1、2.3幂函数与二次函数幂函数与二次函数 考试要求1.了解幂函数的概念.2.结合函数 yx，yx2，yx3，y1 x， 1 2 yx的图象，了 解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等 式之间的关系解决简单问题 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数yxyx2yx3 1 2 yx yx 1 图象 性 质 定义域RRRx|x0 x|x0 值域Ry|y0Ry|y0y|y0 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性 在 R 上单 调递增 在(，0
2、 上单调递减； 在(0，) 上单调递增 在R上单调 递增 在0，)上 单调递增 在(，0) 和(0，) 上单调递减 公共点(1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 时，y0，故幂函数的图象一定经过第一象限，一定不 过第四象限 2二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示(1)一般式：yax2bxc(a0)； (2)顶点式：ya(xm)2n(a0)； (3)零点式：ya(xx1)(xx2)(a0) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 1 3 3yx 是幂函数() (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则
3、交点一定是原点() (3)二次函数 yax2bxc(a0)，xm，n的最值一定是4acb 2 4a .() (4)二次函数 yx2mx1 在1，)上单调递增的充要条件是 m2.() 题组二教材改编 2已知幂函数 f(x)kx的图象过点 1 2， 2 2 ，则 k等于() A.1 2 B1C.3 2 D2 答案C 解析由幂函数的定义，知 k1， 2 2 k 1 2 . k1，1 2.k 3 2. 3.如图是yxa；yxb；yxc在第一象限的图象，则 a，b，c 的大小关系为() Acba Babc Cbca Dacb 答案D 4函数 g(x)x22x(x0,3)的值域为_ 答案1,3 解析由 g
4、(x)x22x(x1)21，x0,3， 得 g(x)在0,1上是减函数， 在1,3上是增函数， 所以 g(x)ming(1)1， 因为 g(0)0，g(3)3， 所以 g(x)在 x0,3上的值域为1,3 题组三易错自纠 5幂函数 2 1023 ( ) aa f xx (aZ)为偶函数，且 f(x)在区间(0，)上是减函数，则 a 等于 () A3B4C5D6 答案C 解析因为 a210a23(a5)22， 2 (5)2 ( ) a f xx (aZ)为偶函数， 且在区间(0，)上是减函数， 所以(a5)220，从而 a4,5,6， 又(a5)22 为偶数，所以只能是 a5，故选 C. 6函数
5、 yx2ax1 在区间1,2内单调，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，24，) 解析函数 yx2ax1 的对称轴为 xa 2， 则a 21 或 a 22，解得 a2 或 a4. 题型一 幂函数的图象与性质 1若幂函数的图象经过点 2，1 4 ，则它的单调递增区间是() A(0，)B0，) C(，)D(，0) 答案D 解析设 f(x)x， 则 21 4， 2， 即 f(x)x 2， 它是偶函数， 单调递增区间是(， 0) 故 选 D. 2已知幂函数 2 23 (2()2 nn f xnnx (nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上单调 递减，则 n 的值为() A3B1C2D1 或 2
6、答案B 解析由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3，经检验只有 n1 符合 题意，故选 B. 3若幂函数 yx 1，yxm与 yxn在第一象限内的图象如图所示，则 m 与 n 的取值情况为 () A1m0n1B1n0m1 2 C1m0n1 2 D1n0m0 时， yx在(0， )上单调递增， 且 01 时， 图象上凸， 0m1. 当0 时，yx在(0，)上单调递减 不妨令 x2，由图象得 2 12n，则1n0. 综上可知，1n0m32a0或32aa10或a1032a， 解得 a1 或2 3a 3 2. 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第
7、一象限为六个区域， 即 x1，y1，yx 所分区域根据0,01 的取值确定位置后，其余象限 部分由奇偶性决定 (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较 题型二 求二次函数的解析式 例 1 (1)函数 f(x)满足下列性质：定义域为 R，值域为1，)；图象关于 x2 对称； 对任意 x1，x2(，0)，且 x1x2，都有fx1fx2 x1x2 0.请写出函数 f(x)的一个解析式 _(只要写出一个即可) 答案f(x)x24x5(答案不唯一) 解析由二次函数的对称性、值域及单调性可得 f(x)的解析式可以为 f(x)(x2)21， 此时 f(x)图象的对称
8、轴为 x2，开口向上，满足， 因为对任意 x1，x2(，0)，且 x1x2，都有fx1fx2 x1x2 4ac；c0；ac0；b0；abc0. 答案 解析由题图知，a0，c0，b0，ac0，故正确；又由题图知 f(1)0，即 abc0，故正确 命题点 2二次函数的单调性 例 3 函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1， )上单调递减， 则实数 a 的取值范围是() A3,0)B(，3 C2,0D3,0 答案D 解析当 a0 时，f(x)3x1 在1，)上单调递减，满足题意 当 a0 时，f(x)的对称轴为直线 x3a 2a ， 由 f(x)在1，)上单调递减，知 a0， 3a 2a 1，
9、解得3a0. 综上，a 的取值范围为3,0 若函数 f(x)ax2(a3)x1 的单调递减区间是1，)，则 a_. 答案3 解析由题意知 f(x)必为二次函数且 a0 时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为 f(2)8a14，解得 a3 8； (3)当 a0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2bxc 的图象开口向上， 故可排除 A；若 a0，b0，从而 b 2a0，而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧，故应排除 B，选 C. (2)二次函数 f(x)ax2bxc(xR)的最小值为 f(1)，则 f( 2)，f 3 2 ，f( 3)的大小关系是 () Af( 2)f 3
10、 2 f( 3) Bf 3 2 f( 2)f( 3) Cf( 3)f( 2)f 3 2 Df( 2)f( 3)| 31| 21|， f( 2)f( 3)f 3 2 . (3)设函数 f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数 f(x)的最小值 解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为直线 x1. 当 t11，即 t0 时，函数图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间t，t1上为减函数， 所以最小值为 f(t1)t21； 当 t1t1， 即 0t1 时， 函数图象如图(2)所示， 在对称轴 x1 处取得最小值， 最小值为 f(1) 1； 当 t1 时，函数图象如图
11、(3)所示，函数 f(x)在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为 f(t)t22t2. 综上可知，当 t0 时，f(x)mint21，当 0t1 时，f(x)min1，当 t1 时，f(x)mint22t2. 题型四 二次函数的恒成立问题 例 5 (1)已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零，则实数 a 的取值范 围是_ 答案 ，1 2 解析由题意知 2ax22x30 在1,1上恒成立 当 x0 时，30，符合题意，aR； 当 x0 时，a3 2 1 x 1 3 21 6， 因为1 x(，11，)， 所以当 x1 时，不等号右边式子取最小值1 2， 所以 a1
12、)，若在区间1,1上 f(x)8 恒成立，则实数 a 的最大值为 _ 答案2 解析令 axt，因为 a1，x1,1，所以1 ata， 原函数化为 g(t)t23t2，t 1 a，a， 显然 g(t)在 1 a，a上单调递增， 所以 f(x)8 恒成立，即 g(t)maxg(a)8 成立， 所以有 a23a28，解得5a2， 又 a1，所以 1f(2m mt2)对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 答案(， 2) 解析由题意知 f(x)在 R 上是增函数， 结合 f(4t)f(2mmt2)对任意实数 t 恒成立， 知4t2m mt2对任意实数 t 恒成立， mt24t2m0 对任意
13、实数 t 恒成立 m0， 168m20， 解得 m1. 4已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(0)f(4)f(1)，则() Aa0,4ab0Ba0,2ab0Daf(1)，f(4)f(1)， f(x)先减后增，于是 a0，故选 A. 5(多选)(2020河南省实验中学质检)已知函数 f(x)3x22(m3)xm3 的值域为0， )，则实数 m 的取值范围为() A0B3,0 C3D3 答案AD 解析依题意，得4(m3)243(m3)0， 则 m0 或 m3.实数 m 的取值范围是0，3 6(多选)若二次函数 ykx24x2 在区间1,2上是单调递增函数，则实数 k 的取值可以
14、是 () A0B1 C2D3 答案CD 解析二次函数 ykx24x2 图象的对称轴为直线 x2 k，当 k0 时，要使函数 ykx 24x 2 在区间1,2上是增函数，只需2 k1，解得 k2；当 k0 时， 2 k0，此时抛物线的对称轴在 区间1,2的左侧，则函数 ykx24x2 在区间1,2上是减函数，不符合要求综上可得实数 k 的取值范围是2，) 7已知 2，1，1 2， 1 2，1，2，3，若幂函数 f(x)x为奇函数，且在(0，)上单 调递减，则_. 答案1 解析 2，1，1 2， 1 2，1，2，3， 幂函数 f(x)x为奇函数，且在(0，)上单调递减， 是奇数，且0，1. 8已知
15、函数 f(x)4x2kx8 在1,2上不单调，则实数 k 的取值范围是_ 答案(16,8) 解析函数 f(x)4x2kx8 的对称轴为直线 xk 8，则1 k 82， 解得16k8. 9已知函数 f(x)x2axb 的图象过坐标原点，且满足 f(x)f(1x)，则函数 f(x) 在1,3上的值域为_ 答案 1 4，12 解析因为函数 f(x)x2axb 的图象过坐标原点， 所以 f(0)0，所以 b0. 因为 f(x)f(1x)， 所以函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x1 2， 所以 a1，所以 f(x)x2x x1 2 21 4， 由 f(x)的图象知，x1,3时，f(x)minf 1
16、2 1 4，f(x) maxf(3)12. 故 f(x)的值域为 1 4，12. 10已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的 取值范围是_ 答案 2 2 ，0 解析因为函数图象开口向上， 所以根据题意只需满足 fmm2m210， fm1m12mm110， 解得 2 2 m1， 即 a0 时，均有(a1)x1(x2ax1)0， 求实数 a 的所有可能值几位同学提供了自己的想法 甲：解含参不等式，其解集包含正实数集； 乙：研究函数 y(a1)x1(x2ax1)； 丙：分别研究两个函数 y1(a1)x1 与 y2x2ax1； 丁：尝试能否参变量分
17、离研究最值问题 你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为_ 答案 3 2 解析选丙画出 y2x2ax1 的草图，y2x2ax1 过定点 C(0，1) y2x2ax1 与 x 轴有两个交点，且两交点在原点两侧， 又 y1(a1)x1 也过定点 C(0，1)， 故直线 y1(a1)x1 只有过点 A，C 才满足题意， a10，即 a1，令 y10 得 x 1 a1， 将点 1 a1，0代入 y2x2ax10， 解得 a0(舍)或 a3 2. 16 是否存在实数 a2,1， 使函数 f(x)x22axa 的定义域为1,1时， 值域为2,2？ 若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由 解f(x)(xa)2aa2， 当2a1 时，f(x)在1,1上为增函数， 由 f12， f12， 得 a1(舍去)； 当1a0 时，由 fa2， f12， 得 a1； 当 0a1 时，由 fa2， f12， 得 a 不存在； 综上可得，存在实数 a 满足条件，且 a1.
