1、1 甘肃省平凉市甘肃省平凉市 2021 年初中毕业、高中招生考试年初中毕业、高中招生考试 数学试题（卷）数学试题（卷） 考生注意：本试卷满分考生注意：本试卷满分 150 分，考试时间为分，考试时间为 120 分钟分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无效所有试题均在答题卡上作答，否则无效. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确选项分，每小题只有一个正确选项. 13 的倒数是（） A3B3C 1 3 D 1 3 22021 年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、 创新发展拓荒
2、牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展” ，下面的剪纸 作品是轴对称图形的是（） ABCD 3下列运算正确的是（） A333B4 554C326D3284 4中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”! 中国外交部数据显示，截止 2021 年 3 月底，我国已无偿向 80 个国家和 3 个国际组织提供疫苗援助.预计 2022 年中国新冠疫苗产能有望达到 50 亿剂，约占 全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献.数据“50 亿”用科学记数法表示为（） A5108B5109C51010D50108 5将直线 y5x 向下平移 2 个单位长度，所得直线的表达式为（） Ay5x2By5x+
3、2Cy5（x+2）Dy5（x2） 6如图，直线 DEBF，RtABC 的顶点 B 在 BF 上，若CBF20，则ADE（） A70B60 C75D80 7如图，点, ,A B C D E在O上，ABCD， 42AOB ，则CED（） A48B24 C22D21（第 6 题图）（第 7 题图） 8我国古代数学著作孙子算经有“多人共车”问题： “今有三人共车，二车空；二人共车，九 人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每 3 人坐一辆车，那么有 2 辆空 车；如果每 2 人坐一辆车，那么有 9 人需要步行，问人与车各多少？设共有 x 人，y 辆车，则可 列方程组为（） A 3(
4、2) 29 yx yx B 3(2) 29 yx yx C 3(2) 29 yx yx D 3(2) 29 yx yx 2 9对于任意的有理数 a，b，如果满足 2323 abab ，那么我们称这一对数 a，b 为“相随数对” ， 记为（a，b）.若（m，n）是“相随数对” ，则 3m+23m+（2n1）（） A2B1C2D3 10如图 1，在ABC 中，ABBC，BDAC 于点 D（ADBD）.动点 M 从 A 点出发，沿折线 AB BC 方向运动，运动到点 C 停止.设点 M 的运动路程为 x，AMD 的面积为 y，y 与 x 的函数图 象如图 2，则 AC 的长为（） A3B6 C8D9
5、 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分. 11因式分解：4m2m2.（第 10 题图） 12关于 x 的不等式 11 1 32 x 的解集是. 13关于 x 的方程 2 20 xxk有两个相等的实数根，则k的值是. 14开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续 14 天进行了体温测量，结果统计如表： 体温 （） 36.336.436.536.6 36.736.8 天数 （天）233411 这 14 天中，小芸体温的众数是. 15如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，AED90，（第 15 题图） EAD30，F 是 A
6、D 边的中点，EF4cm，则 BEcm. 16若点 A（3，y1） ，B（4，y2）在反比例函数 2 1a y x 的图象上， 则 y1y2.（填“”或“”或“” ） 17如图，从一块直径为 4dm 的圆形铁皮上剪出一圆心角为 90的（第 17 题图） 扇形，则此扇形的面积为dm2. 18 一组按规律排列的代数式： a+2b， a22b3， a3+2b5， a42b7， ， 则第 n 个式子是. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 38 分分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （6 分）计算：
7、01 1 (2021)( )2cos45 2 . 20 （6 分）先化简，再求值： 2 2 24 2 244 xx xxx ，其中 x4. 3 21 （8 分）在阿基米德全集中的引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一 个引理.如图，已知AB，C 是弦 AB 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程. （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ； 作线段 AC 的垂直平分线 DE，分别交AB于点 D，AC 于点 E，连接 AD，CD； 以点 D 为圆心，DA 长为半径作弧，交AB于点 F（F，A 两点不重合） ，连接 DF，BD，BF. （2）直接写出引理的结论：线段 BC，B
8、F 的数量关系. （第 21 题图） 22 （8 分）如图 1 是平凉市地标建筑“大明宝塔” ，始建于明嘉靖十四年（1535 年） ，是明代平凉韩 王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛， 与崆峒山的凌空塔遥相呼应， 被誉为平凉古塔 “双璧” . 某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图 2，宝塔 CD 垂直于地面，在地面上选取 A，B 两处分别测得CAD 和CBD 的 度数（A，D，B 在同一条直线上）. 数据收集：通过实地测量：地面上 A，B 两点的距离为 58m，CAD42，CBD58. 问题解决：求宝塔 CD 的高度（结果保留一位小数）. 参
9、考数据： sin420.67， cos420.74， tan420.90， sin580.85， cos580.53， tan58 1.60.根据上述方案及数据，请你完成求解过程. （第 22 题图） 4 23 （10 分）一个不透明的箱子里装有 3 个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完 全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重 复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于 0.75 左右. （1）请你估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出 1 个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出 1 个小球，求两次 摸出的小球颜色恰好不
10、同的概率（用画树状图或列表的方法）. 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 50 分分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 24 （8 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主 题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 A，B，C，D，E 五 个等级，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题： （第 24 题图） （1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中 m； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）
11、所抽取学生成绩的中位数落在等级； （4）若成绩在 80 分及以上为优秀，全校共有 2000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ 等级成绩 x A50 x60 B60 x70 C70 x80 D80 x90 E90 x100 5 25 （10 分）如图 1 所示，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图 书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）.小刚离家 的距离 y（m）与他所用的时间 x（min）的函数关系如图 2 所示. （1）小刚家与学校的距离为m，小刚骑自行车的速度为m/min； （2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y 与 x
12、的函数表达式； （3）小刚出发 35 分钟时，他离家有多远？ （第 25 题图） 26 （10 分）如图，ABC 内接于O，D 是O 的直径 AB 的延长线上一点，DCBOAC.过圆 心 O 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E. （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 CD4，CE6，求O 的半径及 tanOCB 的值. （第 26 题图） 6 27 （10 分）问题解决：如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DEAF,DEAF 于点 G. （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； （2）延长 CB 到点 H，使得 BHAE，判断AHF 的形状，并
13、说明理由. 类比迁移：如图 2，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DE 与 AF 相交于点 G，DE AF，AED60，AE6，BF2，求 DE 的长. （第 27 题图） 7 28 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与坐标轴交于 A（0，2） ，B（4， 0）两点，直线 BC：y2x+8 交 y 轴于点 C.点 D 为直线 AB 下方抛物线上一动点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 G，DG 分别交直线 BC，AB 于点 E，F. （1）求抛物线 yx2+bx+c 的表达式； （2）当 GF时，连接 BD，求BDF 的面积； （3）H
14、 是 y 轴上一点，当四边形 BEHF 是矩形时，求点 H 的坐标； 在的条件下，第一象限有一动点 P，满足 PHPC+2，求PHB 周长的最小值. （第 28 题图） 8 平凉市 2021 年初中毕业、高中招生考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 题号12345678910 答案DBCBAADCAB 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4分，共分，共32分分. 11.2 (2)mm12. 9 2 x 13.114.36.615.616. 17.218. 121 ( 1)2 nnn ab 或【n为
15、奇数时， 21 2 nn ab ；n为偶数时， 21 2 nn ab 写对一个给 2 分】 三、解答题（一）：本大题共 5 小题，共 38分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. (解法合理、答案正确均可得分) 19.（6 分） 解：原式= 2 1+22 2 5 分 =326 分 20.（6 分） 解：原式= 2 2422 22(2)(2) xxx xxxx （） 4 分 = 42 22 x xx = 4 2x 5 分 当4x 时，原式= 42 423 . 6 分 21(8 分) 解：(1) 作出线段AC 的垂直平分线DE，连接AD，CD；.4 分 以D 为圆心，DA 长为半径作
16、弧，交AB于点F,连接DF，BD，BF .6 分 (2) BCBF.8 分 22(8 分) 9 解：设CDxm，. 1 分 在Rt ACD中， tantan420.9 CDxx AD CAD 3 分 在Rt CBD中， tantan581.6 CDxx BD CBD 5 分 ADBDAB,58 0.91.6 xx ，解得33.4x 7 分 答：宝塔的高度约为33.4 m (注：注：CD33.5 也也得得分分).8 分 23(10分) 解：(1) 通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.75 左右， 估计摸到红球的概率为 0.75， 设白球有x 个，依题意得 3 3 x0.75，.3
17、分 解得，x1.即箱子里可能有1 个白球；.4 分 (2)列表如下： 红1红2红3白 红1(红1，红1)(红1，红2)(红1，红3)(红1，白) 红2(红2，红1)(红2，红2)(红2，红3)(红2，白) 红3(红3，红1)(红3，红2)(红3，红3)(红3，白) 白(白， 红1)(白， 红2)(白， 红3)(白， 白) 或画树状图如 下： 第 一 次 .6 分 一共有 16 种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有: (红1，白)、(红2，白)、(红3，白)、(白，红1)、(白，红2)、(白，红3)共6 种 .8 分 两次摸出的小球恰好颜色不同的概率 63 = 168 .10 分 四、
18、解答题：本大题共 5 小题，共 50分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. (解法合理、答案正确均可得分) 24(8 分) 第二次 10 解：(1) 200，16； 2 分 (2)如图所示： 4 分 (3) C；6 分 (4)根据题意得， 70+24 2000=940 200 （人） 答：全校2000 名学生中，估计成绩优秀的学生有940 人8 分 25( 10 分) 解：(1) 3000，200；.3 分 (2) 小刚从图书馆返回家的时间：500020025(min) 总时间：25+2045(min). 5 分 设 返 回 时， y与 x的函数表达式为 ykx+b， 把(20
19、， 5000)，(45，0)代入得， 205000200 6 4509000 kbk kbb ，解得分 2009000,(2045)7yxx 分 （自变量范围不写不扣分） (3)小刚出发 35 分钟，即当 x35 时， y-20035+90002000.9 分 答：此时他离家2000 m.10 分 26. (10分) (1) 证明：如图， OAOC， OACOCA DCBOAC， OCADCB2 分 AB 是O 的直径， 11 ACB90,3 分 OCAOCB90, DCBOCB90， 即OCD=90, OCDC4 分 又 OC 是O 的半径， CD 是O 的切线.5 分 (2) BCOE，,
20、 BDCD OBCE 即 42 63 BD OB .6 分 设 BD2x，则 OBOC3x，ODOBBD5x OCDC， OC2CD2OD2.7 分 (3x)242(5x)2,解得，x1 OC3x3即O 的半径为3. 8 分 BCOE， OCBEOC， 在RtOCE 中， 6 tan2 3 EC EOC OC tanOCBtanEOC2.10 分 27(10分) 解：问题解决： (1) 证明：如图 1， 四边形 ABCD 是矩形， ABCDAB90 BAFGAD90 图1 DEAF， ADGGAD90 BAFADG.2 分 又 AFDE， ABFDAE(AAS), ABAD 矩形ABCD 是正
21、方形. 3 分 (2) AHF 是等腰三角形理由如下： ABAD，ABHDAE90，BHAE，.4 分 ABHDAE(SAS)， AHDE.6 分 又 DEAF， AHAF，即AHF 是等腰三角形. 6 分 类比迁移： 12 如图 2，延长 CB 到点 H，使得 BHAE6，连接 AH 四边形 ABCD 是菱形， ADBC，AB=AD， ABHBAD BHAE， ABHDAE（SAS）.8 分 AHDE，AHBDEA60 又 DEAF， AHAF 图2 AHB60， AHF 是等边三角形，.9 分 AHHF， DEAHHFHBBF628.10 分 28.（12分） 解：（1）抛物线 2 1 2
22、 yxbxc过(0, 2), (4,0)AB两点 2 840 c bc 解得 3 2 2 b c 3分 抛物线的解析式为 2 13 2 22 yxx.4分 （2）(0, 2), (4,0)AB,2,4OAOB. 又GFx轴，OAx轴 在Rt BOA与Rt BGF中，tan OAGF ABO OBGB ,即 1 2 2 = 4GB 5分. 1,4 13GBOGOBGB .4分 当3x 时， 2 13 3222 22 D y ,(3, 2)D,即2GD .7分. 13 2 22 FDGDGF, 1133 1 2224 BDF SFD BG .8分. (3) 【方法 1】如 图 1所示， 四边形 B
23、EHF 是矩形, EHBF，EHBF, HEFBFE， 过H 作HMEF 于点M， EMHFGB90 ， EMHFGB(AAS), MHGB，EMFG HMOG， 1 2 2 OGGBOB.9 分 13 由直线 AB 过点(0, 2)A和点 B(4，0)，得直线AB： 1 2 2 yx. 设( , 28)E aa, 1 ( ,2) 2 F aa , 由MHBG得04aa, 解得 a2 E(2，4)，F(2，-1), FG1由EMFG 得41 H y，解得，yH3, H(0，3)10分 【方法 2】如图 2，连接 BH，交 EF 于点 N. 四边形 BEHF 是矩形， 1 , 2 EFBH BNNHBH 四边形BEHF 是矩形， HFBC,1 CHBF AHAF ACOCAO8210， CH5, 358CHOCOH H(0，3) 如图2所示， 2222 345HBOHOB PHPC2， CPHBPHPBHBPC2PB5PCPB7 要使CPHB最小，就要PCPB 最小.11 分 PCPBBC， 当点 P 在 BC 上时，PCPB=BC 为最小 2222 844 5BCOCOB. PHB 周长的最小值是4 5+7.12分. 14
