1、7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page1of9 7-8-17-8-1 几何计数（一）几何计数（一） 教学目标教学目标 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用 容斥原理的计数思想 知识要点知识要点 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图 分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些 处理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和乘
2、法原理法以及递推法等n 条直线最多将平面分成 2 1 223(2) 2 nnn个部分； n 个圆最多分平面的部分数为 n(n-1)+2； n 个三角形将平面最多分成 3n(n-1)+2 部分；n 个四边形将平面最多分成 4n(n-1)+2 部分 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等解题时需要仔细审题、 综合所学知识点逐步求解 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先 后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)（或含有 n 个“基本线段”） ，那
3、么这 n+1 个点把这条 线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+2+1 条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法） ，因为 DE 上有 15 条线段，每条线段的 两端点与点 A 相连，可构成一个三角形，共有 15 个三角形，同样一边在 BC 上的三角形也有 15 个，所以图 中共有 30 个三角形 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形） ，若其横边上共有 n 条线段， 纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个 例题精讲例题精讲 模块一、简单的几何计数模块一、简单的几
4、何计数 【例【例 1】 七个同样的圆如右图放置，它有七个同样的圆如右图放置，它有_条对称轴条对称轴 7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page2of9 【考点】简单的几何计数【难度】1 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题 【解析】如图：6 条 【答案】6条 【例【例 2】 下面的表情图片中下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（没有对称轴的个数为（） （A） 3(B)4(C)5(D)6 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛，第 1 题 【解析】通过观察可知，第 1，2，5 这三张图片是有对称轴的，其他的 5 张图片都没有对称轴，所以没有
5、对 称轴的个数为 5，正确答案是 C。 【答案】C 【巩固】【巩固】中心对称图形是中心对称图形是：绕某一点旋转绕某一点旋转 180后能和原来的图形重合的图形后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是轴对称图形是：沿着一条直线沿着一条直线 对折后两部分完全重合的图形对折后两部分完全重合的图形， 图的图的 4 个图形中个图形中， 既是中心对称图形又是的轴对称图形的有既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个个。 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 7 题 【解析】共有 3 个，除第二个外其余都是。 【答案】3个 【例【例 3】 两条直线相交所成的锐角或直
6、角称为两条直线的两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角夹角”。现平面上有若干条直线现平面上有若干条直线，它们两两相交它们两两相交， 并且并且“夹角夹角”只能是只能是 30，60或或 90。问：至多有多少条直线？。问：至多有多少条直线？ 【考点】简单的几何计数【难度】1 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 12 题 【解析】至多有 6 条直线，如图： 【答案】6条 【例【例 4】 下下图是王超同学为图是王超同学为环境保护专栏环境保护专栏设计的一个报头，用到基本的几何图形：线段、三角形、四边设计的一个报头，用到基本的几何图形：线段、三角形、四边 形、圆、弧线，其中用得最多的
7、一种图形是形、圆、弧线，其中用得最多的一种图形是_ 。 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 9 题 【解析】【解析】观察图形发现是：线段最多 【答案】线段最多 7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page3of9 【例【例 5】 下面的下面的5 5和和64图中共有图中共有_个正方形个正方形 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】解答 【解析】在5 5的图中，边长为 1 的正方形 2 5个；边长为 2 的正方形 2 4个； 边长为 3 的正方形 2 3个；边长 为 4 的正方形 2 2个； 边长为 5 的正方形有 2 1， 总共有 222
8、22 5432155(个)正方形 在64 的图中边长为 1 的正方形64个；边长为 2 的正方形5 3个； 边长为 3 的正方形42个；边长为 4 的正方形3 1个；总共有645 3423 142 (个) 【答案】42个 【巩固】【巩固】请看下图，共有多少个正方形？请看下图，共有多少个正方形？ 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】填空【关键词】 【解析】【解析】假设最小的正方形边长为 1，则面积为 1 的正方形有 9 个；面积为 4 的正方形有 4 个；面积为 16 的 正方形有 1 个因此共有 9+4+1=14 个 【答案】14个 【巩固】【巩固】如下图是一个围棋盘如下图是一个围棋盘
9、，它由横竖各它由横竖各 19 条线组成条线组成问问：围棋盘上有多少个右图中的小正方形一样的正围棋盘上有多少个右图中的小正方形一样的正 方形？方形？ 【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 15 题 【解析】我们先在右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的点 E 作为代表点然后将小正方形按题意放 在围棋盘上，仔细观察点 E 应在什么地方通过观察，不难发现： （1）点 E 只能在棋盘右下角的正方形 ABCD（包括边界）的格子点上 （2）反过来，右下角正方形 ABCD 中的每一个格子点都可以作为小正方形的点 E，也只能作为一 个小正方形的点 E 这样一来，
10、 就将“小正方形的个数”化为“正方形 ABCD 中的格子点个数”了 很容易看出正方形 ABCD 中的格子点为 1010100 个 7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page4of9 答：共有 100 个。 【答案】100个 【例【例 6】 下图中共有下图中共有_个正方形个正方形 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】解答 【解析】每个44正方形中有：边长为 1 的正方形有 2 4个；边长为 2 的正方形有 2 3个； 边长为 3 的正方形 有 2 2个；边长为 4 的正方形有 2 1个；总共有 2222 432130(个)正方形现有 5 个44的正方 形，它们重叠部分是 4 个22的
11、正方形因此，图中正方形的个数是30554130 【答案】130 【例【例 7】 图中有图中有_个正方形个正方形 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】解答 【解析】5 5的正方形 1 个；44的正方形 4 个；3 3的正方形 5 个；22 的正方形 4 个；11 的正方形 13 个共 27 个 【答案】27 【巩固】【巩固】数一数：图中共有数一数：图中共有_ 个正方形。个正方形。 【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 10 题 【解析】按面积从小到大 4+17+9+4+1=35 个 【答案】35个 【巩固】【巩固】图中共有图中共有个正方形。
12、个正方形。 【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 7 题 【解析】设最小正方形的边长为1，那么边长为1的正方形有2个，边长为2的正方形有6个，边长为4的正 7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page5of9 方形有5个，边长为8的正方形有2个，边长为12的正方形有1个，边长为16的正方形有1个，所以 总共有26521 117 （个） 。 【答案】17个 【例【例 8】 下图中共有下图中共有_个正方形。个正方形。 【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，初试，4 题 【解析】【解析】分类计算边长为 1 的正
13、方形有 12 个；长为 2 的正方形有 1 个；边长为 3 的正方形有 4 个；边长为 4 的有 1 个；边长为 1 个对角线的有 1 个；边长为 2 个对角线的有 1 个；所以一共有： 12141 1 120 （个） 【答案】20个 【巩固】【巩固】图图 1 中共有中共有个正方形。个正方形。 【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 12 题 【解析】5+4+1+5+4+1=20 【答案】20个 【例【例 9】 图中共有多少个长方形？图中共有多少个长方形？ 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】利用长方形的计数公式：横边
14、上共有 n 条线段，纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四 边形）mn 个所以有(4+3+2+1)（4+3+2+1）=100 【答案】100 【例【例 10】数一数，下边图形中有数一数，下边图形中有个平行四边形个平行四边形 【考点】简单的几何计数【难度】1 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初试，4 题 【解析】【解析】本题是一道几何计数问题,应不漏不重地按规律去数,每相邻两个三角形可组成一个平行四边形,共计 6 个. 【答案】6个 【例【例 11】图图 5 中有中有个平行四边形。个平行四边形。 7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page6of9 【考点】简单的几何计数【
15、难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】12+8+3=23 【答案】23 【例【例 12】如右图中共有如右图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 10 题 【解析】白色小三角形个数126 166 2 （） 21，黑色小三角形个数1 十 27 177 2 （） 28，所以它们的比 21 28 3 4 ，白色与黑色小三角形个数之比是 3 4 . 【答案】 3 4 【例【例 13】如图，由小正方形
16、构成的长方形网格中共有线段如图，由小正方形构成的长方形网格中共有线段_条。条。 【考点】简单的几何计数【难度】2【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第 8 题 【解析】横的有 5(1+2+3+4+5)=75 条，竖的有 6(1+2+3+4)=60 条，一共 135 条 【答案】135条 【例【例 14】图中线段的条数比三角形的个数多图中线段的条数比三角形的个数多。 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第 6 题 【解析】通过比较发现，线段的条数比三角形的个数多的正好是6条斜边。 【答案】6 【例【例 15】右图中共有右图中共有个三角形。个三
17、角形。 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 6 题 7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page7of9 【解析】由 1 个，2 个，3 个，4 个，6 个，8 个小三角形组成的三角形分别有：8，7，4，3，1，1 个，也即 一共有 8+7+4+3+2=24 个。 【答案】24 【例【例 16】如图如图 AB，CD，EF，MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】解答 【解析】图中共有三角形 （1+2+3+4） 4=40 个 梯形 （1+2
18、+3+4） （2+4） =60； 所以梯形比三角形多 60-40=20 个 【答案】20个 【例【例 17】右边三个图中，都有一些三角形，在图右边三个图中，都有一些三角形，在图 A 中，有中，有 _个；在图个；在图 B 中，有中，有_个；中图个；中图 C 中，中， 有有_ 个。个。 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】图 A5 个;图 B8 个;图 C5 个 【例【例 18】请看下图，共有多少个三角形？请看下图，共有多少个三角形？ 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】填空 【解析】【解析】独立的三角形有 7 个，由 4 个三角形
19、组成的三角形有 1 个，加上最大的三角形，因此共有 7+1+1=9 个三角形 【答案】9 【例【例 19】右图中共有右图中共有个三角形个三角形 【考点】简单的几何计数【难度】2 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，2 题 【解析】【解析】分类枚举得到：边长是1个单位长度的有12个三角形； 边长是2个单位长度的有6个三角形 边长是3个单位长度的有2个三角形 7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page8of9 共有126220（个） 【答案】20个 【例【例 20】右图中三角形共有右图中三角形共有个个 【考点】简单的几何计数【难度】4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛
20、，4 题 【解析】【解析】不可分割的三角形有7个 由2个不可分割的三角形构成的三角形有6个 由3个不可分割的三角形构成的三角形有4个 由5个不可分割的三角形构成的三角形有2个 由7个不可分割的三角形构成的三角形有1个 一共有三角形7642120 个 【答案】20个 【巩固】【巩固】数一数图中有数一数图中有_个三角形个三角形 【考点】简单的几何计数【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 14 题 【解析】【解析】分类枚举，只由一个三角形构成的有 6 个，由两个小三角形组合而成的三角形有 3 个。由三个小三 角形组合而成的三角形有 3 个，所以一共有63+3=12（个）
21、。 【答案】12个 【巩固】【巩固】数一数，图中有数一数，图中有_个三角形。个三角形。 【考点】简单的几何计数【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 9 题 【解析】10 个 【答案】10个 【例【例 21】图中共有图中共有个三角形。个三角形。 【考点】简单的几何计数【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】从图形所包含的小块数的个数来数，包含一块的三角形有 10 个，包含两块的三 角形有 10 个，包含三块的三角形有 10 个，包含五块三角形有 5 个，所以共有 35 个。 7-8-1.几何计数（一）.题库题库版page9of9 【答案】
22、35个 【例【例 22】在图中，一共有在图中，一共有10个三角形，个三角形，40条线段条线段 【考点】简单的几何计数【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第 3 题 【解析】一共有 10 个三角形五角星的每个角上分别有 1 个小三角形，总共有 5 个；另外还有 5 个较大的 三角形，所以共有5510（个）三角形一共有 40 条线段中间五角星中有 5 条长线段，每条 长线段上共可以数出：3216 （条） 线段， 那么五角星中共有6530（条） 线段，305540 图形的计数 【答案】三角形10个，线段40个 【例【例 23】用用 10 根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形，能接成不同的三角形有根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形，能接成不同的三角形有个。个。 【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 13 题 【解析】根据三角行两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。知道共有两 2 种情况：33410与 244，所以能接成不同的三角形2个 【答案】2个
