1、典型例题 【例1】（2020春垫江县校级期末） 如图， 在平面四边形ABCD中，ACD的面积为3，2AB ，31BC ， 120ABC，135BCD，则ACD，AD 【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用求出结果 【解答】解：连接AC， 如图所示： 在ABC中，由于2AB ，31BC ，120ABC， 利用余弦定理： 222 2cosACABBCAB BCABC， 解得6AC ， 所以 222 2 cos 22 ACBCAB BCA AC BC ， 所以45BCA 由于135BCD，所以90ACD 已知ACD的面积为3，所以 1 3 2 AC CD，解得2CD 学学科科
2、数学数学教师姓名教师姓名教材版本教材版本人教版新教材人教版新教材 学生姓名学生姓名所在年级所在年级上课时间上课时间 课题名称课题名称正余弦定理在平面图形中的应用正余弦定理在平面图形中的应用 教学目标教学目标1、四边形问题四边形问题 2、高、角平分线、中线高、角平分线、中线 3、最值和范围问题最值和范围问题 教学重点教学重点 教学难点教学难点 进一步利用勾股定理的应用： 222 ADACCD，解得2 2AD 故答案为：90，2 2 【例 2】 （2020 春天河区期末）如图，在四边形ABCD中，2DB，且2AD ，6CD ， 3 cos 3 B （1）求ACD的面积； （2）若6 2BC ，求A
3、B的长 【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求ACD的面积； （2）利用余弦定理求出AC，通过BC的值利用余弦定理求解AB的长 【解答】解：（1） 3 cos 3 B ，0B，可求： 6 sin 3 B 2 2 sinsin22sincos 3 DBBB 1 sin4 2 2 ACD SAD CDD （2）2AD ，6CD ， 2 1 cos2cos1 3 DB ， 在ACD中，由余弦定理知， 2222 1 2cos26226()4 3 3 ACADCDAD CDD ， 在ABC中 ，6 2BC ， 可 得 ： 2222 72483 cos 2326 2 ABBCACAB B
4、AB BCAB ， 整 理 可 得 2 4 6240ABAB， 解得：2 6AB 【跟踪训练 1】 （2019 秋珠海期末）如图，在ABC中，45B，8AC ，D是BC边上一点，5DC ， 7DA ，则AB的长为() A4 2B4 3C8D4 6 【分析】先根据余弦定理求出C度数，最后根据正弦定理可得答案 【解答】解：在ADC中，7AD ，8AC ，5DC ， 由余弦定理得 222222 8571 cos 22 8 52 ACDCAD C AC DC ， 因为是三角形内角， 60C， 在ABC中，8AC ，45B，60C， 由正弦定理 sinsin ACAB BC 得： sin 4 6 sin
5、 ACC AB B 故选：D 【跟踪训练 2】（2020漳州模拟）如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，23ABBD， 2BCBD，则sinC的值为() A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 【分析】设BDa，则由题意可得：2BCa， 3 2 ABADa，利用余弦定理表示出cos A，把三边长 代入求出cos A的值，进而确定出sin A的值，由AB，BC，以及sin A的值，利用正弦定理求出sinC的值 即可 【解答】解：设BDa，则由题意可得：2BCa， 3 2 ABADa， 在ABD中，由余弦定理得： 2 2 222 2 3 2 1 4 cos 233 2() 2 a
6、 a ABADBD A AB ADa ， 2 2 2 sin1 3 Acos A， 在ABC中，由正弦定理得， sinsin ABBC CA ，即 3 2 2 sin2 2 3 a a C ， 解得： 6 sin 6 C ， 故选：D 【跟踪训练 3】 （2020 春泰州期末） 如图， 在ABC中， 角C的平分线交AB于D， 且CDAD 若3AC ， 2BC ，则AB 【分析】 不妨令A， 易知ACDBCD，3B， 然后在ABC中， 利用正弦定理， 求出sin， cos的值，最后在ABC中，利用正弦定理，可求出AB的值 【解答】解：在ABC中，角C的平分线交AB于D，且CDAD 设A，则ACD
7、BCD，3B， sinsin ACBC BA ，即 32 sin(3 )sin ， 整理得2sin33sin，所以：2(sincos2cossin2 )3sin， 结合sin0得 22 2(2cos12cos)3 ， 即 2 5 8 cos，显然是锐角，所以 106 cos,sin 44 ， 15 sin22sincos 4 再由ABC得： 2 sinsin2 AB ， 2 615 44 AB ， 解得10AB 故答案为：10 【跟踪训练 4】 （2020青岛模拟）如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，1AB ，3,2ADBC （1）若13CD ，求四边形ABCD的面积； （2）若 3 2
8、sin,(0,) 52 BCDADC ，求sinADC 【分析】（1）由已知结合勾股定理可求BD，然后结合余弦定理可求C，再由三角形的面积公式可求； （2）由已知结合正弦定理可求sinBDC，然后结合同角平方关系可求cosBDC，结合特殊角的三角函数 值及两角和的正弦公式可求 【解答】解：（1）连接BD，在Rt ABD中，由勾股定理可得， 222 4BDABAD，故2BD ， BCD中，由余弦定理可得， 2222 2(13)22 cos 2222(13) BCCDBD C BC CD ， 因为C为三角形的内角，故 4 C ， 所以 113 13 222 ABD SAB AD ， 11213 s
9、in2(13) 2222 BCD SBC CDC ， 故求四边形ABCD的面积 1 3 2 S ， （2）在BCD中，由正弦定理可得 sinsin BCBD BDCBCD ， 所以 sin3 sin 5 BCBCD BDC BD ， 因为 1 (0,) 2 ADC，所以 1 (0,) 2 BDC， 4 cos 5 BDC， Rt ABD中， 3 tan 3 AB ADB AD ，故 6 ADB ， 所以 334143 3 sinsin() 6525210 ADCBDC 同步练习 1 （2020邯郸二模）如图，在ABC中，tan4C CD是AB边上的高，若 2 3CDBD AD，则ABC 的面积
10、为() A4B6C8D12 【分析】直接利用三角形的面积公式以及余弦定理，勾股定理化简求解即可 【解答】解： 11 sintan2cos 24 SBC ACCCBC ACC 222 BCACAB 222 ()ACBCADBD 2 2()CDBD AD 6 故选：B 2（2020 春梅州期末）如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观 测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45、30在水平面上测得120BCD，C、D两地相 距600m，则铁塔AB的高度是() A120 2mB480mC240 2mD600m 【分析】设出ABx，则BC，BD均可用x表达，进而在BCD
11、中，由余弦定理和BD，BC的值列方程 求得x，即AB的长 【解答】解：设ABx，则BCx，3BDx， 在BCD中，由余弦定理知 222222 60031 cos120 226002 BCCDBDxx BC CDx ， 求得600 x 米， 故铁塔的高度为 600 米 故选：D 3（2020 春河南期末）在ABC中，60B，AD是BAC的平分线，交BC于D，2BD ， 1 cos 4 BAC，则(AD ) A2B2C3D 6 2 【分析】先由二倍角公式求得 10 cos 4 BAD，进而由平方关系得到 6 sin 4 BAD，再在ABD中，运 用正弦定理即可求得AD的值 【解答】解：AD是BAC
12、的平分线， 1 cos 4 BAC， 2 5 21cos 4 cosBADBAC ， 由题意知，BAD为锐角， 10 cos 4 BAD， 6 sin 4 BAD， 在ABD中，由正弦定理可得， sinsin ADBD BBAD ， 3 2 2 2 6 4 AD 故选：A 4（2020长春二模）在ABC中，30C ， 2 cos 3 A ，152AC ，则AC边上的高为() A 5 2 B2C5D 15 2 【分析】先利用平方关系求得sin A，再由sinsin()ABCAC及正弦定理可求得3AB ，最后由等面积 法求得AC边长的高 【解答】解： 2 cos,0 3 AA ， 5 sin 3
13、A ， 5321152 sinsin()sincoscossin 32326 ABCACACAC ， 由正弦定理有， sinsin ACAB ABCC ，即 152 1 152 2 6 AB ，解得3AB ， 11 sin 22 ABACAACBD，即 5 3 ( 152)( 152) 3 BD， 5BD ，即AC边上的高为5 故选：C 5 （2020湖北模拟）平面四边形ABCD为凸四边形，且60A，ADDC，3AB ，2BD ，则BC 的取值范围为() A 7 ,2) 2 B 7 (,2) 2 C(2, 7)D 7 , 7) 2 【分析】做出图形，可知，当BCDC时，BC最小；延长AB与DC
14、，相交于C，此时BC最大（但取不 到）；利用解三角形的知识求解即可 【解答】解：做出图形：如图所示，C点在DC边上移动，当BMDC时，BC最小为BM；将AB与DC 延长后交于N点，易知，BCBN 在ABD中，60A，3AB ，2BD ，故 23 sin60sinADB ， 3 sin 4 ADB 3 cossin 4 BDMADB， 2 7 sin1 4 BDMcosBDM 7 2sin 2 BMBDM 7 () 2 min BC 在ABD中，由余弦定理得 222 2cosBDADABAD ABA， 即 2 4323cos60ADAD，解得 3737 22 AD 或（舍)， 所以 37 2 3
15、7 coscos60 AD AN A ，故7BNANAB 故BC的取值范围是 7 , 7) 2 故选：D 6 （2020湖北模拟）平面四边形ABCD中，150ABC，32ABBC，13AC ，BDAB，3CD ， 则四边形ABCD的面积为() A7 3B 7 3 2 C31D32 【分析】由已知利用余弦定理可得：2AB ，3BC ，可求60DBCABCABD ，在BDC中， 由余弦定理可得 2 360BDBD，解得BD的值，根据三角形的面积公式可求四边形ABCD的面积 ABDBCD SSS 的值 【解答】解：如图，150ABC，32ABBC，13AC ，BDAB， 3CD ， 在ABC中，由余
16、弦定理 222 2cosACABBCAB BCABC， 可得： 22 333 13()2() 222 ABABABAB， 整理解得： 2 4AB ，可得：2AB ， 可得：3BC ， 由于1509060DBCABCABD 在BDC中，由余弦定理 222 2cosCDBDBCBD BCDBC， 可得： 2 1 9323 2 BDBD，可得： 2 360BDBD， 解得：2 3BD ，或3舍去， 则四边形ABCD的面积 11 sin 22 ABDBCD SSSAB BDBD BCDBC 1137 3 22 32 33 2222 故选：B 7（多选）（2020烟台模拟）在ABC中，D在线段AB上，且
17、5AD ，3BD ，若2CBCD， 5 cos 5 CDB ，则() A 3 sin 10 CDBBABC的面积为 8 CABC的周长为84 5DABC为钝角三角形 【分析】由已知结合余弦定理余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可 【解答】解：由 5 cos 5 CDB 可得 12 5 sin1 55 CDB，故A错误； 设CDx，2CBx， 在CBD中由余弦定理可得， 22 594 56 xx x ， 整理可得， 2 52 5150 xx， 解可得，5x ，即5CD ，2 5CB ， 所以 12 512 5 35558 2525 ABCBCDADC SSS ，故B正确；
18、由余弦定理可知， 222222 cos 22 BCBDCDBCABAC B BC BDBC AB ， 即 2 20952064 232 5282 5 AC ，解可得，2 5AC ，故周长82 52 584 5ABACBC，故C 正确； 由余弦定理可得， 2020643 cos0 522 52 5 C ， 故C为钝角，D正确， 故选：BCD 8（多选）（2020 春福州期中）如图，设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、 c成等比数列，A、B、C成等差数列，D是ABC外一点，1DC ，3DA，下列说法中，正确的是( ) A 3 B BABC是等边三角形 C若A、B、C、D四点
19、共圆，则13AC D四边形ABCD面积无最大值 【分析】对于A，因为A、B、C成等差数列，所以3B， 3 B ，故A正确； 对于B，因为a、b、c成等比数列，利用 2 bac及余弦定理计算可知 22 acacac，进而可知AC， 故B正确； 对于C，若A、B、C、D四点共圆，则 2 3 D ，根据余弦定理可得 222 2cosACADCDAD CDD， 代入计算可得13AC ，故C正确； 对于D，等边ABC中，设ACx，0 x ，在ADC中，由余弦定理可得： 2 106cosxD，利用四边 形面积表达式得到最值，故D错误 【解答】解：对于A，因为A、B、C成等差数列， 所以2ACB，则3ABC
20、B解得 3 B ，故A正确； 对于B，因为a、b、c成等比数列，则 2 bac， 由余弦定理可得 222 2cos 3 bacac ，带入得 22 acacac，即 2 ()0ac，所以AC，故B正确； 对于C，若A、B、C、D四点共圆，则AD，故 2 3 D ， 根据余弦定理可得 222 2cosACADCDAD CDD，代入计算可得 2 1 91613 2 AC ，解得 13AC ，故C正确； 对于D，等边ABC中，设ACx，0 x ， 在ADC中，由余弦定理可得： 222 2cosACADCDAD CDD，由于3AD ，1DC ， 代入上式可得： 2 106cosxD， 所以 2 335
21、 31133 31063 232424232 ABCACDABCD SSSx xsinsinDxsinDcosDsinDsin D 四边形 ， 所以四边形ABCD面积的最大值为 5 3 3 2 ，故D错误 故选：ABC 9（2020 春宜宾期末）一渔船在A处望见正北方向有一灯塔B，在北偏东45方向的C处有一小岛，渔 船向正东方向行驶 2 海里后到达D处， 这时灯塔B和小岛C分别在北偏西30和北偏东15的方向， 则灯塔 B和小岛C之间的距离为海里 【分析】根据条件求出题中所涉及到的角，再根据正弦定理分别求出CD，BD，即可得出结论 【解答】解：由题意画出图形，如图所示； 在Rt ABD中，2AD
22、 ，903060ADB ，所以24BDAD； 在ADC中，45CAD，9015105ADC ，所以30ACD， 由正弦定理得 sinsin CDAD CADACD ，所以 2 sin45 2 22 2 1 sin30 2 CDAD ； 在BCD中，4BD ，2 2CD ，301545BDC ， 所以 222 2cos168242 2cos458BCBDCDBD CDBDC ， 所以2 2BC ， 即B、C两岛之间的距离是2 2海里 故答案为：2 2 10（2020 春绍兴期末）在ABC中，120A ，1BC ， 3 sin 5 B ，则AC ，cosC 【分析】由已知利用正弦定理即可解得AC的
23、值，根据余弦定理可得 2 2510 3130ABAB，解得AB的 值，由正弦定理可得sinC的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值 【解答】解：在ABC中，120A ，1BC ， 3 sin 5 B ， 由正弦定理 sinsin ACBC BA ，可得 3 1 sin2 3 5 sin53 2 BCB AC A ， 在ABC中，由余弦定理 222 2cosBCACABAC ABA，可得 222 2 32 3 1()2cos120 55 ABAB， 整理可得： 2 2510 3130ABAB，解得 43 5 AB ，负值舍去， 由正弦定理 sinsin BCAB AC ，可得 43
24、3 sin4 33 52 sin 110 ABA C BC ， 22 4 333 34 cos11() 1010 Csin C 故答案为： 2 3 5 ， 3 34 10 11（2020厦门模拟）一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各 放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停 在点C处，若50AEcm，40EFcm，30FCcm，60AEFCFE ，则该正方形的边长为 cm 【分析】连接AF、AC，利用余弦定理求出AF，由正弦定理求出sinAFE，从而求出cos(60 )AFE， 再求AC和边长AB的值 【
25、解答】解：连接AF、AC，如图所示， AEF中，由余弦定理得， 222 504025040cos602100AF ， 解得10 21AF ； 由正弦定理得， sin60sin 5010 21 AFE ，解得 525 sin 282 7 AFE， 所以 3 cos 28 AFE， 所以 312533 cos(60 )2 28228228 AFE ， AFC中，由余弦定理得， 2 3 21009002 10 213024800 28 AC ， 解得40 3AC ， 所以该正方形的边长为 40 3 20 6() 22 AC ABcm 故答案为：20 6 12（2020宁波模拟）在ABC中，1,2AC
26、BC，以AB为边在平面ABC内向外作正方形ABDE，使 C，D在AB的两侧 （1）当45ABC时，|CD 5； （2）|CE的最大值为 【分析】（1）当45ABC时，由正弦定理可得BAC的正弦值为 1，可得90BAC，可得ABC为 等腰直角三角形，在BDC中由余弦定理可得|CD的值； （2）设BAC，在ACE中，由余弦定理可得CE的表达式，在ABC中，设BAC，由余弦定 理可得AB的表达式，在ABC中，由正弦定理可得sin2sinAB，进而可得 2 44sin() 4 CE ， 进而可得当 42 时CE最大，求出最大值 【解答】解：（1）当45ABC时，在ABC中，根据正弦定理可得 sin s
27、in1 BCABC BAC AC ， 所以90BAC，则1AB ，所以1BDDEAE，135CBD， 由余弦定理得 222 2 2cos13521221 ()5 2 CDBCBDBC BD ， 则|5CD ； （2）在ACE中，设BAC， 由余弦定理 22222222 2cos2cos(90)2sin12sinCEAEACAE ACEACABACAB ACABACAB ACABAB ， 在ABC中，设BCA，1AC ，2BC ，所以 222 2cos32 2cosABACBCAC BC， 所以 2 42sin2 2cosCEAB， 在ABC中，由正弦定理可得 sinsin ABBC ，所以si
28、nsin2sinABBC， 所以 2 42 2sin2 2cos44sin() 4 CE ， 所以当 42 ，即 3 4 时 2 CE最大为 8，即| 2 2CE ， 所以|CE的最大值为2 2， 故答案分别为：5，2 2 13（2020 春苏州期末）在cos0bAc，coscosaBbA，cos0aCb这三个条件中选择符合 题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b ，4c ，满足_ （1）请写出你的选择，并求出角A的值； （2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且 3 4 ADB ，求CD长 【分析】（1）依次代入条件，可得不
29、成立，故只能选； （2）由（1）结论再结合余弦定理可得cosC，进而得到sinC，结合两角和差公式得到sinCAD，利用正 弦定理得到CD 【解答】解：（1）若选条件，则有 4 cos2 21 2 c A b ，不合题意； 若选条件，由余弦定理可得 222222 22 acbbca ab acbc ，整理得ab， 又因为此时2 24ab，不符合题意； 若选条件，由余弦定理可得 222 0 2 abc ab ab ，即 222 30abc， 所以 222 316610acb， 则 222 216 102 cos 222210 bca A bc ， 因为(0, )A，所以 4 A ； 故（1）答案
30、选：； （2）由（1）的 222 210 165 cos 252210 bac C ab ， 因为(0, )c，则 2 2 5 sin1 5 Ccos C， 33310 sinsin()sincoscossin 44410 CADCCC， 在ACD中，因为 sinsin ACCD ADCCAD ， 则 10 2 sin10 10 sin52 2 ACCAD CD ADC 14（2020泉州一模）在平面四边形ABCD中，,2, 23 ABCDACACBADC （1）若,3 6 ACBBC ，求BD； （2）若3DCAB，求cosACB 【分析】（1）解直角三角形求得AB，AC，由题意可得DAC为
31、边长为 2 的等边三角形，在ABD中， 运用余弦定理计算可得所求值； （2）设ABx，则3DCx，ACB，则2DAC，在直角三角形ABC中求得AC，在ACD 中，运用正弦定理，结合二倍角公式，计算可得所求值 【解答】解：（1）如右图，,2, 23 ABCDACACBADC ，,3 6 ACBBC ， 可得 3 DAC ， 在直角三角形ABC中，tan1 6 ABBC ，2 cos 6 BC AC ， 可得DAC为边长为 2 的等边三角形， 在ABD中， 2 3 DAB ，可得 22 1 2cos142 1 2()7 2 BDABADAB ADDAB ； （2）如右图，设ABx，则3DCx，ACB，则2DAC， 在直角三角形ABC中， sinsin ABx AC ， 在ACD中，由正弦定理可得 sinsin2 ACCD ADC ， 即 33 sin22sincos3 sin 2 xxx ， 化简可得 3 cos 4 ， 即 3 cos 4 ACB
