1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点 21双曲线 1双曲线的概念 把平面内到两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 用集合语言表示为：PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0. 说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要令平面内一点到两定点 F1，F2 的距离的差的绝对值为 2a(a 为常数)，则只有当 2a|F1F2|，则点的轨迹不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0
2、，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 图形 性 质 范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线yb ax ya bx 离心率ec a，e(1，)，其中 c a 2b2 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫 作双曲线的虚轴， 它的长|B1B2|2b； a 叫作双曲线的实半轴长， b 叫作双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 说明：在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是 x2或 y2的系数若 x
3、2系数为正，则焦点在 x 轴上， 若 y2的系数为正，则焦点在 y 轴上 3双曲线与椭圆的区别 (1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|PF2|2a，而在双曲线中|PF1|PF2|2a； (2) 离心率范围不同：椭圆的离心率 e(0，1)，而双曲线的离心率 e(1，)； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 (3) a，b，c 的关系不同：在椭圆中 a2b2c2，ac；而在双曲线中 c2a2b2， ca 玩转典例 题型题型一一双曲线的定义和标准方程双曲线的定义和标准方程 例例 1（1） （2020日喀则市拉孜高级中学高三期末）到两定点 12 3,0 ,3,0FF的距离之差的绝对值等于 6 的点M
4、的轨迹为（） A椭圆B两条射线C双曲线D线段 （2） （2020甘肃省民乐县第一中学高三）已知双曲线 22 :1 25144 yx C的上、下焦点分别为 1 F， 2 F，点 P 在双曲线 C 上，若 2 14PF ，则 1 PF （） A38B24C38 或 10D24 或 4 例例 2（2020安徽）方程 22 1,() 22 xy kR kk 表示双曲线的充分不必要条件是（） A2k 或2k B1k C3k D1k 或1k 例例 3（1） （2020江西高三期末）已知双曲线 22 1 7 xy m ，直线 l 过其左焦点 1 F，交双曲线左支于 A、B 两 点，且AB4， 2 F为双曲线
5、的右焦点， 2 ABF的周长为 20，则 m 的值为（） A8B9C16D20 (2)（2020四川南充.高三期末）设 12 FF、分别是双曲线 2 2 1 3 y x 的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且 12 34PFPF，则 12 PFF的面积等于 A5 3B2 10 C4 5D3 15 玩转跟踪 1 （2020全国高三课时练习）若 m 为实数，则“12m”是“曲线 C： 22 1 2 xy mm 表示双曲线”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 2.（2020宁夏兴庆.银川九中）已知 12 ,F F是双曲线 22 (0)xym m的两个焦点，点P为
6、该双曲线上一 点，若 12 PFPF，且 12 2 3PFPF，则m（） 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A1B 2 C3D3 3.（2020浙江瓯海.温州中学高三期末）双曲线 22 1 412 xy 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点在P双曲线上， 若 1 5PF ，则 2 PF （） A1B9 C1或9D7 题型二题型二双曲线的离心率双曲线的离心率 例例 4（2020江苏南京）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C： 22 2 1 9 xy a 的一条渐近 线的距离为 6，则双曲线 C 的离心率为（） A2B4C 2 D 3 玩转跟踪 1(湖南，6)若双曲线
7、x 2 a2 y2 b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( ) A. 7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3 2(四川，7)过双曲线 x2y 2 3 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则 |AB|() A.4 3 3 B2 3C6D4 3 3(浙江，9)如图，F1，F2是椭圆 C1：x 2 4 y21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别 是 C1， C2在第二、 四象限的公共点 若四边形 AF1BF2为矩形， 则 C2的离心率是() A. 2B. 3C.3 2 D. 6 2 4(福建，5)已知双曲线x 2 a2 y2 5
8、1 的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于() A.3 14 14 B.3 2 4 C.3 2 D.4 3 5.（2019 天津理 5）已知抛物线 2 4yx 的焦点为F，准线为l，若l与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别交于点A和点B，且| 4|ABOF（O为原点） ，则双曲线的离心率为 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A.2B. 3 C.2D. 5 题型题型三三双曲线的双曲线的渐近线渐近线 例例 5（2019 江苏 7）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 经过点（3，4)，则该双曲线 的渐近线方程是. 玩转跟踪
9、1.(2018 全国卷)双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为3，则其渐近线方程为 A2 yxB3 yx C 2 2 yxD 3 2 yx 2.（2017 新课标）已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 5 2 yx,且与椭圆 22 1 123 xy 有公共焦点，则C的方程为 A 22 1 810 xy B 22 1 45 xy C 22 1 54 xy D 22 1 43 xy 玩转练习 1.（2020北京卷）已知双曲线 22 :1 63 xy C，则 C 的右焦点的坐标为_；C 的焦点到其渐近线的 距离是_ 2.（2020全国
10、 1 卷）已知 F 为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点， 且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_. 3.（2020全国 3 卷）设双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5P 是 C 上一点，且 F1PF2P若PF1F2的面积为 4，则 a=（） A. 1B. 2C. 4D. 8 4.（2020新全国 1 山东）已知曲线 22 :1C mxny.（） A. 若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 玩转数学培优题型篇安老师培优课
11、堂 B. 若 m=n0，则 C 是圆，其半径为n C. 若 mn0，则 C 是两条直线 5.（2020天津卷）设双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，过抛物线 2 4yx的焦点和点(0, )b的直线 为l若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（） A. 22 1 44 xy B. 2 2 1 4 y x C. 2 2 1 4 x yD. 22 1xy 6 （2019新课标）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为( ) A2sin40B2cos40C 1 sin50 D 1 cos
12、50 7 （2016新课标）已知方程 22 22 1 3 xy mnmn 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n的取 值范围是() A( 1,3)B( 1, 3)C(0,3)D(0, 3) 8 （2019全国）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两 点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为() A21B2C3D2 9（2019新课标） 已知F是双曲线 22 :1 45 xy C的一个焦点， 点P在C上，O为坐标原点 若| |OPOF， 则OPF的面积为() A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2
13、10 （2019新课标）双曲线 22 :1 42 xy C的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若 | |POPF，则PFO的面积为() A 3 2 4 B 3 2 2 C2 2D3 2 11 （2019新课标）设F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的 圆与圆 222 xya交于P，Q两点若| |PQOF，则C的离心率为() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A2B3C2D5 12 （2018天津）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线 交于A，B两点设A
14、，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 1 d和 2 d，且 12 6dd，则双曲线的 方程为() A 22 1 39 xy B 22 1 93 xy C 22 1 412 xy D 22 1 124 xy 13 （2018新课标）已知双曲线 2 2 :1 3 x Cy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两 条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则| (MN ) A 3 2 B3C2 3D4 14 （2017全国）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为( ,0)F c，直线()yk xc与C的右支有 两个交点，则() A| b k a B| b k a C| c k a D| c k a 15 （2017天津）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，离心率为2若经过F和(0,4)P两 点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为() A 22 1 44 xy B 22 1 88 xy C 22 1 48 xy D 22 1 84 xy 16 （2017新课标）已知F是双曲线 2 2 :1 3 y C x 的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的 坐标是(1,3)，则APF的面积为() A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 2
