1、理科数学试题 第 1 页（共 5 页） 绝密启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1设集合 |04Mxx=， 1 |5 3 Nxx=，则MN = A 1 |0 3 x
2、x B 1 |4 3 xx C |45xx D |05xx，乙： n S是递增数列，则 A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 82020年12月8日， 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰 最新高程为8 848.86（单位：m） ，三角高程测量法是 珠峰高程测量方法之一右图是三角高程测量法的一 个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同 一水平面上的投影 A ， B ，C满足45A C B =， 60A B C = 由C点测得B点的仰角为15，BB与 CC的差为100； 由B点测得A点的仰角为45， 则A
3、， C两点到水平面A B C 的高度差AACC约为（31.732） A346 B373 C446 D473 正视图 理科数学试题 第3页（共5页） 9若 (0,) 2 ， cos tan2 2sin = ，则tan= A 15 15 B 5 5 C 5 3 D 15 3 10将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 A 1 3 B 2 5 C 2 3 D 4 5 11已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，1ACBC=， 则三棱锥OABC的体积为 A 2 12 B 3 12 C 2 4 D 3 4 12设函数( )f x的定义域为R，(1)f x+为奇函数，(2
4、)f x+为偶函数，当1, 2x时， 2 ( )f xaxb=+若(0)(3)6ff+=，则 9 ( ) 2 f= A 9 4 B 3 2 C 7 4 D 5 2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13曲线 21 2 x y x = + 在点( 1, 3)处的切线方程为_ 14已知向量(3,1)=a，(1, 0)=b，k=+cab若ac，则k = _ 15已知 1 F， 2 F为椭圆 22 1 164 xy C+=：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的 两点，且 12 |PQFF=，则四边形 12 PFQF的面积为_ 16已知函数( )2cos()f xx=+的部分图像如
5、图所 示， 则满足条件 74 ( ( )()( ( )()0 43 f xff xf 的最小正整数x为_ x O y 2 13 12 3 理科数学试题 第4页（共5页） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17 （12分） 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机 床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200
6、合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别为多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd = + ， 2 ()0.0500.0050.001 3.8416.63510.828 P Kk k 18 （12分） 已知数列 n a的各项均为正数，记 n S为 n a的前n项和，从下面中选取两个 作为条件，证明另外一个成立： 数列 n a是等差数列；数列 n S是等差数列； 21 3aa= 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 19 （12分
7、） 已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形， 2ABBC=，E，F分别为AC和 1 CC的中点，D为棱 11 AB 上的点， 11 BFAB （1）证明：BFDE； （2）当 1 B D为何值时，面 11 BBC C与面DFE所成的二面 角的正弦值最小？ 1 A D 1 B 1 C F AB E C 理科数学试题 第5页（共5页） 20 （12分） 抛物线C的顶点坐标为原点O，焦点在x轴上，直线1lx=：交C于P，Q两点， 且OPOQ已知点(2, 0)M，且M与l相切 （1）求C，M的方程； （2）设 1 A， 2 A， 3 A是C上的三个点， 直线 12 A A
8、， 13 A A均与M相切 判断直线 23 A A 与M的位置关系，并说明理由 21 （12分） 已知0a且1a，函数( )(0) a x x f xx a = （1）当2a=时，求( )f x的单调区间； （2）若曲线( )yf x=与直线1y=有且仅有两个交点，求a的取值范围 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 22选修44：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为2 2cos= （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为(1, 0)，M为C上的动点，点P满足2APAM= ，写出 P的轨迹 1 C的参数方程，并判断C与 1 C是否有公共点 23选修45：不等式选讲（10分） 已知函数( )|2|f xx=，( )|23|21|g xxx= （1）画出( )yf x=和( )yg x=的图像； （2）若()( )f xag x+，求a的取值范围 x O y 1 1
