1、90 自主招生讲义（下）自主招生讲义（下） 第九讲 圆锥曲线.93 一、知识方法拓展：.93 二、热身练习：.94 三、真题精讲：.96 四、重点总结：.104 五、强化训练：.105 第十讲 极坐标系/参数方程/线性规划.115 一、 知识方法拓展：.115 二、 热身练习：.119 三、 真题精讲：.120 四、 重点总结：.121 五、 强化训练：.121 第十一讲 平面几何.125 一、知识方法拓展.125 二、热身练习.126 三、真题精讲.127 四、重点总结.130 五、强化训练.130 第十三讲 三角.135 一、知识拓展.135 二、热身练习.136 三、例题精讲.138 四
2、、重点总结.142 五、强化训练.142 第十四讲 复数.150 一、 知识要点.150 二、 典型例题.152 三、练习巩固.154 第十五讲 逻辑、计数原理与组合数.157 一、知识方法拓展.157 二、热身练习.158 三、真题精讲.159 四、重点总结.163 五、强化训练.163 第十六讲 概率与统计.169 一、知识方法拓展.169 三、真题精讲：.170 四、重点总结.175 五、强化训练.175 第十七讲 简单的初等数论.181 一、 知识总结.181 二、 例题讲解.183 91 三、 练习.185 92 93 第九讲 圆锥曲线第九讲 圆锥曲线 一、知识方法拓展：一、知识方法
3、拓展： 1、直线系方程1、直线系方程 若直线 1111 :0la xb yc与直线 2222 :0la xb yc相交于 P， 则它们的线性组 合 111222 0a xb yca xb yc（,R ，且不全为 0） （*）表示过 P 点 的直线系。当参数, 为一组确定的值时， （*）表示一条过 P 点的直线。 特别地，当0时， （*）式即 222 0a xb yc； 当0时， （*）式即 111 0a xb yc。 对于 12 ,l l以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为 1. 又若 1 l与 2 l平行，这时（*）式表示所有与 1 l平行的直线。 2、圆锥曲线的第二
4、定义（离心率、准线方程等）2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等） 圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点F与到一条定直线l(点F不在直线l上） 的距离之比为常数e的点的轨迹: 当01e时, 点的轨迹是椭圆， 当1e 时, 点的轨迹是双曲线， 当1e 时, 点的轨迹是抛物线， 其中e是圆锥曲线的离心率 c e a ， 定点F是圆锥曲线的焦点， 定直线l是圆锥曲线的准线， 焦点在 X 轴上的曲线的准线方程为 2 a x c 。 3、圆锥曲线和直线的参数方程3、圆锥曲线和直线的参数方程 圆 222 xyr的参数方程是 cos sin xr yr ，其中是参数。 94 椭圆 22 22 1 xy
5、ab 的参数方程是 cos sin xa yb ，其中是参数，称为离心角。 双曲线 22 22 1 xy ab 的参数方程是 sec tan xa yb ，其中是参数。 抛物线 2 2ypx的参数方程是 2 2 2 xpt ypt ，其中t是参数。 过定点 00 ,xy，倾斜角为的直线参数方程为 0 0 cos sin xxt yyt ，t为参数。 （关注几 何意义） 。 4、圆锥曲线的统一极坐标方程4、圆锥曲线的统一极坐标方程 以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过 极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为 1cos ep e ，
6、其中e为离心率，p是焦点到相应准线的距离。 二、热身练习：二、热身练习： 1、 （07 武大） 如果椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 2 ，那么双曲线 22 22 1 xy ab 的 离心率为（） （A）2（B）2（C） 5 2 （D） 5 4 【答案】C 【解析】圆锥曲线的离心率 c e a ， 椭圆中： 222 cab 22 2 2 3 4 ab e a ，得 22 4ab 双曲线中： 222 2 22 5 4 cab e aa ，得 5 2 e ，故选择 C。 95 2、 （07 武大）点 P 为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 上的一点， 12 ,F
7、 F为椭圆两焦点，那么 12 FP F P 的最小值为（） （A） 22 ab（B） 2 b（C） 22 2ab（D） 22 2ba 【答案】D 【 解 析 】 本 题 可 以 直 接 用 坐 标 法 来 处 理 ， 解 答 如 下 ： 设 点 12 ,:,0 ,:,0Px yyb bFcFc 坐标为 22 22222222 12 2 =,2, ab FP F Pxc yxc yxycybba b b 所以答案选择 D。 3、 （11 复旦）椭圆 22 1 2516 xy 上的点到圆 2 2 61xy上的点距离的最大值是（ ） （A）11（B）74（C）5 5（D）9 【答案】A 【解析】由平
8、面解析几何的知识，椭圆 22 1 2516 xy 上的点到圆 2 2 61xy 上的点距离的最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。 设椭圆上点的坐标5cos ,4sinP，圆的圆心0,6O，则： 2 22 2 8 5cos4sin69sin48sin619 sin125 3 PO 2 8 9112510 3 （当sin1 时取等号） 所求距离的最大值=10+1=11。 96 4、 （11 卓越）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，ABC三个顶点都在抛物线上， 且ABC的重心为抛物线的焦点，若 BC 边所在直线的方程为4200 xy，则抛物线方 程为（） （A） 2 16yx（B）
9、2 8yx（C） 2 16yx （D） 2 8yx 【答案】A 【解析】设抛物线方程为pxy2 2 ，则 0 , 2 p F，联立直线与抛物线方程消去y得： 0200808 2 xpx， 8 80 21 p xx ， 12 2 p yy 从而根据点 2 , 8 8011pp A在抛物线pxy2 2 上得： 8 80 2 2 2 p p p 解得：8p或0（舍去） ，故选A。 三、真题精讲：三、真题精讲： 精选近年真题中较典型的题目，考查常用知识方法的例题，5-6 道，中等与较难的比例 为 2：1。 例 1、 （11 卓越）已知椭圆的两个焦点为例 1、 （11 卓越）已知椭圆的两个焦点为 1 1
10、,0F 、 2 1,0F，且椭圆与直线，且椭圆与直线3yx相 切。 （1）求椭圆的方程； （2）过 相 切。 （1）求椭圆的方程； （2）过 1 F作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线 12 ,l l，与椭圆分别交于 P、Q 及 M、N，求四边形 PMQN 面 积的最大值与最小值。 ，与椭圆分别交于 P、Q 及 M、N，求四边形 PMQN 面 积的最大值与最小值。 【解析】 （1）由题知： 22 1ab所以可设椭圆方程为 22 22 1 1 xy bb 椭圆与直线3yx相切 97 方程组 22 22 1 1 3 xy bb yx 只有一个解， 即方程 22242 212 31230bxbx
11、bb有两个相等的实数根 所以 2 224262 2 314 212380bbbbbb 解得 2 1b 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）当PQ斜率不存在（或为 0）时， 1 212 2 1 2 =2 22 PMQN SPQMN 四边形 当PQ斜率存在（且不为 0）时，设为k，则MN的斜率为 1 k （0k ） 所以PQ的方程为ykxk 设PQ与椭圆的交点坐标 1122 ,P x yQ xy、，联立方程 2 2 1 2 ykxk x y 12 xx、为方程 2222 214220kxk xk的根 2 222 2 2122 2 2 44 2122 1 112 2 2121 kkk k
12、PQkxxk kk 同理 2 2 1 2 2 2 k MN k 所以 422 4242 1211 =44 225224104 PMQN kkk SPQMN kkkk 四边形 2 2 11 4 1 2 4410k k 因为 22 22 14 442 48kk kk ，当且仅当 2 1k 时等号成立。 98 所以 2 2 1116 4,2 1 29 4410k k 综上所述， PMQN S四边形的面积的最小值为 16 9 ，最大值为2。 例 2、 （11 华约）双曲线例 2、 （11 华约）双曲线 22 22 10,0 xy ab ab ，是左、右焦点，P 是右支上任一点，且，是左、右焦点，P 是
13、右支上任一点，且 12 2 12 ,3 3 3 F PF FPFSa 。 （1）求离心率 。 （1）求离心率e； （2）若 A 为双曲线左顶点， Q 为右支上任一点， 是否存在常数 ； （2）若 A 为双曲线左顶点， Q 为右支上任一点， 是否存在常数使使 22 QAFQF A 恒 成立？ 恒 成立？ 【解析】 （1）在 12 PFF中，有 12 222 121212 2 2cos 3 PFPFa FFPFPFPFPF 双曲线定义 余弦定理 2 2 2 121212 21 cos4 3 FFPFPFPFPFc 222 12 444PFPFcab 12 22 12 1 sin33 3 23 PF
14、 F SPFPFba 所以 22 3ba， 22 2caba 2 c e a （2）由（1）知双曲线的方程为： 22 22 1 3 xy aa 不妨先设 2 QFx 轴，此时Q点的坐标为2 ,3aa 22 3AFaQF， 2 QAF为等腰直角三角形， 22 1 2 QAFQF A 下面证明 1 2 。 令 sec , 3 tanQ aa 则 2 3 tan3tan tan 2sec2sec a QF A aa 99 2 3 tan3tan tan secsec1 a QAF aa 222 2 3tan 2 2 3tansec12 3tansec1 sec1 tan2 2sec2sec4 sec
15、13tan 3tan 1 sec1 QAF 2 2 3tansec13tan tan 2 sec1 sec2sec2 QF A 所以，存在常数 1 2 ，使 22 1 2 QAFQF A恒成立。 注：注：设P是椭圆 22 22 1 xy ab （或是双曲线 22 22 1 xy ab ）上一点， 12 FPF（ 12 FF、分 别是左右焦点） ，则 1 2 22 tancot 22 PF F Sbb 或。 例 3、 （08 武大）已知 A、B 两点在椭圆例 3、 （08 武大）已知 A、B 两点在椭圆 2 2 :1 x Cy m 1m 上，直线 AB 上两个不同的点 P、Q 满足 上，直线 A
16、B 上两个不同的点 P、Q 满足:APPBAQQB，且 P 点坐标为，且 P 点坐标为1,0。 （1）若 。 （1）若2m ，求证：点 Q 在椭圆准线上； （2）若 ，求证：点 Q 在椭圆准线上； （2）若m为大于 1 的常数，求点 Q 的轨迹方程。为大于 1 的常数，求点 Q 的轨迹方程。 【解析】 （1）证明：设 332211 ,yxQyxByxA 若xAB 轴，则1:QBAQPBAP，即QP,两点重合，与已知矛盾； 设kKAB，则 32 2 31 2 1,1xxkQBxxkAQ 当2m时，则0 , 1P为椭圆:C1 2 2 2 y x 的右焦点； 则 2211 2 2 2, 2 2 2x
17、exaBPxexaAP； QBAQPBAP: 100 31 2 232 2 1 1 2 2 21 2 2 2xxkxxxkx 其中由图形可知： 0 3132 xxxx，化简可以得到2 3 x，即点Q在准线上； （2）解：设1:xkylAB，则1,1,1, 332211 xkxQxkxBxkxA 1111 1 2 2 1 2 2 1 xkxkxAP，同理11 2 2 xkPB； 23 2 1xxkQB， 13 2 1xxkAQ； QBAQPBAP: 132 2 231 2 1111xxxkxxxk 即 132231 11xxxxxx由图像0, 011 132321 xxxxxx 于是： 011
18、132231 xxxxxx 整理得到： 2 2 21 2121 3 xx xxxx x； 联立 1 1 2 2 xky y m x ，消去y得：0121 2222 kmxmkxmk 2 2 21 2 2 21 1 1 , 1 2 mk km xx mk mk xx m mk mk mk mk mk km xx xxxx x 2 1 2 1 4 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2121 3 从求解过程中发现，不论Q点的纵坐标 3 y为何值，点Q的横坐标均为m； 故：Q点的轨迹方程为mx ； 例 4、例 4、 、 （10 武大）对于抛物线 2 4yx上的两相异点 A、B，如果弦 A
19、B 不平行于y轴且其垂 直平分线交x轴于点 P，那么称弦 AB 是点 P 的一条相关弦。已知点 00,0 P x存在无穷多条 101 相关弦，其中 0 2x 。 （1）证明：点 0 P的所有相关弦的中点的横坐标均相同； （2）试问：点 0 P的所有相关弦中是否存在长度最大的弦？若存在，则求此最大弦长（用 0 x 表示） ；若不存在，则阐述理由。 【解析】 （1）设AB为点)0 ,( 0 xP的任意一条“相关弦” ，且点 A、B 的坐标分别是 ),( 11 yx、),( 22 yx)( 21 xx ,则 1 2 1 4xy , 2 2 2 4xy , 两式相减得)(4)( 212121 xxyy
20、yy。因为 21 xx ,所以0 21 yy。 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是),( mm yxM,则 m yyyxx yy k 24 2121 21 。 从而AB的垂直平分线l的方程为)( 2 m m m xx y yy, 又点)0 ,( 0 xP在直线l上，所以)( 2 0m m m xx y y, 而0 m y，于是2 0 xxm。 故点)0 ,( 0 xP的所有“相关弦”的中点的横坐标都是2 0 x。 (2)由(1)知，弦AB所在直线的方程是() mm yyk xx，代入 2 4yx中， 整理得0)(2)(2 222 mmmm kxyxkxykxk（*） 则 12 xx、是方程（
21、*）的两个实根，且 2 2 21 k kxy xx mm ， 设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 2 21 22 21 2 21 2 )(1 ()()(xxkyyxxl )(1 (44)()1 ( 21 22 21 2 21 2 xxxkxxxxk m )(4(4 4 ) 2 ( ) 4 1 (4 22 2 2 2 2 mmm m m m m m m yxy y x y y x y 102 2 2224 ) 1(2) 1(416) 1(4 mmmmmmm xyxxxyy 2 0 22 0 )3(2) 1(4xyx m 因为84)2(440 00 2 xxxy mm ,于是设 2 m yt ,
22、则84 , 0 0 xt。 记 2 0 2 0 2 ) 1(4) 3(2)(xxttgl 若3 0 x,则84 , 0)3(2 00 xx,所以当)3(2 0 xt,即)3(2 0 2 xym时, l有最大值) 1(2 0 x。 若32 0 x,则0)3(2 0 x,)(tg在区间84 , 0 0 x上是减函数，所以 )2(160 0 2 xl,l不存在最大值。 综上所述， 当3 0 x时， 点)0 ,( 0 xP的 “相关弦” 的弦长中存在最大值， 且最大值为) 1(2 0 x； 当 2x03 时，点)0 ,( 0 xP的“相关弦”的弦长中不存在最大值。 例 5、 （2012“卓越联盟” ）
23、抛物线例 5、 （2012“卓越联盟” ）抛物线 2 2(0),ypx pF为抛物线的焦点，为抛物线的焦点，AB、是抛物线上 两点，线段 是抛物线上 两点，线段AB的中垂线交的中垂线交x轴于轴于( ,0),0,.D aamAFBF （1）证明：（1）证明：a是是pm、的等差中项； （2）若 的等差中项； （2）若3 ,mp l为平行于为平行于y轴的直线，其被以轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值， 求直线 为直径的圆所截得的弦长为定值， 求直线l的方程。的方程。 【解析】 （1）设 1122 ( ,), (,),A x yB xy由抛物线的定义知： 1212 . 22 pp AFB
24、Fxxxxp 又AB中垂线交x轴于( ,0),D a故 2222 1122 ()()xayxay 22 12122121 (2 )()2 ()xxa xxyyp xx，又因为 21 xx， 所以 1212 22 ,22xxap xxap ， 103 故 12 2,mAFBFxxpap 2 mp a ，所以a是pm、的等差中项。 （2）因为3 ,mp所以2 .ap设 2 (2,2)(2 ,0).AptptDp、圆心 2 (,)O pptpt. 设直线l的方程为.xn由于弦长为定值，故 22 Rd为定值，这里R为圆的半径， d为圆心 O到l的距离。 2222222222222 1 (22 )(2)
25、()(1)() 4 Rdptpptpptnpttpptn 2 222222 322(23)(2).p tnpnptnnpp tnpn 令 2 230npp，即 3 2 np时， 22 Rd为定值 222 93 3 44 ppp， 故这样的直线l的方程为 3 . 2 xp 例 6、 （10 同济）已知动直线例 6、 （10 同济）已知动直线l经过点经过点4,0P，交抛物线，交抛物线 2 20yax a于 A、B 两点。 坐标原点 O 是 PQ 的中点，设直线 AQ、BQ 的斜率分别为 于 A、B 两点。 坐标原点 O 是 PQ 的中点，设直线 AQ、BQ 的斜率分别为, AQBQ kk。 （1）
26、证明： 。 （1）证明：0 AQBQ kk； （2）当 ； （2）当2a 时，是否存在垂直于时，是否存在垂直于x轴的直线轴的直线 l，被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值？ 若存在，请求出直线 ，被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值？ 若存在，请求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由。的方程；若不存在，请说明理由。3x 解析：解析： 【解析】 （1）设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy. 直线 AQ 交抛物线于 33 (,)C xy，则直线 AQ： 1 xk y4，直线 AB： 2 xk y4，先将 1 xk y4代入 2 y2ax中 22 11 2 (4)280ya k
27、yyak ya 所以 12 y8ya ，同理 13 y8ya。所以 23 yy 。 所以 B 与 C 关于 x 轴对称即 AQ l与 BQ l关于 x 轴对称，所以0 AQBQ kk. （2）因为a2，所以抛物线为： 2 y4x，那么可设 2 A,y 4 y （），又P4,0（），并可得 A、 104 P 中点 O， 2+16 (,) 82 yy O。 如图，则圆的半径 22 2 y +16y r-4+ 84 O P （） 再设直线 l存在且为：xt。那么要使被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值 C； 则 222 rdOl() 2 C （， ）， （这里dOl（， ）表示O到直线l的距离）
28、222 222 y +16y +16 -(t-)() 8482 yC （4） 2 222 y +163 - +-y =() 442 C tt 222 3 (-)y -t +4 =() 4 42 tC t 解得 3 = 44 t 即t=3。所以直线l存在，为=3x 四、重点总结：四、重点总结： 本章主要考查内容：本章主要考查内容：圆锥曲线的第一、第二定义；几何性质；直线与二次曲线的交点及弦长 问题；有关最值和定值问题的证明和求解等。 命题规律和特点：命题规律和特点：各个学校的特点不一样，整体没有规律可言，但所有的题目均在以上所写 的几个内容范围之内， 就是用代数运算解决几何问题， 本章整体的特点
29、是解答题运算量较大， 105 涉及到求最值的问题一般用韦达定理设而不求， 化简后转化为函数求最值得问题， 函数的思 想解决相关问题。 备考建议：备考建议：学生在复习本章节内容时多注重定义、几何性质和韦达定理的运用，记住某些常 用的公式，例如焦点三角形的面积公式及推导，要多做练习以提高计算能力。 五、强化训练：五、强化训练： A 组A 组 1、 （09 华南） 已知圆 222 :O xyr， 点,0P a bab 是圆O内一点。 过点P的圆O的 最短的弦在直线 1 l上，直线 2 l的方程为 2 bxayr，那么（） （A） 12 / /ll，且 2 l与圆O相交（B） 12 ll，且 2 l与
30、圆O相切 （C） 12 / /ll，且 2 l与圆O相离（D） 12 ll，且 2 l与圆O相离 【答案】D 【解析】易知，当 1 lOP 时，过点P的弦长最短；若最短的弦在直线 1 l上，则OP是直线 1 l的一个法向量；故 1 l0:bybaxa，即 22 babyax， 21 ll ； 另外：圆心O到直线 2 l的距离r ba r d 22 2 ，故 2 l与圆O相离； 2、 （01 复旦）抛物线 2 41yx 的准线方程为（） （A）1x （B）2x （C）3x （D）4x 【答案】B 【解析】将抛物线xy4 2 图像向右平移1个单位得到抛物线 2 41yx 的图像； 抛物线xy4 2
31、 的准线方程为1x，故抛物线 2 41yx 的准线方程为2x； 3 、 （ 10 复 旦 ） 已 知 常 数 12 ,k k满 足 1212 0,1kk k k。 设 1 C和 2 C分 别 是 以 1 11ykx 和 2 11ykx 为渐近线且通过原点的双曲线， 则 1 C和 2 C的离心率 106 之比 1 2 e e 等于（） （A） 2 1 2 2 1 1 k k （B） 2 2 2 1 1 1 k k （C）1（D） 1 2 k k 【答案】C 【 解 析 】 由 条 件 可 设 1 C的 方 程 式 22 222 1 (1)(1) 1 xy ak a ， 2 C的 方 程 式 22
32、 222 2 (1)(1) 1 xy bk b 。又 1 C、 2 C过原点，故 222 1 222 2 11 ()1 11 ()1 ak a bk b 由 1212 0,1kk k k知 12 01kk ，故 2222 2122 1111 , ak abk b ，从而 1 C前应带负号， 2 C前应带正号，且 22 22 12 22 12 11 , kk ab kk ，所以 22 11 1 11 11kak e k ak 22 212 12 2 11 111 11 kbk ek bkk ，得 1 2 1 e e 4、 （10 复旦）将同时满足不等式20 xky，2360 xy，6100 xy
33、0k 的点, x y组成的集合 D 称为可行域，将函数 1y x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解 可行域中的点, x y使目标函数达到可行域上的最小值。如果这个规划问题有无穷多个解 , x y，则k的取值为（） （A）1k （B）2k （C）2k （D）1k 【答案】C 【解析】题中的可行域为图中的阴影部分， 1y x 表示点0, 1与阴影部分中的点的连线的 斜率。要使问题有无穷多解，则点0, 1到直线20 xky上，即20k ，故2k 5、 （10 复旦）已知C是以O为圆心、r为半径的圆周，两点P、 * P在以O为起点的射线 107 上，并且满足 *2 OPOPr，则称P、 * P关于圆
34、周 C 对称。那么，双曲线 22 1xy上 的点,P x y关于单位圆周 22 :1C xy的对称点 * P所满足的方程是（） （A） 2244 xyxy（B） 2 2222 xyxy （C） 2244 2xyxy（D） 2 2222 2xyxy 【答案】B 【解析】任取点 00 ,xy在双曲线 22 1xy上，设其关于圆周 22 :1C xy的对称点 * 00 (,)Px t y t，则 222 22 2 0000 1xyx ty t，即 22 00 1 t xy . 令 0 0 xx t yy t ，则 22 22 222 2 00 00 22 222 2 0000 , ()() xy x
35、x tyy t xyxy 2222 2222 0000 22222222222 00000000 11 , ()()() xyxy xyxy xyxyxyxy ， 故 22222 ()xyxy，即 * P所满足的方程是 2 2222 xyxy 6、 （06 武大）过点1,3P的动直线交圆 22 :4C xy于 A、B 两点，分别过 A、B 作圆 C 的切线，如果两切线相交于点 Q，那么点 Q 的轨迹为（） （A）直线（B）直线的一部分（C）圆的一部分（D）双曲线的一支 【答案】B 【解析】设点A),( 11 yx、B),( 22 yx、Q),( , yx，因为直线AQ、BQ与圆4 22 yx相
36、切， 所以直线AQ的方程为：4 11 yyxx，直线BQ的方程为：4 22 yyxx。又因为点Q在 这两条直线上， 所以有4 , 1 , 1 yyxx，4 , 2 , 2 yyxx， 则A、 B都满足方程4 , yyxx， 且经过A、B两点的直线唯一，故AB所在直线方程为4 , yyxx，又因为点1,3P在直 线AB上， 所以43 , yx， 故点Q在直线43 yx上， 而直线43 yx与圆4 22 yx 108 相交，而点Q不在圆内，所以点Q的轨迹为直线的一部分。 7、7、 （06 武大）以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相离，则此曲线是（） （A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）圆
37、【答案】A 【解析】设AB是圆锥曲线的焦点弦，A、B到相应焦点的距离分别为 21,d d，圆锥曲线的离 心率为e，则它们到相应准线的距离分别为 e d e d 21 ,，圆心到准线的距离为 2 21 e d e d d ，而 圆的半径 2 21 dd R ，因为圆和相应准线相离，故10eRd，即对应的圆锥曲线 为椭圆。 8、8、（07 武大） 如果直线10,axbya bR 平分圆 22 :2410C xyxy 的周长， 那么ab的取值范围是（） （A） 1 , 4 （B） 1 , 8 （C） 1 0, 4 （D） 1 0, 8 【答案】B 【解析】由题意可知，直线01byax经过圆 222
38、2)2() 1(yx的圆心)2 , 1(， 所以012ba，即12 ba，所以 8 1 8 1 ) 4 1 (2)21 ( 2 bbbab，所以当且 仅当 4 1 b时等号成立。所以ab 1 , 8 。 9、 （11 复旦）设有直线族和椭圆族分别为,xt ymtb（,m b为实数，t为参数）和 2 2 2 1 1 x y a （a是非零实数） ，若对于所有的m，直线都与椭圆相交，则, a b应满足 （） （A） 22 11ab（B） 22 11ab（C） 22 11ab（D） 22 11ab 109 【答案】B 【解析】注意到直线ymxb恒过定点(0,b)，对所有mR，直线与椭圆相交，则当且
39、仅当(0,b)在椭圆的内部，所以 2 2 2 0 1 1b a ，即 22 (1)1ab。 10、 （10 同济）若圆 22 44100 xyxy上至少有三个不同的点到直线:0l axby 的距离为2 2，则直线l的斜率的取值范围是。 【答案】23,23 【解析】圆的方程为： 222 (2)(3 2)y(x-2)， 圆心：2,2（），半径为2r=3， 若圆上至少有 3 个点到直线的距离为2 2d ，则直线与圆必相交，否则满足条件的点最 多只有两个。 因而只需满足圆心（2,2）到直线的距离 1 ()2rdd，即 1 2 22 2 (1) k d k ， 整理得： 2 410kk 。解出即可。 1
40、1、 （07 武大）如果直线1xmy与圆 22 :0C xymxnyp相交，且两个交点关 于直线yx对称，那么实数p的取值范围为。 【答案】 3 , 2 【解析】因为两个交点关于直线yx对称，而这两个交点均在直线1xmy， 所以直线1xmy垂直于直线yx，即有1m 。 设两个交点为 A、B，由垂径定理，AB 中垂线必过 C（C 为圆心） ，而 A、B 关于直线yx对 称 ， 故 C 在yx上 ， 得mn， 所 以 圆 的 方 程 为 22 0 xyxyp， 即 22 111 )() 222 xyp（，则 1 2 p 。只要圆与直线1xy 有两个交点即可，把 110 1yx 代入方程，有 2 2
41、220 xxp。 由=4-4 2 (2)0p 解得 3 , 2 p 。 12、 （06 复旦）已知曲线 2 2 :1 4 x Cy，曲线 C 关于直线2yx对称的曲线为曲线C， 曲线C与曲线C关于直线 1 5 2 yx 对称，求曲线,C C的方程。 【解析】任取C上一点( , )M x y，则( , )M x y关于直线2yx的对称点(,) oo M xy在 C 上，从而 2 22 1 2 oo o o yyxx yy xx 解得 34 55 43 55 o o xxy yxy 代入曲线 C 方程，得 22 3443 4 5555 xyxy ，化简并由M的任意性，知曲线 C的方程为 22 73
42、7252100 xxyy 任取(,) oo M xy在是 C 上的点，( , )M x y是C上的点，( , )Mxy是C上的点，由 2 1 5 2 yx yx ，知其交点(2,4)A。由MM、关于y2x对称，得AMAM；由 MM、关于 1 5 2 yx 对称， 得AMAM。 又易知直线y2x与 1 5 2 yx 垂 直，故MM与直线y2x平行，从而1AMM 。 所以 MAMMAMMAM2 1MAM2AMMMAM180 ， 从而A为MM的中点，故曲线 C 与C关于点(2,4)A对称，所以曲线C方程为 2 2 4 81 4 x y ，即 2 2 4 81 4 x y 111 B 组B 组 1、
43、（08 交大）曲线 2 20ypx p与圆 2 2 23xy交于 A、B 两点，线段 AB 的中点 在yx上，求p。 【解析】设),( 11 yxA，),( 22 yxB，联立01)2(2 2 3)2( 2 2 22 xpx pxy yx ， pyypxxpyy xx pxx ppp 244 1 )2(2 134)2(4 21 2 21 2 2 21 21 21 2 或 因为线段 AB 的中点在yx上，所以 22 2121 xxyy 2 21 2 21 22 xxyy 2 2121212211 2 221 2 1 )2()2( 22 )( 24 222 4 2 ppp yyxxpyypxyyp
44、xyyyy pppppyy21)2(401)2(4 21 ， 解得 4 177 p或 4 177 p（舍） 所以 4 177 p 2、 （08 浙大）椭圆 2 2 44xya与抛物线 2 2xy有公共点，求a的取值范围。 【解析】由条件，设椭圆的方程为： 2cos ( ,2 ),) 2sin x a ya 其中为参数 代入抛物线方程得： 2 4cos2(sin )a，从而 222 117 2cossin2sinsin22(sin) 48 a 112 因为 2 12517 sin 1,1,(sin)0, 1, 4168 a 所以 3、 （09 浙大）双曲线 22 22 10,0 xy ab ab
45、 的离心率为2， 11 ,A x y、 22 ,B xy两 点在双曲线上，且 12 xx。 （1）若线段 AB 的垂直平分线经过点4,0Q，且线段 AB 的中点横坐标为 00 ,xy，试求 0 x 的值；2 （2）双曲线上是否存在这样的点 A 与 B，满足OAOB ？不存在 【解析】（1） 由条件得离心率 22 2 ab e a ， 得ab， 从而双曲线方程为 222 xya， 又因为 1122 (,)(,)A x yB xy、在双曲线上，故 22222 1122 xyxya. 由QAQB得 2222222222 1122211212 (4)(4)(4)(4)xyxyxxyyxx 即： 211
46、21212 ()(8)()()xxxxxxxx， 由 12 xx知， 12 2()80 xx，即 12 4xx，从而 12 0 2 2 xx x （2）假设存在点 1122 (,)(,)A x yB xy、，使得OAOB ，则 2222 12121212 0 x xy yx xy y 由 222222 1122 ,xayxay，得： 2222222222 121212 ()()()0ayayy yaayy 故 12 0,ayy矛盾.所以不存在点AB、满足要求。 4、 （08 武大）已知点 3 0, 2 P ，点 A 在x轴上，点 B 在y轴的正半轴上，点 M 在直线 AB 上，且满足0PA A
47、B ，3AMAB 。 （1）当点 A 在x轴上移动时，求动点 M 的轨迹 C 的方程； 2 1 0 2 yxx （2）设 Q 为（1）中的曲线 C 上一点，直线l过点 Q 且与曲线 C 在点 Q 处的切线垂直，l与 113 曲线 C 相交于另一点 R， 当0OQ OP （O 为坐标原点） 时， 求直线l的方程。 2 2 2 yx 【解析】 （1）设 0 (,0)A x，则由射影定理，有 2 AOBO OP， 故 2 2 0 0 2 3 3 2 x OBx，即 2 0 2 (0,) 3 Bx. 由 2 00 1 ,( 2,2) 3 ABAMMxx 易得， 故M的轨迹方程为 2 1 (0) 2 y
48、xx （2）设 2 00 1 (,) 2 Q xx，点Q处的切线斜率为 2 00 1 () 2 xx，故 2 00 0 11 :() 2 QR lyxxx x 代入抛物线方程，解得： 2 00 2 00 212 (,2) 2 Rxx xx 由0OQ OP ，解得： 22 0000 22 00 2112 ()(2)0 22 xxxx xx ， 整理得： 4 00 4,2xx .所以直线l的方程： 2 2 2 yx 5、 （08 南开）抛物线 22 :1,:10Myx N xy ，P 在 M 上，Q 在 N 上，求 P、Q 的最 小距离。 3 2 4 【解析】抛物线 22 :1,:10Myx N
49、xy 关于直线0 yx对称； 根据图像的对称性，设直线0ayx与抛物线xyM1: 2 相切； 直线0byx与抛物线01: 2 yxN相切；通过联立方程， 利用0分别解得： 4 3 , 4 3 ba； 于是： 4 23 11 22 min ba PQ。 114 6、 （09 清华）已知椭圆 22 22 10 xy ab ab ，过椭圆左顶点,0Aa的直线l与椭圆交 于 Q，与y轴交于 R，过原点与l平行的直线与椭圆交于 P。求证：AQ，2OP，AR成 等比数列。 【解析】若直线l的斜率不存在，则直线l不可能与椭圆有两个交点，故设axkyl:； 令0 x，则kay ，kaR , 0，故akAR 2
50、 1； 联立 kxy b y a x 1 2 2 2 2 ，消去y得：0 222222 baxkab， ab kab k kab kabba kAP 222 2 222 22222 2 14 1 2 1 ； 联立 axky b y a x 1 2 2 2 2 ，消去y得：02 2222232222 bkaaxkaxkab， 2 222 2 222 42 2 2 14 1ab kab k kab ba kAQ 2 222 222 22 222 2 12 12 1 AP kab kba akab kab k ARAQ ， ARAPAQ,2,成等比数列。 115 第十讲 极坐标系第十讲 极坐标系/参
