1、20212021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴 处” 。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28 铅笔在答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不 能答在试卷上， 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上
2、；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1. 设集合 A= x|-2x4. B = 2,3,4,5,则 AB= A.2B.2,3 C.3,4,D.2,3,4 2.已知 z=2-i，则(z(? th= A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i 3.已知圆锥的底面半径为 ?，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A.2 B.2 ?C.4D.4 ?
3、4.下列区间中，函数 f(x)=7sin(x ? ?)单调递增的区间是 A.(0, ? ? ) B.( ? ? ,)C.( , ? ? )D.( ? ? ,? ) 5.已知 F1,F2是椭圆 C：? ? ? ? ? ? ? o 的两个焦点，点 M 在 C 上，则|MF1|MF2|的最大值为 A.13B.12C.9D.6 6.若 tan=-2,则sin o?sin? sin?cos = A. ? ? B. ? ? C. ? ? D. ? ? 7.若过点（a,b)可以作曲线 y=e x的两条切线，则 A. e ba B. e ab C. 0ae b D. 0be a 8.有 6 个相同的球，分别标
4、有数字 1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取 1 个球，甲表 示事件“第一次取出的球的数字是 1” ，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2” ，丙表示事件 “两次取出的球的数字之和是 8” ，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7” ，则 A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9.有一组样本数据 x1，x2,xn,由这组数据得到新样本数据 y1，y2,yn,其中
5、yi=xi+c(i=1,2,n),c 为非零常数，则 A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 10.已知 O 为坐标原点，点 P1(cos,sin),P2(cos，-sin),P3(cos(+),sin(+)， A(1，0),则 A.|OPo ?|=|OP?| B. |APo ?|=|AP?| C.OA ? ?OP? ? =OPo ?OP? ? D. OA ? ?OPo ? ? OP? ?OP? ? 11.已知点 P 在圆(? ?h?+ (? ?h?=16 上，点 A（4,0） ，B（0,2） ，则
6、A.点 P 到直线 AB 的距离小于 10 B.点 P 到直线 AB 的距离大于 2 C.当PBA 最小时，|PB|=3 ? D.当PBA 最大时，|PB|=3 ? 12.在正三棱柱 ABC-?o?o?o中，AB=A?o? o ，点 P 满足? ? ? ? ? ? ? ? ?o ? ，其中0,1，? 0,1，则 A当=1 时，?oP 的周长为定值 B. 当=1 时，三棱锥 P-?oBC 的体积为定值 C. 当=o ?时，有且仅有一个点 P，使得?o? ? D.当=o ?时，有且仅有一个点 P，使得?oB平面 A?oP 三选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知函数 f
7、(x)=?(? ? ?h是偶函数，则 a=_ 14.已知O为坐标原点，抛物线C:y? ?px(p0）的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x 轴上一点，且PQOP,若|FQ|=6，则C的准线方程为_ 15. 函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为 16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为 20dmXl2dm 的长方形纸.对折 1 次共可以得到 10dmX2dm . 20dmX6dm 两种规格的图形，它们的面 积之和?o=240 dm2,对折 2 次共可以得 5dmX12dm ，10dmX6dm，20dmX3dm 三种规格的图形,它
8、们的 面积之和?180dm 2.以此类推.则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_:如果对折 n 次，那么 ?o ? ?=_dm 2 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分)已知数列?满足?o=1，?o an? o，n 为奇数 an? ?，n 为偶数 (1)记?=?，写出?o，?，并求数列?的通项公式； (2)求?的前 20 项和 18.(12 分) 某学校组织一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中 选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类 问题中再随机抽
9、取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A 类问题中的每个问题 回答正确得 20 分，否则得 0 分：B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分，否则得 0 分。 己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8 ,能正确回答 B 类问題的概率为 0.6 . 且能正确 回答问题的概率与回答次序无关。 （1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列： （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。 19.(12 分) 记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a.，b.，c,已知?=ac,点 D 在边 AC 上，BDsin ABC
10、= asinC. (1)证明：BD = b： (2)若 AD = 2DC .求 cosABC. 20.(12 分) 如图， 在三棱锥 A-BCD 中.平面 ABD 丄平面 BCD， AB=AD.O 为 BD 的中点. (1)证明：OACD： (2)若OCD 是边长为 1 的等边三角形.点 E 在 棱 AD 上. DE = 2EA .且二面角 E-BC-D 的大小 为 45，求三棱锥 A-BCD 的体积. 21.(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，己知点?o(-o7,0)，?(o7,0),点 M 满足|MFt|-|MF2|=2. 记 M 的轨迹为 C. (1)求 C 的方程; (2)设点
11、 T 在直线 ? ? o ?上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点,且|TA| |TB|=|TP|TQ| ,求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和 22.(12 分) 已知函数 f(x)=x（1-lnx) (1)讨论 f(x)的单调性 (2)设 a,b 为两个不相等的正数,且 blna-alnb=a-b 证明:? o a ? o b e 新高考卷数学答案解析 1.B 2.C 3.B 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.CD 10.AC 11.ACD 12.BD 13.a=1 14.? ? ? ? 15.1 16.5；?0 ? ? ? ? 17. （1）
12、解：由题意得 b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=5 b1=a2=a1+1,a2-a1=1. b2=a4=a3+1=a2+3 a4-a2=3. 同理 a6-a4=3 bn=a2n-a2n-2=3. 叠加可知 a2n-a1=1+3(n-1) a2n=3n-1 bn=3n-1.验证可得 b1=a2=2，符合上式. （2）解：a2n=a2n-1+1 a2n-1=a2n-1=3n-2. 设an前 20 项和为 S20 S20=(a1+a3+a19)+(a2+a4+a20) =145+155=300 18. （1）解： 由题意得 x=0,20,100. P（x=0）=0.2 P(x=20)=
13、0.80.4=0.32 P(x=100)=0.48 （2）解： 小明先选择 B，得分为 y y=0,80,100 P（y=0）=0.4 P(y=80)=0.60.2=0.12 P(y=100)= 0.60.8=0.48 Ex=54.4Ey=57.6 小明应先选择 B. 19. （1）由正弦定理 得 ? ?t? ? ? ?t?,即 ?t?= ?t? ? 又由 BD?t?=asinc，得 BD?t? ? =asinc, 即 BD b ? ac b? ac BD=b (2)由 AD=2DC,将? ? ?=2? ?,即? ?=o ? ? ?=? ? ? ? X020100 P0.20.320.48 y
14、080100 p0.40.120.48 |? ? ?|2 ? o ?|? ? ?|2+ ? ?|? ? ?|2+ ? ? ? ? ? ? ? b?=o ?c 2+? ?a 2+? ?ca ?b? ? oo? ? ? ? ? ?-11ac+3?=0 a=? ?c 或 a= o ?c ? ? ? ?c ? ? ? ? ? ? cos? ?b? ? = ? ? ? ? ? ? ? = ? o? ? ? o ?c ? ? ? o ? ?cos? ? o ? ?o ? ? ?o ? ? ? ?(x) 综上 cos?= ? o? 20. (1)证明： 由已知，ABD 中 AB=AD 且 O 为 BD 中点
15、 AOBD 又平面 ABD平面 BCD AO平面 BCD 且 CD平面 BCD AOCD (2)由于 OCD 为正三角形，边长为 1 OB=OD=OC=CD BCD=?0 取 OD 中点 H，连结 CH，则 CHOD 以 H 为原点，HC,HD,HZ 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 由可知，平面 BCD 的法向量? ? (0空0空oh 设 C( ? ? 空0空0)，B(0, ? ?空0)，D(0, o ?空0) 则? ? ? ? (0空 ?o空?h DE=2EA t ? ? ? ? ? ? ? ? ? (0空 ? ? ? 空 ? ? ?h ?t ? ? ? t ? ? ? ? ? ? ?
16、 (0空 ? ?空 ? ?h且? ? ? ? ( ? ? 空 ? ?空0h 设?平面 BEC ?=(x,y,z) ? ? ? ? 0 ?t ? ? ? 0，即 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 0 ? ( ?空 ?o空 ? ? h 由于二面角 E-BC-D 为 ? cos? ? ? ? |cos ? ?| ? ? ? ? ? o ? ? ? h ? o ?三棱锥?=o ? ?=o ? ? ? ?o ? ? ? 21.（1）? ?o?, ? ? ?空? ? o空? ? ? ? 表示双曲线的右支方程：? ? o? ? o(? ? oh （2）设 ?( o ?空?h，设直线 AB 的方程为
17、 ? ? ?o ? ? o ? ? ?，? ?o空?o空? ?空? ? ? ?o? ? o ? ? ? o? ? o? ，得 o? a?o ? ? ? ? o ? ? ?o? ? ? o ? ? ? ? o? o? ?o ? ? ?o ? ? ?o? ? ? o ?o ? ? ?o? ? ? o? ? 0 ? ? ? ? o ? ?o ? ?o? o ? ? o ? ? o ? ?o ? ?o? o ? ?o? ? o ? ? o ? ?o ? ?o? ? o ? ?o ? ? ? o? o? ?o ? ? o ? ?o? ? ?o ? o? ?o ? ? o ? ? o ? ?o ? ? ?
18、 o? o? ?o ? ? o ? ?o ? ? o? ?o ? ? o? 设? ?，同理可得 ? ? ? o ? ? ? ?o? ? ?o? 所以 o ? ?o ? ?o? ?o ?o? o ? ? ? ?o? ? ?o? 得? ? ? o?o ? ? ?o ? ? o? ? ? ?o ? ? ? ? ? ?o? ? ? ?o? ? 即?o? ? 0 22.（1）f(x)=x-xlnx f(xh ? o lnx o ? lnx(x0h 令 f(x)0，则 0 x1， 令 f(x)0，则 x1 f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+). (2)ln? ? ? ln? ? ? o
19、 ? o ? 即o?ln? ? ? o?ln? ? ，即 f(o ?)=f( o ?) 令 p=o ?，q= o ?，不妨设 0p1q，下面证明 2p+qe. 1先证 p+q2，当 p2 时结论显然成立. 当 q(1,2)时，p+q2,，则 p2-q，2-q1.只需设 f(p)f(2-q). 即证当 q(1,2)时，由 f(p)f(2-q) 令 g(x)=f(x)-f(2-x). g(x)=f(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln-(x-1) 2+1 当 x(1,2)时，-(x-1) 2+11，所以 g(x)0, g(x)在(1,2)上单调递增， g(q)g(1)=0，即 f(q)f(2-q) 再设 p ? q e, 当 x 0空e 时，? ? ? 0，当 ? ? ?空 ?时，? ? 0 ? ? 0 P oe p ? e o ? o 要证 q e p 只需证 f q ? f e p 即证当 P 0空o 时，有 f P ? f e p 设 h x ? f x f e x ，x 0空o ，hx ? fx ? fe k ? lnx ln e x ? ln ? ? ? ? 设 ? ? ? o 小于 1 的根为?0，则 ? ? 在 0空?0单调递增，在 ?0空o 单调递减. ? ? ? ? o ? ? o ? ? ? ? o ? 0 证毕
