1、2019-2020 学年度下学期学年度下学期 6 月月考试题月月考试题 高二数学 时间：120 分钟分数：150 分 一、选择题（共 60 分，每小题 5 分） 1设i为虚数单位，复数z满足(1)2zii，则| (z ) A1B 2 C2D2 2 2设随机变量X服从二项分布，且期望3E X ， 1 5 p ，则方差D X等于() A 3 5 B 4 5 C 12 5 D2 3已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据： x24568 y3040506070 根据上表可得回归方程y bxa $，计算得 7b ，则当投入 10 万元广告费时，销售额的预报
2、值为 A75 万B85 万元C99 万元 D105 万元 42019 年 5 月 22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括： 上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有 4 名高三学生准备高考 后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一 个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（） A 27 64 B 9 16 C 81 256 D 7 16 5 函数 cossinf xxxx的图象上的点 00 ,xy处的切线的斜率为k， 若 0 kg x， 则函数 g x 的大致图象为（） AB
3、 C D 6如图，一环形花坛分成ABCD， ， ，四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花， 且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A96B84C60D48 7 28 (21)xx的展开式中 5 x的系数是（ ） A1288B1280C-1288D-1280 8已知曲线eln x yaxx在点1,ae处的切线方程为2yxb，则（） A,1ae b B,1ae b C 1, 1aeb D 1, 1aeb 9甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 3 4 ，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三
4、局的概率为（） A 1 3 B 2 5 C 2 3 D 4 5 10如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块， 小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层 小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下 的机会均等，则小球最终落入号球槽的概率为（） A 3 32 B 15 64 C 5 32 D 5 16 11若函数 2 1 2ln 2 f xxxax有两个不同的极值点，则实数a的取值范 围是（） A1a B10a C1a D01a 12 函数 ( )f x是定义在区间(0,)上的可导函数， 其导函数为(
5、 )fx， 且满足 2 ( )( )0fxf x x ， 则不等式 (2018) (2018)3 (3) 32018 xf xf x 的解集为（） A |2015x x B |2015x x C | 20180 xx D | 20182015xx 二、填空题填空题（共 20 分，每小题 5 分） 13如果随机变量 2 1,N，且310.4P ，则1P_. 14已知函数 32 f xxax在(2,4)上不是单调函数，则a的取值范围是_ 15学校将从 4 名男生和 4 名女生中选出 4 人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生 甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手现要求：如果男生甲入
6、选，则女生乙必须入选那 么不同的组队形式有_种 16已知 1 1,1 ( )4 ln ,1 xx f x x x ，则方程 f xax恰有 2 个不同的实根，实数a取值范围 _. 三、解答题三、解答题 17男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名.选派 5 人外出比赛，在下列情形中各有多 少种选派方法？ （1）男运动员 3 名，女运动员 2 名； （2）至少有 1 名女运动员； （3）队长中至少有 1 人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员. 18在 4 1 2 n x x 的展开式中，前 3 项的系数成等差数列， （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项及各
7、项系数和； （3）求展开式中含 2 x的项的系数及有理项. 19某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中， 随机抽取 100 名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图： （1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数 的估计值(均精确到个位） ； （2）在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽 样，抽取 20 人参加华为手机宣传活动，现从这 20 人中，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，求这 2 名市民年龄都在40,45内的人数为X， 求X 的分布列及数学期望. 20 某调查机构对某校学生
8、做了一个是否同意生“二孩”抽样调查， 该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知 100 人中 同意父母生“二孩”占 60%，统计情况如下表： 同意不同意合计 男生a5 女生40d 合计100 （1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关? 请说明理由； （2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取 4 位学 生进行长期跟踪调查，记被抽取的 4 位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数 学期望. 附： 2 2 () (
9、)()()() n adbc K a b c d a c b d 2 0 ()P kk0.150.1000.0500.0250.010 0 k2.0722.7063.8415.0246.635 21已知函数 2 21 lnfxaxax x ， 2 2 lng xax x ，其中aR. （1）当0a 时，求 fx的单调区间； （2）若存在 2 1 ,xe e ，使得不等式 f xg x成立，求a的取值范围. 22. 1.已知函数( ) x f xe（2.71828e 是自然对数的底数）,( )ln(1)g xx. （1）若( )( )( )F xf xg x，求( )F x的极值； （2）对任意
10、0,x 都有( ) 1 ax g x x 成立，求实数a的取值范围. （3）对任意0,x 证明：( )(1)f xg x； 2019-2020 学年度下学期学年度下学期 6 月月考试题月月考试题 参考答案参考答案 1B2C3B4B5B6B7C8D9A10D11D12D 130.1 143,6 解：因为 32 f xxax，则 2 32fxxax ， 若函数 32 f xxax在2,4上是单调递增的函数，则 2 320fxxax 在2,4上恒成 立，即 3 2 ax在2,4上恒成立，因此3a ； 若函数 32 f xxax在2,4上是单调递减的函数，则 2 320fxxax 在2,4上恒成 立，
11、即 3 2 ax在2,4上恒成立，因此6a ； 因为函数 32 f xxax在2,4上不是单调函数， 所以36a. 15930 解：若甲乙都入选，则从其余6人中选出2人，有 2 6 15C 种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不 适合担任四辩手，则有 432 432 214AAA种，故共有15 14210种； 若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有 3 6 20C 种，女生乙不适合担任四辩手，则有 13 33 18C A 种，故共有20 18360种； 若甲乙都不入选，则从其余66 人中选出4人，有 4 6 15C 种，再全排，有 4 4 24A 种，故共有 15 24360种，综上所述
12、，共有210360360930，故答案为930. 16 1 1 , ) 4 e 解：问题等价于当直线y ax 与函数 yf x的图象有2个交点时，求实数a的取值范围 作出函数 yf x的图象如下图所示： 先考虑直线y ax 与曲线lnyx相切时，a的取值， 设切点为,lntt，对函数lnyx求导得 1 y x ，切线方程为 1 lnytxt t ， 即 1 ln1yxt t ，则有 1 ln10 a t t ，解得 1 te a e . 由图象可知， 当 1 a e 时， 直线y ax 与函数 yf x在,1上的图象没有公共点， 在 1,有 一个公共点，不合乎题意； 当 11 4 a e 时，
13、直线y ax 与函数 yf x在,1上的图象没有公共点，在 1,有两个公 共点，合乎题意； 当 1 0 4 a时，直线y ax 与函数 yf x在,1上的图象只有一个公共点，在 1,有两 个公共点，不合乎题意； 当0a 时， 直线y ax 与函数 yf x在,1上的图象只有一个公共点， 在 1,没有公共点， 不合乎题意. 综上所述，实数a的取值范围是 1 1 , 4 e ，故答案为 1 1 , 4 e . 17 解： （1）分两步完成，首先选 3 名男运动员，有 3 6 20C 种选法， 再选 2 名女运动员，有 2 4 6C 种选法， 共有 32 64 120CC种选法. （2）“至少有 1
14、 名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”， 从 10 人中任选 5 人，有 5 10 252C种选法，全是男运动员有 5 6 6C 种选法， 所以“至少有 1 名女运动员”的选法有 55 106 246CC种选法. （3） “只有男队长”的选法有 4 8 C种， “只有女队长”的选法有 4 8 C种， “男女队长都入选”的选法有 3 8 C种， 所以队长中至少有 1 人参加的选法共有 43 88 2196CC种； （4）当有女队长时，其他人选法任意，共有 4 9 C种， 不选女队长，必选男队长，共有 4 8 C种，其中不含女运动员的选法有 4 5 C种，此时共有 44 85 CC种， 所以既
15、要有队长，又要有女运动员的选法共有 444 985 191CCC种. 18 解： （1）因为前 3 项的系数成等差数列，且前三项系数为 012 11 24 nnn CCC， 所以 102 1 4 nnn CCC，即 2 980nn ， 所以1n （舍去）或8n . （2）因为8n ，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即 4 4 4 58 4 135 82 TCxx x . （3）通项公式： 3 8 4 4 188 4 11 ,08 22 rr r r rr r TCxCxrrN x ， 由 3 42 4 r ，8r ， 可得含x的项的系数为 88 8 11 ( ) 2256 C. 19
16、 解：()平均值的估计值 27.5 0.01 32.5 0.0437.5 0.0742.5 0.0647.5 0.02538.539x （） 中位数的估计值： 因为5 0.01 5 0.040.250.5 ， 5 0.065 0.020.40.5 所以中位数位于区间35,40年龄段中，设中位数为x，所以0.250.07350.5x，39x . ()用分层抽样的方法，抽取的 20 人，应有 6 人位于40,45年龄段内，14 人位于40,45年龄段 外。 依题意，X的可能值为 0,1,2 02 614 2 20 91 0 190 C C P X C , 11 614 2 20 42 1 95 C
17、 C P X C , 20 614 2 20 3 2 38 C C P X C X分布列为 012 914233 012 19095385 EX . 20解： （1）因为 100 人中同意父母生“二孩”占 60%， 所以=6040=20a，40535d 文（2）由列联表可得 而 所以有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关 （2）由题知持“同意”态度的学生的频率为， 即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为 .由于总体容量很大， 故 X 服从二项分布， 即从而 X 的分布列为 X01234 X 的数学期望为 21解： （1）函数 yf x的定义域为0,， 2 2
18、22 21212212axaxaxxa fxa xxxx . 当0a 时，令 0fx ，可得 1 0 x a 或2x . 当 1 2 a 时，即当 1 2 a 时，对任意的0 x ， 0fx， 此时，函数 yf x的单调递增区间为0,； 当 1 02 a 时，即当 1 2 a 时， 令 0fx ，得 1 0 x a 或2x ；令 0fx ，得 1 2x a . 此时，函数 yf x的单调递增区间为 1 0, a 和2,，单调递减区间为 1 ,2 a ； 当 1 2 a 时，即当 1 0 2 a时， 令 0fx ，得02x或 1 x a ；令 0fx ，得 1 2x a . 此时，函数 yf x
19、的单调递增区间为0,2和 1 , a ，单调递减区间为 1 2, a ； （2）由题意 f xg x，可得ln0axx，可得 ln x a x ，其中 2 1 ,xe e . 构造函数 ln x h x x ， 2 1 ,xe e ，则 minah x. 2 1 ln x h x x ，令 0h x，得 2 1 ,xee e . 当 1 xe e 时， 0h x；当 2 exe 时， 0h x . 所以，函数 yh x在 1 x e 或 2 xe 处取得最小值， 1 he e Q， 2 2 2 h e e ，则 1 hh e e ， min 1 h xhe e ，ae . 因此，实数a的取值范
20、围是, e. 22. （1）设 1 ( )ln(1)( )00 1 xx F xexF xex x 令 当( 1,0)x ， ( ) 0F x ，当(0,)x， ( ) 0F x 所以当( 1,0)x 时，( )F x单调递减，当(0,)x时，( )F x单调递增 从而当0 x 时，( )F x取得的极小值(0) 1F （2） 令( )(1)ln(1)h xxxax， ( ) ln(1) 1h xxa ，令 ( ) 0h x 解得 1 1. a xe （i）当1a 时， 1 10 a xe 所以对所有0 x ， ( ) 0h x ；( )h x在0,)上是增函数. 所以有( )(0)0(0)h
21、 xhx 即当1a 时，对于所有0 x ，都有( ) 1 ax g x x . （ii）当1a 时，对于 1 01,( )0 a xeh x ，所以( )h x在 1 (0,1) a e 上是减函数，从而对于 1 01 a xe 有( )(0)0h xh，即(1)ln(1)xxax，所以当1a 时，不是对所有的0 x 都有( ) 1 ax g x x 成立. 综上，a的取值范围是.1 ,( （3）证明：令( )1 x G xex， ( ) 1 x G xe，当(0,)x， ( ) 0G x 所以当(0,)x时( )G x单调递增；( )(0)0(0)G xGx； 所以10 x ex ln(1)xx，(1)ln(2)(1)xxg x ( )1(1) x f xexg x 所以( )(1)f xg x
