1、第九模块 立体几何初步 (必修2:第一章 空间几何体;第二章 点 直线 平面之间的位置关系) 第四十三讲 空间几何体的结 构及其三视图和直观图 回归课本 1.多面体 (1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两 个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体 叫做棱柱. (2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角 形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥. (3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的 这部分多面体叫做棱台. 2.旋转体 (1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的 面所围成的旋转体叫做圆柱. (2)以直角三角形的一条直角边所在的
2、直线为旋转轴,其余两 边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. (3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成 的旋转体叫做球体,简称球. 3.三视图和直观图 (1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个 不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、 侧视图、俯视图. (2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下 方,侧视图放在正视图的右方. (3)三视图的三大原则:长对正;高平齐;宽相等. (4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法. 在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画 直观图时,把它们画成对应的x轴和y轴,两轴相交于 O,且使
3、xOy=45(或135),用它们确定的平面 表示水平面. 已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成 平行于x轴或y轴的线段. 已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变 ,平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半. 考点陪练 1.下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成 的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是 正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析:A错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一 起构成的几何体,各面
4、都是三角形,但它不是棱锥. B错误.如图所示,若ABC不是直角三角形,或是直角三角形 但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥.C错误.若 六棱锥的所有棱都相等,则底面多边形是正六边形.由几何 图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长 .D正确. 答案:D 2.关于空间几何体的结构特征,下列说法不正确的是( ) A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.棱台的上下底面是相似多边形 D.有的棱台的侧棱长都相等 解析:由棱柱、棱锥、棱台的定义、性质可知,选项B不正确. 答案:B 3.已知某物体的三视图如图所示,那么这个物体的形状是 ( ) A.六棱柱 C.圆柱 B.四棱柱
5、D.五棱柱 答案:A 4.如图(下面左图),桌上放着一个圆锥和一个长方体,则其俯 视图是( ) 解析:俯视图依次是一个圆(含圆心)和一个矩形. 答案:D 5.(2009南通模拟)如图是利用斜二测画法画出的ABO的 直观图,已知OB=4,且ABO的面积为16,过A作 ACx轴,则AC的长为_. 16 解析:由题意知,在中 边OB上的高AD 2 8,则 4 2 在直观图中AD 4.AC ADsin45 4 2 2. 2 答案:2 2 类型一基本概念和性质 解题准备:(1)由棱柱的特征性质可得:棱柱有两个面互相平 行,其余各面都是平行四边形,但反之不一定成立.如图所 示几何体有两个面平行,其余各面都
6、是平行四边形,但不满 足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”,故它不是棱柱, 所以要加深理解棱柱的概念. (2)棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图 形,棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱 锥所得到的图形,要注意的是棱台的各条侧棱延长后交于 一点,即棱台可以还原成棱锥.如图所示的几何体就不是棱 台. (3)一个多面体至少有四个面,三棱锥只有四个面,所以三棱 锥也叫四面体. (4)圆台可以认为是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面 与底面之间的部分. (5)球与球面是两个不同的概念,用一个平面去截球面,截痕 是一个圆,用一个平面去截球,截面为一个圆面. (6)简单组合体的结
7、构有两种基本形式:一种是由简单几何体 拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 【典例1】 下列命题中,不正确的是( ) A.棱长都相等的长方体是正方体 B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 分析 根据定义进行判断. 解析 由正方体、平行六面体的定义知A、D正确;对于B, 相邻两侧面垂直于底面,侧棱垂直于底面,该棱柱为直棱柱 ,因而B正确;对于C,若两侧面平行且垂直于底面,则不一定 是直棱柱. 答案 C 反思感悟 本例中常犯的错误是认为选项C正确,没有注意 到C中的两个侧面没有“相邻的两个侧面”这个条
8、件,如果 没有“相邻”这个条件就无法判断侧棱垂直于底面. 类似这种题目一定要仔细审题,掌握好各简单几何体的概念 与性质,根据定义与性质来进行判断. 类型二有关柱 锥 台体的计算 解题准备:正确地作出轴截面是解决这类问题的关键,通过 作轴截面找到已知与未知间的关系进而使问题得以解决, 是立体几何中常见的将空间问题向平面几何问题转化的解 题方法; 有关棱台的计算. 如图四棱台,上下底均为正方形,O ,O分别为正方形的中心 1 ,O O垂直上下底面,E ,E分别为对应边中点,在解决有关这 1 1 类棱台的问题时,可考虑利用几个常见的直角梯形(如图中 ,直角梯形O OBB ,直角梯形O OEE ,直角
9、梯形B BEE 等); 1 11 11 1 有关棱锥的计算. 如图所示四棱锥,底面ABCD为正方形,PO平面ABCD,O为正方 形ABCD的中心,H为对应边的中点,在解决有关这类棱锥的 问题时,可考虑利用几个常见的直角三角形(如图中 ,RtPOC,RtPOH,RtPHC等). 【典例2】 如图,正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是 4 cm和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高. 分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯 形,然后构造直角三角形,解决问题. 解如图所示,设棱台的两底面的中心分别是O 、O,B C 11 1 和BC的中点分别是E 和E,连接O O、E E、O B 、O
10、B、 1111 1 O E 、OE,则四边形OBB O 和OEE O 都是直角梯形. 1 11 11 1 4 cm, AB 16 cm, 1 1 O E 2 cm, OE 8 cm,O B 2 2cm,OB 8 2cm, 1 11 1 B B O O (OB O B ) 19cm, 2 2 111 1 2 E E O O (OE O E ) 5 13 2 cm. 111 1 棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5 13cm. 反思感悟 (1)把空间问题转化为平面问题去解是解决立体 几何问题常用方法. (2)找出相关的直角梯形,构造直角三角形是解题的关键,正棱 台中许多元素都可以在直角梯形中求出.
11、类型三截面问题 解题准备:圆柱 圆锥 圆台的有关元素都集中在轴截面上,解 题时要注意用好轴截面中各元素的关系. 既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题 时,要注意“还台为锥”的解题策略. 【典例3】 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面 上,若过该球球心的一个截面如图所示,求图中三角形(正 四面体的截面)的面积. 分析截面过正四面体的两顶点及球心,则必过对棱的中点. 解 如图所示,ABE为题中三角形, 3 由已知得AB 2, BE 2 3, 2 22 3 3 BF BE , 3 4 8 AF AB BF 2 2 4, 3 3 1 2 ABE的面积为S 1 2 8 3
12、 2. 反思感悟 (1)在解答过程中易出现计算错误,导致错误的原 因是认为截面图是一个圆内接三角形. (2)解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征,发 挥自己的空间想象能力,把立体图和截面图对照分析,有机 结合,找出几何中的数量关系,为了增加图形的直观性,解题 时常常画一个截面圆起衬托作用. 类型四几何体的三视图 解题准备:三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物 体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影 围成的平面图形,反映了一个几何体各个侧面的特点.正视 图反映物体的主要形状特征,是三视图中最重要的视图;俯 视图要和正视图对正,画在正视图的正下方;侧视图要画在 正视图的正
13、右方,高度要与正视图平齐; 画几何体的三视图时,能看的轮廓线画成实线,看不到的轮 廓线画成虚线. 【典例4】 如图所示,甲 乙 丙是三个几何体的三视图, 则甲 乙 丙对应的标号正确的是( ) 长方体 圆锥 三棱锥 圆柱 A. C. B. D. 解析 甲图中,正视图和侧视图都是矩形,俯视图是一个圆 ,因此该几何体是一个圆柱;乙图中,正视图和侧视图都是 三角形,俯视图是一个三角形以及内部的三条线段,因此该 几何体是一个三棱锥;丙图中,正视图和侧视图都是三角形 ,俯视图是一个圆以及内部的一个点,因此该几何体是一个 圆锥.故甲 乙 丙对应的标号应为,选A. 答案 A 反思感悟 高考对三视图的考查重点是
14、常见简单几何体及其 组合体的三视图的理解及画法,例如:正方体 长方体 圆柱 圆锥 棱柱 棱锥 球等的三视图分别是什么图形,数量关系 有什么特点等都应该熟练掌握. 类型五几何体的直观图 解题准备:一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形 相比发生了变化,注意原图与直观图中的“三变、三不 变”.三变:坐标轴的夹角改变,与y轴平行线段的长度改变 (减半),图形改变.三不变:平行性不变,与x轴平行的线段 长度不变,相对位置不变.按照斜二测画法得到的平面图形 的直观图.其面积与原图形的面积有以下关系: 2 S S ,S 2 2S . 直观图原图形原图形直观图 4 【典例5】已知正三角形ABC的边长为a
15、,那么ABC的平 面直观图ABC的面积为（ ） 3 A. a 4 3 B. a 8 22 66 22 C. aD. a 816 解如下图所示的实际图形和直观图. 13 由可知, AB AB a, OC OC a, 24 26 在图中作CD AB于D,则CD OC a. 28 11 2 66 SABC A B a a a .故选D. 2 28 16 答案 D 反思感悟 求直观图面积的关键是依据斜二测画法,求出相 应的直观图的底边和高,也就是在原来实际图形中的高线, 在直观图中变为与水平直线成45角且长度为原来的一半 的线段,以此为依据来求出相应的高线即可. 将水平放置的平面图形的直观图还原成原来
16、的实际图形,其 作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x轴的线段的长 度不变,而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍. 错源一 对平行投影理解不到位,三视图画错 【典例1】 已知四棱锥PABCD水平放置如图,且底面ABCD 是边长为2 cm的正方形,侧棱PA底面ABCD,PA=AB.试画出 该几何体的三视图. 错解 剖析 本题错在忽略了三视图的形成过程.虽然,三个图的 形状画对了,但是侧视图的直角顶点画错. 正解 该几何体的三视图如下: 错源二有关柱 锥 台 球的概念判断 【典例2】 下列叙述正确的是( ) 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱. 两个底面平行且相似,其余各面都是梯
17、形的多面体是棱台. 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是 棱台. 直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥. 直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转 轴,其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台. 用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分是圆台. 通过圆锥侧面上一点,有无数条母线. 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成球体. A. C. B. D. 错解 由棱柱的定义“有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这 些面围成的多面体叫棱柱.”可知正确. 因为对于棱台,一定满足两个面互相平行,其余各个面都是梯 形,所以正确
18、. 因为圆锥 圆台和球分别是由直角三角形 直角梯形和半圆绕 一条边 一条腰和半圆的直径旋转得到的旋转体,所以 正确. 因为圆台是由圆锥截得的,所以正确.因为通过圆锥侧面上 一点和圆锥的顶点只能连在一条射线,所以“通过圆锥侧 面上一点,有无数条母线.”是错误的,即是不正确的.故 选A. 剖析 遇到概念判断问题,一定要在理解透彻相关概念 的基础上,仔细分析,如果判断它是正确的,必须能紧扣定 义,而不是模棱两可地去作判断;如果判断它是错误的,只 需找到一个反例即可.错解在作判断的时候没有严格的根 据定义去分多角度分析,而是抓住定义中的某一点就作出 判断,导致错误. 正解 如图,由图(1)可知是错误的
19、;由图(2)可知是 错误的;由图(3)可知是错误的;由图(4)可知是是错误 的. 因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线,所 以“通过圆锥侧面上一点,有无数条母线.”是错误的,即 是不正确的. 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的应 该是球面,半圆面旋转一周形成的才是球体,所以是错误 的. 所以只有是正确的.故选D. 答案 D 技法一化曲为直(展开图与最小值) 【典例1】 圆台上底面半径为5 cm,下底面半径为10 cm,母 线AB长为20 cm,从AB中点M拉一根绳子绕圆台侧面转到 B,求绳子最短的长度,并求绳子上各点与上底圆周距离 的最小值. 解 如图所示,设圆台的
20、上 下底面半径分别为r,R,沿母线 AB将侧面展开,连接MB,则MB即为绳子的最短长度, 弧长BB为: BB 2R 弧长AA为: AA 2r , 180 180 (OB OA) , 则2 R r , 180 2 (R r) 180 所以圆心角 180 90. 因为r：R 1： 2, 所以OA AB 20 cm, OM 30 cm. 在RtOBM中, B M OM OB 2 2 30 40 50cm. 2 2 所以绳子的最短长度为50 cm. 作OC BM交AA于D,交BB于E, OC即是顶点O到MB OM 的最短距离, DC OC OD 20 4cm,即绳 MB 子上各点与上底圆周的最短距离为4 cm. 技法二整体思想 【典例2】 长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24, 求这个长方体的一条对角线长. 解题切入点 要求长方体对角线长,只要求长方体的一个 顶点的三条棱的长即可. 解 设此长方体的长 宽 高分别为x,y,z,对角线长为l,则 由题意得 2(xy yz zx) 1 1, 4(x y z) 24, 得x y z 6. 由长方体对角线性质得 2 2 2 l x y z 2 (x y z) 2(xy yz zx) 6 11 5. 2 所以,长方体的一条对角线长为5.
