1、大庆铁人中学高一寒假假期学习效果验收考试大庆铁人中学高一寒假假期学习效果验收考试 数学试题数学试题 试题说明：试题说明：1、本试题满分、本试题满分 150 分，答题时间分，答题时间 120 分钟分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共分，共 60 分分.） 1. 全集0, 1, 2, 3, 4U ，0, 1, 2 ,0, 3, 4MN ， 则 U C MN （） A. 0B.3, 4C.1, 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】
2、根据集合的基本运算求解即可. 【详解】由题3, 4 U C M ,故3, 4 U C MN . 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型. 2. (2015 新课标全国理科) oooo sin20 cos10cos160 sin10 = A. 3 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 2 【答案】D 【解析】 原式= oooo sin20 cos10cos20 sin10 = o sin30= 1 2 ，故选 D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3. 已知向量1,2a r ，2,3b ，3,4c ，且 12 cab ，则 1 ， 2 的值分别为（
3、） A.2，1B.1，2C.2，1D.1，2 【答案】D 【解析】 【分析】 本题首先可以根据1,2a r 以及2,3b 得出 121212 2,23ab rr ，然后根据3,4c 得出 12 23以及 12 234，最后联立方程并求解即可得出结果. 【详解】因为1,2a r ，2,3b ， 所以 111 ,2a r ， 222 2,3b ， 121212 2,23ab rr ， 因为3,4c ， 12 cab ， 所以 12 23， 12 234， 解得 1 1 ， 2 2， 故选：D. 【点睛】本题考查向量的相关知识，考查向量的运算以及相等向量的相关性质，若向量,aA B r ， ,bC
4、D ，a b ，则AC，BD，考查计算能力，是中档题. 4. 设 x0是方程 lnx+x=4 的解，则 x0属于区间（ ） A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4） 【答案】C 【解析】 【分析】 对x赋值，利用函数零点的存在性定理来判断 【详解】因为(2)ln224ln220f，(3)ln334ln3 10f ，所以函数 f（x）=lnx+x 4 的零点 0 (2,3)x ，故选 C 【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，利用( )( )0()f af bab，可以判定 ( )f x在区间( , )a b上 至少有一个零点 5. 、函数 2sin 2 6 yx 的图
5、象( ) A. 关于原点成中心对称B. 关于 y 轴成轴对称 C. 关于成中心对称D. 关于直线 12 x 成轴对称 【答案】C 【解析】 令2() 6 xkkZ 可得() 122 k xkZ ， 则函数2sin(2) 6 yx 关于点(,0)() 122 k kZ 对 称， 所以 A 不正确 C 正确； 令2() 62 xkkZ 可得() 62 k xkZ ， 则函数2sin(2) 6 yx 关于直线() 62 k xkZ 对称，所以 B,D 不正确故选 C 6. 函数22 xx y 是（） A. 奇函数，在区间0,上单调递增B. 奇函数，在区间0,上单调递减 C. 偶函数，在区间,0上单调
6、递增D. 偶函数，在区间,0上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】 本题首先可以令 22 xx fxy ，然后根据 fxfx 得出函数22 xx y 是奇函数，再然后 根据函数2xy 是增函数以及函数2 x y 是减函数即可得出结果。 【详解】令函数 22 xx fxy ， 因为22 xx fx ， 22 xx fx ， 所以 fxfx ，函数22 xx y 是奇函数， 因为函数2xy 是增函数，函数2 x y 是减函数，增函数减去减函数是增函数， 所以函数22 xx y 在区间0,上单调递增， 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及单调性，考查指数函数的相关性质，若函数满足 fxf
7、x ，则 说明函数是奇函数，若函数满足 fxf x，则说明函数是偶函数，考查推理能力，是中档题. 7. 已知 0.6 12 2 log 5log 313abcd ， ，那么（ ） A.acbdB.adcb C.abcdD.acdb 【答案】B 【解析】 试题分析：由幂函数的性质可知 0.6 30,1d ，再由对数的运算性质可知 2 log 50a ，而 2 log 31,2b ，又1c ，综合以上可知adcb，故选 B 考点：1、对数函数及其性质；2、幂函数及其性质 8. 已知函数( )sin,0 4 f xxxR 的最小正周期为,为了得到函数 cosg xx的图象, 只要将 yf x的图象(
8、) A. 向左平移 8 个单位长度B. 向右平移 8 个单位长度 C. 向左平移 4 个单位长度D. 向右平移 4 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由 ( )f x的最小正周期是，得 2， 即( )sin(2) 4 f xx cos2 24 x cos 2 4 x cos2() 8 x ， 因此它的图象向左平移 8 个单位可得到 ( )cos2g xx 的图象故选 A 考点：函数( )sin()f xAx的图象与性质 【名师点睛】三角函数图象变换方法： 9. 设函数 2 1 2 log,0, log,0. x x f x xx 若 f afa,则实数的a取值范围是() A.
9、1,00,1B., 11, C.1,01,D., 10,1 【答案】C 【解析】 【分析】 【 详 解 】 因 为 函 数 2 1 2 log,0, log,0. x x f x xx 若 f afa, 所 以 22 0 loglog a aa 或 12 2 0 loglog a aa ，解得1a 或10a ，即实数的a取值范围是1,01, ，故选 C. 10. 设a ，b 是两个非零向量 A. 若|a b |a |b |，则a b B. 若a b ，则|a b |a |b | C. 若|a b |a |b |，则存在实数，使得a b D. 若存在实数，使得a b ，则|a b |a |b |
10、 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】利用排除法可得选项 C 是正确的，|a b |a |b |，则a ，b 共线，即存在实 数，使得a b 如选项 A：|a b |a |b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项 B：若a b ，由 正方形得|a b |a |b |不成立；选项 D：若存在实数，使得a b ，a ，b 可为同向的共线向量，此 时显然|a b |a |b |不成立 11. 如图在AOB 中，点(2,1),(3,0)AB，点 E 在射线 OB 上自 O 开始移动设OEx，过 E 作 OB 的垂 线 l，记AOB 在直线 l 左边部分的面积为 S，则函数( )Sf x的图象是
11、（) A.B. C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形的面积公式结合分段函数的表达式关系进行表示即可得到结论 【详解】当 0 x2 时，OEF 的高 EF 1 2 x， S 1 2 x 1 2 x 1 4 x2； 当 2x3 时，BEF 的高 EF3x， S 1 2 31 1 2 （3x）（3x） 1 2 x2+3x3； 当 x3 时，S 3 2 S 2 2 1 02 4 1 33 23 2 3 3 2 xx xxx x ， ， ， ， 函数图象如图所示 故选 D 【点睛】本题主要考查分段函数的表达式的求解，利用好三角形的面积公式是解决本题的关键 12. 若偶函数 ( )f x在
12、(0，)上为减函数，且(2)0f ，则不等式 ( )() 0 f xfx x 的解集为（） A. (2,0)(2，)B. (，2)(0,2) C. (，2)(2，)D. (2,0)(0,2) 【答案】B 【解析】 【分析】 由偶函数可将问题转化为( )0 xf x ，列不等式组并结合( 2)(2)0ff且 ( )f x在(-，0)、(0，)上 分别为增函数、减函数，即可求得解集 【详解】 ( )f x为偶函数，即有 ( )()2 ( ) 0 f xfxf x xx ( )0 xf x ，即 0 ( )0 x f x 或 0 ( )0 x f x 又( 2)(2)0ff， ( )f x在(0，)
13、上为减函数，在(-，0)上为增函数 x(0,2)或 x(，2) 故选：B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，由奇偶性得到不等关系，结合函数的单调性解不等式求解集 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13. 若幂函数 y(m 22m2)x4m2在 x(0，)上为减函数，则实数 m 的值是_ 【答案】3m 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 函 数 242 (22) m ymmx 既 是 幂 函 数 又 是的 减 函 数 ， 所 以 ，解得：.故答案为. 考点：幂函数. 14. 已知函数 yf x是奇函数，且当0 x 时， 3xf xx，则当0 x 时， fx=
14、_； 【答案】 3 x f xx 【解析】 【分析】 不妨设0 x 得0 x ，将 x 代入解析式，由()( )fxf x 即可求解 【详解】设0 x ，则0 x ，又因为0 x ， 3xf xx，所以3 x fxx ， yfx是奇函数，()( )fxf x ，所以( )3 x f xx ， 即( )3 x f xx 故答案为 3 x f xx 【点睛】本题考查用函数的奇偶性求解析式，属于基础题 15. 已知 1 cos 7 ， 13 cos() 14 ，若0 2 ，则_ 【答案】 【解析】 因为 1 cos,0 72 ,所以 4 3 sin 7 ,又因为0 2 ,所以 3 3 sin() 1
15、4 ,所以sin sin()=sincos()cossin() = 4 31313 3 714714 = 3 2 ,又因为0 2 ,所以= 3 . 16. 关于函数 2 1 ( )lg(0,) x f xxxR x 有下列命题： 函数( )yf x的图象关于 y 轴对称； 在区间（-，0）上，函数( )yf x是减函数； 函数 ( )f x的最小值为lg2； 在区间（1，+）上，函数 ( )f x是增函数其中正确命题序号为_ 【答案】 【解析】 2 1 ()lg( ) x fxf x x 对； 当1,1xx 时， 2 11 () x x xx 单调递增， 即 ( )f x在(, 1) 上单调递
16、增，错；因为 ( )f x 在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以当0 x 时， ( )(1)lg2f xf，由( )f x为偶函数得，( )f x最小值为lg2，对；因为( )f x在(1,)上单调递增， 所以对，选 三、解答题（第三、解答题（第 17 题题 10 分，第分，第 18-22 题每小题题每小题 12 分，共分，共 70 分分.） 17. 已知函数 22 =log1log1f xxx （1）试判断 fx的奇偶性，并证明； （2）求使 0f x 的x取值 【答案】 （1）奇函数，见解析（2）0 x 【解析】 【分析】 (1)本题首先可以根据对数函数的性质得出函数 22
17、=log1log1f xxx的定义域，然后根据 fxfx 即可判断出函数 fx在其定义域上是奇函数； (2)可以根据 0f x 得出 1 1 1 x x ，然后通过计算并检验即可得出结果. 【详解】(1)因为 22 log1log1f xxx， 所以 10 10 x x ，解得11x ，故函数的定义域为 1,1 ，关于x轴对称， 因为 1 222 111 logloglog 111 xx f x fx xx x x ， 所以函数 fx在其定义域上是奇函数. (2)因为 0f x 即 22 1 loglog 1 1 x x ， 所以 1 1 1 x x ，解得0 x ，经检验0 x 符合题意，
18、故0 x . 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及对数的相关运算，对数logab需要满足0a 且1a 以及0b ，若函 数满足 fxfx ，说明函数是奇函数；若函数满足 fxf x，说明函数是偶函数，考查计算 能力，是中档题. 18. 已知函数 2 2cos sin3sinsincos 3 fxxxxxx . （1）当0, 2 x 时，求 f x的值域； （2）用五点法在下图中画出 yf x在闭区间 5 , 66 上的简图. 【答案】 （1）3,2 ； （2）见解析 【解析】 【分析】 (1) 本 题 首 先 可 以 将 函 数 2 2cossin3sinsincos 3 fxxxxxx 化 简
19、为 函 数 2sin 2 3 f xx ，再然后根据0, 2 x 得出 3 sin 21 23 x ，即可得出结果； (2)本题可以根据函数解析式确定五个点的坐标，然后在图上绘出即可。 【详解】(1) 2 2cossin3sinsincos 3 fxxxxxx 2 2cossin coscos sin3sinsin cos 33 xxxxxx sin23cos22sin 2 3 xxx ， 因为0, 2 x ， 所以 4 2 333 x ，即 3 sin 21 23 x ， 所以当0, 2 x 时， f x的值域为3,2 ； (2)由 2 2 T得T，列表如下： x 6 12 3 7 12 5
20、 6 2 3 x 0 2 3 2 2 2sin 2 3 x 02020 如图所示： . 【点睛】本题考查三角函数的值域以及五点作图法，考查运用三角函数相关公式进行化简，考查化归与转 化思想，考查学生的绘图能力，是中档题。 19. 已知, ,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a （1）若| 2 5c ，且/c a ，求c 的坐标； （2）若 5 | 2 b ，且 2 ab 与2a b 垂直，求a 与b 的夹角. 【答案】 （1）(2,4)或( 2, 4)； （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解； （2）由向量垂直及数量积的运算性质可得 5 2 a
21、 b r r ，再利用夹角公式计算即可. 【详解】 （1）设( , )cx y ，| 2 5c 且/ /ca ， 22 20 20 xy xy ，解得 2 4 x y 或 2 4 x y ， (2,4)c 或( 2, 4)c ； （2）由 已知得(2 )(2),(2 ) (2)0abababab ， 即 22 5 2320,25320 4 aa bba b ， 整理得 5 2 a b ，cos1 | a b a b ， 又0,，. 【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题. 20. 已知函数 4cossin0 4 fxxx 的最小正周期为. （1）求的值；
22、（2）讨论 fx在区间0, 2 上的单调性. 【答案】 （1）1； （2） fx在区间0, 8 上单调递增，在区间, 8 2 上单调递减. 【解析】 试题分析： （1）根据两角和的正弦公式把sin 4 x 展开，在利用二倍角公式即可把 fx化成 2sin 22 4 fxx ，由最小正周期为及周期公式即可求得的值； （2）由0, 2 求得 5 2 244 x ，根据正弦函数的图象找出单调区间，解出相应x的范围即得 fx在区间0, 2 上的 单调性. 试题解析： （1） 4cossin4cossincoscossin 444 f xxxxxx 2 2 2cossincos2 2 cossincos
23、xxxxxx 2sin22cos22xx 2sin 22 4 x ， f x的最小正周期为，且0，从而 2 ,1 2 . （2）由（1）知， fx 2sin 22 4 x ，若0, 2 x 则 5 2, 444 x 当 2,0 4428 xx 时， fx递增，当 5 2, 24482 xx 时， fx递减， 所以 fx在区间0, 8 上单调递增，在区间, 8 2 上单调递减. 考点：三角恒等变换及三角函数的性质. 【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换及三角函数的性质，属于基础题.本题解答的关键是通过两角和 的正弦公式、二倍角公式等把函数 fx化成“一角一名一次式”形式的正弦型函数，利用给出的
24、最小正周期 求得；对于给定区间上的单调区间可换元转化为正弦曲线由其图象求出，也可以求出其在R上的单调区 间，通过给k取值，求出与给出的区间0, 2 的交集来求解. 21. 已知向量(3sin,cos)a ，(2sin,5sin4cos)b ， 3 ,2 2 ，且ab . （1）求tan的值； （2）求cos 23 的值 【答案】 （1） 4 3 ； （2） 2 515 10 . 【解析】 【分析】 （1）将a b 转化为 0a b ，借助平面向量数量积的坐标运算，得到有关角的弦的二次等式，在等式 两边同时除以 2 cos，变形为有关tan的二次方程，结合角的范围求出tan的值； （2）利用二倍
25、角的正切公式以及（1）中的结论以及角 2 的范围求出tan 2 的值，利用同角三角函数的基 本关系求出 2 的余弦值和正弦值，再利用两角和的余弦公式可计算出 cos 23 的值 【详解】 （1）a b ， 0a b . 而(3sin,cos)a ，(2sin,5sin4cos)b ， 故 22 6sin5sincos4cos0a b . 由于cos0， 2 6tan5tan40 . 解之，得 4 tan 3 ，或 1 tan 2 . 3 ,2 2 ，tan0，故 1 tan 2 （舍去）. 4 tan 3 . （2） 3 ,2 2 ， 3 , 24 . 由 4 tan 3 ，求得 1 tan
26、22 或tan2 2 （舍去） 5 sin 25 ， 2 5 cos 25 ， coscoscossinsin 232323 2 51532 515 525210 【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式以及两角和的 余弦公式，在利用同角三角函数求值时，先计算对象角的取值范围，确定所求角三角函数值的正负，最后 利用同角三角函数的基本关系求值 22. 已知函数 log3 a f xxa（0a 且1a ） ，当点,P x y是函数 yf x图像上的点时，点 2 ,Q xay是函数 yg x图像上的点. （1）写出函数 yg x的解析式； （2）当2,3xaa
27、时，恒有 1f xg x，试确定a的取值范围. 【答案】 （1） logayg xxaxa ； （2） 957 0, 12 a . 【解析】 【分析】 （1）由题意，( )log (3 ) a yf xxa，(2 )yg xa；则(2 )log (3 ) a g xaxa ，利用换元法求 函数解析式； （2）先由 ( )f x与( )g x的定义域的交集为(3 ,)a 可知0 1a，进而化简|( )( )| 1f xg x为 22 1 43a xaxa a ，从而求a 【详解】 （1）由题意，( )log (3 ) a yf xxa，(2 )yg xa， 则(2 )log (3 ) a g x
28、axa ， 令2 ()txa ta，则( )log () a g tta ， 则( )log (),() a g xxaxa （2）( )f x与( )g x的定义域的交集为(3 ,)a ， 2a，3(3 ,)aa 230aa ，01a ， |( )( )| 1f xg x可化为： 22 1 43a xaxa a ， 又2xa， 3a 时， 2222 43(2 )44xaxaxaaa，96 a 01 44 1 96 a aa a a ，解得： 957 0, 12 a 【点睛】本题考查图象的变换及换元法求函数的解析式及函数的定义域的应用，考查函数与方程思想、转 化与化归思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力
