1、第五讲第五讲 二次函数的最值问题二次函数的最值问题 二次函数 2 (0)yaxbxc a是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础在初 中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a 时，函数在 2 b x a 处取得最小值 2 4 4 acb a ，无最大值；当0a 时，函数在 2 b x a 处取得最大值 2 4 4 acb a ，无最小值 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题同时 还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用 【例【例 1】当22x 时，求函数 2 23yxx的最大值和最小值 分析分析：作出函数在所给范围的
2、及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函 数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值 解：解：作出函数的图象当1x 时， min 4y ，当2x 时， max 5y 【例【例 2】当12x时，求函数 2 1yxx 的最大值和最小值 解：解：作出函数的图象当1x 时， min 1y ，当2x 时， max 5y 由上述两例可以看到， 二次函数在自变量x的给定范围内， 对应的图象是抛物线上的一段 那 么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异下面给出一些常 见情况： 【例【例 3】当0 x
3、 时，求函数(2)yxx 的取值范围 解：解：作出函数 2 (2)2yxxxx 在0 x 内的图象 可以看出：当1x 时， min 1y ，无最大值 所以，当0 x 时，函数的取值范围是1y 【例【例 4】当1txt 时，求函数 2 15 22 yxx的最小值(其中t为常数) 分析：分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置 解：解：函数 2 15 22 yxx的对称轴为1x 画出其草图 (1) 当对称轴在所给范围左侧即1t 时：当xt时， 2 min 15 22 ytt ； (2) 当对称轴在所给范围之间即1101ttt 时： 当1x 时， 2 min 1
4、5 113 22 y ； (3) 当对称轴在所给范围右侧即110tt 时： 当1xt 时， 22 min 151 (1)(1)3 222 yttt 综上所述： 2 2 1 3,0 2 3,01 15 ,1 22 tt yt ttt 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 【例【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件) 与每件的销售价x(元)满足一次函数1623 ,3054mxx (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利
5、润为 多少？ 解：解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x 元， 那么m件的销售利润为(30)ym x，又1623mx 2 (30)(1623 )32524860,3054yxxxxx (2) 由(1)知对称轴为42x ，位于x的范围内，另抛物线开口向下 当42x 时， 2 max 342252424860432y 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为 432 元 A组组 1 抛物线 2 (4)23yxmxm， 当m= _ 时， 图象的顶点在y轴上； 当m= _ 时， 图象的顶点在x轴上；当m= _ 时，图象过原点 2用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或
6、正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3求下列二次函数的最值： (1) 2 245yxx；(2)(1)(2)yx x 4求二次函数 2 235yxx在22x 上的最大值和最小值，并求对应的x的值 5对于函数 2 243yxx，当0 x 时，求y的取值范围 6求函数 2 3532yxx的最大值和最小值 7已知关于x的函数 22 (21)1yxtxt，当t取何值时，y的最小值为 0？ B组组 1已知关于x的函数 2 22yxax在55x 上 (1) 当1a 时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a为实数时，求函数的最大值 2函数 2 23yxx在0mx上的最大值为 3，最小值为 2，求m的取值范围
7、 3设0a ，当11x 时，函数 2 1yxaxb 的最小值是4，最大值是 0，求, a b的 值 4已知函数 2 21yxax在12x 上的最大值为 4，求a的值 5求关于x的二次函数 2 21yxtx在11x 上的最大值(t为常数) 第五讲第五讲 二次函数的最值问题答案二次函数的最值问题答案 A 组组 练练习习 1414 或 2， 3 2 2 2 2 16 l m 3(1) 有最小值 3，无最大值；(2) 有最大值 9 4 ，无最小值 4当 3 4 x 时， min 31 8 y；当2x 时， max 19y 55y 6当 5 6 x 时， min 3 3 6 y；当 2 3 x 或 1 时， max 3y 7当 5 4 t 时， min 0y B 组组 1(1) 当1x 时， min 1y；当5x 时， max 37y (2) 当0a 时， max 2710ya；当0a 时， max 2710ya 221m 32,2ab 4 1 4 a 或1a 5当0t 时， max 22yt，此时1x ；当0t 时， max 22yt，此时1x
