变命运”这六个字要用这六个字要用 6 种不同颜色来写，现只有种不同颜色来写，现只有 6 种不同颜色的笔，问共有多少种不同种不同颜色
27、的笔，问共有多少种不同 的写法？的写法？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】第一步写“学”有 6 种方法，第二步写“习”有 5 种方法，第三步写“改”有 4 种方法，第四步写“变”有 3 种方法，第五步写“命”有 2 种方法，第六步写“运”有 1 种方法，根据乘法原理，一共有 65432 1720 种方法 【答案】720 【例【例 1010】有有 6 种不同颜色的笔，来写种不同颜色的笔，来写“学习改变命运学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不 同的方法？同的方法？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型
28、】解答 【解析】写第一个字有 6 种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字相同就行了，都有 5 种选择，所 以，有65 5 5 5 518750 种写法 【答案】18750 【巩固】【巩固】 用用 5 种不同颜色的笔来写种不同颜色的笔来写“智康教育智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？ 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】第一个字有 5 种写法，第二个字有 4 种写法，第三个字也是 4 种写法，同理后面的字也是 4 种写法， 共有 5444=320 种 【答案】320 【例【例 1111】联欢会上有一则数字谜语
29、联欢会上有一则数字谜语，谜底是一个八位数谜底是一个八位数。现已猜出现已猜出：54739，主持人提示主持人提示：“这个无重复这个无重复 数字的八位数中，最小的数是数字的八位数中，最小的数是 2。”要猜出这个谜语，最多还要猜要猜出这个谜语，最多还要猜次。次。 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第 12 题 【解析】根据题意三个方框只能从 2，6，8 中选，根据乘法原理最多还要猜32 16 次 【答案】6次 【例【例 1212】在右面每个方格中各放在右面每个方格中各放 1 枚围棋子枚围棋子(黑子或白子黑子或白子)，有（，有（）种放法）种放法 【考点】简单
30、乘法原理【难度】2 星【题型】填空 【关键词】走美四年级初赛第 5 题 【解析】每个方格中有 2 种填法：故 2222=16（种） 【答案】16种 【例【例 1313】将将 16 分别填入图中的分别填入图中的 6 个方框内，使得同一行中左边的数比右边的小，同一列中上边的数比下个方框内，使得同一行中左边的数比右边的小，同一列中上边的数比下 边的小，共有边的小，共有_种不同的填法种不同的填法 【考点】简单乘法原理【难度】2 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 12 题 【解析】根据题意可知 1 和 6 的位置是固定只能添在左上角和右下角如图所示： 将余下的 4 个格编号如图根据同
31、一行中左边的数比右边的小，同一列中上边的数比下边的小的原则 知道 2 只能选择（1）或者（2）号位置，当 2 的位置确定后 3 的位值也就确定了，故当 2 选择（1） 时 3 只能选择（2） ，当 2 选择（2）时 3 只能选择（1） ，共有 2 种填法，同理 4 和 5 只能在（3）和 7-2-1.简单乘法原理.题库教师版page8of8 （4）中互选，根据乘法原理，所以本题一共有224（种）不同填法。 【答案】4种 【例【例 1414】将将 19 枚棋子放入枚棋子放入5 5的方格网内的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数且每行每列的棋子个数均为奇数 个，那么共有个，那么共有_种不同的放法种不同的放法 【考点】简单乘法原理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初试，7 题 【解析】【解析】反过来考虑 6 个空格，则肯定是某 3 行和某 3 列中每行每列各有 2 个，如下： 表示空格，表示有棋子的方格，其他方格全部有棋子选择有空格的 3 行 3 列有10 10100种 选法，在这 3 行 3 列中选择哪 6 个格空有32 16 种选法，所以总共有 600 种 【答案】600种
