1、强化训练强化训练 8空间位置关系中的综合问题空间位置关系中的综合问题 1(2021保山模拟)下列叙述错误的是() A若 P，且l，则 Pl B若直线 abA，则直线 a 与 b 能确定一个平面 C三点 A，B，C 确定一个平面 D若 Al，Bl 且 A，B则 l 答案C 解析选项 A，点 P 是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项 B，由公理的推论可 知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项 C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故 错误；选项 D，由公理 1 得，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内 2(2020资中模拟)若 l1，l2为异面直线，直线 l3与 l2平行，则
2、l1与 l3的位置关系是() A相交B异面C平行D异面或相交 答案D 解析将直线 l1，l2，l3放在正方体中，作为正方体的棱，可知 D 选项正确 3(2021潍坊模拟)已知 a，b 为不同的直线，为不同的平面，则下列结论正确的是() A若 a，ba，则 b B若 a，b，a，b，则 C若 a，b，ab，则 D若b，a，ab，则 答案C 解析A 选项，若 a，ba，则 b或 b，A 错；B 选项，若 a，b，a，b， 当 ab 时，与可能相交，故 B 错；C 选项，若 ab，b，根据线面垂直的性质，可得 a，又 a，根据面面垂直的判定定理，可得，故 C 正确；D 选项，若b，a ， ab， 垂
3、直于交线， 并不能推出垂直于另一平面， 因此不能得出 a， 即不能推出， 故 D 错 4.(2020合肥模拟)如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， D 为 A1B1的中点， ABBC2BB12， AC2 2，则异面直线 BD 与 AC 所成的角为() A30B45C60D90 答案C 解析如图，取 B1C1的中点 E，连结 BE，DE，则 ACA1C1DE， 所以BDE 即为异面直线 BD 与 AC 所成的角或其补角， 由已知可得 BDDEBE 2，BDE 为正三角形，所以BDE60， 所以异面直线 BD 与 AC 所成的角为 60. 5(多选)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中
4、，下面结论正确的是() ABD平面 CB1D1 BAC1BD C平面 ACC1A1CB1D1 D异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 答案ABC 解析对于 A，ABCDA1B1C1D1为正方体， BDB1D1，由线面平行的判定可得 BD平面 CB1D1，A 正确； 对于 B，连结 AC， ABCDA1B1C1D1为正方体， BDAC，且 CC1BD，由线面垂直的判定可得 BD平面 ACC1，BDAC1，B 正确； 对于 C，由上可知 BD平面 ACC1， 又 BDB1D1，B1D1平面 ACC1， 则平面 ACC1A1CB1D1，C 正确； 对于 D，异面直线 AD 与 CB1所成的角即
5、为直线 BC 与 CB1所成的角为 45，D 错误 故选 ABC. 6(多选)如图，棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 A1B 上的动点，则下列结 论正确的是() A平面 D1A1P平面 A1AP BAPD1的取值范围是 0， 2 C三棱锥 B1D1PC 的体积为定值 DDC1D1P 答案ACD 解析在 A 中，因为 A1D1平面 A1AP， A1D1平面 D1A1P， 所以平面 D1A1P平面 A1AP，故 A 正确； 在 B 中，当 P 与 A1重合时，APD1 2，故 B 错误； 在 C 中，因为B1D1C 的面积是定值， A1B平面 B1D1C， 所以点 P
6、到平面 B1D1C 的距离是定值， 所以三棱锥 B1D1PC 的体积为定值，故 C 正确； 在 D 中，因为 DC1D1C，DC1BC，D1CBCC，D1C，BC平面 BCD1A1， 所以 DC1平面 BCD1A1，又 D1P平面 BCD1A1，所以 DC1D1P，故 D 正确 7如图所示，在三棱锥 ABCD 中，截面 EFG 平行于底面，且 AEAB13，已知BCD 的周长是 18，则EFG 的周长为_ 答案6 解析由已知得 EFBD，EGBC，FGDC， EFGBDC， EFG 的周长 BDC 的周长 EF BD， 又EF BD AE AB 1 3， EFG 的周长 BDC 的周长 1 3
7、， EFG 的周长181 36. 8(2020天津模拟)如图，在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，底面ABC 为边长为 1 的 等边三角形，SAAB，则 A 与平面 SBC 的距离为_ 答案 21 7 解析因为 SA底面 ABC，所以 SAAB， 又因为 SAAB1，所以 SB 2， 同理 SC 2，又因为 BC1， 所以 SSBC1 21 21 4 7 4 ， 因为ABC 为边长为 1 的等边三角形， 所以 SABC1 21 11 4 3 4 ， 设 A 与平面 SBC 的距离为 h， 则 1 3S SBCh1 3S ABCSA1 3S ABChS ABC SSBC 21 7 . 9(
8、2020湛江模拟)在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BC 和 C1D1的中 点，经过点 A，E，F 的平面把正方体 ABCDA1B1C1D1截成两部分，则截面与平面 BCC1B1 的交线段的长为_ 答案 10 3 解析如图，过点 F 作 FHAE 交 A1D1于 H， 易知 D1H1，所以点 H 为 A1D1的四等分点， 连结 AH，过点 E 作 EPAH 交 CC1于点 P， 所以AA1 A1H CP CE，解得 CP 8 3， 故截面与平面 BCC1B1交线段 PE CE2CP222 8 3 210 3 . 10(2021海淀模拟)已知正四面体 ABCD
9、的棱长为 2，点 E 是 AD 的中点，点 F 在线段 BC 上，则下面四个命题中： FBC，EFAC； FBC，EF 3； FBC，EF 与 AD 不垂直； FBC，直线 EF 与平面 BCD 夹角正弦的最大值为 3 3 . 所有不正确的命题序号为_ 答案 解析如图， 对FBC，EF 与 AC 异面或相交，故错误； 当点 F 为 BC 的中点时，EF 为异面直线 AD 和 BC 的公垂线段，此时 EF 取得最小值，当 F 与 B，C 重合时，EF 取得最大值 3，故正确； 因为 ADBE，ADCE，BECEE，所以 AD平面 BEC，故 ADEF，故错误； 因为 E 到平面 BCD 的距离为
10、定值 d，设直线 EF 与平面 BCD 的夹角为，则 sin d EF，当 F 为 BC 的中点时， 易知 EF 为异面直线 AD 和 BC 的公垂线段， 此时 EF 取得最小值， sin d EF 有最大值，此时 DF 3，DE1，故 EF 31 2，由 RtEFD 可知，EFDEDFd， 解得 d 6 3 ，所以 sin d EF 3 3 ，故正确 11.(2021长春模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，ABDC，BAD 90，点 E 为 PB 的中点，且 CD2AD2AB4，点 F 在 CD 上，且 DF1 3FC. (1)求证：EF平面 PAD； (2)若平面
11、 PAD平面 ABCD，PAPD 且 PAPD，求三棱锥 PCEF 的体积 (1)证明如图所示，取 PA 的中点 M，连结 DM，EM， 因为点 E 为 PB 的中点，且 CD2AD2AB4， 所以 EMAB 且 EM1 2AB1， 因为 DF1 3FC， 所以 DF1 4DC1，所以 EMDF1， 又因为 ABDC，所以 EMDF， 所以四边形 EMDF 为平行四边形， 所以 EFDM， 又 DM平面 PAD，EF平面 PAD， 所以 EF平面 PAD. (2)解S梯形ABFD1 2(12)23， SBCF1 2323， 所以 SBCF1 2S 梯形ABCD， 因为平面 PAD平面 ABCD
12、，且平面 PAD平面 ABCDAD，PAPD，取 AD 的中点 N，连 结 PN， 则 PN平面 ABCD， 因为 PAPD，所以 PN1 2AD1， 所以 VPCEF1 2V PBCF1 4V PABCD1 4 1 3S 梯形ABCDPN 1 1261 1 2. 12.如图，在三棱锥 ABCD 中，ABBDADAC2，BCD 是以 BD 为斜边的等腰直角 三角形，P 为 AB 的中点，E 为 BD 的中点 (1)求证：AE平面 BCD； (2)求直线 PD 与平面 ACD 所成角的正弦值 (1)证明由题图可知，ABD 是边长为 2 的等边三角形， E 为 BD 的中点，AEBD，且 AE 3
13、， 如图，连结 CE， BCD 是斜边长为 2 的等腰直角三角形，CE1 2BD1， 在AEC 中，AC2，EC1，AE 3， AC2AE2EC2，AEEC. BDECE，BD平面 BCD，EC平面 BCD， AE平面 BCD. (2)解方法一取 CD 的中点 F，连结 AF，EF， ACAD，CDAF. 由(1)可知，AECD， AEAFA，AE平面 AEF，AF平面 AEF， CD平面 AEF， 又 CD平面 ACD，平面 AEF平面 ACD. 设 PD，AE 相交于点 G，则点 G 为ABD 的重心， AGDG2 3AE 2 3 3 . 过点 G 作 GHAF 于 H，则 GH平面 AC
14、D， 连结 DH，则GDH 为直线 PD 与平面 ACD 所成的角 易知AGHAFE，EF1 2BC 2 2 ，AF 14 2 ， GHAG AFEF 2 3 3 14 2 2 2 2 21 21 ， sinGDHGH DG 7 7 ， 即直线 PD 与平面 ACD 所成角的正弦值为 7 7 . 方法二由(1)可知 AE平面 BCD，且 CEBD，可作如图所示的空间直角坐标系 Exyz， 则 A(0,0， 3)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P 0，1 2， 3 2 ， AD (0,1， 3)，CD (1,1,0)， DP 0，3 2， 3 2 ， 设平面 ACD 的一个法向量为 n(x
15、，y，z)， nAD 0， nCD 0， 即 y 3z0， xy0， 取 xy1，则 z 3 3 ， n 1，1， 3 3 为平面 ACD 的一个法向量， 设 PD 与平面 ACD 所成的角为，则 sin |nDP | |n|DP | 7 7 ， 故直线 PD 与平面 ACD 所成角的正弦值为 7 7 . 13.(2021太原模拟)如图，在正四面体 DABC 中，P平面 DBA，则在平面 DAB 内过点 P 与直线 BC 成 60角的直线共有() A0 条B1 条C2 条D3 条 答案C 解析在平面 DAB 内过 P 点与 DB 或 AB 平行的直线都与 BC 成 60的角，实际上只要求得 在
16、平面 DAB 内过点 B 且与直线 BC 成 60角的直线的条数在空间过点 B 与直线 BC 成 60 角的直线构成以 BC 为轴， BD 为母线的圆锥侧面， 此圆锥侧面与平面 DAB 只有两条交线 因 此满足题意的直线只有 2 条 14.(2020阳泉期末)如图，在直角梯形 SABC 中，ABCBCS90，过点 A 作 ADSC 交 SC 于点 D，以 AD 为折痕把SAD 折起，当几何体 SABCD 的体积最大时，则下列命题中 正确的个数是() ACSB； AB平面 SCD； SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角； AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA
17、 所成的角 A4B3C2D1 答案D 解析当体积最大时，平面 SAD平面 ABCD，如图所示， 对， 若ACSB又根据题意， ACSD， 故AC平面SDB， 又BD平面SDB， 故可得ACBD， 而根据题意，无法得知两直线位置关系，故不正确； 对，ABCD，由 CD平面 SCD，故 AB平面 SCD，正确； 对，因为无法得知底面 ABCD 的边长关系，所以无法确定，故错误； 对，AB 与 SC 所成角度为SCD，而 DC 与 SA 所成角度为SAB，两个角度显然不相等， 故错误 综上所述，正确的只有. 15.九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四 棱锥现有阳马
18、SABCD，SA平面 ABCD，AB1，AD3，SA 3.BC 上有一点 E，使 截面 SDE 的周长最短，则 SE 与 CD 所成角的余弦值等于_ 答案 2 4 解析要使截面 SDE 的周长最短，则 SEED 最短， 将底面 ABCD 沿 BC 展开成平面图形 ABCD(如图)，连结 SD，交 BC 于 E， 则 SEEDSEEDSD， 当 S，E，D共线时等号成立， 此时，由 AB1，SA 3，得 SB2， 故 SA3，ADAD3，故 BE2， 作 EFCD 交 AD 于 F，连结 SF， 则 SE 与 CD 所成角为SEF， 易得 SFEF，由 SE2 2，EF1， 得 cosSEFEF
19、 SE 1 2 2 2 4 . 16已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ABCBAD 2，ABBC2AD4，E，F 分别是 AB， CD 上的点，EFBC，AEx，沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使平面 AEFD平面 EBCF(如图). (1)当 x2 时： 证明：EF平面 ABE； 求二面角 DBFE 的余弦值； (2)三棱锥 DFBC 的体积是否可能等于几何体 ABEFDC 体积的4 9？并说明理由 (1)证明在直角梯形 ABCD 中，因为ABCBAD 2，故 DAAB，BCAB， 因为 EFBC，故 EFAB. 所以在折叠后的几何体中，有 EFAE，EFBE， 而 AEBEE，故 EF
20、平面 ABE. 解如图，在平面 AEFD 中，过 D 作 DGEF 交 EF 于 G. 在平面 DBF 中，过 D 作 DHBF 交 BF 于 H，连结 GH. 因为平面 AEFD平面 EBCF，平面 AEFD平面 EBCFEF，DG平面 AEFD，故 DG平 面 EBCF， 因为 BF平面 EBCF，故 DGBF，而 DGDHD， 故 BF平面 DGH，又 GH平面 DGH，故 GHBF， 所以DHG 为二面角 DBFE 的平面角， 在平面 AEFD 中，因为 AEEF，DGEF， 故 AEDG， 又在直角梯形 ABCD 中，EFBC 且 EF1 2(BCAD)3， 故 EFAD，故四边形
21、AEGD 为平行四边形， 故 DGAE2，GF1， 在 RtBEF 中，tanBFE2 3， 因为BFE 为三角形的内角， 故 sinBFE 2 13，故 GH1sinBFE 2 13， 故 tanDHG 2 2 13 13， 因为DHG 为三角形的内角， 故 cosDHG 14 14 . 所以二面角 DBFE 的平面角的余弦值为 14 14 . (2)解若三棱锥 DFBC 的体积等于几何体 ABEFDC 体积的4 9， 则 VBADFEVDBFC9 4V DBFC， 即 VBADFE5 4V DBFC. 由(1)的证明可知，DG平面 BEFC， 同理可证 BE平面 AEFD，AEDG. 故
22、VBADFE1 3BES 1，其中 S1为直角梯形 ADFE 的面积 而 VDBFC1 3DGS BCF1 3AES BCF， 在直角梯形 ABCD 中，过 D 作 BC 的垂线，与 EF，BC 分别交于 M，N， 则FM 2 x 4，故 FM x 2， 所以 FEx 22， 所以 S11 2 x 222x1 2 x2 2 4x . 所以 VBADFE1 3(4x) 1 2 x2 2 4x 1 6(4x) x2 2 4x . 又 SBCF1 2BEBC2(4x)， 故 VDBFC1 3x2(4x)， 所以1 6(4x) x2 2 4x 5 4 1 3x2(4x)， 解得 x2， 故当 AE2 时，三棱锥 DFBC 的体积等于几何体 ABEFDC 体积的4 9.
