1、新高一数学暑期衔接教材讲义 18 讲 现有初高中数学知识存在以下现有初高中数学知识存在以下“脱节脱节” 1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三 次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的 解题技巧。 4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。 配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭
2、区间上函数最值等等是 高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类 题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被 视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右 平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。 方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8几何部分很多概念（如重心、垂心
3、等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定 理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 目目录录 1.11.1 数与式的运算数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2乘法公式 1.1.3二次根式 1.1. 分式 1 12 2分解因式分解因式 2.12.1一元二次方程一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2根与系数的关系（韦达定理） 2 22 2二次函数二次函数 2.2.1二次函数yax 2bxc 的图像和性质 2.2.2二次函数的三种表示方式 2.2.3二次函数的简单应用 2.32.3 方程与不等式方
4、程与不等式 2.3.1二元二次方程组解法 2.3.2一元二次不等式解法 3 31 1相似形相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形 3.23.2三角形三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2几种特殊的三角形 3 33 3 圆圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 1.1 数与式的运算数与式的运算 1.1绝对值绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0, |0,0, ,0. aa aa a a 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意
5、义：ba 表示在数轴上，数a和数b之间的距离 例 1 解不等式：13xx4 解法一：由01x，得1x；由30 x，得3x ； 若1x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4，解得 x0， 又 x1， x0； 若12x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即 14， 不存在满足条件的 x； 若3x ，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4， 解得 x4 又 x3，点 B 之间的距离|PB|，即|PB|x3| 所以，不等式 由|AB|2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧 x0，或 x4 练习 1填空： （1）若5x，则 x=_；若4x，则
6、 x=_. （2）如果5 ba，且1a，则 b_；若21c，则 c_. 2选择题： 下列叙述正确的是（） （A）若ab，则ab（B）若ab，则ab （C）若ab，则ab（D）若ab，则ab 3化简：|x5|2x13|（x5） 1.1.2. 乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab； （2）立方差公式 2233 ()()ab aabbab； （3）三数和平方公式 2222 ()2()a
7、bcabcabbcac； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例例 1计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx = 242 (1)(1)xxx = 6 1x 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx = 33 (1)(1)xx = 6 1x 例 2已知4abc，4abbcac，求 222 abc的值 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac 练习 1填空： （1
8、） 22 1111 () 9423 abba（） ； （2）(4m 22 )164(mm)； （3） 2222 (2)4(abcabc) 2选择题： （1）若 2 1 2 xmxk是一个完全平方式，则k等于（） （A） 2 m（B） 2 1 4 m（C） 2 1 3 m（D） 2 1 16 m （2）不论a，b为何实数， 22 248abab的值（） （A）总是正数（B）总是负数 （C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式二次根式 一般地，形如(0)a a 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为 无理式. 例如 2 32aabb， 22 ab等是无理
9、式，而 2 2 21 2 xx， 22 2xxyy， 2 a等 是有理式 1分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母分母（子子）有理化有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化 因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互 为有理化因式， 例如2与2，3 a与a，36与36，2 33 2与2 33 2， 等等 一 般地，a x与x，a xby与a xby，a xb与a xb互为有理化因式 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化 则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的
10、过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 (0,0)a bab ab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行 运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式 2二次根式 2 a的意义 2 aa ,0, ,0. aa a a 例 1将下列式子化为最简二次根式： （1）12b；（2） 2 (0)a b a ；（3） 6 4(0)x y x 解： （1）122 3bb； （2） 2 (0)a baba b a； （3） 633 422(0)x yxyxy x 例例 2计算：3(33) 解
11、法一：3(33) 3 33 3 (33) (33)(33) 3 33 93 3( 31) 6 31 2 解法二解法二：3(33) 3 33 3 3( 31) 1 31 31 ( 31)( 31) 31 2 例 3试比较下列各组数的大小： （1）1211和1110；（2） 2 64 和2 26. 解： （1） 1211( 1211)( 1211)1 1211 112111211 ， 1110( 1110)( 1110)1 1110 111101110 ， 又12111110， 12111110 （2） 2 26(2 26)(2 26)2 2 26, 12 262 26 + + 又 42 2， 6
12、4 62 2， 2 64 2 26. 例 4化简： 20042005 ( 32)( 32) 解： 20042005 ( 32)( 32) 20042004 ( 32)( 32)( 32) 2004 ( 32) ( 32)( 32) 2004 1( 32) 32 例 5化简： （1）94 5；（2） 2 2 1 2(01)xx x 解： （1）原式54 54 22 ( 5)2 252 2 (25) 2552 （2）原式= 2 1 ()x x 1 x x ， 01x， 1 1x x ， 所以，原式 1 x x 例 6已知 3232 , 3232 xy ，求 22 353xxyy的值 解： 22 3
13、232 ( 32)( 32)10 3232 xy ， 3232 1 3232 xy ， 2222 3533()113 1011289xxyyxyxy 练习 1填空： （1） 13 13 _； （2）若 2 (5)(3)(3) 5x xxx，则x的取值范围是_ _； （3）4 246 543 962 150_； （4）若 5 2 x ，则 1111 1111 xxxx xxxx _ 2选择题： 等式 22 xx xx 成立的条件是（） （A）2x （B）0 x （C）2x （D）02x 3若 22 11 1 aa b a ，求ab的值 4比较大小：2 35 4（填“”，或“”） 1.1.分式分式
14、 1分式的意义 形如 A B 的式子，若 B 中含有字母，且0B ，则称 A B 为分式分式当 M0 时，分式 A B 具有下列性质： AA M BBM ； AAM BBM 上述性质被称为分式的基本性质 2繁分式 像 a b cd ， 2 mnp m np 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式 例 1若 54 (2)2 xAB x xxx ，求常数,A B的值 解： (2)()254 2(2)(2)(2) ABA xBxAB xAx xxx xx xx x ， 5, 24, AB A 解得2,3AB 例 2（1）试证： 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数） ； （2
15、）计算： 111 1 22 39 10 ； （3）证明：对任意大于1 的正整数n， 有 1111 2 33 4(1)2n n （1）证明： 11(1)1 1(1)(1) nn nnn nn n ， 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数）成立 （2）解：由（1）可知 111 1 22 39 10 11111 (1)()() 223910 1 1 10 9 10 （3）证明： 111 2 33 4(1)n n 111111 ()()() 23341nn 11 21n ， 又 n2，且 n 是正整数， 1 n1 一定为正数， 111 2 33 4(1)n n 1 2 例 3设 c e a
16、 ，且 e1，2c25ac2a20，求 e 的值 解：在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1 2 1，舍去；或 e2 e2 练习 1填空题： 对任意的正整数 n， 1 (2)n n ( 11 2nn )； 2选择题： 若 22 3 xy xy ，则 x y （） （A）（B） 5 4 （C） 4 5 （D） 6 5 3正数, x y满足 22 2xyxy，求 xy xy 的值 4计算 1111 . 1 22 33 499 100 习题习题 11 A组组 1解不等式： (1)13x；(2)327xx； (3)116xx 已知1xy，求 33
17、 3xyxy的值 3填空： （1） 1819 (23) (23)_； （2）若 22 (1)(1)2aa，则a的取值范围是_； （3） 11111 1223344556 _ B组组 1填空： （1） 1 2 a ， 1 3 b ，则 2 22 3 352 aab aabb _； （2）若 22 20 xxyy，则 22 22 3xxyy xy _； 2已知： 11 , 23 xy，求 yy xyxy 的值 C组组 1选择题： （1）若2ababba ，则（） （A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba （2）计算 1 a a 等于（） （A）a（B）a（C）a （D）a 2解方程 2 2 1
18、1 2()3() 10 xx xx 3计算： 1111 1 32 43 59 11 4试证：对任意的正整数 n，有 111 1 2 32 3 4(1)(2)n nn 1 4 1.1.1绝对值 1 （1）5；4（2）4；1或32D33x18 1.1.2乘法公式 1 （1） 11 32 ab（2） 1 1 , 2 4 （3）424abacbc 2 （1）D（2）A 1.1.3二次根式 1 （1）32（2）35x（3）8 6（4）5 2C314 1.1.4分式 11 2 2B3214 99 100 习题 11 A 组 1 （1）2x 或4x （2）4x3（3）x3，或 x3 213 （1）23（2）
19、11a （3）61 B 组 1 （1） 3 7 （2） 5 2 ，或1 5 24 C 组 1 （1）C（2）C2 12 1 ,2 2 xx3 36 55 4提示： 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 12分解因式分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及 待定系数法 1十字相乘法 例 1分解因式： （1）x23x2；（2）x24x12； （3） 22 ()xab xyaby；（4）1xyxy 解： （1）如图 121，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积， 而图中的对角
20、线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2) 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 121 中的两个 x 用 1 来表示（如图 122 所示） （2）由图 123，得 x24x12(x2)(x6) （3）由图 124，得 22 ()xab xyaby()()xay xby （4）1xyxy xy(xy)1 (x1) (y+1) （如图 125 所示） 2提取公因式法与分组分解法 例 2分解因式： （1） 32 933xxx；（2） 22 2456xxyyxy 解：（1） 32 933xxx= 32 (3)(39)xxx= 2(
21、 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx 或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx （2） 22 2456xxyyxy= 22 2(4)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy 或 22 2456xxyyxy= 22 (2)(45 )6xxyyxy =(2)()(45 )6xy xyxy =(22)(3)xyxy 3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于若关于 x 的方程的方程 2 0(0)axbxca的两个实数根是的
22、两个实数根是 1 x、 2 x， 则二次三项式则二次三项式 2 (0)axbxc a就就 可分解为可分解为 12 ()()a xxxx. 例 3把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx；（2） 22 44xxyy 解： （1）令 2 21xx=0，则解得 1 12x ， 2 12x ， 1 2 x x 图 121 1 2 1 1 图 122 2 6 1 1 图 123 ay by x x 图 124 1 1 x y 图 125 2 21xx=( 12)( 12)xx =(12)(12)xx （2）令 22 44xxyy=0，则解得 1 ( 22 2)xy ， 1 ( 22
23、2)xy ， 22 44xxyy=2(12) 2(12) xy xy 练习 1选择题： 多项式 22 215xxyy的一个因式为（） （A）25xy（B）3xy（C）3xy（D）5xy 2分解因式： （1）x26x8；（2）8a3b3； （3）x22x1；（4）4(1)(2 )xyy yx 习题习题 12 1分解因式： （1） 3 1a ；（2） 42 4139xx； （3） 22 222bcabacbc；（4） 22 35294xxyyxy 2在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx；（2） 2 2 23xx； （3） 22 34xxyy；（4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx
24、 3ABC三边a，b，c满足 222 abcabbcca，试判定ABC的形状 4分解因式：x2x(a2a) 1.2 分解因式 1 B 2 （1）(x2)(x4)（2） 22 (2)(42)abaabb （3）(12)(12)xx （4）(2)(22)yxy 习题 12 1 （1） 2 11aaa（2）232311xxxx （3）2bcbca（4）3421yyxy 2 （1） 513513 22 xx ；（2） 2525xx； （3） 2727 3 33 xyxy ；（4）3 (1)(15)(15)xxxx 3等边三角形 4(1)()xaxa 2.1一元二次方程一元二次方程 2.1.1 根的判别
25、式根的判别式 我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，用配方法可以将其变形为 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 因为 a0，所以，4a20于是 （1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2 2 4 2 bbac a ； （2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2 2 b a ； （3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 2 () 2 b x a 一定大于或等于零，因 此，原方程没有实数根 由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24
26、ac 来判定，我们把 b24ac 叫 做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式根的判别式，通常用符号“”来表示 综上所述，对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有，有 （1）当当0 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根 x1，2 2 4 2 bbac a ； （2）当）当0 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根 x1x2 2 b a ； （3）当）当0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根 例 1判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根 （1）x23x30；（2）x2ax10
27、； （3） x2ax(a1)0；（4）x22xa0 解： （1）3241330，方程没有实数根 （2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根 2 1 4 2 aa x ， 2 2 4 2 aa x （3）由于该方程的根的判别式为 a241(a1)a24a4(a2)2， 所以， 当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21； 当 a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1 （3）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1a)， 所以 当0，即 4(1a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根 1 11xa ， 2 11
28、xa ； 当0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即 a1 时，方程没有实数根 说明：说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程 中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非 常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题 2.1.2根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是的两根分别是 x1，
29、x2，那么那么 x1x2 b a ，x1x2 c a 这一关系也被称为 韦达定理韦达定理 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q， 即p(x1x2)，qx1x2， 所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)程 x2pxq0 的两 根，出 k 的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由 于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由 两根之和求出 k 的值 解法一：2 是方程的一个根， 522k260， k7 所以，方程
30、就为 5x27x60，解得 x12，x2 3 5 所以，方程的另的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要 特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零 解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221， 即2(m2)23(m24)21， 化简，得m216m170， 解得m1，或 m17 当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意； 当 m17 时，方程为 x230 x2930，302412930，不合题意，舍去 综上，m17 说
31、明： （1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由 “两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可 （1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于 零因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利 用韦达定理转化出一元二次方程来求解 解法一：设这两个数分别是 x，y， 则xy4， xy12 由，得y4x， 代入，得 x(4x)12， 即x24x120， x12，x26 1 1 2, 6, x y 或 2 2 6, 2. x y 因
32、此，这两个数是2 和 6 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根 解这个方程，得 x12，x26 所以，这两个数是2 和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷 例 5若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根 （1）求| x1x2|的值； （2）求 22 12 11 xx 的值； （3）x13x23 解：x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根， 12 5 2 xx ， 12 3 2 x x ） 2 222 121212 22222 2 121212 5325 ()2 ()3 ()2113
33、7 224 39 ()9 () 24 xxxxx x xxxxx x （3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2)23x1x2 ( 5 2 )( 5 2 )23( 3 2 ) 215 8 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题， 为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则 ， 2 2 4 2 bbac x a ， | x1x2| 222 4424 222 bbacbbacbac aaa 2 4 | bac aa 于是有下面的结论
34、： 若若 x1和和 x2分别是一元二次方程分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则，则| x1x2| |a （其中（其中b24ac） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论 例 6若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、 另一根小于零， 求实数 a 的取值范围 解：设 x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得a4， 由得a17 4 a 的取值范围是 a4 练习 1选择题： （1）方程 22 2 330 xkxk的 习题习题 2.1 A组组 1选择题: （1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，
35、则它的另一个根是（） （A）3（B）3（C）2（D）2 （2）下列四个说法： 方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7； 方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7； 方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 7 3 ； 方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0 其中正确说法的个数是（） （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 （3）关于 x 的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（） （A）0（B）1（C）1（D）0，或1 2填空: （1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x40 的两根为
36、，则22 （3）已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程 2x22x10 的两根为 x1和 x2，则| x1x2| 3试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个 相等的实数根？没有实数根？ 4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数 B组组 1选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 (k2 1) x k 1 0 的 两 根 互 为 相 反 数 ， 则 k 的 值 为 （） （A）1，或1（B）1（C）1（D）0 2填空: （1）若 m，n 是方程 x22005
37、x10 的两个实数根，则 m2nmn2mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a2bab2b3的值是 3已知关于 x 的方程 x2kx20 41提示：(x13)( x23)x1x23(x1x2)9 习题习题 21 2 （1）2006提示：mn2005，mn1，m2nmn2mnmn(mn1)1(20051) 2006 （2）3提示；ab1，ab1，a3a2bab2b3a2(ab)b2(ab)(ab)( a2b2) (ab)( ab)22ab(1)(1)22(1)3 3 （1）(k)241(2)k280，方程一定有两个不相等的实数根 （2）x1x2k，
38、x1x22，2k2，即 k1 4 （1）| x1x2| 2 4 | bac a ， 12 2 xx 2 b a ； （2）x13x23 3 3 3abcb a 5| x1x2|1642 42mm，m3把 m3 代入方程，0，满足题意，m3 C 组组 1 （1）B（2）A （3）C提整数的实数 k 的整数值为2，3 和5 （3）当 k2 时，x1x21，x1x2 1 8 ， 2，得 12 21 xx xx 28，即 1 6 ， 2 610 ， 32 2 4 （1） 2 2(1)20m； （2）x1x2 2 4 m 0，x10，x20，或 x10，x20 若 x10，x20，则 x2x12，x1x
39、22，m22，m4此时，方程为 x22x40， 1 15x ， 2 15x 若 x10，x20，则x2x12，x1x22，m22， m0此时，方程为 x220，x10，x22 5设方程的两根为 x1，x2，则 x1x21，x1x2a， 由一根大于 1、另一根小于 1，得 (x11)( x21) 2.2.1二次函数二次函数 yax2bxc 的图像和性质的图像和性质 问题 1函数 yax2与 yx2的图象之间存在怎样的关？ 为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x2，y 1 2 x2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数 y x2的图象之间的关系，推导出函数 yax2与 yx2的图象之间所存在的
40、关系 先画出函数 yx2，y2x2的图象 先列表： x3210123 x29410149 2x2188202818 从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大两倍就可以了 再描点、连线，就分别得到了函数 yx2，y2x2的图象（如图 21 所示） ，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x2的图象可以由函数 yx2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到 同学们也可以象之间的关系 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数二次函数 yax2(a0)的图象可以由的图象可以由 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得倍得
41、 到在二次函数到在二次函数 yax2(a0)中，二次项系数中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个决定了图象的开口方向和在同一个 坐标系中的开口的大小坐标系中的开口的大小 问题 2函数 ya(xh)2k 与 yax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关 系同学们可以作出函数 y2(x1)21 与 y2x2的图象（如图 22 所示） ，从 函数的同学我们不难发现，只要把函数 y2x2的图象向左平移一个单位，再向上 平移一个单位，就可以得到函数 y2(x1)21 的图象这两个函数图象之间具有 “形状相同，位置不同”的特点 类似地，
42、还可以通过画函数 y3x2，y3(x1)21 的图象，研究它们图 象之间的相互关系 图 2.2-2 x y O 1 y2x2 y2(x1)2 y2(x1)21 yx2 y2x2 图 2.2-1 x O y 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数二次函数 ya(xh)2k(a0)中，中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象决定了二次函数图象 的左右平移的左右平移，而且而且“h 正左移正左移，h 负右移负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移决定了二次函数图象的上下平移，而且而且“k 正上移正上移，k 负下移负下移” 由上面
43、的结论，我们可以得到研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象的方法： 由于 yax2bxca(x2 b x a )ca(x2 b x a 2 2 4 b a )c 2 4 b a 2 2 4 () 24 bbac a x aa ， 所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数 yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于 是，二次函数 yax2bxc(a0)具有下列性质： （1）当当 a0 时时，函数函数 yax2bxc 图象开口向上图象开口向上；顶点坐标为顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ，对称轴为直线对称轴为直线 x 2 b a ；当；当 x 2 b a 时，时，y
44、 随着随着 x 的增大而减小；当的增大而减小；当 x 2 b a 时，时，y 随着随着 x 的增大而增大；当的增大而增大；当 x 2 b a 时，函数取最小值时，函数取最小值 y 2 4 4 acb a （2）当当 a0 时时，函数函数 yax2bxc 图象开口向下图象开口向下；顶点坐标为顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ，对称轴为直线对称轴为直线 x 2 b a ；当；当 x 2 b a 时，时，y 随着随着 x 的增大而增大；当的增大而增大；当 x 2 b a 时，时，y 随着随着 x 的增大而减小；当的增大而减小；当 x 2 b a 时，函数取最大值时，函数取最大值 y
45、2 4 4 acb a 上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来因此，在今后解决二次 函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题 例 1求二次函数 y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指 出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象 解：y3x26x13(x1)24， 函数图象的开口向 例 2某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之 间关系如下表所示： x /元130150165 y/件705035 若日销售量 y 是销售
46、价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为 多少元？此时每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润日销售量 y(销售价 x120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数，所以， 欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之 间的函数关系求出每天利润的最大值 解：由于 设每天的利润为 z（元） ，则 z(x+200)(x120)x2320 x24000 (x160)21600， 当 x160 时，z 取最大值 1600 答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元 例 3把二次函数 yx
47、2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx2的 图像，求 b，c 的值 解法一：yx2bxc(x+ 2 b )2 2 4 b c ，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到 2 2 (4)2 24 bb yxc的图像，也就是函数 yx2的图像，所以， 2 40, 2 20, 4 b b c 解得 b8，c14 解法二：把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx2 的图像，等价于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 yx2bx c 的图像 由于把二次函
48、数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y(x4)22 的图 像，即为 yx28x14 的图像，函数 yx28x14 与函数 yx2bxc 表示同一个函数，b8， c14 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次 函数图像的变换规律 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算 量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量 小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题 例 4已知函数 yx2，
49、2xa，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和 最小值时所对应的自变量 x 的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论 解： （1）当 a2 时，函数 yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值 都是 4，此时 x2； （2）当2a0 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 xa 时，函数取 最小值 ya2； （3）当 0a2 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 x0 时，函数取最 小值 y0； （4）当 a2 时，由图 226可知，当 xa 时，函数取最大值 ya2；当
50、 x0 时，函数取最小值 y0 x y O 2 a x y O 2 a a2 4 图 2.26 x y Oa 2 2 4 a2 2 x y Oa a2 4 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二 次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助 于函数图象来直观地解决问题 练习 1选择题： （1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（） （A）y2x2（B）y2x24x2 （C）y2x21（D）y2x24x （2）函数 y2(x1)22 是将函数 y2x2（） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移
