1、20202021 学年度下学期高二年级摸底考试学年度下学期高二年级摸底考试 数数 学学 试试 卷卷 一、 单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知，集合 Mx|x23x+4，Nx|x3，则 MN（） A （1，3）B （12）C （3，4）D （4，+） 2已知 i 为虚数单位，则 z在复平面内对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3已知数列an是等差数列，记数列an的前 n 项和为 Sn，若 a137，则 S25（） A350B700CD175 4 （5 分）若双曲线 mx2y21 的一条渐
2、近线为 2xy0，则实数 m（） ABC2D4 5已知函数 f（x）2log2（xa）log2x若对于任意的 x（0，+） ，都有 f（x）1， 则实数 a 的取值范围是（） A （，1）BC （，1D 6已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1的面积为 4，则正三棱柱 ABCA1B1C1外 接球表面积的最小值为（） ABCD 7已知点 O 为ABC 的外心，且 A，则ABC 的形状是（） A直角三角形 B等边三角形 C直角三角形或等边三角形 D钝角三角形 8 已知直线 l 过点 （2， 0） 且倾斜角为， 若 l 与圆 （x3） 2+y220 相切， 则 （） ABCD 二、多
3、项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错 的得 0 分 9(2020山东临沂二模、枣庄三调)设向量 a(2,0)，b(1,1)，则() A|a|b|B(ab)b C(ab)bDa 与 b 的夹角为 4 10如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 是线段 B1D1上的两个动点，且 EF ，则下列结论中正确的是（） AACBE BEF平面 ABCD CAEF 的面积与BEF 的面积相等 D三棱锥 EABF 的体积为定值 11已知函数 f（x）asinx+bcosx（ab
4、0） ，且对任意 xR 都有，则 （） Af（x）的最小正周期为 2 Bf（x）在上单调递增 C是 f（x）的一个零点 D 12(多选)(2020山东潍坊高密一模)关于函数 f(x)1 x 1 2 ex1 ，下列结论正确的是 () A图象关于 y 轴对称 B图象关于原点对称 C在(，0)上单调递增 Df(x)恒大于 0 第卷(非选择题共 90 分) 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 （5 分）已知函数 f（x）xex 1，则曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 14.（5 分）2020 年在抗击新型冠状病毒期间，武汉市在汉阳、江岸、硚口、洪山、武汉开 发区
5、等城区修建了方舱医院， 专门收治新型冠状病毒肺炎感染的轻症患者 现将 6 名志愿者 分配到汉阳、江岸、硚口这 3 个城区去负责药品的分发工作，若每个城区，至少有一名志愿 者，则不同的分配方法有种 （用数字作答） 15已知 x 与 y 之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系 则 y 与 x 的回归直线方程必过定点 x0246 y12m+12m3m 16 已知 A （5， 0） ， B （5， 0） ， 若对任意实数 tR， 点 P 都满足， 则 的最小值为，此时| 四、 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17已知函数的图象与直线 y2
6、的相邻两 个交点间的距离为 2，且_ 在函数为偶函数；xR，；这三个条 件中任选一个，补充在上面问题中，并解答 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在0，上的单调递增区间 18. 已知等比数列 n a的各项均为正数，且 2 6a ， 34 72aa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足： * () nn ban nN，求数列 n b的前n项和 n S. 19如图，在菱形 ABCD 中，A60且 AB2，E 为 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折起 使 AD，得到如图所示的四棱锥 ABCDE （）求证：平面 ABE平面 ABC； （）若 P 为 AC
7、 的中点，求三棱锥 PABD 的体积 20某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，并统计了他们的化学成绩，把 其中不低于 50 分的分成五段50，60） ，60，70） ，90，100后画出如图部分频率分 布直方图观察图形的信息，回答下列问题： （1）求出这 60 名学生中化学成绩低于 50 分的人数； （2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60 分以上为及格） ； （3）从化学成绩不及格的学生中随机调查 1 人，求他的成绩低于 50 分的概率 21 （12 分）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互 为倒数，A，B 分别为椭圆的左、右顶点，且|AB|4 （1）求椭圆 C 的方程
8、； （2）已知过左顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 另交于点 D，与 y 轴交于点 E，在平面内是否存 在一定点 P，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求ADP 面积的最大 值；若不存在，说明理由 22 （12 分）已知函数 f（x）2lnx+x22ax（a0） （1）讨论函数 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 一1 【分析】求出集合 M，N，由此能求出 MN 【解答】解：集合 Mx|x23x+4x|1x4， Nx|x3， MNx|1x3（1，3） 故选：A 2 【分析】对复数 z 进行化简，从而求出其所
9、在的象限即可 【解答】解：z， 故 z 在复平面内对应的点位于第二象限， 故选：B 3 【分析】利用等差数列前 n 项和公式和等差数列通项公式能求出 S25的值 【解答】解：数列an是等差数列，记数列an的前 n 项和为 Sn，a137， S25（a1+a25）25a13175 故选：D 4求解得答案 【解答】解：双曲线 mx2y21 化为标准方程为， 其渐近线方程为 y， 又双曲线 mx2y21 的一条渐近线为 2xy0， ，即 m4 故选：D 5 【分析】由对数的运算性质可得，即，令， 则由二次函数的最值求法，即可得到所求范围 【解答】解：由 f（x）1 整理得 log2（xa）log2x
10、+log2， 所以，即， 令，则 令，其图象的对称轴为， 所以 g（t）ming（）， 则 故选：B 6 【分析】画出图形，设出侧面 BCC1B1的边长，利用面积列出关系式，转化求解外接球的 半径的最小值，然后求解表面积的最小值即可 【解答】解：如图：设 BCa，BB1b，球的半径为 R， 外接球的球心为 O，底面三角形的中心为 O1，由侧面 BCC1B1的面积为 4， 可得 ab4，外接球的表面积取最小值时，外接球的半径最小， A1O1a， R， 当且仅当，ab4，即 a，b时等号成立 此时外接球取得最小值：4 故选：D 7 【分析】取 AB、AC 的中点 E、F，则根据平面向量的三角形法则
11、可得 2a2b2+c2，然后 求出 B 的范围，再求出 B 的值，根据三角形的内角和定理可得 ABC，即可判 断ABC 的形状 【解答】解：取 AB、AC 的中点 E、F， 则（）（）（）（a2b2） ， 同理（c2a2） ，所以 2a2b2+c2 又 A，由余弦定理，得 a2b2+c2bc， 即 b2+c2a2+bc，所以 bca2， 由正弦定理，得 sinBsinCsin2A，即 sinBsin （B）， 所以 sinBsin（B）sinB（cosB+sinB）sin2B+， 所以sin2Bcos2B2，所以 2sin（2B）2，即 sin（2B）1， 因为 B，2B（，） ， 所以 2B
12、，解得 B， 所以 ABC，ABC 的形状是等边三角形 故选：B 8.【分析】求出圆的圆心和半径，根据点到直线的距离求出 m 的值，求出 tan的值，再化简 三角函数，根据二倍角公式求出答案即可 【解答】解：圆（x3）2+y220 的圆心坐标是（3，0） ，半径 r2， 设直线 l 的方程为 xmy2，即 xmy+20，显然 m0， 由题意得：2， 化简得 4m210，解得：m或 m， tan， tan2， sin（2）cos2 故选：A 二 9.答案CD 解析因为 a(2,0)，b(1,1)，所以|a|2，|b| 2，所以|a|b|， 故 A 错误； 因为 a(2,0)，b(1,1)，所以
13、ab(1，1)，所以(ab)与 b 不平行，故 B 错 误；又(ab)b110，故 C 正确；又 cosa，b ab |a|b| 2 2 2 2 2 ，所以 a 与 b 的夹角为 4，故 D 正确故选 CD. 10 【分析】证明线面垂直，可得线线垂直判断 A；由直线与平面平行的判定定理判断 B； 由点 A 和点 B 到 EF 的距离不相等，可得AEF 的面积与BEF 的面积不相等，判断 C 错误；连接 BD，交 AC 于 O，则 AO 为三棱锥 ABEF 的高，利用等体积法证明三棱锥 EABF 的体积为定值判断 D 【解答】解：由正方体的结构特征可知，DD1平面 ABCD，而 AC平面 ABC
14、D，则 D1DAC， 又 ABCD 为正方形，ACBD， D1DBDD，且 D1D、BD平面 DD1B1B，AC平面 DD1B1B， BE平面 DD1B1B，ACBE，故 A 正确； B1D1BD，BD平面 ABCD，B1D1平面 ABCD， BD平面 ABCD，而 EF 在 B1D1上，EF平面 ABCD，故 B 正确； 点 B 到 EF 的距离为正方体的棱长，A 到 EF 的距离大于棱长，则AEF 的面积与BEF 的面积不相等，故 C 错误； 如图所示，连接 BD，交 AC 于 O，则 AO 为三棱锥 ABEF 的高， EFBB11， 则为定值，故 D 正确 故选：ABD 11 【分析】由
15、已知可得函数 f（x）的图象关于 x对称，则 f（0）f（） ，由此可 求得 ab，代入 f（x）解析式中，利用辅助角公式化简可得 f（x）2bsin（x+） ， 由正弦函数的性质逐一选项判断即可得结论 【解答】 解： 函数 f （x） asinx+bcosx （ab0） ， 且对任意 xR 都有， 所以函数 f（x）的图象关于 x对称， 所以 f（0）f（） ，即 bab，所以 ab，由 ab0，可得，故 D 正确； 所以 f（x）bsinx+bcosx2b（sinx+cosx）2bsin（x+） ， 所以 f（x）的最小正周期为 2，故 A 正确； 当 x，x+，当 b0 时，f（x）在上
16、 单调递增；当 b0 时，f（x）在上单调递减，故 B 错误 当 x时，f（x）0，故是 f（x）的一个零点，故 C 正确 故选：ACD 12 答案ACD 解析函数 f(x)1 x 1 2 ex1 的定义域为(，0)(0，)，因为 f(x) 1 x 1 2 ex1 1 x ex1 ex1， f(x) 1 x e x1 e x11 x 1ex 1ex 1 x ex1 ex1f(x)， 故函数 f(x) 为偶函数，所以 A 正确，B 不正确；当 x0 时，y1 x0，且 y 1 x在(0，) 上单调递减，当 x0 时，y1 2 ex10，且 y1 2 ex1在(0，)上单调递减， 而 f(x)1
17、x 1 2 ex1 ， 故 f(x)在(0， )上单调递减， 又 f(x)为偶函数， 故 f(x)在( ，0)上单调递增，所以 C 正确；由知，f(x)1 x ex1 ex1，当 x0 时， 1 x0，ex10，又 f(x)关于 y 轴对称，故 D 正确故选 ACD 三 13 【分析】求出函数的导数，计算 f（1） ，f（1） ，求出切线方程即可 【解答】解：f（x）xex 1+ex1 f（1）2，f（1）1， 故切线方程是：y12（x1） ， 即 y2x1； 14 【分析】根据题意，按分配人数的不同分 3 种情况讨论，求出每种情况的方案数目，由 加法原理计算可得答案 由分类加法原理，所以共有
18、 90+360+90540 种分配方案 15 【分析】运用回归直线过样本中心点可得结果 【解答】解：根据题意得，回归直线过样本中心点 3， y 与 x 的回归直线方程必过定点（3，） 故答案为（3，） 16 【分析】不妨以 A，B 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，过 O 且垂直于 AB 的直线为 轴建立平面直角坐标系，设，H 为 AB 上一点，推出，说明 P 到直 线 AB 的距离为 3，P 点在直线 L：y3 上，然后求解 取最小值16，推出 【解答】解：A（5，0）和 B（5，0）在中点为原点 O（0，0） ， 不妨以 A，B 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴， 过 O 且垂
19、直于 AB 的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 设，H 为 AB 上一点， 故， 所以，P 到直线 AB 的距离为 3， 则 P 点在直线 L：y3 上， 可得：A（5，0） ，B（5，0） ，P（x，3） ， 则（5x，3）（5x，3）x225+9x216， 当且仅当 x0 时，取最小值16， 此时 P（0，3） ， 故答案为：16；6 四17 【分析】 （1）根据三角函数的图象和性质分别求出 和的值即可 （2）求出角的范围，结合是函数的单调性进行求解即可 【解答】解： （1）函数的图象与直线 y 2 的相邻两个交点间的距离为 2， 即周期 T2，即2，得1，则 f（x）2sin（x+
20、） 若选函数为偶函数， 则2sin （x+） 是偶函数， 则+k+， kZ， 得k+， kZ， 0，k0 时，则 f（x）2sin（x+） 若选，则 f（x）2sin（+），即 sin（+）， 0， +， 则+， 即， 则则 f （x） 2sin （x+） 若选xR，当 x时，函数 f（x）取得最大值， 即+2k+，kZ，得2k+，kZ， 0，k0 时，则 f（x）2sin（x+） 综上函数 f（x）的解析式为 f（x）2sin（x+） （2）当 x0，时，x+， 则当 x+，时，函数 f（x）为增函数， 此时由x+，得 0 x， 即 f（x）在0，上的单调递增区间为0， 18. (本小题满分
21、 12 分) （）设等比数列an的公比为 q， a26，a3a472， 6q6q272，即 q2q120， q3 或 q4 又an0，q0， q3，a1a2 q 2 ana1qn 123n1(nN*). （）bn23n 1n， Sn2(13323n 1)(123n) 213 n 13 n(1n) 2 3n1n 2n 2 19 【分析】 （）由已知证明 AE底面 BCDE，可得 BCAE，再由 BCBE，得到 BC 平面 ABE，进一步可得平面 ABE平面 ABC； （）利用 VPABDVABCDVPBCD求解 【解答】证明： （）在图中，由 AB2，AE1，A60， 得 BE2AB2+AE22
22、ABAEcos60 AE2+BE2AB2，可得 BEAE，则 BEBC 在图中，有 AEBE， 又 AEED1，AD，AE2+ED2AD2，即 AEED BEEDE，AE平面 BCDE，得 AEBC， 又 BEAEE，BC平面 ABE，而 BC平面 ABC， 平面 ABE平面 ABC； 解： （）由（）知，AE平面 BCD，且 AE1， P 为 AC 的中点，P 到平面 BCD 的距离为 又2 VPABDVABCDVPBCD 故三棱锥 PABD 的体积为 20 【分析】 （1）低于 50 分的频率为 0.1，由此能求出低于 50 分的人数 （2）成绩 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组
23、（低于 50 分的为第一组） ，频率 之和为 0.75，由此可以估计这次考试化学学科及格率约为 75% （3）“成绩低于 50 分”的人数是 6 人，成绩在50，60）这组的人数是 9 人，由此能求出 从成绩不及格的学生中随机调查 1 人，他的成绩低于 50 分的概率 【解答】解： （1）因为各组的频率和等于 1， 故低于 50 分的频率为：1（0.0152+0.03+0.025+0.005）100.1， 所以低于 50 分的人数为 600.16（人） （2） 依题意， 成绩 60 及以上的分数所在的第三、 四、 五、 六组（低于 50 分的为第一组） ， 频率之和为（0.015+0.03+0
24、.025+0.005）100.75， 所以，抽样学生成绩的及格率是 75%， 于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为 75% （3）由（1）知，“成绩低于 50 分”的人数是 6 人， 成绩在50，60）这组的人数是 0.01510609（人） ， 所以从成绩不及格的学生中随机调查 1 人，有 15 种选法，成绩低于 50 分有 6 种选法， 故他的成绩低于 50 分的概率为 21 【分析】 （1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，结合顶点的概念和 a，b， c 的关系，解得 a，b，进而得到椭圆方程； （2）直线 l 的斜率显然存在，设直线 l 的方程为 yk（x+2） ，联立椭
25、圆方程，运用韦达 定理，可得 D 的坐标，由 A（2，0） ，B（2，0） ，设 P（m，n） ，在平面内假设存在一 定点 P，使得恒成立，运用向量数量积的坐标表示，化简整理，结合恒等式的 性质，可得 m，n，可得 P 的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式，可得所求 三角形的面积的最大值 【解答】解： （1）双曲线的离心率为2，由题意可得椭圆的离心率为 e， |AB|4，即 2a4，即 a2，b， 椭圆的方程为+1； （2）过左顶点 A 的直线 l 的斜率显然存在，设为 k，方程设为 yk（x+2） ，可得 E（0， 2k） ， 且 A（2，0） ，B（2，0） ，设 P（m，n） ，
26、 由可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2120，则2xD，即 xD ， 即有 D（，） ， 在平面内假设存在一定点 P，使得恒成立 可得（m，2kn）（2，）（m） （）+（2k n）0， 由于上式恒成立，可得 k（4m+6）3n0，即有 4m+60，且3n0，可得 m， n0， 则存在 P（，0） ，使得恒成立 此时 SADP|AP|yD|，当 k0 时，SADP0； 当 k0 时，SADP时，取得等号 综上可得，SADP的最大值为 ，当且仅当|k|2，即 k 22 【分析】 （1）由于 f（x）+2x2a，令 x2ax+10，a24， 分若 a240 与 a240 两类讨论，即可求
27、得 f（x）在（0，+）单调区间； （2）依题意，可求得a，则问题转为证明 0 即可，由 0 x11x2，易证结论成立 【解答】 （1）解：f（x）2lnx+x22ax（a0） ， f（x）+2x2a， 令 x2ax+10，a24， 若 a240， 当 a2 时，x2ax+10 的两个根 x1x2，且 x1+x2a，x1x21，故均为正， 所以，f（x）在（0，x1） ， （x2，+）单调递增，在（x1，x2）单调递减； 若 a240，即 0a2 时，f（x）0 恒成立，故 f（x）在（0，+）单调递增； 综上所述，0a2 时，f（x）在（0，+）单调递增； 当 a2 时，f（x）在（0，x1） ， （x2，+）单调递增，在（x1，x2）单调递减； （2）证明：由（1）知 a2，0 x11x2，x1+x2a，x1x21， 则 f（x1）f（x2）2lnx1+2ax12lnx2+2ax22（lnx1lnx2）+（x1+x2） （x1 x2）2a（x1x2） ， 则+（x1+x2）2a+a2a a， 则问题转为证明0 即可， 由 0 x11x2，知，上式成立， 故原结论成立
