1、2019-2020 学年度第二学期期末质量检测 高二（理科）数学试题 本试卷分第卷（选择题 60 分）和第卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，考试 时间 120 分钟. 第卷（选择题满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ） 1. 在复平面内，复数iz1(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第 四象限 2. 已知函数 x xf 1 )(的导函数为)(x f ，若)()( 21 xfxf，则 21,x x的大小关系不可能为 A.
2、12 0 xxB. 21 0 xxC. 12 0 xxD. 21 0 xx 3. 下列说法正确的是 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状 区域越窄，说明回归方程的预报精度越高； 在独立性检验时，两个变量的22列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这 两个变量没有关系”成立的可能性就越大； 在回归直线方程122 . 0 xy中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 y 就增加 0.2 个单位； 2 R越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好。 A. B. C. D. 4. 利用反证法证明命题“若0yx，则0 yx”，以下假设正确的是 A.y
3、x,都不为 0B.yx,不都为 0 C.yx,都不为 0，且yx D.yx,至少有一个为 0 5. 正弦函数xysin在 3 , 0 上的图像与x轴所围成曲边梯形的面积为 A 2 1 B 2 2 C 2 3 D1 6. 袋中装有 4 个红球、3 个白球，甲、乙两人按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了 白球的条件下，乙摸到白球的概率是 A. 3 7 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 5 7. 若 n x x) 2 ( 2 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 A. 180B. 120C. 90D. 45 8. 在某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位
4、女生，2 位男生如果 2 位男生 不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A72B60C36D 30 9. 求111的值时，可采用如下方法：令x111，则xx1， 两边同时平方，得xx1 2 ， 解得 2 51 x（负值已舍去） ，类比以上方法，可求得 1 1 1 1 1 1 1的值等于 A. 2 15 B. 2 15 C. 2 31 D. 2 31 10.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 X，且 XN(800,502)记一天中从甲地去乙地 的旅客人数不超过 900 的概率为 0 p，则 0 p的值为 (参考数据：若 XN(，2)，有 P(X)0.6826，P(2
5、X2)0.9544， P(3X3)0.9974) A. 0.9544B. 0.6826C. 0.9974D. 0.9772 11.已知)(x f 是函数)(xf的导函数，且对任意的实数x都有)()32()(xfxexf x ， 1)0(f，则不等式 x exf5)(的解集为 A4,1 B( 1,4) C(, 4)(1,) D(, 1)(4,) 12.已知数列 n a满足0),( 1 * 1 aNn a n aa n nn ，则当2n时，下列判断一定正确的是 A1 nanB nnnn aaaa 112 CnanD1 nan 第 II 卷（非选择题满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，
6、每小题 5 分，共 20 分. ) 13.某盏吊灯上并联着 3 个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 6 5 ，则 在这段时间内吊灯能照明的概率是 14.已知随机变量)4 . 0 , 6( BX,则当12X时,)(D= 15.已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下 的统计资料： x 23456 y 2.23.85.56.57.0 由上表可得线性回归方程08. 0 xby，若规定当维修费用12y时，该设备必须报废， 据此模型预报该设备最多可使用年（取整数）. 16.已知函数 1, 12 10 ,32 )( 23 xmx xmxx xf，若函
7、数)(xf的图象与x轴有且只有两个不同 的交点，则实数m的取值范围为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.（本小题满分 10 分） 某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时,发现以下三个式子均是正确 的: 2231 ; 3242 ; 4253 . （1）已知 2(1.41,1.42),3(1.73,1.74),5(2.23,2.24),请从以上三个式子中任选 一个,结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算 )； （2）请将此规律推广至一般情形,并加以证明. 18.（本小题满分12分） 某单位组织开展“学习强国”的学习活动，活动第
8、一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计 如下： 学习活跃的员工人数学习不活跃的员工人数 甲1812 乙328 （1）根据表中数据判断能否有 95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关； （2）活动第二周，单位为检查学习情况，从乙部门随机抽取 2 人，发现这两人学习都不 活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？说明理由。 参考公式： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K ，其中dcban. 参考数据：706. 2) 1 . 0( 2 KP，841. 3)05. 0( 2 KP，635. 6)01. 0( 2 KP. 19. （本小题满分12分） 已知函数xbx
9、axxf3)( 23 在1x处取得极值. （1）求a和b的值以及函数)(xf的极大值和极小值; （2）过点)16, 0(A作曲线)(xfy 的切线,求此切线的方程. 20.（本小题满分 12 分） i为虚数单位，),(Rbabiaz是虚数, z z 1 是实数,且21, z z u 1 1 . （1）求|z及a的取值范围； （2）求 2 u的最小值. 21.（本小题满分12分） 2019 年 10 月，工信部颁发了国内首个5G无线电通信设备进网许可证，标志着5G基站 设备将正式接入公用电信商用网络.某4G手机生产商拟升级设备生产5G手机， 有两种方案可 供选择，方案 1：直接引进5G手机生产设
10、备；方案 2：对已有的4G手机生产设备进行技术 改造，升级到5G手机生产设备.该生产商对未来5G手机销售市场行情及回报率进行大数据模 拟，得到如下统计表： 市场销售状态畅销平销滞销 市场销售状态概率2p1 3p p 预期年利润数 值 （单位： 亿元） 方案 17040-40 方案 26030-10 （1）以预期年利润的期望值为依据，就p的取值范围，讨论该生产商应该选择哪种方案 进行设备升级？ （2）设该生产商升级设备后生产的5G手机年产量为x万部，通过大数据模拟核算，选择 方案 1 所生产的5G手机年度总成本 2 1 0.00020.250yxx（亿元） ，选择方案 2 所生产 的5G手机年度
11、总成本为 2 2 0.00010.160yxx（亿元）.已知0.2p ，当所生产的5G手 机市场行情为畅销、 平销和滞销时， 每部手机销售单价分别为 0.8 万元，0.80.001x（万元） ， 0.80.002x（万元） ，根据（1）的决策，假设生产的手机全部售尽，求该生产商所生产的5G 手机年利润期望的最大值？并判断这个最大值能否超过预期年利润的数值. 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 22 24lnfxxaxax，其中aR. （1）若0a ，讨论 f x的单调性； （2）若0a ，当1x 时， ln10 xxm f x 恒成立，求实数m的取值范围 2019-2020 学年度第二学
12、期期末质量检测 高二（理科）数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ） 题号123456789101112 答案DBDBABABBDAC 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. ) 13. 216 215 14.76. 515. 916.) 2 1 , 0( 三、解答题（本大题共6小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.（本小题满分 10 分） 解： （1）验证式成立： 31.74，31 1.41，22 2.82， 2231 .4 分 说明：若用分析法证明（不用近似计算） ，也认为是对的。 （2
13、）一般结论为:若 nN*，则 122nnn .6 分 证明如下： 要证 122nnn ，只需证 22 )12()2(nnn， 即证 442222nnnn ，即证 12nnn ， 只需证12)2( 2 nnnn，即证 01，显然成立， 故 122nnn .10 分 18.（本小题满分 12 分） 解： （1）36. 3 40302050 )1232818(70 2 2 K，3 分 因为841. 336. 3，所以没有 95%的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；6 分 （2）设事件B为“第二周从乙部门随机抽取 2 人，这两人学习都不活跃”，若第二周保持 第一周的活跃情况，则05. 0036. 0
14、)( 2 40 2 8 C C BP， 9 分 因为)(BP很小,所以事件B一般不容易发生,现在发生了,则说明学习不活跃的人数增加了,即 活跃率降低了.12 分 19.（本小题满分 12 分） 解： （1）323)( 2 bxaxxf，由题意可知1x是方程0323 2 bxax的两根，可 得0, 1ba， 3 分 所 以) 1)(1(333)( 2 xxxxf，) 1,(x时 ，0)( x f，) 1 , 1(x时 ， 0)( x f，), 1 ( x时，0)( x f，)(xf在1x处取得极大值 2，在1x处取得极 小值-2； 6 分 （2）易知点)16, 0(A不在曲线)(xfy 上，设切
15、点坐标为),( 00 yx，则有 33 163 2 0 0 0 3 0 x x xx ，解得2 0 x，9 分 所以切线的斜率为 9，切线的方程为169 xy12 分 20.（本小题满分 12 分） 解： （1）i ba b b ba a a z z)( 1 2222 ，因为是实数, 所以0 22 ba b b,又0b,所以 1 22 ba ,所以1|z.4 分 因为a z z2 1 ,且21,所以1 2 1 a.6 分 （2）由题意知 a bi bia bia u 11 1 ,8 分 所以 a a a a a a a b au 1 1 2 )1 ( 1 2 )1 ( 2 2 2 2 2 2
16、13) 1 1 1(2 a a,当且仅当0a时,等号成立, 所以 2 u 的最小值为 112 分 21.（本小题满分 12 分） （1）由 021 01 31 01 p p p ，可得p的取值范围为 1 0 3 p.2 分 方案 1 的预期年利润期望值为 1 270(1 3 ) 40( 40)4020Epppp . 方案 2 的预期年利润期望值为 2 260(1 3 ) 30( 10)3020Epppp .4 分 当 1 0 4 p时， 12 EE，该手机生产商应该选择方案 1； 当 1 4 p 时， 12 EE，该手机生产商可以选择方案 1，也可以以选择方案 2； 当 11 43 p时， 1
17、2 EE，该手机生产商应该选择方案 2；6 分 （2）因为 1 0.20, 4 p ，该手机生产商将选择方案 1，此时生产的5G手机的年度总成本 为 2 1 0.00020.250yxx（亿元）.7 分 市场行情为畅销、 平销和滞销时的年销售额分别为x8 . 0， 2 001. 08 . 0 xx ， 2 002. 08 . 0 xx （亿 元） ，因为0.2p ，所以手机生产商年销售额X的分布列为 X0.8x 2 0.80.001xx 2 0.80.002xx P0.40.40.2 所以 22 ()0.4 0.80.40.80.0010.20.80.002E Xxxxxx 2 0.00080
18、.8xx .9 分 年利润期望值 2 1 ( )()0.0010.650f xE Xyxx （亿元）. 当300 x 时，年利润期望 f x取得最大值 40 亿元.11 分 又方案 1 的预期年利润期望值为pE2040 1 4020 0.236（亿元）. 因为4036，因此这个年利润期望的最大值超过了预期年利润的数值.12 分 22.（本小题满分 12 分） 解： （1）因为 22 24lnfxxaxax，所以0,x 所以 22 22224xaxaxaxa fx xx 2 分 当0a 时， 由 0fx得xa； 由 0fx得0 xa 故 f x在0,a上单调递减， 在, a 上单调递增 当0a
19、时，由 0fx得2xa ；由 0fx得02xa 故 f x在0, 2a上 单调递减，在2 , a上单调递增 综上可知， 当0a 时 f x在0,a上单调递减， 在, a 上单调递增； 当0a 时 f x在 0, 2a上单调递减，在2 , a上单调递增5 分 （2）若0a ，不等式转化为当1x 时， 2 ln10 xxm x恒成立 令 2 ln1F xxxm x，则 ln12Fxxmx 令 ln12G xxmx ，则 1 2G xm x 当0m 时，对任意1,x，恒有 ln120Fxxmx ，所以 F x在1,上 单调递增，所以 10F xF，所以0m 不合题意7 分 当 1 2 m 时，因为1
20、x ，所以 1 1 x ，所以 1 20m x ，即 0Gx， 所以 G x在1,上单调递减，所以 1120G xGm ，即 0Fx， 所以 F x在1,上单调递减，所以 10F xF，所以 1 2 m 符合题意9 分 当 1 0 2 m时，令 1 20Gxm x ，解得 1 1 2 x m ，令 1 20Gxm x ，解得 1 2 x m 所以 G x在 1 1, 2m 上单调递增 所以 1120G xGm ， 即 0Fx， 所以 F x在 1 1, 2m 上单调递增，所以当 1 1, 2 x m 时， 10F xF， 故 1 0 2 m不合题意11 分 综合可知，实数m的取值范围是 1 , 2 12 分
