1、7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page1of10 7-5-2.7-5-2.组合的基本应用（二组合的基本应用（二） 教学目标教学目标 1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合 技巧，如排除法、插板法等 知识要点知识要点 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题如在体育比
2、赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某 项活动等等这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的 问题 一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完 全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的 组合 从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的 组合数记作 m n C 一般地，求从
3、n个不同元素中取出的m个元素的排列数 n m P可分成以下两步： 第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有 m n C种方法； 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有 m m P 种排法 根据乘法原理，得到 mmm nnm PCP 因此，组合数 12)1 123 2 1 m mn n m m Pnnnnm C Pmmm （） （） （） （） 这个公式就是组合数公式 二、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质： mn m nn CC (mn) 这个公式的直观意义是： m n C表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法 n m n C 表示从n个 元素中取
4、出(nm)个元素组成一组的所有分组方法 显然， 从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个 元素中选m个元素剩下的(nm)个元素的分组方法 例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即 32 55 CC 规定1 n n C ， 0 1 n C 7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page2of10 例题精讲例题精讲 模块一、组合之几何问题 【例【例 1】 在一个圆周上有在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的： 直线段；直线段； 三角形；三角形； 四边形四边形 【考点】组合之基本运
5、用【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一 条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四 边形，三个问题都是组合问题 由组合数公式： 可画出 2 210 10 2 2 109 45 2 1 P C P (条)直线段 可画出 3 310 10 3 3 109 8 120 32 1 P C P (个)三角形 可画出 4 410 10 4 4 109 87 210 432 1 P C P (个)四边形 【答案】 2 10 45C 3 10 120C 4 10 210C
6、 【巩固】【巩固】 平面内有平面内有 10 个点，以其中每个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？个点为端点的线段共有多少条？ 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】这道题不考虑线段两个端点的顺序， 是组合问题，实际上是求从10个元素中取出2个元素的组合数， 由组合数公式， 2 10 109 45 2 1 C ，所以以10个点中每2个点为端点的线段共有45条 【答案】45 【巩固】【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？ 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】三
7、角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从7个点中选 出3个点的选法，等于 3 7 765 35 32 1 C (种) 【答案】 3 7 35C 【例【例 2】 平面内有平面内有12个点，其中个点，其中6点共线，此外再无三点共线点共线，此外再无三点共线 可确定多少个三角形？可确定多少个三角形？ 可确定多少条射线？可确定多少条射线？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】 分三类： 有2个顶点在共线的6点中，另1个顶点在不共线的6点中的三角形有 2 6 65 6690 2 1 C 个； 有1个顶点在共线的6点中，另2个顶点在不共线的6点中的三角
8、形有 2 6 65 6690 2 1 C (个)； 3个顶点都在不共线的6点中的三角形有 3 6 654 20 32 1 C 个 根据加法原理，可确定909020200个三角形 两点可以确定两条射线，分三类： 共线的6点，确定10条射线； 不共线的6点，每两点确定两条射线，共有 2 6 65 2230 2 1 C (条)射线； 从共线的6点与不共线的6点中各取一个点可以确定66272 (条)射线 7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page3of10 根据加法原理，可以确定103072112(条)射线 【答案】200112 【巩固】【巩固】如图，问：如图，问： 图图1中，共有多少条线段
9、？中，共有多少条线段？ 图图2中，共有多少个角？中，共有多少个角？ ? C ? 5 ? C ? 4 ? C ? 3 ? C ? 2 ? C ? 1 ? B ? A ? . ? P ? 9 ? P ? 3 ? P ? 2 ? P ? 1 ? B ? A ? O 图图1图图2 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】 在线段AB上共有7个点（包括端点A、B） 注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有 一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而 2 7 C表示从7个点中取两个不同点 的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有 2 7 C条线段 由组合数公式知，共有
10、2 27 7 2 2 76 21 2 1 P C P (条)不同的线段； 从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， 1 OP， 2 OP， 3 OP， 9 OP，OB注意到每两 条射线可以形成一个角， 所以， 只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法， 就有多少个角 显 然，是组合问题，共有 2 11 C种不同的取法，所以，可组成 2 11 C个角 由组合数公式知，共有 2 211 11 2 2 11 10 55 2 1 P C P (个)不同的角 【答案】 2 7 21C 2 11 55C 模块二、组合之应用题 【例【例 3】 6 个个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？朋友聚会，
11、每两人握手一次，一共握手多少次？ 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】这与课前挑战的情景是类似的因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一次，握手次数只 与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题 由组合数公式知， 2 6 65 15 2 1 C (次)所以一共握手15次 【答案】15 【巩固】【巩固】 某班毕业生中有某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？ 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 【解析】 2 20 20 1
12、9 190 2 1 C (次) 【答案】 2 20 190C 【例【例 4】 学校开设学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？门，共有多少种不同的选法？ 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】被选中的3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题 由组合数公式知， 3 6 654 20 32 1 C (种) 所以共有20种不同的选法 【答案】 3 6 20C 【例【例 5】 有有 2 克克，5 克克，20 克的砝码各克的砝码各 1 个个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出能
13、称出种不种不 同的质量。同的质量。 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 5 题 7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page4of10 【解析】第一大类：砝码只放一边。共有 123 333 3317CCC 或者 3 217 （种） ；第二大类：两边都 放砝码。再分类：两边各放一个，共有 2 3 C种；一边放两个一边放一个有 1 3 C或者 2 3 C种。所以这一大 类共有 12 33 336CC（种） 。根据加法原理，共能称出 7+6=13（种）不同的质量。 【答案】13种 【例【例 6】 工厂某日生产的工厂某日生产的 10 件产品中有
14、件产品中有 2 件次品，从这件次品，从这 10 件产品中任意抽出件产品中任意抽出 3 件进行检查，问：件进行检查，问： （1）一共有多少种不同的抽法？）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的）抽出的 3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的）抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种？件中至少有一件是次品的抽法有多少种？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】（1）从 10 件产品中抽出 3 件，抽法总数为 3 10 C=120（种） （2）3 件中恰好一件次品，那么还有两件正常品 抽法总数为 1 2 C 2 8 C=5
15、6（种） （3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品” 全都不是次品的抽法总数为 3 8 C=56（种） 所以至少有一件次品的抽法总数为 120-56=64（种） 【答案】 （1）120（2）56（3）64 【例【例 7】 200 件产品中有件产品中有 5 件是次品件是次品，现从中任意抽取现从中任意抽取 4 件件，按下列条件按下列条件，各有多少种不同的抽法各有多少种不同的抽法（只要求只要求 列式）？列式）？都不是次品；都不是次品；至少有至少有 1 件次品；件次品；不都是次品不都是次品 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】第题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是
16、正品，正品有 195 件第题：与顺序无关；至少 有 1 件次品，即有 1 件次品、2 件次品、3 件次品、4 件次品等四类情况，次品共 5 件可用直接法 解答，也可用间接法解答第题：与顺序无关；不都是次品，即至少有 1 件是正品 都不是次品，即全部为正品 共有抽法 4 195 C种 至少有 1 件次品，包括 1 件、2 件、3 件、4 件次品的情况 共有抽法 3122134 1955195519555 ()CCCCCCC种（或 44 200195 ()CC种） 不都是次品，即至少有 1 件正品 共有抽法 1322314 195519551955195 ()CCCCCCC种（或 44 2005
17、()CC种） 【答案】 4 195 C 44 200195 ()CC 44 2005 ()CC 【例【例 8】 某班要在某班要在42名同学中选出名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选人中选3人站成人站成 一排，有多少种站法？一排，有多少种站法？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的 顺序无关所以，应用组合数公式，共有 3 42 C种不同的选法 要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而
18、且与三名同学被选出 的顺序有关所以，应用排列数公式，共有 3 42 P种不同的站法 由组合数公式，共有 3 342 42 3 3 4241 40 11480 32 1 P C P (种)不同的选法； 由排列数公式，共有 3 42 4241 4068880P (种)不同的站法 【答案】 3 42 68880P 【例【例 9】 将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排， 要求三盘红花互不相邻要求三盘红花互不相邻， 共有共有_种不同种不同 的方法的方法 【考点】组合之基本运用【难度】1 星【题型】解答 【关键词】希望杯，1 试 【解析】因为三盘红花不能相邻
19、，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边这 样共有5个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从5个元素中取出3个，所以共有 7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page5of10 3 5 543 10 1 23 C 种不同的放法 【答案】 3 5 10C 【例【例 10】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐而且第二个人，且前后对齐而且第二 排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住一共有多少种不同的排队方法？排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住一
20、共有多少种不同的排队方法？ 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关 系所以排队方法总数为： 222 864 28 15 62520CCC（种） 【答案】2520 【例【例 11】在一次考试的选做题部分在一次考试的选做题部分， 要求在第一题的要求在第一题的4个小题中选做个小题中选做3个小题个小题， 在第二题的在第二题的3个小题中选做个小题中选做2 个小题，在第三题的个小题，在第三题的2个小题中选做个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？个小题，有多少种不同的选法？ 【考点】组合之基本运用【
21、难度】1 星【题型】解答 【解析】由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题 第一题中，4个小题中选做3个，有 3 4 432 4 32 1 C (种)选法； 第二题中，3个小题中选做2个，有 2 3 32 3 2 1 C (种)选法； 第三题中，2个小题中选做1个，有 1 2 2 1 2 1 C (种)选法 根据乘法原理，一共有43224 (种)不同的选法 【答案】24 【例【例 12】某年级某年级6个班的数学课个班的数学课，分配给甲分配给甲、乙乙、丙三名数学老师任教丙三名数学老师任教，每人教两个班每人教两个班，分派的方法有多少分派的方法有多少 种？
22、种？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】分三步进行： 第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有 2 6 65 15 2 1 C (种)选法； 第二步，从余下的4个班中选取两个班给乙，有 2 4 43 6 2 1 C (种)选法； 第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法 根据乘法原理，一共有156 190 (种)不同的分配方法 【答案】90 【例【例 13】将将 19 枚棋子放入枚棋子放入5 5的方格网内的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数且每行每列的棋子个数均为奇数 个，那么共有个，那么共有_种不同的放
23、法种不同的放法 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，高年级，初赛 【解析】【解析】5 5的方格网共有 25 个方格，放入 19 枚棋子，说明还有 6 个空格由于棋子的数目较多，直接考 虑棋子比较困难，可以反过来考虑 6 个空格由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都 有 5 个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个那么每行每列的空格数可能为 0，2 或 4如果有 某一行或某一列的空格数为 4 个，为保证每行每列的空格数都是偶数个，那么这 4 个空格所在的列 或行都至少还有另外 1 枚棋子，这样至少有 8 个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为 4 个
24、，只能为 0 个或 2 个则肯定是某 3 行和某 3 列中每行每列各有 2 个空格，如下： 其中表示空格，表示有棋子的方格，其它的方格则全部有棋子 选择有空格的 3 行 3 列有 33 55 10 10100CC种选法，在这 3 行 3 列中选择 6 个空格(也相当于每 行每列选择 1 枚棋子)有32 16 种选法，所以总共有1006600种不同的放法 7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page6of10 【答案】600 【例【例 14】甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共 3 串，有一串是红气球串，有一串是红气球 3 个，
25、有一串是黄个，有一串是黄 气球气球 2 个，有一串是绿气球个，有一串是绿气球 4 个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？ ? 绿 ? 黄 ? 红 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即 9 个物体的 排列，当然有9 8765432 1 种排列方法 但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排 列的情况，所以应该除以32 1，其他黄色气球、绿色气球依此类推 所以共有射击方法：
26、(9 8765432 1)(32 1)(2 1)(432 1) (9 87654)(2 1)(432 1) 1260(种) 本题也可以这样想：任意一种打法都对应 9 个物体的排列，从中先选出 3 个位置给红色气球，有 3 9 C 种选法；这 3 个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的 6 个位置 中选出 2 个给黄色气球， 有 2 6 C种选法； 它们之间也只有一种排列顺序； 剩下的 4 个位置给绿色气球， 它们之间也只有一种排列顺序所以，根据乘法原理，共有 32 96 1260CC种不同的射法 【答案】1260 【例【例 15】某池塘中有某池塘中有ABC、 、三只
27、游船，三只游船，A船可乘坐船可乘坐3人，人，B船可乘坐船可乘坐2人，人，C船可乘坐船可乘坐1人，今有人，今有3个成个成 人和人和2个儿童要分乘这些游船个儿童要分乘这些游船，为安全起见为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他那么他 们们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C船 若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满AB、两船，若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此 时
28、A船上还必须有1个成人，有 1 3 3C 种方法；若两个儿童不在同一条船上，即分别在AB、两船 上，则B船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有 1 2 2C 种选择，1个成人有 1 3 3C 种选择，所以有 236种方法故5人都不乘坐C船有369种安全方法； 若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有 1 3 3C 种选择其余的2个成人与2个儿童， 若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有 1 2 2C 种方法，所以 此时有326种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个 儿童和1个成人均有 1 2 2C 种选择，所以此种情况下有
29、32212 种方法；故5人中有1人乘坐C船 有61218种安全方法 所以，共有91827种安全乘法 【答案】27 【例【例 16】有蓝色旗有蓝色旗3面，黄色旗面，黄色旗2面，红色旗面，红色旗1面这些旗的模样、大小都相同现在把这些旗挂在一个旗面这些旗的模样、大小都相同现在把这些旗挂在一个旗 杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示 多少种不同信号多少种不同信号? 【考点】组合之基本运用【难度】2 星【题型】解答 【解析】按挂旗的面数来分类考虑 第一类：挂一面旗从蓝、黄、
30、红中分别取一面，可以表示3种不同信号； 第二类：挂两面旗按颜色分成：红黄（ 2 2 2P 种） ；红蓝（ 2 2 2P 种） ；黄蓝（ 2 2 2P 种） ； 黄黄（1种） ；蓝蓝（1种） ；共8种； 第三类： 挂三面旗 按颜色分类： 红蓝蓝 （ 1 3 3C 种） ； 红黄黄 （ 1 3 3C 种） ； 红黄蓝 （ 3 3 6P 7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page7of10 种） ；黄黄蓝（ 1 3 3C 种） ；黄蓝蓝（ 1 3 3C 种） ；蓝蓝蓝（1种） ；共19种； 第四类：挂四面旗按颜色分类：红黄黄蓝（ 2 4 212C 或 4 4 212P 种） ；红黄蓝蓝 （
31、 2 4 212C 或 4 4 212P 种） ；红蓝蓝蓝（ 1 4 4C 种） ；黄黄蓝蓝（ 22 42 6CC种） ；黄 蓝蓝蓝（ 1 4 4C 种） ，共38种； 第五类：挂五面旗按颜色分类：红黄黄蓝蓝（ 321 531 30CCC种） ；红黄蓝蓝蓝 （ 3 5 2 120C 种） ；黄黄蓝蓝蓝（ 32 52 10CC种） ，共60种； 第六类：挂六面旗红黄黄蓝蓝蓝（ 321 631 60CCC种） 根据加法原理，共可以表示3819386060188种不同的信号 【答案】188 【例【例 17】从从10名男生，名男生，8名女生中选出名女生中选出8人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选
32、法？人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？ 恰有恰有3名女生入选；名女生入选；至少有两名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生必须入选； 某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人某两名女生，某两名男生最多入选两人 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为 35 810 14112CC种； 要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与 排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要
33、求的情况： 8871 1810108 43758CCCC； 4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有 4 14 1001C种； 从所有的选法 8 18 C种中减去这4个人同时入选的 4 14 C种： 84 1814 43758100142757CC 分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共： 81726 14414414 34749CCCCC 【答案】 35 810 14112CC种； 8871 1810108 43758CCCC； 4 14 1001C种； 84 1814 43758100142757CC 81726 14414414 34749CCCCC
34、【例【例 18】从从4名男生，名男生，3名女生中选出名女生中选出3名代表名代表 不同的选法共有多少种？不同的选法共有多少种？ “至少有一名女生至少有一名女生”的不同选法共有多少种？的不同选法共有多少种？ “代表中男、女生都要有代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？的不同选法共有多少种？ 【考点】组合之基本运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】 相当于从7名学生中任意选3名，不同的选法有 3 7 765 35 32 1 C (种) 方法一：可以分成三类： 选1名女生，选2名男生由乘法原理，有 12 34 43 318 2 1 CC (种)选法； 选2名女生，选1名男生由乘法原理，有 21
35、 34 32 412 2 1 CC (种)选法； 选3名女生，男生不选，有1种选法 根据加法原理，“至少有一名女生”的不同选法有1812131 (种) 方法二： 先不考虑对女生的特殊要求， 从从7名学生中任意选3名， 有 3 7 765 35 32 1 C (种)选法； 考虑一个女生都不选的情况， 则3名代表全产生于男生中， 有 3 4 432 4 32 1 C (种)选法， 所以，至少选一名女生的选法有35431种，这种“去杂法”做起来也比较简单 7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page8of10 “代表中男、女生都要有”，可以分成两类： 1名男生，2名女生，由乘法原理，有 21
36、 34 32 412 2 1 CC (种)选法； 2名男生，1名女生，由乘法原理，有 12 34 43 318 2 1 CC (种)选法 根据加法原理，“代表中男、女生都要有”的不同选法共有121830(种) 【小结】选择问题是组合问题中的一类常见问题，可根据具体情况从正面考虑或逆向求解，采用“去杂法” 【答案】 3 7 35C 3130 【巩固】【巩固】在在 6 名内科医生和名内科医生和 4 名外科医生中名外科医生中， 内科主任和外科主任各一名内科主任和外科主任各一名， 现要组成现要组成 5 人医疗小组送医下乡人医疗小组送医下乡， 按照下列条件各有多少种选派方法？按照下列条件各有多少种选派方
37、法？ 有有 3 名内科医生和名内科医生和 2 名外科医生；名外科医生； 既有内科医生，又有外科医生；既有内科医生，又有外科医生； 至少有一名主任参加；至少有一名主任参加； 既有主任，又有外科医生既有主任，又有外科医生 【考点】组合之基本运用【难度】4 星【题型】解答 【解析】 先从6名内科医生中选3名，有 3 6 654 20 32 1 C 种选法；再从4名外科医生中选2名，共有 2 4 43 6 2 1 C 种选法根据乘法原理，一共有选派方法206120种 用“去杂法”较方便，先考虑从10名医生中任意选派5人，有 5 10 109 876 252 5432 1 C 种选派方 法；再考虑只有外
38、科医生或只有内科医生的情况由于外科医生只有4人，所以不可能只派外科 医生如果只派内科医生，有 51 66 6CC种选派方法所以，一共有2526246种既有内科医 生又有外科医生的选派方法 如果选1名主任，则不是主任的8名医生要选4人，有 4 8 8765 22140 432 1 C 种选派方法； 如果选2名主任，则不是主任的8名医生要选3人，有 3 8 876 1156 32 1 C 种选派方法根据 加法原理，一共有14056196种选派方法 分两类讨论： 若选外科主任，则其余4人可任意选取，有 4 9 9 876 126 432 1 C 种选取方法； 若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4
39、人不能全选内科医生，用“去杂法”有 44 85 87655432 65 432 1432 1 CC 种选取法 根据加法原理，一共有12665191种选派方法 【答案】120246196191 【例【例 19】在在 10 名学生中，有名学生中，有 5 人会装电脑，有人会装电脑，有 3 人会安装音响设备，其余人会安装音响设备，其余 2 人既会安装电脑，又会安装音人既会安装电脑，又会安装音 响设备，今选派由响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要人，安装音响设备要3人，共有多少种人，共有多少种 不同的选人方案？不同的选人方案？ 【考点】组
40、合之基本运用【难度】4 星【题型】解答 【解析】按具有双项技术的学生分类： 两人都不选派，有 3 5 543 10 32 1 C (种)选派方法； 两人中选派1人，有2种选法而针对此人的任务又分两类： 若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有 2 5 54 10 2 1 C (种)选法，而另外会安装音响设备的 3人全选派上，只有1种选法由乘法原理，有10 110 (种)选法； 若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有 2 3 32 3 2 1 C (种)选法，需从5人 7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page9of10 中选3人安装电脑，有 3 5 543 10 3
41、2 1 C (种)选法由乘法原理，有3 1030(种)选法 根据加法原理，有103040(种)选法； 综上所述，一共有24080(种)选派方法 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下： 两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装 音响设备，有5 15 (种)选派方案； 两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有 22 53 5432 60 2 12 1 CC (种)选派方案； 两人全安装音响设备，有 3 5 543 3330 32 1 C (种)选派方案 根据加法原理，共有5603095(种)选派方案 综合以上所述，符合条件的方案一共有108095185(种
42、) 【答案】1080185 【例【例 20】有有 11 名外语翻译人员名外语翻译人员， 其中其中5名是英语翻译员名是英语翻译员，4名是日语翻译员名是日语翻译员， 另外两名英语另外两名英语、 日语都精通日语都精通 从从 中找出中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时人翻译日文，这两个小组能同时 工作问这样的分配名单共可以开出多少张？工作问这样的分配名单共可以开出多少张？ 【考点】组合之基本运用【难度】4 星【题型】解答 【解析】针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类： 多面手不参加
43、，则需从5名英语翻译员中选出4人，有 41 55 5CC种选择，需从4名日语翻译员 中选出4人，有1种选择由乘法原理，有5 15 种选择 多面手中有一人入选，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能： 如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，有 3 5 543 10 32 1 C 种选择，需从4名 日语翻译员中选出4人，有1种选择由乘法原理，有2 10 120 种选择； 如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有 41 55 5CC种选择，需从4名日语翻 译员中再选出3名，有 31 44 4CC种选择由乘法原理，有25440 种选择根据加法原理， 多面手中
44、有一人入选，有204060种选择 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况： 两人都译英文；两人都译日文；两人各译一个语种 情况中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有 2 5 54 10 2 1 C 种选择需从4名日语翻译员中 选4人，1种选择由乘法原理，有1 10 110 种选择 情况中，需从5名英语翻译员中选出4人，有 41 55 5CC种选择还需从4名日语翻译员中选 出2人，有 2 4 43 6 2 1 C 种选择根据乘法原理，共有1 5630 种选择 情况中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择剩下的需从5名英语翻译员中选出3人， 有 3 5 543 10 32 1 C
45、种选择，需从4名日语翻译员中选出3人，有 31 44 4CC种选择由乘法原 理，有1 2 10480 种选择 根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有103080120种选择 综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出560120185张 【小结】组合问题中出现“多面手”时，往往“多面手”是进行分类讨论的对象，这样可以简化问题 【答案】560185 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】某旅社有导游某旅社有导游9人人，其中其中3人只会英语人只会英语，2人只会日语人只会日语，其余其余4个既会英语又会日语个既会英语又会日语现要从中选现要从中选6 人，其中人，其中3人做英语导游，另外人做英语导游，另外
46、3人做日语导游则不同的选择方法有多少种？人做日语导游则不同的选择方法有多少种？ 【考点】组合之基本运用【难度】4 星【题型】解答 【解析】此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分 三类： 只会日语的2人都出场，则还需1个多面手做日语导游，有4种选择从剩下的只会英语的人和 7-5-2.组合的基本应用（二）.题库教师版page10of10 多面手共6人中选3人做英语导游，有 3 6 654 20 32 1 C 种选择 由乘法原理，有42080种选择 只会日语的2人中有1人出场，有2种选择还需从多面手中选2人做日语导游，有 2 4 43 6 2 1 C 种选择剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游，有 3 5 543 10 32 1 C 种选择 由乘法原理，有26 10120 种选择 只会日语的人不出场，需从多面手中选3人做日语导游，有 31 44 4CC种选择 剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游，有 31 44 4CC种选择 由乘法原理，有4416种选择根据加法原理，不同的选择方法一共有8012016216种 【小结】当“多面手”的数量较多时，对“多面手”分类讨论问题反倒不简单了那么此时应灵活选择数量 较少的一类元素讨论(如本题中的会日语的导游)做题时要根据具体问题灵活处理 【答案】20120216
