1、“恒成立问题恒成立问题”与与“存在解问题存在解问题”加强加强 “恒成立问题恒成立问题”与与“存在性问题存在性问题”的基本类型的基本类型 1、恒成立问题的转化： af x恒成立 2、能成立问题的转化： af x能成立 3、恰成立问题的转化： af x在 M 上恰成立 4、设函数 xf、 xg，对任意的bax, 1 ，存在dcx, 2 ，使得 21 xgxf，则 5、设函数 xf、 xg，对任意的bax, 1 ，存在dcx, 2 ，使得 21 xgxf， 6、设函数 xf、 xg，存在bax, 1 ，存在dcx, 2 ，使得 21 xgxf，则 7、设函数 xf、 xg，存在bax, 1 ，存在d
2、cx, 2 ，使得 21 xgxf，则 8、设函数 xf、 xg，对任意的bax, 1 ，存在dcx, 2 ，使得 21 xgxf，设 f(x)在区间a,b上 的值域为 A，g(x)在区间c,d上的值域为 B, 则 9. 任意 x1D, 任意 x2E,均有 f(x1) g(x2)恒成立， 10. 任意 x1D, 任意 x2E,均有 f(x1) g(x2)成立， 12. 存在 x1D, 存在 x2E,均使得 f(x1) g(x)恒成立， 15 存在 x0D,使得 f(x0) f(x)2）函数和函数f(x) g(x) 恒成立恒成立配存在解 存在解恒成立配恒成立 存在解配存在解 1、一次函数型：、一
3、次函数型： 给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a0),若 y=f(x) 在m,n内恒有 f(x)0，则上述结论等价于 若在m,n内恒有 f(x)2a+x 恒成立的 x 的取值范围. 2、二次函数型、二次函数型 （1）若二次函数 y=ax2+bx+c(a0)大于 0 恒成立，则有00 且a （2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。 类型 1：设)0()( 2 acbxaxxf在 R 上恒成立， （1）Rxxf 在0)(上恒成立 （2）Rxxf 在0)(上恒成立 类型 2：设)0()( 2 acbxaxxf在区间,上恒成立 （1）当0a时， ,0)(x
4、xf在上恒成立 ,0)(xxf在上恒成立 （2）当0a时， ,0)(xxf在上恒成立 ,0)(xxf在上恒成立 类型 3：设)0()( 2 acbxaxxf在区间(- , 上恒成立。 f(x)0 f(x)0 f(x)0 例例 若函数 1 2 ) 1() 1()( 22 a xaxaxf的定义域为 R，求实数a的取值范围. 例例.已知函数 2 ( )3f xxaxa ， 1）在 R 上( )0f x 恒成立，求a的取值范围. 2）若2,2x 时，( )0f x 恒成立，求a的取值范围. 3）若2,2x 时，( )2f x 恒成立，求a的取值范围. 3、变量分离型、变量分离型 例例已知三个不等式0
5、34 2 xx，086 2 xx，092 2 mxx要使同时满足的所有 x 的值满足，求 m 的取值范围. 例例. 函数)(xf是奇函数，且在 1 , 1上单调递增，又1) 1(f，若12)( 2 attxf对所有的 1 , 1a都 成立，求t的取值范围 . 4、 直接根据图象判断直接根据图象判断 例例aaxxx恒成立，求实数，不等式对任意实数21的取值范围. 三、在恒成立问题中一些基本的解题策略三、在恒成立问题中一些基本的解题策略 （一）换元引参，显露问题实质（一）换元引参，显露问题实质 例题：对于所有实数 x，不等式x a a x a a a a 2 222 2 2 41 2 2 1 1
6、4 0log () loglog () 恒成立，求 a 的取值范围。 （二）分离参数，化归为求值域问题（二）分离参数，化归为求值域问题 当31 x时，不等式062 2 axx恒成立，求实数a的取值范围 （三）变更主元，简化解题过程（三）变更主元，简化解题过程 例：若对于01m，方程xmxm 2 210存在解，求x的取值范围。 练习：当1a时，若不等式039)6( 2 axax恒成立，求x的取值范围。 （四）图象解题，形象直观（四）图象解题，形象直观 例、当 x(1,2)时，不等式(x-1)2logax 恒成立，求 a 的取值范围。 再练几题 1）当 (1,2)x 时，不等式 2 40 xmx 恒成立，则m的取值范围是 2 ） 已 知 不 等 式22 3(1)1axxaxxa 对 任 意 (0)a， 都 成 立 ， 那 么 实 数x的 取 值 范 围 为 3）对一切实数 x,不等式32xxa恒成立，求实数 a 的范围。 若不等式32xxa有解，求实数 a 的范围。 若方程32xxa有解，求实数 a 的范围。
