1、1 20142014 高考数学高频考点高考数学高频考点 第一部分：函数 一、考试内容及要求 1.集合、简易逻辑 考试内容：集合：子集、补集、交集、并集；逻辑联结词，四种命题，充要条件. 考试要求：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了 解属于、包含、相等关系的意义,掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单 的集合. 理解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充要 条件的意义. 2.函数 考试内容：映射，函数，函数的单调性；反函数，互为反函数的函数图像间的关系；指 数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数.；对数、对数
2、的运算性质，对数函数. 函数的应用举例. 考试要求：了解映射的概念，理解函数的概念. 了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数. 理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质. 理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质. 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、重要知识、技能技巧（省略的部分自己填写） 1.函数是一种特殊的映射：f：AB (A、B 为非空数集)， 定义域： 加条件的制约应用条件的限制或有附限定
3、定义域 复合函数对数或三角函数指数幂开方常涉及分母给解析式自然定义域 : , ,: 解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点. 2.函数值域、最值的常用解法 观察法；配方法；反表示法；如 y= x x y bax dcx 2 2 cos2 1sin 或 法；适用于经过去分母、平方、换元等变换后得到关于 y 的一元二次方程的一类函 数；基本不等式法；单调函数法；数形结合法；换元法；导数法. 3.关于反函数 求一个函数 y=f(x)（定义域 A，值域 D）的反函数步骤； （略） 互为反函数的两函数的定义域、值域、图象间关系； 分段函数的反函数分段求解； 有关性质：定义域为非单元素集的偶函数不存在反
4、函数；单调函数必有反函数，且两 函数单调性相同；奇函数的反函数仍为奇函数； 周期函数不存在反函数；f 1(a)=b f(b)=a. 4.函数奇偶性 判断 2 解析式 0)(, 1 )( )( 0)()( )()()()( xf xf xf xfxf xfxfxfxf 或 定义域关于原点对称 图象（关于 y 轴或坐标原点对称） 性质： 如果 f(x)是奇函数且在 x=0 有定义， 则 f(0)=0； 常数函数 f(x)=0 定义域(l,l) 既是奇函数也是偶函数；在公共定义域上，两个奇、偶函数的运算性质.（略） 5.函数单调性 定义的等价形式如： 21 21 )()( xx xfxf 0(x1x
5、2)f(x1)f(x2)0 判断：定义法；导数法；结论法（慎用）. 奇偶函数在对称区间上的单调性；互为反函数的两函数单调性；复合函数的单调性（同 增异减） ；常见函数的单调性（如 y=x+ x a ,aR）. 6.函数周期性 f(x)=f(x+a)对定义域中任意 x 总成立,则 T=a.如果一个函数是周期函数,则其周期有无数 个. f(x+a)=f(xa)，则 T=2a.f(x+a)= )( 1 xf ，则 T=2a. f(x)图象关于 x=a 及 x=b 对称，ab，则 T=2(ba). f(x)图象关于 x=a 及点(b,c) (ba)对称，则 T=4(ba). 7.函数图象的对称性 若
6、f(a+x)=f(ax)或f(x)=f(2ax)， 则 f(x)图象关于 x=a 对称， 特别地 f(x)=f( x)则关于 x=0 对称； 若 f(a+x)+f(bx)=2c，则 f(x)图象关于( 2 ba ,c)中心对称，特别地 f(x)+f(x)=0， 则关于(0,0)对称； 若 f(a+x)=f(bx)，则 y=f(x)关于 x= 2 ba 对称； y=f(x)与 y=f(2ax)关于 x=a 对称；y=f(x)与 y=f(x)+2b 关于 y=b 对称；y=f(x)与 y=f(2ax)+2b，关于(a,b)对称. y=f(a+x)与 y=f(bx)，关于 x= 2 ab 对称. 8
7、.要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题，并能结合二次函数的图象进行分 类讨论；结合图象探索综合题的解题切入点。 抽象函数未给出函数解析式，但给出函数的一些性质来探讨它的其他性质，这样的 题目常以具体的函数为背景，处理时要用广义的定义、性质、定理去处理，不能用具体 函数去论证. 9.指数对数函数 对数恒等式a x a log =x(a0 且 a1,x0). 对数运算性质（M0，N0，pQ） 3 loga(MN)=logaM+logaN；loga N M =logaMlogaN；logaN p=plog aN. y=logax 与 y=log a 1x； y=a x 与 y=( a 1 )
8、x；y=ax 与 y=b x (ab) y=logax 与 y=logbx 图象间关系：(略) 10.逻辑联结词，四种命题 且、或、否可理解为与交、并、补对应. 非 p 即p 是对 p 的否定，而 p 的否命题，则是否定条件，否定结论. 例：p：如果 x=1，那么 x 21=0； 则p：如果 x=1，那么 x 210. 而命题 p 的否命题是：如果 x1，那么 x 210. 原命题和它的逆否命题、逆命题与否命题都互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假 性一致，因此一个命题的真假性难以判断或一个命题难以证明时，可以判断或证明它的 逆否命题. 11.充要条件 充分条件，必要条件，充要条件的等价叙述，
9、如，p 是 q 的充分条件若 p，则 qpqq 的一个充分条件是 p. 关于充要条件的几个结论： “定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件. 在ABC 中，ABab. “|a|=|b|”是“ba ”的必要不充分条件 “an既是等差，又是等比数列”是“ an是常数数列”的充分不必要条件. “方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件. f(x)=0 是 x 为极值点的必要不充分条件. 证明充要条件的命题要证明两个方面，首先必须找准一个命题的条件和结论. 12.反证法 反证法就是假设命题的结论不成立，从这个假定出发，经过推理证出其矛盾，然后推
10、翻 假设肯定原来命题正确。推出矛盾常见以下几种： 与公理、定理、定义矛盾； 与熟知的事实矛盾； 与已知矛盾； 与不同方向推出的其他结论矛盾。 以下情形适宜用反证法证明： 难以甚至无法由已知条件直接证明结论的； “至多” 、 “至少”型问题； 唯一性的证明； 问题的结论本身以否定形式给出的； 要证命题的逆命题是正确的。 注意若命题结论的反面情况有多种，则必须将每一种反面情况都驳倒。 13.解答函数应用题的基本步骤为： 审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、翻译、挖掘等，通过阅读，理解问题 的类型、内涵、实质，以及应建立的数学模型； 建模：在细心阅读，深入理解题意的基础上，引进数学符号，将题目
11、中的非数学语言 转化成数学语言，然后，根据题意，列出数量关系建立函数模型，注意字母为取值 范围应符合实际事实。 4 解模：通过函数的有关性质的运用，进行推理、运算，使问题得到解决； 还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，对于理论的推导结果，要代入原问题中进 行检验、评价，判断是否符合实际情况。 分析、解决应用问题的思维过程： 建模 （审题、转化、抽象） 问题解决解模推算 还原 （检验、评价） 三.易错点提示 多变量问题注意主元与辅助元的转换 如 p( 4 1 ,4)时， 不等式 px+12xp恒成立， 可看成关于 p 的函数 g(p)=(x+1)p+12x0， 在( 4 1 ,4)上恒成立 .
12、 0)4( , 0) 4 1 ( g g （等号不同时取） 单调函数要与区间对应. 关于范围的结论的书写注意端点的“开闭” y= ax cbx 的中心(a,b)，渐近线 x=a,y=b，单调区间(,a),(a,+) (ab+c0) 图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变化率、最高、最低点等. 如：y= cx bax 2 图象则 acb. y=ax 3+bx2+cx+d 则 a0,b0,c0，则 f(x)在该区间内为增函数； 若在该区间内，f(x)0，所得 x 的范围（区间）为函数 f(x)的单调增区间；令 f(x)0，得单调减 区间. 3、利用导数求函数的极值 极值的定义：
13、设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0左右近旁的所有 x 值，都有 f(x)f(x0) 我们就说 f(x0)是 f(x)的一个极小值，记作 y极小值=f(x0) 极大值、极小值统称为 f(x)的极值. 指出：一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于极大 值)； 极值是函数的局部性质， 它仅与左右近旁的函数值进行比较； 极值点一定是区间的内点。 导数为零的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件。 极值的判定方法。 当函数 f(x)在 x0处连续时，判别 f(x0)是极大（小）值的方法是： 如果在 x0在左侧近旁 f(x0)0，右侧近旁 f(x0)0，那
14、么 f(x0)是极大值； 如果在 x0在左侧近旁 f(x0)0，那么 f(x0)是极小值. 求函数的极值的步骤： 求函数的定义域 求导数 f(x) 求导数 f(x)=0 的根. 检查 f(x)在方程 f(x)=0 的根的左右的符号，如果左正、右负，那么 f(x)在这个根处 取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值. 4、函数的最大值与最小值 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有最大值和最小 值). 求闭区间a,b上的连续函数 f(x)的最大值和最小值的步骤： 求 f(x)在(a,b)内的极值； 将 f(x)的各极值与端点函数值 f(a)、f(
15、b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是 7 最小值. 如果函数 f(x)在开区间(a,b)或(,+)内可导且有惟一的极值点 x0，那么当 f(x0)是极 大值时，f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值；当 f(x0)是极小值时，f(x0)就是 f(x)在该区间 上的最小值. 对于实际问题，如果连续函数 f(x)在区间（a,b）内只有一个点使 f(x)=0，而且实际问 题本身又可以知道 f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值，则 f(x0)就是所求的最大值或最 小值，这时也就无须判断是极大值还是极小值. 第三部分三角函数 一、重点突破 1、关于任意角的概念 角的概念推广后，任意
16、角包括、正角、负角、零角；象限角、轴上角、区间角及终边相同的 角 2、角的概念推广后,注意“0到 90的角” 、 “第一象限角” 、 “钝角”和“小于 90的角” 这四个概念的区别 3、两个实用公式：弧度公式：l=|r，扇形面积公式：S= 2 1 |r 2 4、三角函数曲线即三角函数的图像，与三角函数线是不同的概念 5、利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式，诱导公式可以解决证明、化简、求 值问题，而求值有“给角求值” 、 “给值求值” 、 “给值求角”三类。 6、应用两角和与差的三角函数公式应注意： 当，中有一个角为 2 的整数倍时，利用诱导公式较为简便。 善于利用角的变形,如=(+
17、),2=(+)+()， 2 +2=2(+ 4 )等 倍角公式的变形降幂公式：sin 2= 2 2cos1 ，cos 2= 2 2cos1 ，sincos= 2 1 sin2 应用十分广泛. 7、三角函数的图像和性质，重点掌握： ， 周期性的概念；y=Asin(x+)的图像是由 y=sinx 的图像经过怎样的变换得到 五点法作图. 8、三角求值问题的解题思路： 三种基本变换：角度变换、名称变换、运算结构的变换 给值求角问题的基本思路 先求出该角的一个三角函数值；再根据角的范围与函数值定角，要注意角的范围对三角 函数值的影响。 9、注意活用数学思想方法：方程思想、数形结合，整体思想、向量方法 二、
18、注意点 三角函数 y=Asin(x) (A,0)的性质 1、奇偶性：当=k+ 2 时是偶函数，当=k时是奇函数，当 2 k 时是非奇非偶函数(k Z) 8 2、对称性：关于点( k ,0)中心对称，关于直线 x= 2 k (kZ)轴对称. 任意角三角函数 1、当为第一象限角时，sin+cos1 2、当( 4 3 +2k, 4 +2k)，kZ 时，sincos0 （点在 xy=0 上方） 总之，可归纳为“成上大于 0，成下小于 0”. 第四部分平面向量 一、知识方法与技巧 向量的概念及运算 1、向量的有关概念向量既有大小又有方向的量 向量的长度（模）向量的大小 平行向量(共线向量)方向相同或相反
19、的非零向量,并且规定零向量与任何向量均平行. 相等向量长度相等且方向相同的向量。 2、向量运算 加法运算 加法法则：三角形法则；平行四边形法则 平面向量的坐标运算：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2). 减法运算 减法法则，平面向量的坐标运算： 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则ab=(x1x2,y1y2). 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，AB=(x2x1,y2y1). 实数与向量的积 定义：a，其中0 时，a与a同向，|a|=|a|； 当bABsinAsinB. 锐角ABC 中，A+B 2 ，A 2 B，sin
20、AcosB，cosAc2，同样可类比锐角ABC 中结论. 2、利用正、余弦定理判断三角形的形状 由已知，利用三角形中的主要知识点，特别是角的关系和边角关系，推出满足题设条件的三 角形的形状。 3、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解三角形. 正弦定理反映了三角形的边角关系，它可以用来解决两类解斜三角形的问题. 已知两角和一边，求其他边和角. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（可进一步求出其他的边和角）. 余弦定理也反映了三角形的边角关系，它是勾股定理的进一步推广，它可以解决以下三类 有关斜三角形问题. 已知三边，求三个角.已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 已知两边和其中一边
21、的对角，求第三边和其他两个角，此类问题需要讨论. 二、易错点提示 1.向量的数量积不满足结合律，即)()(cbacba. 2.零向量与任何向量的数量积等于 0，故平行向量不具有传递性即cacbba/,/.推不出. 3.平面向量数量积的消去律不成立，即若c是非零向量，且cbca并不能得到ba ， 只可得到a、b在c上的投影相等. 4.a 2=a a=|a|a|cos0=|a| 2.故 a 2是一个实数. 11 5.a、b的夹角为锐角 | 0 baba ba a、b的夹角为钝角 | 0 baba ba 6.向量OA、OB不共线，OBnOAmOP，则 A、P、B 三点共线的充要条件是 m+n=1.
22、7.在应用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，求解三角形”时应注意解的个数. 8.在应用平移公式 kyy hxx 时，一定要分清 P(x,y)为平移前的点，P(x,y)为平移后 的点，a=(h,k)为平移向量，否则会出现方向性错误. 第五部分：数列 一、考试要求 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方 法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前几项和公式，并能解决简单 的实际问题。 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单 的实际问题。 二、知识方法与技巧 1.根据数列的前几项写出
23、它的通项公式时，其通项公式不唯一. 例如：1，2，4，.通项 an=2 n1 或 an= 2 1 22 1 n n n 1.数列通项公式 an=f(n)，其图象是 y 轴右侧的坐标为(n,an)的一系列孤立点. 2.由于数列是特殊的函数，所以判断数列的单调性与判断函数的单调性方法基本是 相同的，只需比较 an与 an+1的大小即可. 利用递推公式或者 an与 Sn的关系式解题时，一般要验证初始值 n 是否适合所求的 式子，即 an= 2 1 1 1 n n SS S nn ； 涉及 an1或 Sn1时，应分 n=1 和 n2 两种情况考虑； 等比数列求和时，要考虑公比 q 是否为 1. 3.若
24、三数成等差数列，则可设三数为 ad,a,a+d；若三数成等比数列，则可设 q a ,a,aq. 4.证明数列an是等差数列（等比数列） ，必须根据等差数列（等比数列）的定义加 以证明. 证明数列an不是等差数列（等比数列） ，只须说明 a1,a2,a3不成等差数列（等比数 列）即可. 5.数列an为等差数列的充要条件的几种表示（即等差数列的判定方法） ：an+1 an=d(常数)；2an+1=an+an+2；an=kn+b (k、b 为常数)，其中公差 d=k.Sn=An 2+Bn. 12 数列an为等比数列的充要条件的几种表示 （即等比数列的判定方法） ： n n a a 1 =q(常 数)
25、；an+1 2=a nan+2；an=aq n(aq0，且 a、q 为常数) 6.当公差 d0 时，等差数列的前 n 项和 Sn方可表示为关于 n 的不含常数项的二次 函数，且二次项系数的 2 倍就是公差. 11.求等差数列前 n 项和 Sn最值的方法：可转化为二次函数，求最值；应用以 下结论：当公差 d0 时，Sn最小an 0 且 an+10.利用 f(n)=Sn的抛物线特征解小题(d0). 12.等比数列的任一项及公比都不能为 0；常数数列不一定是等比数列；G 2=ab 是 a、G、b 成等比数列的必要条件而非充分条件. 13.若an是等差数列，则 n a a是等比数列(a0 的常数)；
26、若an是等比数列，且 an0，则logaan是等差数列(a 为常数). 14.求数列an的最值常见方法：利用通项公式 an的本身特征求解；若an是单 调数列，则可利用单调性求解；若对一切 nN *都有，a n0 (an0，条件 ab0 不能 少，如果 ab=0，a,b 中至少有一个为 0，那么 a,g,b 就不为等比数列，只有同号的两 个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数，这一点与等差中项不同. 一个等比数列从第 2 项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）是它的前一项与后 一项的等比中项。 2.等比数列性质 若首项 a10，公比 q1，或首项 a10，公比 0q0，公比 0q1 或
27、首项 a11，则数列为递减数列；公比 q=1，数列为常数 列；公比 q0，则此数列为递增数列；若 d1，有 2an=an1+an+1 对于任意非零实数 b，数列ban是等差数列，则数列an是等差数列 已知数列bn是等差数列，则anbn也是等差数列 a2n，a2n1，a3n1，a3n2等都是等差数列 S3m=3(S2mSm). 若 Sn=Sm(mn)，则 Sm+n=0 若 Sp=q，Sq=p，则 Sp+q=(p+q) (pq) Sn=an 2+bn，反之亦成立. 等比数列 定义： n n a a 1 =q (常数 q 为公比)通项公式：an=a1q n1 前 n 项和公式 Sn= 1 1 )1
28、( 1 1 1 q q qa qna n 通项公式推广：an=amq nm 等比数列an的一些性质 对于任意正整数 n，均有 1 21 a a a a n n 对于任意正整数 p、q、r、s，只要满足 p+q=r+s，则 apaq=aras 对于任意正整数 p、q、r，如果 p+r=2q，则 apar= 2 q a 15 对任意正整数 n1，有 2 n a=an1an+1 对于任意非零实数 b，ban也是等比数列 已知bn是等比数列，则anbn也是等比数列 第六部分：不等式 一、知识结构 二、知识要求 不等式的证明 比较法：作差分解因式、配方等判断符号结论（也可作商与比较） 综合法：利用不等式
29、性质、定理证明不等式 分析法：从欲证不等式出发，寻找它成立的充分条件.注意书写的规范性，否则可能不得 分。 反证法：反设推出矛盾否定假设得出结论 不等式的解法 重点是一元一次、二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法. 1.一元一次不等式：一般形式 axb； 若 a=0，则当 b0 若 a0，0，则 xR若 a0，0f(x)g(x)0. 注意： )( )( xg xf 0 0)x(g 0)x(g).x(f . 基本不等式 b 1 a 1 2 ab 2 ba 2 ba 22 . 在用基本不等式求极值时，注意：“正数” ，二“定值” ，三“相等” 等号是否取到，若不能取到，常常应用函数的单调性求
30、解； 注意挖掘应用问题中变量的范围。 如果连续运用基本不等式时要注意取等号时的情况也就是所有取到等号时，极 值点相同. 16 三、能力要求 1、正确理解和应用不等式的性质，注意到性质中条件减弱和加强时，条件和结论之间的 关系。掌握判断已给不等式是否成立，比较大小，判断不等式中条件和结论之间充分性的方 法。 2、证明不等式要根据待证不等式的结构特点，灵活地选用恰当的方法。 3、熟练掌握有理不等式的解法，这是解不等式的基础。对含参数的不等式的求解，要充 分理解为什么要分类，这是探索分类的标准和正确分类的前提。 4、对于不等式的应用，要掌握把实际问题转化为函数式、代数式的处理方法，提高实际 问题数学
31、化的能力。这类问题大致上可以分为两类：一类是建立不等式，解不等式；另一类 是建立函数式求最大值或最小值。利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、 定值和相等”三个条件缺一不可。 4、本章内容较多地体现了四种数学思想，即“等价转化”的思想； “分类讨论”的思想； “数形结合”的思想； “函数与方程”的思想。 四、易错点提示 1、不等式的解一般都要用解集表示：特别是填空题。 2、在解不等式的过程中要注意，自变量的约束范围要准确表示区间的开闭。 3、在不等式的传递过程中，要注意的传递性。 放缩中：如果是“放” 如果是“缩” 4、在分离变量的变形过程中，两边同乘除以一个因式要注意被除因式的符
32、号 例： 1 21 2 2 3 2 2 1 3 1 xx axxaxx 2 1 xx1x2 2 2 x+a(x1+x2)0 时，a 21 2 221 2 1 1 xx xxxx 当 x1+x2 21 2 221 2 1 1 xx xxxx 用分离变量恒成立是常见的求范围的方法 第七部分：立体几何 一.直线与平面 1.空间直线： 判定空间两直线是异面直线的常用方法是反证法；对异直线所成的角的问题，要注 意：异面直线所成角的范围为： 2 , 0( ；求异面直线所成的角的大小问题通常分为：找角 （证角） 、求角两步，而找角通常是利用直线的平移把角纳入平面图形中，利用平几及代数知 识求解；异面直线间距
33、离是通过异面直线上两点间所有线段的长度的最小值 . 2.直线与平面平行、垂直 判定定理是由低一级的位置关系判定高一级的位置关系，而性质定理往往是高一级的位 置关系推出低一级的关系，如对直线与平面平行的判定，就可以通过直线与直线，直线与平 面，平面与平面的三个不同层次予以考虑.也可以通过计算来证明垂直. 17 3.三垂线定理 三垂线定理及逆定理实际上是线面垂直的简化模型，主要作用是：证明异面直线垂直； 求二面角的平面角；确定点到面的距离. 4.平面与平面平行 两平行平面间的距离，除了求夹在平行平面间的垂线段这一方法外，还可转化为求线面 距离、点面距离. 5.平面与平面垂直 利用平面与平面垂直的条
34、件，通常在一个面内作棱的垂线，转化为线面垂直.进而利用 解三角形解决空间角、距离、面积、体积的计算.两个平面互相垂直，3 个平面两两互相垂 直的常用模型是长方体（正方体） ，因此与 3 个平面两两垂直有关的问题，可通过构造长方体 的相交于同一顶点的 3 个面来处理. 6.空间角 求空间角大小的一般步骤是“作、证、求” ，三种角都是转化为相交直线所成的角或所 夹的角，计算过程中要注意角的范围 . 也可用空间向量来求. 二面角的大小是通过其平面角来度量的，求二面角时首先搞清（或作出）棱，求作二 面角的平面角常见的方法有：定义法；垂面法：过棱上一点 O 作棱的垂面，与两个半 平面的交线为 AO、BO
35、，则AOB 就是二面角的平面角；利用三垂线定理及逆定理作角； 利用面积射影法：cos= s s ，其中是二面角的大小，S 是在其中一个面上图形的面积，S 是该图形在另一个半平面上的射影的面积.用空间向量来求. 7.空间距离 常见的求空间距离的方法有：直接法.按“一作、二证、三计算”的步骤完成，转化 法.在直接法不易求解时，可考虑以下转化法：点面距离、线面距离、面面距离间的互相转 化；利用三棱锥的等积变换. 8.平面图形的翻折 在平面图形翻折中，位于棱的两侧的同一半平面内的元素相对位置关系和数量关系在 翻折前后不变，尤其是垂直于棱的直线翻折后仍垂直于棱；不变量一般是结合原图形来求、 证；变化了的
36、量应在折后的立体图形中来求、证，注意将空间问题转化为平面问题；多面 体表面上两点间最近距离常转化为表面展开图上距离. 二.简单几何体 1.柱体、锥体 定义及性质；特殊的多面体：直棱柱、平行面体、长方体、正方体；正方体的体 对角线与不相交的面对角线互相垂直；长方体的体对角线与棱长关系；几种特殊三棱锥 的顶点在底面上的射影；侧面积：S直棱柱侧=cl；S正棱锥侧= 2 1 ch；S斜棱柱侧=c直 l；其中 h为斜高，l为侧棱长；平行于棱锥的底面的截面积与底面积之比等于对应高的 平方米，对应边的平方比，对应侧棱的平方比. 2.球既是中心对称，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，且过球心的截面是大圆
37、 也是轴截面，因此球的问题经常转化为圆的有关问题来解决.球的任一截面为圆，圆心与球 心的连线垂直于该平面，且球半径 R，截面半径 r，球心到截面的距离 d 满足：r= 22 dR ； 求球面上两点 A、B 间的距离的步骤为：求线段 AB 长；求 A、B 到球心 O 的张角，即 点、面线、面面、面 18 AOB；计算球大圆在 A、B 两点间所夹的劣弧长；长方体的对角线长是它外接球的直径. 3.体积 对三棱锥注意顶点与底面的转换，常用换顶点方法求体积； 体积法可以用来求点到面的距离，多面体内切球半径； 较复杂的几何体的体积可分为一些较简单的柱体、锥体求体积. 第八部分：解析几何 一.主要结论 1.
38、倾斜角与斜率的关系 倾斜角的取值范围：00 时，=arctank （锐角） ； k=0 时，=0；当 k0 时，=arctank （钝角） 直线 y=kx+b 的方向向量为(1,k)，直线 Ax+By+C=0 的方向向量为(B,A)，法向量 为(A,B). 2.焦半径 椭圆 |MF|=aex0(焦点在 x 轴上) 或 aey0（焦点在 y 轴上） 焦点弦长|AB|=2ae(x1+x2)或 |AB|=2ae(y1+y2) 双曲线 |MF|=ex0a或 ey0a 抛物线|MF|=|x0|+ 2 p 或|y0|+ 2 p 焦点弦长|AB|=p+x1+x2(y 2=2px) 3.曲线系 共焦点 F1(
39、c,0),F2(c,0)的椭圆或双曲线 2 22 ck y k x =1； 共渐近线 y= a b x 的双曲线系 2 2 2 2 b y a x =（0） 4.弦长公式 |AB|= | 14)(1 ( 2 21 2 21 2 a kxxxxk =|1 21 2 xxk =4)( 1 1 ( 21 2 21 2 yyyy k 二.注意点 设直线方程时，应注意对斜率 k 是否存在进行讨论，有时为避免讨论或方便起见， 可设直线方程为 x=my+n，但应注意此时直线不可能垂直于 y 轴. 判断两直线位置关系时，要注意对系数是否可能为零的情况进行讨论.例如直线 mx+y=6 与 x+my+1=0 垂直
40、. 直线与双曲线右支（或左支）相交于两点时，联立它们的方程，消 y 得关于 x 的 一元二次方程，此方程应满足： 19 0 0 0 0 21 21 xx xx 二次项系数 （或 0 0 0 0 21 21 xx xx 二次项系数 ） 直线与圆相交时弦长问题用勾股定理解较简单. 椭圆 2 2 2 2 b y a x =1 中，a 2b2=c2 (a 最大),e= 2 )(1 a b a c .； 双曲线 2 2 2 2 b y a x =1 中，a 2+b2=c2 (c 最大),e= 2 )(1 a b a c 相同的有：焦准距| c a 2 c|= c b2 ，通径= a b22 . 直线与圆
41、锥曲线位置关系的题型，一般是先联立它们的方程，然后消 y（或 x）得 x(或 y)的一元二次方程， 要考虑到判别式， 要注意有意识地应用距离公式， 夹角 （或 方向角）公式，韦达定理 、定比分点公式、三角形面积公式等，有时还需要要用基本 量思想设参数等等。有时要注意对向量条件如BMAM =0 即 M 为 AB 中点，BMAM =0 即AMB=90；BMAM /即 A、M、B 共线等的转化. 涉及焦点、准线问题可考虑用第一或第二定义解题，有时还可考虑焦准距、心准 距、顶准距等；涉及焦点三角形问题可考虑用解三角形知识解题；涉及顶点三角形问 题可考虑用斜率公式或方向角公式解题；涉及圆锥曲线上两点的对
42、称、弦的中点问题 可考虑用韦达定理或代点相减法解题. 圆的参数方程：)0,( sin cos R Ry Rx 为参数 椭圆的参数方程：)0,( sin cos ba by ax 为参数 第九部分排列组合与二项式定理 知识点 一.排列与组合 1.基本原理：分类计数原理 N=m1+m2+mn 分步计数原理 N=m1m2mn 2.定义与公式 排列组合 定义 从 n 个不同元素中取出 m 个 元素， 按照一定的顺序排成 一列， 叫从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个数列. 所有排列的个数叫排列数， 记为 An m。m、nN*且 mn. 从 n 个不同元素中取出 m 个元 素并成一组，叫从 n
43、个不同元 素中取出 m个元素的一个组合。 所有组合的个数叫组合数，记 为 Cn m. m、nN *且 mn. 20 公式 An m=n(n1)(n2) (nm+1) An n=n!, 0!=1 An m= )!( ! mn n Cn m= ! ) 1()2)(1( m mnnnn A A m m m n Cn m= )!( ! ! mnm n ,Cn 0=1 性质 Cn m=C n nm Cn+1 m=C n m+C n m1 区别 排列与元素顺序有关 排列先取后排 组合与元素顺序无关 组合只取不排 二.二项式定理 1.定理：(a+b) n=C n 0an+C n 1an1b+C n ranr
44、br+C n nbn，nN* 2.二项式系数：Cn r，r=0,1,2,n. 3.通项 Tr+1=Cn ranrbr (r=0,1,2n) 4.二项式系数性质 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。 即 Cn 0=C n n，C n 1=C n n1,C n 2=C n n2, 增减性：f(r)=Cn r，当 r2n (n3 且 nN)， 比较 2 n 与 n 2 (nN *)大小，此类问题常用二项式定理. 21 第十部分概率与统计 一.随机事件的概率 1、事件的分类：必然事件、不可能事件、随机事件 2、概率定义：在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率 n m 总是接近于某
45、个常数, 在它附近摆动，这个常数叫事件 A 的概率.记为 P(A)，范围：0P(A)1. 3、等可能性事件的概率：如果一次试验由 n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能 性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 n 1 ，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事 件 A 的概率 P(A)= n m . 注意： 应明确，等可能事件概率的前提是：a.试验的结果数 n 是有限的；b.每种结果发生的 可能性是相等的；c.事件 A 所包含的结果数 m 是可以确定的. P(A)= n m 既是等可能事件概率的定义，又是计算这种概率的基本方法，求 P(A)时，要首 先判定是否满足等可能事件的特征，其
46、计算步骤是： a.算出基本事件的总个数 n； b.算出事件 A 中包含的基本事件的个数 m； c.算出 A 的概率， 即 P(A)= n m . 例题将三个不同的小球随意放入 4 个不同的盒子中，求 3 个小球恰好在 3 个不同盒子 中的概率.(P(A)= 8 3 43 3 4 A ) 二、互斥事件有一个发生的概率 1、互斥事件，对立事件定义 2、互斥事件的充要条件 A、B 互斥P(A+B)=P(A)+P(B) A1,A2,An彼此互斥P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An). 3、对立事件的概率：P(A)+P(A)=P(A+A)=1 P(A)=1P(A). 注意 互斥事件是
47、对立事件的必要不充分条件； 如果 A、B 互斥，则A与B，A与 B，A 与B不一定互斥； 把一个复杂事件分解成几个彼此互斥事件时要做到不重复不遗漏； 计算稍复杂事件的概率通常有两种方法：a.将所求事件化成彼此互斥事件和；b.先去 求事件的对立事件概率，然后再求所求事件概率. 例题从一副扑克牌（52 张）抽出 1 张，放回后重新洗牌，再抽出 1 张，前后两次所抽 的牌为同花的概率.(P= 2 1 13 1 13 52 CC 4= 4 1 ) 三、相互独立事件同时发生的概率 1、相互独立事件定义. 两个相互独立事件的充要条件：A、B 相互独立P(AB)=P(A)P(B). 22 独立重复试验： 如
48、果一次试验中某事件发生的概率为 P， 那么在 n 次独立重复试验中这 个事件恰好发生 K 次的概率是 Pn(k)=Cn kPk (1P) nk. 注意如果 A、B 相互独立，那么 A 与B，A与 B，A与B也是相互独立的。 独立重复试验应满足条件：a.每次试验之间是相互独立的；b.试验结果只有发生与 不发生两种之一；c.每次试验过程重复，且发生的机会是均等的. 例题某人向某个目标射击，直至击中为止，每次射击击中目标的概率为 3 1 ，求在第 n 次才击中目标的概率并证明，这样无限继续下去，目标迟早被击中. 略解：第 n 次才击中目标，Pn=(1 3 1 ) n1( 3 1 )，如此下去， 得
49、P= 3 1 + 3 2 3 1 +( 3 2 ) 2 3 1 +( 3 2 ) n1 3 1 3 1 3 2 1 ) 3 2 (1 n 1. 四、统计 总体、 个体、 样本、 样本容量、 频数、 频率、 平均数、 方差、 标准差. n xxx x n 21 ； S 2= )()()( 1 22 2 2 1 xxxxxx n n 或 S 2= )( 1 2 22 2 2 1 xnxxx n n . 例如：已知数据 x1，x2xn，其平均数为x，方差为 S 2. 则：kx1+m,kx2+m,kxn+m 的平均数为 kx+m.方差为 k 2S2. 抽样方法：简单随机抽样； 系统抽样 （了解） ；
50、分层抽样的各自特点及适用范围； 它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中， “每次抽取时的各个个体被抽到 的概率相等” 。如从含有 N 个个体的总体中，采用随机抽样法，抽取 n 个个体，则每个个体第 一次被抽到的概率为 N 1 ，第二次被抽到的概率为 N 1 ，故每个个体被抽到的概率为 N n ， 即每个个体入样的概率为 N n . 总体分布的估计 用样本去估计总体。用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差；平均数 反映了一组数据的平均水平，而方差（标准差）是描述一组数据的波动情况，即偏离平均数 的大小，或者说数据的稳定性. 频率分布直方图 频率分布直方图就是以图形面积的
