1、7.1空间几何体及其表面积、体积空间几何体及其表面积、体积 考试要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实 生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.3.了解球、 棱柱、 棱锥、 台的表面积和体积的计算公式 1多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台 图形 含义 由一个平面多边 形沿某一方向平 移形成的空间几 何体叫做棱柱 当棱柱的一个底面收缩为 一个点时， 得到的几何体叫 做棱锥 用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥，得到 两个几何体，一个仍然 是棱锥，另一个我们称 之为棱台 侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点 侧面形状平行
2、四边形三角形梯形 2.旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台球 图形 母线互相平行且相相交于一点延长线交于一点 等，垂直于底面 轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆面 侧面展开图矩形扇形扇环 3.直观图 斜二测画法：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中 x轴、y轴的夹角为 45 或 135，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直 (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于 x 轴和 z 轴的线段在直 观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半 4多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧
3、面的面积之和，表面积是侧 面积与底面面积之和 5圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l 6.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积体积 柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh 锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V1 3Sh 台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V1 3(S 上S下 S上S下)h 球S4R2V4 3R 3 微思考 1如何求旋转体的表面积？ 提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之 和 2柱体、锥体、台体体积之间有什么关系？ 提示 题组一思
4、考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱() (2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台() (3)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形() (4)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线() 题组二教材改编 2如图，长方体 ABCDABCD被截去一部分，其中 EHAD，剩下的几何体 是() A棱台B四棱柱C五棱柱D六棱柱 答案C 3.母线长为 5 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8 5，则该圆锥的体积为_ 答案16 解析由题意知，侧面展开图的弧长为 58 58， 设圆锥底面圆的
5、半径为 r， 则 82r， r4，圆锥高 h 52423， 体积为1 34 2316. 4一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为 1,2,3，则球的表面积为_ 答案14 解析设球的半径为 R，则 2R 122232 14，则 R 14 2 .S4R2414 4 14. 题组三易错自纠 5 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形， 则原来的图 形是() 答案A 解析由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 2，所以原图形为平行四边 形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2. 6下面图形都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是() 答案C
6、题型一 空间几何体 命题点 1直观图 例 1 已知等腰梯形 ABCD，上底 CD1，腰 ADCB 2，下底 AB3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 ABCD的面积为_ 答案 2 2 解析如图所示，作出等腰梯形 ABCD 的直观图 因为 OE 2211，所以 OE1 2，EF 2 4 ， 则直观图 ABCD的面积 S13 2 2 4 2 2 . 命题点 2展开图 例 2 (2020浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个 圆锥的底面半径(单位：cm)是_ 答案1 解析如图，设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r， 则圆锥的侧面积 S侧r
7、l2， rl2. 又圆锥侧面展开图为半圆， 1 2l 22， l2，r1. 思维升华 画几何体的直观图，掌握线段方向、长度两要素即可；几何体的展开图和原几何体 的关系(形状和数量关系)是解题重点 跟踪训练 1 (1)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是() A2 2B.1 2 2 C.2 2 2 D1 2 答案A 解析恢复后的原图形为一直角梯形，其上底为 1，下底为 1 2，高为 2，所以 S1 2(1 2 1)22 2. (2)(2021安庆模拟)如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 a，底面边长为 b，一只蚂蚁
8、从 点 A 出发沿每个侧面爬到 A1，路线为 AMNA1，则蚂蚁爬行的最短路程是() A. a29b2B. 9a2b2 C. 4a29b2D. a2b2 答案A 解析正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为 3b，宽为 a，则其对角线 AA1 的长为最短路程因此蚂蚁爬行的最短路程为 a29b2. 题型二 表面积与体积 命题点 1表面积 例 3 (2020全国)已知 A， B， C 为球 O 的球面上的三个点， O1为ABC 的外接圆， 若O1 的面积为 4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为() A64B48C36D32 答案A 解析如图，设圆 O1的半径为 r，球的半径为 R，
9、正三角形 ABC 的边长为 a. 由r24，得 r2，则 3 3 a2，a2 3，OO1a2 3. 在 RtOO1A 中，由勾股定理得 R2r2OO2122(2 3)216， 所以 S球4R241664. 命题点 2体积 例 4 (2020新高考全国)棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 BB1，AB 的中点，则三棱锥 A1D1MN 的体积为_ 答案1 解析如图，由正方体棱长为 2， 得 1 A MN S2221 221 1 211 3 2， 又易知 D1A1为三棱锥 D1A1MN 的高，且 D1A12， 11111 11 1 3 AD MNDAMNAMN VVS
10、D A 1 3 3 221. 思维升华 (1)空间几何体表面积的求法 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 (2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 直接利用公式进行求解 用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 跟踪训练 2 (1)(2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平 面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为() A12 2B12 C8 2D10 答案B 解析设圆柱的轴截面的边长为 x， 则由 x28，得 x2 2， S圆柱表2S底S侧2( 2)22
11、22 212. (2)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_ 答案 2 3 解析如图， 过 BC 作与 EF 垂直的截面 BCG，作平面 ADM平面 BCG，取 BC 的中点 O，连结 GO，FO， 由题意可得 FO 3 2 ，FG1 2，所以 GO FO 2FG2 2 2 ， 所以 SBCG1 21 2 2 2 4 ，V1VBCGADMSBCGAB 2 4 ，V22VFBCG21 3S BCGGF 21 3 2 4 1 2 2 12，所以 VV 1V2 2 3 . 题型三 与球有关
12、的切、接问题 命题点 1简单几何体的外接球 例 5 (八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面半径分别 为 4 和 5，则该圆台的体积为_. 答案61 解析截面图如图所示，下底面半径为 5，圆周直径为 10. 则圆台的下底面位于圆周的直径上，OCOB5，OC4，OOC 2， 则圆台的高为 3，V1 3h(S 1 S1S2S2)25162061. 思维升华 (1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图如图所示，设球 O 的半径为 R，截 面圆 O的半径为 r，M 为截面圆上任意一点，球心 O 到截面圆 O的距离为 d，则在 RtOOM 中，OM2OO2OM2，即
13、R2d2r2. (2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线 命题点 2简单几何体的内切球 例 6 (2020全国)已知圆锥的底面半径为 1， 母线长为 3， 则该圆锥内半径最大的球的体积为 _ 答案 2 3 解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为 r.作出圆锥的轴截面 PAB，如图 所示， 则PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆 在PAB 中， PAPB3， D 为 AB 的中点， AB2，E 为切点，则 PD2 2，PEOPDB， 故PO PB OE DB，即 2 2r 3 r 1， 解得 r 2 2 ， 故内切球的体积为4 3 2 2 3 2
14、 3 . 思维升华 “切”的问题处理规律 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决 (2)体积分割是求内切球半径的通用方法 跟踪训练 3 (1)已知三棱锥 SABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA1，SBSC2，若点 P 为 三棱锥 SABC 的外接球的球心，则这个外接球的半径是_ 答案 3 2 解析如图所示，将三棱锥补形为长方体，则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线， 设外接球半径为 R， 则(2R)21222229， 4R29，R3 2. 即这个外接球的半径是3 2. (2)如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球 O 的 截面面积
15、为() A. 6 6 B. 3 C. 6 D. 3 3 答案C 解析平面 ACD1，截球 O 的截面为ACD1的内切圆， 正方体棱长为 1， ACCD1AD1 2. 内切圆半径 rtan 30AE 3 3 2 2 6 6 . Sr21 6 6. 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方法有如下几种： (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或 线作截面，把空间问题转化为平面问题求解 (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两垂直，且 PAa，PBb， PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方
16、体，根据 4R2a2b2c2求解 (3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确 定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解 一、解方程确定球心的位置 例 1 已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为 4 3，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积 是_ 答案64 解析如图，过点 S 作 SE平面 ABC 于点 E，记球心为 O. 在正三棱锥 SABC 中，底面边长为 6， 侧棱长为 4 3， BE2 3 3 2 62 3， SE SB2BE26. 球心 O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径 R， OBR，O
17、E6R. 在 RtBOE 中，OB2BE2OE2，即 R212(6R)2， 解得 R4， 外接球的表面积为 S4R264. 二、借助三角形的外心确定球心的位置 例 2 (2021南昌市八一中学模拟)如图所示，在三棱锥 SABC 中，ABC 与SBC 都是边长 为 1 的正三角形，二面角 ABCS 的大小为2 3 ，若 S，A，B，C 四点都在球 O 的表面上， 则球 O 的表面积为() A.7 3 B.13 3 C.4 3 D3 答案A 解析如图，取线段 BC 的中点 D，连结 AD，SD， 由题意得 ADBC，SDBC， ADS 是二面角 ABCS 的平面角， ADS2 3 ， 由题意得 B
18、C平面 ADS，分别取 AD，SD 的三等分点 E，F， 在平面 ADS 内，过点 E，F 分别作直线垂直于 AD，SD， 两条直线的交点即球心 O，连结 OA， 则球 O 半径 ROA， 由题意知 BD1 2，AD 3 2 ，DE1 3AD 3 6 ，AE2 3AD 3 3 ， 连结 OD，在 RtODE 中， ODE 3，OE 3DE 1 2， OA2OE2AE2 7 12， 球 O 的表面积为 S4R27 3 . 三、有公共直角边四面体的外接球问题 例 3 (2020新疆维吾尔自治区模拟)在四面体 ABCD 中，AB 2，DADBCACB1，则 四面体 ABCD 的外接球的表面积为()
19、AB2C3D4 答案B 解析取 AB 的中点 O， 由 AB 2，DADBCACB1， 所以 CA2CB2AB2，AD2BD2AB2， 可得ACBADB90， 所以 OAOBOCOD 2 2 ， 即 O 为外接球的球心，球的半径 R 2 2 ， 所以四面体 ABCD 的外接球的表面积为 S4R241 22. 四、对棱相等的四面体外接球问题 例 4 在四面体 ABCD 中，若 ABCD 3，ACBD2，ADBC 5，则四面体 ABCD 的 外接球的表面积为() A2B4C6D8 答案C 解析由题意可采用割补法，考虑到四面体 ABCD 的四个面为全等的三角形，所以可在其每 个面补上一个以 3，2，
20、 5为三边的三角形作为底面，且分别以 x，y，z 长、两两垂直的侧 棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为 x，y，z 的长方体，并且 x2y23，x2z2 5，y2z24，则有(2R)2x2y2z26(R 为球的半径)，得 2R23，所以球的表面积为 S 4R26. 课时精练课时精练 1(2020天津)若棱长为 23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A12B24C36D144 答案C 解析由题意知，正方体的体对角线就是球的直径， 2R 2 322 322 326， R3，S球4R236. 2已知一个圆锥的母线长为 4，且其侧面积是其轴截面面积的 4 倍，则该圆锥的高为(
21、) AB.3 2 C.2 3 D. 2 答案A 解析不妨设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h， 根据题意，则 41 22rhrl， 所以h l 4， 解得 h. 3 (2020全国)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一， 它的形状可视为一个正四棱锥 以 该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底 边上的高与底面正方形的边长的比值为() A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 答案C 解析设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h， 侧面三角形底边上的高(斜高)为 h， 则由已知得 h21 2ah. 如图，设 O 为正四棱
22、锥 SABCD 底面的中心，E 为 BC 的中点， 则在 RtSOE 中，h2h2 a 2 2， h21 2ah 1 4a 2， h a 21 2 h a 1 40， 解得h a 51 4 (负值舍去) 4.如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1 3，点 E 为 AB 上的动点，则 D1E CE 的最小值为() A2 2B. 10 C. 51D2 2 答案B 解析如图，连结 AD1，BC1分别延长至 F，G，使得 ADAF，BCBG，连结 EG，FG， 四棱柱 ABCDA1B1C1D1为正四棱柱， AB平面 ADD1A1，AB平面 BCC1B1， ABAF，ABBG， 又
23、 ABADAF， 四边形 ABGF 为正方形， EG BE2BG2 BE2BC2CE， D1ECE 的最小值为 D1G， 又 D1G D1F2FG2 91 10， D1ECE 的最小值为 10. 5(多选)下列说法正确的是() A棱柱的侧棱长都相等 B棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C棱台的侧面是等腰梯形 D用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 答案AD 解析A 正确；B 不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C 不正确，棱台的侧棱长可 能不相等；D 正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面故选 AD. 6(多选)正三棱锥底面边长为 3，侧棱长为 2 3，则下列叙述正确的是
24、() A正三棱锥的高为 3 B正三棱锥的斜高为 39 2 C正三棱锥的体积为27 3 4 D正三棱锥的侧面积为3 39 4 答案AB 解析如图，取ABC 的中心为 O，连结 PO， 由题意得 PO平面 ABC， 又ABC 为等边三角形， 则 AO2 3 32 3 2 2 3， 所以正三棱锥的高为 PO PA2AO2 1233， SABC1 233 sin 60 9 3 4 ， 所以正三棱锥的体积为 VPABC1 3S ABCPO9 3 4 ， 作 PDAB 交 AB 于 D， 又 PAPB2 3，AD1 2AB 3 2， 则正三棱锥的斜高为 PD PA2AD2 39 2 ， 所以正三棱锥的侧面
25、积为 3SPAB31 2PDAB3 1 2 39 2 39 39 4 . 故选 AB. 7一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的 侧面积为_ 答案12 解析设六棱锥的高为 h，则 V1 3Sh， 所以1 3 3 4 46h2 3，解得 h1. 设六棱锥的斜高为 h， 则 h2( 3)2h2，故 h2. 所以该六棱锥的侧面积为1 222612. 8 (2020全国改编)已知ABC 是面积为9 3 4 的等边三角形， 且其顶点都在球 O 的球面上 若 球 O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为_ 答案1 解析如图所示，过球心 O 作
26、OO1平面 ABC， 则 O1为等边三角形 ABC 的外心 设ABC 的边长为 a， 则 3 4 a29 3 4 ，解得 a3， O1A2 3 3 2 3 3. 设球 O 的半径为 r，则由 4r216，得 r2，即 OA2. 在 RtOO1A 中，OO1 OA2O1A21， 即 O 到平面 ABC 的距离为 1. 9.(2020江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底 面正六边形的边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 _cm3. 答案 12 3 2 解析螺帽的底面正六边形的面积 S61 22 2sin 606 3
27、(cm2)， 正六棱柱的体积 V16 3212 3(cm3)， 圆柱的体积 V20.522 2(cm 3)， 所以此六角螺帽毛坯的体积 VV1V2 12 3 2 cm3. 10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球， 这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现我们 来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为_，圆柱的表面积与球的表面积 之比为_ 答案 3 2 3 2 解析由题意，圆柱底面半径 r球的半径 R， 圆柱的高 h2R，则 V球4 3R 3， V柱r2hR22R2R3. V 柱 V球 2R3 4 3R 3 3
28、2. S球4R2， S柱2r22rh2R22R2R6R2. S 柱 S球 6R2 4R2 3 2. 11.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长 AB1，过点 A1的平面与正方体的面相交， 交线围成一个正三角形 (1)在图中画出这个正三角形(不必说明画法和理由)； (2)平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积 解(1)连结 A1D，A1B，BD，则A1BD 为所求三角形(作法不唯一)，如图所示 (2)平面将正方体截成三棱锥 A1ABD 和多面体 BCDA1B1C1D1两部分， 1 AABD V 1 3 1 2111 1 6， 1 1 11 BCDA BC D
29、V 多面体 11 6 5 6， 因此体积较大的几何体是多面体 BCDA1B1C1D1，其体积为5 6， 由 BD 2，得 1 A BD S 3 2 ， 又 SBCD1 211 1 2， 1 1 BBC C S正方形1， 故多面体 BCDA1B1C1D1的表面积为 3 2 1 2313 3 2 9 2. 12.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1，下部 的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍 (1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为
30、 6 m，当 PO1为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积 是多少？ 解(1)PO12 m，正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1的 4 倍， O1O8 m， 仓库的容积 V1 36 22628312(m3) (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，设 PO1x m， 则 O1O4x m，A1O1 36x2(m)， A1B1 2 36x2(m)， 正四棱柱侧面积 S44x 2 36x216 2x 36x2(0 x0，f(x)单调递增，当 x 2，5 2 时，f(x)0，f(x) 单调递减，故当 x2 时，f(x)取得最大值 80，则 V 3 804 15. 所以三棱锥体积的最大值为
31、4 15. 16在半径为 15 的球 O 内有一个底面边长为 123的内接正三棱锥 ABCD，求此正三棱锥 的体积 解如图所示，显然 OAOBOCOD15. 设 H 为BCD 的中心， 则 A，O，H 三点在同一条直线上 HBHCHD2 3 3 2 12 312， OH OB2HB29， 正三棱锥 ABCD 的高 h91524. 又 SBCD 3 4 (12 3)2108 3， VABCD1 3108 324864 3. 如图所示，同理，可得正三棱锥 ABCD 的高 h1596， SBCD108 3， VABCD1 3108 36216 3. 综上，正三棱锥 ABCD 的体积为 8643或 216 3.
