1、1 目录 第第 1 讲讲 数列的概念数列的概念.3 一、知识与方法.3 二、典型例题.5 达标检测.9 第第 2 讲讲 等差数列及其等差数列及其 n 项和项和. 11 一、知识与方法.11 二、典型例题.13 达标检测.17 第第 3 3 讲讲 等比等比数列数列及其前及其前 n n 项和项和. 19 一、知识与方法.19 二、典型例题.20 达标检测.25 第第 4 4 讲讲 数列数列的概念的概念.27 一、知识与方法.27 二、典型例题.29 达标检测.34 第第 5 讲讲 数列的全章复习数列的全章复习.36 一、知识与方法.36 二、典型例题.39 达标检测.47 第第 6 6 讲讲 平面
2、向量平面向量.50 1. 向量的基础知识.50 2. 向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）.51 达标检测.52 第第 7 讲讲 平面向量平面向量-万能建系万能建系.54 1.常见的坐标系建立.54 达标检测.58 第第 8 8 讲讲 空间向量空间向量及其线性运算及其线性运算. 62 2021高一升高二暑期数学讲义 2 一、知识与方法.62 二、典型例题.63 达标检测.68 第第 9 讲讲 空间向量数量积空间向量数量积.71 一、知识与方法.71 二、典型例题.72 达标检测.76 第第 10 讲讲 空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算.78 一、知识与方法.78 二、典型
3、例题.80 达标检测.83 第第 11 讲讲 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法. 85 一、知识与方法.85 二、典型例题.87 达标检测.94 第第 12 讲讲 空间向量与立体几何复习空间向量与立体几何复习.96 一、知识与方法.96 二典型例题.97 达标检测.102 3 第第 1 讲讲 数列的概念数列的概念 一、知识与方法一、知识与方法 1.1.数列概念：数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 2.2.数列的项：数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项，第 2 项，； 排在第n位的数称为这个数列的第n项.其中数列的第 1 项也叫作首
4、项. 3.3.数列的一般形式：数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：, 321n aaaa，或简记为 n a.其中 n a是数列的第n 项. 4.4.根据数列项数的多少分：根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6 是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6，是无穷数列 5.5.根据数列项的大小分：根据数列项的大小分： 递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的
5、前一项的数列. 6.6.数列的通项公式数列的通项公式 如果数列 n a的第n项 n a与n之间的关系可以用一个公式( ) n af n来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的通项公式. 7.7.数列数列 n a的前的前 n 项和项和 数列 n a的前n项和：指数列 n a的前n项逐个相加之和，通常用 n S表示，即 12 . nn Saaa； n a与 n S的关系 当1n 时 11 aS； 当2n 时， 1211211 (.)(.) nnnnnn aaaaaaaaSS 故 1 * 1 ,1 ,2 n nn Sn a SSnnN 且 . 4 8.8.通项公式法（解析式法通项公式法（解析式法） ：
6、 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。 给了数列的通项公式， 代入项数就 可求出数列的每一项反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。 列表法列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 1 a表示第一项，用 2 a表示第二 项，用 n a表示第n项，依次写出得数列 n a 12 n 1 a 2 a n a 图象法：图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形 具体方法：以项数n为横坐标，相应的项 n a为纵坐标，即以( ,) n n a为坐标在平面直角 坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都 在y轴
7、的右侧， 而点的个数取决于数列的项数 从图象中可以直观地看到数列的项随项数由 小到大变化而变化的趋势 递推公式法递推公式法 递推公式： 如果已知数列 n a的第 1 项 （或前几项） ， 且任一项 n a与它的前一项 1n a（或 前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 9.数列与函数数列与函数 （1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。 数列可以看成以正整数集N （或它的有限子集1,2,3,., n）为定义域的函数 ( ) n af n， 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来， 对于函数( )yf x, 如果( )f i（1
8、,2,3,., ,.in） 有意义， 那么我们可以得到一个数列(1)f，(2)f，(3)f， ， ( )f n，； （2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。 数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。 给了数列的通项公式， 代入项数就 可求出数列的每一项反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。 （3）数列的图象是落在y轴右侧的一群孤立的点 数列( ) n af n的图象是以项数n为横坐标，相应的项 n a为纵坐标的一系列孤立的点 ( ,) n n a，这些点都落在函数( )yf x的图象上。因为横坐标
9、为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 （4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式. 5 二、典型例题二、典型例题 类型一：类型一：根据数列的前几项写出数列的一个根据数列的前几项写出数列的一个通项公式通项公式 例例 1 1写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是: (1) 0, 2 3 , 3 8 , 4 15 ,； (2) 1, 4 3 , 9 5 , 16 7 ,； (3) 9, 99,999, 9999,； (4) 6, 1, 6,1,. 变式：变式：根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
10、(1)4 5， 1 2， 4 11， 2 7，； (2)1,3,6,10,15，； (3)1 2， 1 4， 5 8， 13 16， 29 32， 61 64，； (4)3,33,333,3333，. 类型二：类型二：通项公式的应用通项公式的应用 例例 2 2数列 n a的通项公式为 1 (n 21n n an n 是奇数） （ 是偶数） 它的前 8 项依次为 变式：变式：数列1 2， 3 4， 5 8， 7 16，的一个通项公式是( ) Aan(1) n12n1 2n Ban(1) n2n1 2n Can(1) n12n1 2 n Dan(1) n2n1 2 n 6 类型三：类型三：递推公式
11、的应用递推公式的应用 例例 3.3.已知两个等比数列 na， nb，满足 1 aa(0)a ， 11 1ba， 22 2ba， 33 3ba. 若1a ，求数列 n a的通项公式； 【变式 1】将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 23 456 78910 按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第 3 个数为_ 【变式 2】已知数列an的首项a11 3，且满足 1 an1 1 an5(nN *)，则 a2020_. 例例 4.4.（1）已知数列 n a满足 11 1,1 (2), nn aaan 写出这个数列的通项公式. （2）已知数列 n a满足 1 1 1,(2), 1 n n an
12、 an an 写出这个数列的通项公式. 【变式 1】数列an满足 an1 n a1 1 ，a82，则 a1 【变式 2】已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，则 a2 009_； a2 014_. 7 类型四：类型四：前前n项和公式项和公式 n S与通项与通项 n a的关系的关系 例例5 5. .已知数列 n a的前n项和为:, 1)2( ;2)1( 22 nnSnnS nn 求数列 n a的 通项公式. 类型五：数列类型五：数列与函数与函数 例例 6.6.已知函数( )22 , xx f x 数列 n a满足 2 (log)2 n fan ， （1） 求数列 n a的
13、通项公式； （2） 证明数列 n a是递减数列. 【变式 1】已知数列 n a中 32 3 n n a n ,判断数列 n a的单调性，并给以证明. 【变式 2】数列 n a中： 1 1a , 1 2 2 n n n a a a （ * nN） （1）写出它的前五项，并归纳出通项公式； （2）判断它的单调性. 【变式 3】已知数列an的通项公式 an(n1)( 9 10) n，求 n 为何值时，an取最大值 【变式 4】已知 ann 98 n 99(nN *)，则在数列an的前 30 项中，最大项和最小项分别是第 _项 8 三、思考题思考题 1下图是由一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1A
14、1A2A2A3A7A81，记 OA1，OA2，OA3，OA7，OA8的长度所成的数列为an(nN,1n8) (1)写出数列的前 4 项； (2)求an的通项公式； (3)如果把图中的直角三角形继续作下去，那么 OA9，OA2012的长分别是多少？ 2.已知数列an的前 n 项和为 n2pn，数列bn的前 n 项和为 3n22n. (1)若 a10b10，求 p 的值； (2)取数列bn的第 1 项，第 3 项，第 5 项，构成一个新数列cn，求数列cn的通 项公式 3.已知数列an满足：a11,4n 1anan 1(nN，n2) (1)求数列an的通项公式； (2)这个数列从第几项开始以后各项
15、均小于 1 1000？ 9 达标检测达标检测 一、一、选择题选择题 1.已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（） Aan=（1）n 1+1 Ban= Can=2sinDan=cos（n1）+1 2已知 ann2n，那么() A0 是数列中的项B20 是数列中的项 C3 是数列中的项D930 不是数列中的项 3设数列2，5，2 2，11，则2 5是这个数列的() A第 6 项B第 7 项 C第 8 项D第 9 项 4数列1， 4 3 ， 9 5 ， 16 7 ，的一个通项公式是() A 2 ( 1) 21 n n n a n B (1) ( 1) 21 n n
16、n n a n C 2 ( 1) 21 n n n a n D 3 2 ( 1) 21 n n nn a n 5. 2 n n a n ，则 n a与 1n a 的大小关系是（） A. 1nn aa B. 1nn aa C. 1nn aa D. 不能确定 二、二、填空题填空题 6.已知数列 n a的前 n 项和 Sn=3+2 n, 则 a n=_. 7.已知数列 n a前 n 项和 Sn=5n 2-n, 则 a 6+a7+a8+a9+a10=_. 8.已知数列 n a中， 1 1a , 1 4 2 2 n n a a . 那么数列 n a的前 5 项依次为_. 9.20 是数列（1）n+1n（
17、n+1）的第项 10写出下列各数列的通项公式，使其前 4 项分别是: (1) 2 1 , - 5 4 , 10 9 , - 17 16 ,； (2) 3 2 , 15 4 , 35 6 , 63 8 ,; (3) 5, 55, 555, 5555, ; (4) 3,5,3,5,. 10 三、三、解答题解答题 11已知数列an的前 n 项和 Sn满足关系式 lg(Sn-1)=n， 求 an. 12.若数列an的前 n 项和 Sn满足：Sn=2an+1 （1）求 a1，a2，a3； （2）求an的通项公式 13根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) 1 a0, 1n
18、 a n a(2n1) ( * nN)； (2) 1 a3, 1n a3 n a2 ( * nN). 14已知数列an的通项公式为 ann25n4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an有最小值？并求出最小值 15. 已知数列an中，a11，a22，anan1an2(n2)通过公式 1n n n a b a 构造一个 新数列bn，试写出数列bn的前 5 项，你能说出这个数列的特点吗？ 11 第第 2 讲讲 等差数列及其等差数列及其 n 项和项和 一、知识与方法一、知识与方法 1.1.等差数列的定义等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一
19、个常数，这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 2.2.符号语言形式符号语言形式 对于数列 n a,若 1nn aad (nN，2n,d为常数)或 1nn aad (nN，d 为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d叫做等差数列的公差。 3.3.等差中等差中项项 如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即 2 ba A . 4.4.等差数列的通项公式等差数列的通项公式 首相为 1 a，公差为d的等差数列 n a的通项公式为： 1 (1) n aand（ * nN） 5.5.等差数列通项公式的推广等差数列通项公式的推广 已知等差数列 n a中，
20、第m项为 m a，公差为d，则： () nm aanm d 6.6.等差数列的性质等差数列的性质 等差数列 n a中，公差为d，则 若, , ,m n p qN，且mnpq,则 mnpq aaaa， 特别地，当2mnp时2 mnp aaa. 下标成公差为m的等差数列的项 k a, k m a , 2km a ,组成的新数列仍为等差数列， 公差 为md. 若数列 n b也为等差数列，则 nn ab， n kab， （k,b 为非零常数）也是等差数 列. 123456789 ,aaaaaaaaa仍是等差数列. 12 数列+ n ab（，b为非零常数）也是等差数列. 7.7.等差数列的前等差数列的前
21、n项和公式项和公式 公式一：公式一： 2 )( 1n n aan S 公式二：公式二： 2 ) 1( 1 dnn naSn 8.8.等差数列的前等差数列的前n项和的有关性质项和的有关性质 等差数列 n a中，公差为d，则 连续k项的和依然成等差数列，即 k S, 2kk SS, 32kk SS，成等差数列，且公差为 2 k d. 若项数为 2n，则 21 () nnn Sn aa ，SSnd 偶奇 ， 1 n n Sa Sa 奇 偶 若项数为 2n-1，则 21 (21) nn Sna ， n Sna 奇 ，(1) n Sna 偶 ， n SSa 奇偶 ， 1 Sn Sn 奇 偶 9.9.等差
22、数列中的函数关系等差数列中的函数关系 等差数列等差数列 n a的通项公式是关于的通项公式是关于 n 的一次函数的一次函数(或常数函数或常数函数) 等差数列 n a中， 11 (1)() n aanddnad，令 1 adb,则： n adnb（d,b是常数且d为公差） （1）当0d 时， n ab为常数函数， n a为常数列；它的图象是在直线yb上均 匀排列的一群孤立的点。 （2）当0d 时， n adnb是n的一次函数；它的图象是在直线ydxb上均匀 排列的一群孤立的点。 当0d 时，一次函数单调增， n a为递增数列； 当d0 时，一次函数单调减， n a为递减数列。 13 等差数列等差数
23、列 n a的的前前n项和项和公式是关于公式是关于 n 的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由n d an d d nn naSn) 2 ( 22 ) 1( 1 2 1 ，令 2 d A， 1 2 d Ba，则： 2 n SAnBn（A,B为常数） （1）当0d 即0A时， 1n SBnna， n S是关于n的一个一次函数；它的图象是 在直线 1 ya x上的一群孤立的点。 （2）当0d 即0A时， n S是关于n的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在 抛物线 2 yAxBx上的一群孤立的点。 当0d 时 n S有最小值 当0d 时， n S有最大
24、值 二、二、典型例题典型例题 类型一：类型一：等差数列的定义等差数列的定义 例例 1. -401 是不是等差数列5913、的项？如果是，是第几项？ 【变式 1】20 是不是等差数列 0， 7 2 ，7，的项？如果是，是第几项？如果不 是，说明理由. 【变式 2】求集合 * |7 ,100Mm mn nNm的元素的个数，并求这些元素的 和 例例 2已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an0，anan+1Sn1，其中为常数 14 ()证明：an+2an ()是否存在，使得an为等差数列？并说明理由 【变式 1】已知数列 n a的通项公式为35, n an这个数列是等差数列吗？ 【变式 2】
25、已知数列 n a中， 1 1a ， 1 2 2 n n n a a a （ * nN） ，求证： 1 n a 是等差数列。 类型二：类型二：等差数列通项公式的应用等差数列通项公式的应用 例例 3已知等差数列 n a中， 15 33a， 45 153a，试问 217 是否为此数列的项？若 是，说明是第几项？若不是，说明理由。 【变式 1】在等差数列 n a中，已知 512 10,31,aa求首项 1, a与公差d. 【变式 2】等差数列 n a中,4d ,18 n a ,48 n S ,求 1 a的值. 【变式 3】已知单调递增的等差数列an的前三项之和为 21，前三项之积为 231，求数 列a
26、n的通项公式 15 类型三：类型三：活用等差数列的性质解题活用等差数列的性质解题 例例 4. 已知等差数列 n a中，若 3813 12aaa, 3813 28a a a,求 n a的通项公式。 【变式 1】在等差数列 n a中， 28 18aa，则 5 a= 【变式 2】在等差数列 n a中， 25811 20aaaa，则 67 aa+= 【变式 3】在等差数列 n a中，若 16 9aa, 4 7a , 则 3 a=, 9 a= 类型四：类型四：前前 n 项和公式及性质的运用项和公式及性质的运用 例例 5等差数列 n a前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求它的前 3m 项和.
27、 【变式 1】等差数列an中，若 a1+a2+a3+a4+a5=30, a6+a7+a8+a9+a10=80, 则 a11+a12+a13+a14+a15=_. 【变式 2】等差数列an中，Sm=Sn且 mn, 则 Sm+n=_. 【变式 3】等差数列 n a前 10 项和为 100，前 20 项和为 10，求它的前 30 项和. 三、思考题三、思考题 1.已知数列an中，a11，且点P(an，an1)(nN *)在直线 xy10 上 (1)求数列an的通项公式； (2)若函数f(n) 1 na1 1 na2 1 na3 1 nan(nN *，且 n2)，求函数f(n)的最 小值； (3)设b
28、n 1 an，S n表示数列bn的前n项和试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得 S1S2S3Sn1(Sn1)g(n)对于一切不小于 2 的自然数n恒成立？若存在，写出 g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由 16 2.数列an的前n项和Sn满足Sn1 4(a n1) 2且 an0. (1)求a1，a2； (2)求数列an的通项公式； (3)令bn20an，问：数列bn的前多少项和最大？ 3.给定 81 个数排成如图所示的数表，若每行 9 个数与每列的 9 个数按表中顺序构成等差数 列，且表中正中间一个数a555，则表中所有数之和为_ a11a12a19 a21a22a29 a9
29、1a92a99 17 达标检测达标检测 一、一、选择题选择题 1已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差是 () A5B4 C3D2 2已知等差数列an的前三项依次为 a1， 17 2 a,3，则该数列中第一次出现负值的 项为() A第 9 项B第 10 项 C第 11 项D第 12 项 3.已知an是等差数列，a3a1140，则 a6a7a8等于() A20B48 C60D72 4. 等差数列an中，a18，a52，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列， 那么新的等差数列的公差是() A. 3 4 B 3 4 C 6 7 D1 5.已知an是公
30、差为 1 的等差数列，Sn为an的前 n 项和，若 S8=4S4，则 a10=（） A 17 2 B19 2 C10D12 6. 已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且 745 3 n n An Bn ，则使得 n n a b 为整数的正整数 n 的个数是() A2B3 C4D5 二、填空题二、填空题 7在等差数列an中，a37，a5a26，则 a6_. 8 若 xy， 数列 x， a1， a2， y 和 x， b1， b2， b3， y 各自成等差数列， 则 12 12 aa bb _. 9.把 20 分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的
31、比为 23，则这四个数从小到大依次为_. 10.已知数列an的前 n 项和 Snn29n，第 k 项满足 5ak8，则 k_. 11.等差数列 n a中， 158 3,115aaa ，则其前n项和 n S的最小值为。 18 三、解答题三、解答题 12.在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求 a2+a8. 13已知等差数列的前 n 项和为 n s，若 139 26,4sa ，求： （1）数列的通项公式； （2） 13521n aaaa 14 已知数列an是公差为 d 的等差数列， 它的前 n 项和为 Sn， S42S24， 1 n n n a b a . (1)求公差 d；
32、(2)若 a1 5 2 ，求数列bn中的最大项和最小项； (3)若对任意的 nN*，都有 bnb8成立，求 a1的取值范围 15用 Smn表示数列an从第 m 项到第 n 项(共 nm1 项)之和 (1)在递增数列an中，an与 an1是关于 x 的方程 x24nx4n210(n 为正整数)的两 个根，求an的通项公式并证明an是等差数列； (2)对(1)中的数列an，判断数列 S13，S46，S79，S3k23k是否为等差数列 16.设数列an的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得 Snam， 则称an是“H 数列” (1)若数列an的前 n 项和为 Sn2n(
33、nN*)，证明：an是“H 数列”； (2)设an是等差数列，其首项 a11，公差 d0，若an是“H 数列”，求 d 的值； (3)证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H 数列”bn和cn，使得 anbncn(nN*) 成立 19 第第 3 3 讲讲 等比等比数列数列及其前及其前 n n 项和项和 一、知识与方法一、知识与方法 1.1.等比数列的定义等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（0q ） ， 即： 1 (0) n n a q q a . 2.2.等比中项
34、等比中项 如果三个数a、G、b成等比数列，那么称数G为a与b的等比中项.其中Gab 。 3.3.等比数列的等比数列的通项公式通项公式 首相为 1 a，公比为q的等比数列 n a的通项公式为： 1 11 (*0) n n aa qnNa q ， 4.4.等比数列的通项公式的推广等比数列的通项公式的推广 已知等比数列 n a中，第m项为 m a，公比为q，则： n m nm aaq 5.5.等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式项和公式 1 11 (1) (1) (1) 11 n n n naq S aa qaq q qq 6.6.等比数列的性质等比数列的性质 设等比数列 n a的公比为q 若
35、, , ,m n p qN，且mnpq,则 mnpq aaaa， 特别地，当2mnp时 2 mnp aaa. 下标成等差数列且公差为m的项 k a, k m a , 2km a ,组成的新数列仍为等比数列， 公比 为 m q. 若 n a， n b是项数相同的等比数列， 则 2n a、 21n a 、 n ka（k是常数且0k ） 、 20 1 n a 、 m n a(mN,m是常数)、 nn ba 、 n n a b 也是等比数列； 连续k项和（不为零）仍是等比数列.即 k S, 2kk SS, 32kk SS，成等比数列. 7.7.等比数列中的函数关系等比数列中的函数关系 等比数列 n a
36、中， 1 1 1 nn n a aa qq q ，若设 1 a c q ,则： n n ac q （1）当1q 时， n ac，等比数列 n a是非零常数列。它的图象是在直线yc上均 匀排列的一群孤立的点. （2）当01qq且时，等比数列 n a的通项公式 n n ac q 是关于n的指数型函数； 它的图象是分布在曲线 1 x a yq q （01qq且）上的一些孤立的点. 当1q 且 1 0a 时，等比数列 n a是递增数列； 当1q 且 1 0a 时，等比数列 n a是递减数列； 当01q且 1 0a 时，等比数列 n a是递减数列； 当01q且 1 0a 时，等比数列 n a是递增数列。
37、 （3）当0q 时，等比数列 n a是摆动数列。 二、典型例题二、典型例题 类型一：类型一：等比数列的定义与通项公式等比数列的定义与通项公式 例例 1已知数列 n a的首项为 11 22 ,1,2,3, 31 n n n a aan a ， 证明：数列 1 1 n a 是等比数列. 【变式 1】已知数列 n a中 11 1,230(2). nn aaan 21 判断数列1 n a 是等比数列，并说明理由 【变式 2】设 n a是公比为q的等比数列，1q ， 令1 nn ba1,2,n ， 若数列 n b有连续四项在集合53, 23,19,37,82 中， 则6q 类型二：类型二：等比数列的通项
38、等比数列的通项 例例 2等比数列 n a中， 19 64a a, 37 20aa,求 11 a. 【变式 1】an为等比数列，an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。 【变式 2】已知等比数列 n a，若 123 7aaa， 123 8a a a ，求 n a. 【变式 3】 设等比数列 n a满足 a1+a3=10， a2+a4=5， 则 a1a2鬃an的最大值为. 22 类型类型三三：等比数列的前等比数列的前 n 项和公式项和公式 例例 3设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q. 【变式 1】已知：an为等比数列，a1a2a3=27
39、，S3=13，求 S5. 【变式 2】设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前 n 项和，若 S1，S2， S4成等比数列，则 a1的值为 类型类型四四：等比数列的性质等比数列的性质 例例 4. 等比数列 n a中，若 56 9aa,求 3132310 loglog.logaaa. 【变式 1】若等比数列 n a满足 n nna a16 1 ，则公比为 （A）2（B）4（C）8（D）16 【变式 2】在 8 3 和 27 2 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘 积为_。 23 类型类型五五：等比数列前等比数列前 n 项和公式的性质项和公式的性质 例例 5在等
40、比数列 n a中，已知48 n S ， 2 60 n S，求 3n S. 【变式 1】等比数列 n a中，公比 q=2, S4=1,则 S8=_. 【变式 2】已知等比数列 n a的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求：S30=_. 【变式 3】等比数列 n a中，若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_. 【变式 4】等比数列 n a中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9的值。 类型类型六六：等差等比数列：等差等比数列的综合应用的综合应用 例例 6已知 n a是各项均为正数的等比数列，且 12 12 11
41、2()aa aa ， 345 345 1111 () 64 aaa aaa ， 例例 7.已知数列an的前 n 项和 2 3 S 2 n nn ，nN* （1）求数列an的通项公式； （2） 证明：对任意的 n1，都存在 mN*，使得 a1，an，am成等比数列 24 【变式 1】等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列 (1)求an的公比 q； (2)若 a1a33，求 Sn. 【变式 2】已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足 2 1056 nnn Saa，且 a1，a3，a15 成等比数列，求数列an的通项 an. 三、思考题三、思考题 1.已知an是各项
42、均为正数的等比数列，且a1a22(1 a1 1 a2)，a 3a4a564( 1 a3 1 a4 1 a5) (1)求an的通项公式； (2)设bn(an1 an) 2，求数列b n的前n项和Tn. 2.设an是等比数列，公比q 2，Sn为an的前n项和记Tn17S nS2n an1 ，nN *，设 Tn0为 数列Tn的最大项，则n0_. 3.在等比数列an中，已知对任意正整数 n，a1a2a3an2n1，则 a12a22 an2等于_ 25 达标检测达标检测 一、选择题一、选择题 1已知函数 2 2 ( ) nn f n nn 当 为奇数时 当 为偶数时 。且 anf(n)f(n1)，则 a
43、1a2a3 a100等于() A0B100C100D10200 2如果数列an满足 a12，a21，且 11 11 nnnn nn aaaa aa (n2)，则这个数列的第 10 项等于() A. 10 1 2 B. 9 1 2 C. 1 10 D. 1 5 3数列an中， 1 (1) n a n n ，其前 n 项和为 9 10 ，则在平面直角坐标系中，直线(n 1)xyn0 在 y 轴上的截距为() A10B9 C10D9 4等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a70，a80，则下列结论正确的是() AS7S8BS15S16 CS130DS150 5已知数列 n a的前n项和为 n S
44、， 11 1,2 nn aSa ，则当1n 时， n S=（） A. 1 3 2 n B. 1 2nC. 1 2 3 n D. 1 11 1 3 2n 二、填空题二、填空题 6数列 n a满足1 1 a，且1 1 naa nn （ * Nn） ，则数列 1 n a 的前 10 项和 为。 7求数列 1 1 4 ， 1 4 7 ， 1 (32)(31)nn ，的前n项和 n S=. 8已知函数 f(x)3x22x，数列an的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数 f(x) 的图象上， 1 3 n nn b a a ，Tn是数列bn的前 n 项和，则使得 20 n m T 对所有
45、nN*都成立的 最小正整数 m 等于_ 26 9设函数 f(x)a1a2xa3x2anxn-1，若已知 1 (0) 2 f，且数列an满足 f(1) n2an(nN*)，则数列an的前 n 项和 Sn_. 10已知函数 f(x)log2x，若数列an的各项使得 2，f(a1)，f(a2)，f(an)，2n4 成 等差数列，则数列an的前 n 项和 Sn_. 三、解答题三、解答题 11. 求数列 1 2 ， 3 4 ， 5 8 ， 21 2n n ，的前n项和 n S. 12.已知数列1，3a， 2 5a， 1 (21) n na ，求此数列前n项和 n S. 13在等差数列an中，已知公差 d
46、2，a2是 a1与 a4的等比中项 ()求数列an的通项公式； ()设 2 1 nnn ab，记 Tnb1b2b3b4(1)nbn，求 Tn 14已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程 x25x60 的根 (1)求an的通项公式； (2)求数列 n n a 2 的前 n 项和 15. 已知an是等比数列，前 n 项和为 Sn（nN*） ，且 6 123 112 ,63S aaa . ()求an的通项公式； ()若对任意的 nN*，bn是 log2an和 log2an+1的等差中项，求数列) 1( 2 n nb 的前 2n 项和. 27 第第 4 4 讲讲 数列数列的概念的概念 一、知识与方
47、法一、知识与方法 1.1.数数列的前列的前 n 项和项和 Sn的相关公式的相关公式 任意数列的第任意数列的第n项项 n a与前与前n项和项和 n S之间的关系式：之间的关系式： 1 1 (1) (2) n nn Sn a SSn 等差数列的前等差数列的前n项和项和 n S公式：公式： 2 1 1 ()(1) 22 n n n aan n SnadAnBn （AB、为常数） 当 d0 时，Sn是关于 n 的二次式且常数项为 0； 当 d=0 时（a10） ，Sn=na1是关于 n 的正比例式. 等比数列的前等比数列的前n项和项和 n S公式：公式： 当1q 时， 1n aa， 1231nn Sa
48、aaana， 当1q时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或 q qaa S n n 1 1 2.2.求数列的前求数列的前n项和的几种常用方法项和的几种常用方法 公式法：公式法： 如果一个数列是等差或者等比数列， 求其前n项和可直接利用等差数列或等比数列的前 n项和公式求和； 倒序相加法：倒序相加法： 等差数列前 n 项和的推导方法，即将 n S倒写 后再与 n S相加，从而达到（化多为少）求 和的目的，常用于组合数列求和. 裂项相消法：裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差， 然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差， 以达 到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前 n 项的和变
49、成只剩下若干少数项的和的方法. 例如对通项公式为 1 (1) n a n n 的数列求和. 28 常见的拆项公式： ) 11 ( 1 )( 1 knnkknn ； 若 n a为等差数列，且公差 d 不为 0，首项也不为 0，则 11 1111 () nnnn aad aa ； 若 n a的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时， 则) 11 ( 1 )( 1 CAnBAnBCCAnBAn an . nn nn 1 1 1 ；)( 11 nkn knkn . 分解求和与并项求和法：分解求和与并项求和法： 把数列的每一项拆分成两项或者多项， 或者把数列的项重新组合， 或者把
50、整个数列分成 两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项 公式为 an=2n+3n的数列求和. 错位相减法：错位相减法： 如果一个数列 n a的通项是由一个非常数列的等差数列 n b与等比数列 n c的对应 项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为 nnn cba （其中 n b是公差 d0 的等差数列， n c是公比 q1 的等比数列） （也称为“差比数列”）的 数列求前n项和 n S.例如对通项公式为(21) 2n n an的数列求和. 一般步骤：一般步骤： nnnnn cbcbcbcbS 112211 ，则 1 211nn
