1、2020-2021 学年度第二学期第三次统考 高二理数 总分：150 分时间：120 分钟 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的 1.已知复数 32 32 i Z i ，则Z 在复平面内对应的点位于 （） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 2.某个命题与正整数有关，如果当 * ()nk kN时，该命题成立，那么可推得1nk 时 命 题 也 成 立 现 在 已 知 当5n 时 ， 该 命 题 不 成 立 ， 那 么 可 推 得 () A当6n 时该命题不成立B当6n 时该命题成立 C当4n 时该命题不成立D当4n
2、 时该命题成立 3.函数 2 sin x f xex的图象在点(0,(0)f处的切线方程为 （） A 1yxB21yxC21yxD1yx 4. 学校舞蹈社为了研究男女学生对舞蹈的喜爱程度， 随机调查学校 110 名学生是否喜欢 跳舞，由列联表和公式 2 2 n adbc K abcdacbd 计算出 2 K ，并由此作出结 论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则 2 K 可以为 （） 2 0 ()P Kk0.100.050.0250.010 k2.7063.8415.0246.635 A.3.565B.4.204C.5.233D.6.842 5 一袋中有大小相同的4 个红球和
3、2 个白球， 给出下列 4 个结论， 其中不不正确的是 （） A从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是 3 5 B从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为 4 3 C现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二次再 次取到 红球的概率为 2 5 D从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 26 27 6. 已知函数 yf x的部分图象如图所示，则 f x的解析式 可能为（） A 1 sin 2 f xxxB 1 sin 2 fxxx C 1 cos 2 f xxxD 1 ( )cos 2 f xxx 7.曲线 2 2
4、yxx与直线1x ，1x 及x轴所围成的图形的面积为 （） A2B 8 3 C 4 3 D 2 3 8. 5 2 2 1 2x x 的展开式中常数项是 （） A-252B-220C220D252 9. 五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B两种必须相邻，而,C D两种不能相邻， 则不同排法共有 （） A12B20C24D48 10.已知 12 ,x x， 3 x R， 123 xxx，设 12 1 2 xx y ， 23 2 2 xx y ， 31 3 2 xx y ， 12 1 2 yy z ， 23 2 2 yy z ， 31 3 2 yy z ，若随机变量, ,X Y Z满足： (
5、iii P XxP YyP Zz 1 (1,2,3) 3 i则 （） A()( )( )D XD YD ZB()( )( )D XD YD Z C()( )( )D XD ZD YD()( )( )D XD ZD Y 11.已知函数 2 sin 20191 x f xx ，其中 fx为函数 f x的导数，求 20182018 20192019ffff （） A.2B.2019C.2018D.0 12.已知函数 ( )f x的导函数( )fx满足(ln )( )( )xxx fxf x 对 1 ,x e 恒成立， 则下列不等式中一定成立的是 （） A.2 (1)( )ff eB. 2 (1)(
6、)e ff eC.2 (1)( )ff eD. (1)( )eff e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 甲、乙、丙、丁 4 位同学各自对 A，B 两变量进行回归分析，分别得到散点图与残 差平方和 2 1 () n ii i yy 如下表： 甲乙丙丁 散点图 残差平方和115106124103 则试验结果体现拟合 A，B 两变量关系的模型拟合精度高的同学是 14. 某高校高三年级理科共有 1500 人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩服从正 态分布N（100，100） ，则这次考试年级数学成绩超过 120 分的人数约为(精确 到个位) 参考数据：若服从正
7、态分布 N（，2） ，有 P（+）0.6826，P（2 +2）0.9544，P（3+3）0.9974 15.观察下列各式： 3 11 ； 3 235； 3 379 11； 3 413 15 1719； 若 3* ()m mN按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m的值为 _ 16. 已知函数 sin2sinf xxx，则 f x的最大值为_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤 17 （本题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线 1 C：2x ，圆 2 C： 22 (1)(2)1xy，以坐标原点为 极点，x轴的正半
8、轴为极轴建立极坐标系 （）求 1 C， 2 C的极坐标方程； （）若直线 3 C的极坐标方程为 4 R ,设 2 C与 3 C的交点为M,N,求 2 C MN 的面积 18. （本题满分 12 分） 已知等差数列 n a中，公差0d ， 7 35S ，且 2 a， 5 a， 11 a成等比数列 （）求数列 n a的通项公式； （）若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和，且存在*nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求 实数的取值范围 19. （本题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，/AB CD，ABAD， 1 2 CDPDADAB. （）求证：
9、平面PBC 平面PAB； （）若2APDC，求二面角DPCB的正弦值. 20. （本题满分 12 分） 在平面直角坐标平面中，ABC的周长为2 32 2，两个顶点为 2,0 ,2,0BC， （）求顶点A的轨迹E的方程； （）过点 2,0C作两条互相垂直的直线 12 ,l l，直线 12 ,l l与点A的轨迹E相交弦分 别为 1122 ,AB A B，求四边形 1212 A A B B的面积S的最小值； 21 （本题满分 12 分） 2020 年是不平凡的一年，“新冠病毒”影响全世界，中国在这场“斗争”中取得了全面 的胜利为防止病毒传播，武汉封城，并对部分地区的每个居民的血液进行检验现有 两种方
10、案， 方案一：依次检查，N个人需要N次 方案二：先把受检验者分组，假设每组k个人，把这k个人的血液混合在一起进行检验， 如果检验结果为阴性，说明这k个人血液全为阴性，因而这k个人总共只要检验 1 次就 够了， 检验工作量减少了 但如果检验结果为阳性， 为明确k个人中是哪几个人为阳性， 就要对这k个人再一一进行检验，这时检验的总次数为1k 次 在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阴性还是阳性是独立的，假设每个人都是阳 性结果的概率为 p采用方案二，设人均检验次数为X （）求X的分布列及期望值E X，并指出p，k满足什么条件时采用方案二好； （）若某小区有 10000 人，采用方案二，若0.1p
11、 ，4k 这 10000 人检验次数为 Y，求 E Y 22.（本题满分 12 分） 已知函数( )lnf xxxa （）若( )0f x ，求a的取值范围； （）若 ( )f x有两个零点m，n，且mn ，证明： 1 11 2eanm nm 理科数学（答案） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的 DCDDCAAACBAC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 丁14. 34 人15. 4516. 4 3 9 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明
12、过程 及演算步骤 17 （本题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线 1 C：2x ，圆 2 C： 22 (1)(2)1xy，以坐标原点为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 1 C， 2 C的极坐标方程； （） 若直线 3 C的极坐标方程为 4 R ,设 2 C与 3 C的交点为M,N,求 2 C MN的 面积 解： （）因为cos ,sinxy， 1 C的极坐标方程为cos2 ， 2 C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin40 （）将= 4 代入 2 2 cos4 sin40，得 2 3 240， 解得 1 =2 2， 2 =2，|MN|= 1 2 =2， 因为 2 C
13、的半径为 1，则 2 C MN的面积 o 1 2 1 sin45 2 = 1 2 18. （本题满分 12 分） 已知等差数列 n a中，公差0d ， 7 35S ，且 2 a， 5 a， 11 a成等比数列 （）求数列 n a的通项公式； （）若 n T为数列 1 1 nn a a 的前n项和，且存在*nN，使得 1 0 nn Ta 成立，求实 数的取值范围 解： （）由题意可得 1 2 111 7 6 735, 2 410, ad adadad 即 1 2 1 35, 2. ad da d 又因为0d ，所以 1 2, 1. a d 所以1 n an. （）因为 1 1111 1212 n
14、n a annnn ，所以 111111 233412 n T nn 11 2222 n nn . 因为存在 * Nn ， 使得 1 0 nn Ta 成立， 所以存在 * Nn ， 使得 20 22 n n n 成立，即存在 * Nn ，使得 2 22 n n 成立. 又 2 111 4416 22 2424 n n nn nn （当且仅当2n 时取等号）. 所以 1 16 ，即实数的取值范围是 1 , 16 . 19.（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，/AB CD，ABAD， 1 2 CDPDADAB. （）求证：平面PBC 平面PAB； （）若2
15、APDC，求二面角DPCB的正弦值. （）证明：作PB的中点 E，AP的中点 F，连接DF，EF，EC， 因为点 E 是PB中点，点 F 是PA中点，所以/EF AB，且 2 AB EF . 又因为/AB CD，且 2 AB CD ，所以/EF CD，且EFCD， 所以四边形EFDC为平行四边形，所以/CE DF. 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB 平面 ABCD， 所以AB 平面PAD，又DF 平面PAD，所以ABDF. 因为PDAD，点 F 为PA的中点，所以DFAP. 因为/CE DF，所以CEAB，CEAP. 又APABA，,AP AB 平面PA
16、B，所以CE 平面PAB. 又因为CE 平面PBC，所以平面PBC 平面PAB. （）解：作AD，BC的中点分别为 O，G，连结OP，OG，则/OG AB， 因为AB 平面PAD，,PO AD 平面PAD，所以ABPO，ABAD，所以 OGAD，OGPO. 因为2APDC，2CDPDAD，所以APD为正三角形， 所以POAD，3DFPO，4AB . 所以POOG，POAD，OGAD，即OA，OG，OP两两垂直， 以点 O 为坐标原点，分别以OA ，OG ，OP 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角 坐标系Oxyz（如图所示）. 则 0,0, 3P，1,2,0C ，1,0,0D ，1,
17、4,0B， 所以 1,0,3PD ， 1,2,3PC ，2, 2,0BC . 设平面PDC的法向量, ,nx y z ，则 0, 0, n PD n PC 即 30, 230, xz xyz 解得 3 , 0, xz y 取1z ，则 3,0,1n ； 设平面PBC的法向量,mx y z ，则 0, 0, m PC m BC 所以 230, 220, xyz xy 解得 , 3 , yx zx 取1x ，则 1,1, 3m . 所以 2 315 cos, 52 5 m n m n m n ，所以 310 sin,1 55 m n . 所以二面角DPCB的正弦值为 10 5 . 20.（本题满分
18、 12 分） 在平面直角坐标平面中，ABC的周长为2 32 2， 两个顶点为 2,0 ,2,0BC， （）求顶点A的轨迹E的方程； （）过点2,0F作两条互相垂直的直线 12 ,l l，直线 12 ,l l与点A的轨迹E相交弦分别为 1122 ,AB A B，设弦 1122 ,AB A B的中点分别为,M N求四边形 1212 A A B B的面积S的最小值； 解： （） 2 2 10 3 x yx； （）解：2,0F恰为 2 2 1 3 x y的右焦点， 直线 12 ,l l的斜率存且不为 0 时，设直线 1 l的方程为 2myx， 由 22 22 2 32 210 330 myx mymy
19、 xy ， 设 111122 ,A x yB xy则 1212 22 2 21 , 33 m yyy y mm ， 又 2 121212 22 2 26 2 222 22 2 33 m xxmymym yy mm ， 所以 2 11 22 2 31 4 3 2 3 33 m AB mm ， 同理 2 2 22 2 2 1 2 31 2 31 1 31 3 m m A B m m ， 则 22 22 2 22 2 11 3 66 2331 41 2 mm S mm m ， 当 22 331mm，即1m 时取等号 21 （本题满分 12 分） 2020 年是不平凡的一年， “新冠病毒”影响全世界，
20、 中国在这场“斗争”中取得了全面的胜利 为 防止病毒传播，武汉封城，并对部分地区的每个居民的血液进行检验现有两种方案， 方案一：依次检查，N个人需要N次 方案二：先把受检验者分组，假设每组k个人，把这k个人的血液混合在一起进行检验，如 果检验结果为阴性，说明这k个人血液全为阴性，因而这k个人总共只要检验 1 次就够了， 检验工作量减少了但如果检验结果为阳性，为明确k个人中是哪几个人为阳性，就要对这 k个人再一一进行检验，这时检验的总次数为1k 次 在接受检验的人群中， 每个人的检验结果是阴性还是阳性是独立的， 假设每个人都是阳性结 果的概率为p采用方案二，设人均检验次数为X （）求X的分布列及
21、期望值E X，并指出p，k满足什么条件时采用方案二好； （）若某小区有 10000 人，采用方案二，若0.1p ，4k 这 10000 人检验次数为Y， 求 E Y 解： （）采用方案二，每组k人，人均检验次数X的分布列为 X 1 k 1 k k P1 k p11 k p 11 111 kkk EpXp kk 1 11 k p k 当1E X ，即 1 1 k p k ， 1 1 k p k 时，方案二好 （）0.1p ，4k 时， 4 1 1 0.90.5939 4 E X ， 10000YX，所以 10000 0.59395939E Y 22 （本题满分 12 分） 已知函数( )lnf
22、xxxa （）若( )0f x ，求a的取值范围； （）若 ( )f x有两个零点m，n，且mn ，证明： 1 11 2eanm nm 解： （） ( )f x的定义域为(0,)， 1 ( )1fx x 01x时，( )0fx ；1x 时，( )0fx， 所以 ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)单调递减 即1x 时， ( )f x取得最大值(1)1fa，依题意， 10a ，故1a （）由（1）知，1a ，01mn ， 由题得ln0,ln, x a xxaxxaxe ， 所以 11 1 1 , xx x aa a ee xexe ex ，所以 11 1 ee e mn a mn 所以 1 1 12e 2e m a m mm 12 12e1 m m m mm ； 1 1 12e 2e n a n nn 12 12e1 n n n nn 令 12 ( )2e1 x g xx ，则 11 ( )222() xx g xexex ， 由（1）知，ln1xx，等号当且仅当1x 时成立， 所以 1 exx ，等号当且仅当1x 时成立，于是可得( )0g x ，即( )g x单调递增， 因此，当01x时，( )(1)0g xg；当1x 时，( )(1)0g xg， 所以 1 1 2e0 a n n ， 1 1 2e0 a m m ，故 1 11 2eanm nm
