1、2019-2020 学年度第二学期期末质量检测 高二（文科）数学试题 本试卷分第卷（选择题 60 分）和第卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，考 试时间 120 分钟. 第卷（选择题满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ） 1. 在复平面内，复数 i z 1 1 (其中i为虚数单位)对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 下列说法正确的是 A.“0)0(f”是“函数)(xf为奇函数”的充分不必要条件 B. 若01,: 0 2 00 xxRxp，则0
2、1,: 2 xxRxp C.“若 6 ，则 2 1 sin”的否命题是“若 6 ，则 2 1 sin” D. 若qp 为假命题，则qp,均为假命题 3. 利用反证法证明命题“若0yx，则0 yx”，以下假设正确的是 A.yx,都不为 0B.yx,不都为 0 C.yx,都不为 0，且yx D.yx,至少有一个为 0 4. 若双曲线1: 2 2 y a x C的一条渐近线方程为023yx，则a= A. 9 4 B. 4 9 C. 3 2 D. 2 3 5. 下列说法正确的是 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状 区域越窄，说明回归方程的预报精度越高； 在独立
3、性检验时，两个变量的22列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明“这 两个变量没有关系”成立的可能性就越大； 在回归直线方程122 . 0 xy中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 y 就增加 0.2 个单位； 2 R越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好。 A. B. C. D. 6. 函数xxfxfcossin)()(，则)(f= A. 0B. 1C. -1D. 1 7. 若直线042myx经过抛物线 2 2xy 的焦点，则m= A. 2 1 B. 2 1 C.2D.2 8. 孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出 否 1nn 2,25mn 开始 3 nm 为
4、整数？ 了寻找有共同余数的整数问题的一般解法. 下图是某同学 为寻找有共同余数为 2 的整数n而设计的程序框图，若执 行该程序框图，则输出的结果为 A. 29B. 30C. 31D. 32 9. 已知函数 x xf 1 )(的导函数为)(x f ，若)()( 21 xfxf， 则 21,x x的大小关系不可能为 A. 12 0 xxB. 21 0 xx C. 12 0 xxD. 21 0 xx 10.平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之 和为定值 3 2 a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任 一点到四个面的距离之和为 A 4 3 aB 5 4 aC 6 3 aD 6 4 a
5、 11.已知)(x f 是函数)(xf的导函数，且对任意的实数x都有)()(xfexf x ，5)0(f， 则不等式5 )( x e xf 的解集为 A) 1 ,(B)0 ,(C), 1 ( D), 0( 12.已知平面内与两定点距离的比为常数 k（k0，且 k1）的点的轨迹是圆，这个圆称为 阿波罗尼斯圆现有椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，A，B 为长轴端点，C，D 为短轴端点， 动点 M 满足2 MB MA ，MAB 面积的最大值为 8，MCD 面积的最小值为 1，则椭圆的 离 心率为 A. 3 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 2 3 第卷（非选择题满分90分）
6、 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13.向量) 1 ,(xa 与向量) 3 , 2( xb平行的充要条件是实数x= 14.已知变量YX,，由它们的样本数据计算得到 2 K 的观测值， 2 K 的部分临界值表 如下： 则最大有的把握说变量YX,有关系.（填百分数） 15.已知 P 为双曲线 C：1 4 2 2 y x右支上一点， 21,F F分别为 C 的左、右焦点，且线段 2121 ,BBAA分 别 为 C 的 实 轴 与 虚 轴 . 若| |,| |,| 12121 PFBBAA成 等 比 数 列 ， 则 | 2 PF=. 16.已知整数对按如图规律排成一个
7、“数对三角形”，照此规律，则第 68 个数对是. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分） 已知命题:p方程1 2 22 m yx 表示焦点在x轴上的椭圆，命题Rxq:,不等式 0322 2 mmxx恒成立. （1）若“q”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若“qp ”为假命题，“qp”为真命题，求实数m的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 已知函数xbxaxxf3)( 23 在1x处取得极值. （1）求a和b的值以及函数)(xf的极大值和极小值; （2）过点)16, 0(A作曲线)(xfy 的切线,求此
8、切线的方程. 19.（本小题满分 12 分） 已知点)8 , 2(A，),( 11 yxB，),( 22 yxC在抛物线pxy2 2 上，ABC的重心与此抛物线 的焦点F重合（如图） （1）求线段BC中点M的坐标； （2）求BC所在直线的方程. 20.（本小题满分 12 分） 二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数1(0)0 xx与销售价格 y（单位：万元/辆）进行整理，得到下表的对应数据： 使用年数246810 售价16139.574.5 （1）试求y关于x的回归直线方程； （2） 已知每辆该型号汽车的收购价格为 2 0.051.7517.2wxx(单位： 万元)， 根据 （
9、1） 中所求的回归方程，预测当x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大? 参考公式： 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ， a ybx 21.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点F坐标为 )0 , 1(，BA,分别为椭圆 C 的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆 C 于ED,两点（其中 D在x轴上方） ，当直线l垂直于x轴时，3|DE （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若AEF与BDF的面积之比为 1：7，求直线l的方程 22.（本小题满分 12 分） 已
10、知函数xaxaxxfln) 1( 2 1 )( 2 . （1）求函数)(xf的单调递增区间； （2）任取5 , 3a，函数)(xf对任意)(3 , 1 , 2121 xxxx，恒有 | )()(| 2121 xxxfxf成立，求实数的取值范围. 20192020 学年度第二学期期末质量检测 高二（文科）数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ） 题号123456789101112 答案DCBADCBDBCBD 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13.114.%9515.616.)11, 2( 三、解答题（本大题共
11、6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.（本小题满分 10 分） 解： （1）因为Rx，不等式0322 2 mmxx恒成立， 所以0) 32( 44 2 mm，解得31m，2 分 又“q”是真命题等价于“q”是假命题， 所以实数m的取值范围是), 3 1,(4 分 （2）方程1 2 22 m yx 表示焦点在x轴上的椭圆，则20m5 分 由题意可知qp,一个为真命题，一个为假命题， 当p真q假时，有 31 20 mm m 或 ，此时无解，7 分 当p假q真时，有 13 02 m mm 或 ，此时3201mm或，9 分 综上所述，实数m的取值范围是) 3 , 2
12、0 , 1(10 分 18.（本小题满分 12 分） 解: （1）323)( 2 bxaxxf，由题意可知1x是方程0323 2 bxax的两根，可 得0, 1ba，3 分 所 以) 1)(1( 333)( 2 xxxxf，) 1,(x时 ，0)( x f，) 1 , 1(x时 ， 0)( x f，), 1 ( x时，0)( x f，)(xf在1x处取得极大值 2，在1x处取得极 小值-2；6 分 （2） 3 ( )3f xxx，点)16, 0(A不在曲线)(xfy 上，设切点坐标为),( 00 yx， 则有33 163 2 0 0 0 3 0 x x xx ， 解得2 0 x，9 分 所以切
13、线的斜率为 9，所求的切线方程为169 xy12 分 19.（本小题满分 12 分） 解： （1）由点)8 , 2(A在抛物线pxy2 2 上，有2282p，解得16p.所以抛物线方程为 xy32 2 ，焦点F的坐标为)0 , 8(2 分 由于F是ABC的重心，M是线段BC的中点,所以2AFFM ,设点M的坐标为),( 00 yx, 则 00 (6, 8),(8,)AFFMxy 0 0 62(8) 82 x y 解得 00 11,4xy ，所以点M的坐标为)4,11(6 分 （2）由 2 2 2 1 2 1 32 32 xy xy 得)(32)( 121212 xxyyyy8 分 因为8 21
14、 yy，所以4 12 12 xx yy ,10 分 因此BC所在直线的方程为)11(4)4(xy，即0404 yx.12 分 20.（本小题满分 12 分） 解： （1）由表中数据得2468 1()6 5 0 1 x ， 16 13 9. 1 () 5 574.510y，2 分 222222 2 164 136 9.58 7 10 4.5 5 6 10 1.45 2468105 6 b ， 10( 1.45) 618.7a ， 所以y关于x的回归直线方程为1.4518.7yx6 分 （2）根据题意，利润函数为 2 ()1.4518.70.051.7517.(2)zywxxx 2 0.050.3
15、1.5xx ，9 分 所以当 0.3 3 2 ( 0.05) x 时，二次函数z取得最大值， 即预测3x 时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大12 分 21.（本小题满分 12 分） 解： （1）设焦距为c2,易知1c，由 1 1 4 91 22 22 ab ba，解得 3 4 2 2 b a ， 所以椭圆的方程为1 34 22 yx 5 分 （2）设 122211 0),(),(, 1:yyyxEyxDmyxl， 21 2 1 3 7 7 3 yy y y S S AEF BDF ，7 分 096)43( 1 1243 22 22 myym myx yx ，0) 1(144 2 m
16、43 6 2 21 m m yy，； 43 9 2 21 m yy；9 分 由得： )43(2 9 2 2 m m y，00 )43(2 21 2 1 m m m y， 代入得： 9 16 43 9 )43(4 189 2 222 2 m mm m ，又0m，故 3 4 m 因此，直线l的方程为 4 3 4 3 xy12 分 22.（本小题满分 12 分） 解： （1）)0( )(1( 1)( x x axx x a axxf2 分 当1a时，0 ) 1( )( 2 x x xf，所以)(xf在), 0( 上单调递增； 当1a时， 由0 )(1( )( x axx xf解得) 1 , 0(x或
17、),( a， 所以)(xf在) 1 , 0(，),( a 上单调递增； 当10 a时，由0 )(1( )( x axx xf解得), 0(ax或), 1 ( ，所以)(xf在), 0(a， ), 1 ( 上单调递增； 当0a时，由0 )(1( )( x axx xf解得), 1 ( x，所以)(xf在), 1 ( 上单调递增 5 分 综上所述： 当1a时，单调递增区间为) 1 , 0(和),( a； 当1a时，单调递增区间为), 0( ； 当10 a时，单调递增区间为), 0(a和), 1 ( ； 当0a时，单调递增区间为), 1 ( 6 分 （2）因为5 , 3a，由（1）得，)(xf在 3
18、 , 1 上单调递减，不妨设 21 xx ， 由| )()(| 2121 xxxfxf得 1221 )()(xxxfxf， 即 2211 )()(xxfxxf 令) 31 ()()(xxxfxh，8 分 1)(a x a xxh，只需0)( x h恒成立， 即1) 1 1 (x x a（5 , 3a， 3 , 1 x）恒成立， max 11 1,3 ,10,()5(1)1xx xx 右 即1) 1 1 (5x x （ 3 , 1 x）恒成立， 即) 5 (6 x x（ 3 , 1 x）恒成立，10 分 因为526) 5 (6 x x（当且仅当5x时取等号） ， 所以实数的取值范围是), 52612 分
