1、初高中数学衔接教材 编者的话 现有初高中数学教材存在以下“脱节” ： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为 1 的二次三项式的分解，对系数不为 1 的 涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用 到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函 数、不等式常用的解题技巧； 5 初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材 的始终的重要内容；
2、配方、作简图、求值域（取值范围） 、解二次不等式、判断单调区间、求 最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不 作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的 相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本 知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题 内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中很多概
3、念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行 线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除， 大都没有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化， 甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我 们会不断的研究新课程及其体系。 将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足， 加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！ 2010.6.24
4、 目录 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材2 第一章第一章数与式数与式 1.1数与式的运算数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.4分式 1.2分解因式分解因式 第二章第二章二次方程与二次不等式二次方程与二次不等式 2.1一元二次方程一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2根与系数的关系 2.2二次函数二次函数 2.2.1二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 2.2.2二次函数的三种表达方式 2.2.3二次函数的应用 2.3方程与不等式方程与不等式 2.3.1二元二次方程组的解法 第三章第三章相似形、三角形、圆
5、相似形、三角形、圆 3.1相似形相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理 3.1.2相似三角形形的性质与判定 3.2三角形三角形 3.2.1三角形的五心 3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用 3.3圆圆 3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2点的轨迹 3.3.3四点共圆的性质与判定 3.3.4直线和圆的方程（选学） 1.11.1 数与式的运算数与式的运算 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材3 1.1绝对值绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对 值仍是零即 ,0, |0,0,
6、,0. aa aa a a 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：ba 表示在数轴上，数a和数b之间的距离 例 1 解不等式：13xx4 解法一：由01x，得1x；由30 x，得3x ； 若1x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4，解得 x0， 又 x1， x0； 若12x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即 14， 不存在满足条件的 x； 若3x ，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4， 解得 x4 又 x3， x4 综上所述，原不等式的解为 x0，或 x4 解法二：如图 111，1x表示 x 轴上坐标为 x 的点
7、 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离 |PA|，即|PA|x1|；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|，即|PB|x 3| 所以，不等式13xx4 的几何意义即为 |PA|PB|4 由|AB|2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标 为 4)的右侧 x0，或 x4 练习 1填空： （1）若5x，则 x=_；若4x，则 x=_. （2）如果5 ba，且1a，则 b_；若21c，则 c_. 2选择题： 下列叙述正确的是（） （A）若ab，则ab（B）若ab，则ab （C）若ab，则ab（D）若ab，则ab 3化简：|x5|2x
8、13|（x5） 1.1.2. 乘法公式乘法公式 13 A B x04 C D x P |x1| |x3| 图 111 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材4 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab； （2）立方差公式 2233 ()()ab aabbab； （3）三数和平方公式 2222 ()2()abcabcabbcac； （4）两数和立方公式 33223 ()33ab
9、aa babb； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例例 1计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx = 242 (1)(1)xxx = 6 1x 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx = 33 (1)(1)xx = 6 1x 例 2已知4abc，4abbcac，求 222 abc的值 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac 练习 1填空： （1） 22 1111 () 9423 abba（） ； （2）(4m 22
10、 )164(mm)； (3 ) 2222 (2)4(abcabc) 2选择题： （1）若 2 1 2 xmxk是一个完全平方式，则k等于（） （A） 2 m（B） 2 1 4 m（C） 2 1 3 m（D） 2 1 16 m （2）不论a，b为何实数， 22 248abab的值（） （A）总是正数（B）总是负数 （C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式二次根式 一般地，形如(0)a a 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方 的式子称为无理式. 例如 2 32aabb， 22 ab等是无理式，而 2 2 21 2 xx， 22 2xxyy， 2 a等是有理式
11、 1分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需 要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式， 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材5 我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3 a与a，36与36， 2 33 2与2 33 2，等等一般地，a x与x，a xby与a xby，a xb与 a xb互为有理化因式 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程； 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
12、 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运 用公式(0,0)a bab ab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通 过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括 号与合并同类二次根式 2二次根式 2 a的意义 2 aa ,0, ,0. aa a a 例 1将下列式子化为最简二次根式： （1）12b；（2） 2 (0)a b a ；（3） 6 4(0)x y x 解： （1）122 3bb； （2） 2 (0)a baba b a； （3） 633 422(0)x yxyxy x 例例 2计算：3(33) 解法
13、一：3(33) 3 33 3 (33) (33)(33) 3 33 93 3( 31) 6 31 2 解法二解法二：3(33) 3 33 3 3( 31) 1 31 31 ( 31)( 31) 31 2 例 3试比较下列各组数的大小： 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材6 （1）1211和1110；（2） 2 64 和2 26. 解： （1） 1211( 1211)( 1211)1 1211 112111211 ， 1110( 1110)( 1110)1 1110 111101110 ， 又12111110， 12111110 （2） 2 26(2 26)(2 2
14、6)2 2 26, 12 262 26 + + 又 42 2， 64 62 2， 2 64 2 26. 例 4化简： 20042005 ( 32)( 32) 解： 20042005 ( 32)( 32) 20042004 ( 32)( 32)( 32) 2004 ( 32) ( 32)( 32) 2004 1( 32) 32 例 5化简： （1）94 5；（2） 2 2 1 2(01)xx x 解： （1）原式54 54 22 ( 5)2 252 2 (25) 25 52 （2）原式= 2 1 ()x x 1 x x ， 01x， 1 1x x ， 所以，原式 1 x x 例 6已知 3232
15、 , 3232 xy ，求 22 353xxyy的值 解： 22 3232 ( 32)( 32)10 3232 xy ， 3232 1 3232 xy ， 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材7 2222 3533()113 1011289xxyyxyxy 练习 1填空： （1） 13 13 _； （2）若 2 (5)(3)(3) 5x xxx，则x的取值范围是_ _； （3）4 246 543 962 150_； （4）若 5 2 x ，则 1111 1111 xxxx xxxx _ 2选择题： 等式 22 xx xx 成立的条件是（） （A）2x （B）0 x
16、（C）2x （D）02x 3若 22 11 1 aa b a ，求ab的值 4比较大小：2 35 4（填“”，或“”） 1.1.分式 1分式的意义 形如 A B 的式子，若 B 中含有字母，且0B ，则称 A B 为分式分式当 M0 时，分式 A B 具有下列性质： AA M BBM ； AAM BBM 上述性质被称为分式的基本性质 2繁分式 像 a b cd ， 2 mnp m np 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式 例 1若 54 (2)2 xAB x xxx ，求常数,A B的值 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材8 解： (2)()254
17、 2(2)(2)(2) ABA xBxAB xAx xxx xx xx x ， 5, 24, AB A 解得2,3AB 例 2（1）试证： 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数） ； （2）计算： 111 1 22 39 10 ； （3）证明：对任意大于1 的正整数n， 有 1111 2 33 4(1)2n n （1）证明： 11(1)1 1(1)(1) nn nnn nn n ， 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数）成立 （2）解：由（1）可知 111 1 22 39 10 11111 (1)()() 223910 1 1 10 9 10 （3）证明： 111 2
18、33 4(1)n n 111111 ()()() 23341nn 11 21n ， 又 n2，且 n 是正整数， 1 n1 一定为正数， 111 2 33 4(1)n n 1 2 例 3设 c e a ，且 e1，2c25ac2a20，求 e 的值 解：在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1 2 1，舍去；或 e2 e2 练习 1填空题： 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材9 对任意的正整数 n， 1 (2)n n ( 11 2nn )； 2选择题： 若 22 3 xy xy ，则 x y （） （A）（B）
19、 5 4 （C） 4 5 （D） 6 5 3正数, x y满足 22 2xyxy，求 xy xy 的值 4计算 1111 . 1 22 33 499 100 习题习题 11 A组组 1解不等式： (1)13x；(2)327xx； (3)116xx 已知1xy，求 33 3xyxy的值 3填空： （1） 1819 (23) (23)_； （2）若 22 (1)(1)2aa，则a的取值范围是_； （3） 11111 1223344556 _ B组组 1填空： （1） 1 2 a ， 1 3 b ，则 2 22 3 352 aab aabb _； （2）若 22 20 xxyy，则 22 22 3x
20、xyy xy _； 2已知： 11 , 23 xy，求 yy xyxy 的值 C组组 1选择题： （1）若2ababba ，则（） （A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材10 （2）计算 1 a a 等于（） （A）a（B）a（C）a （D）a 2解方程 2 2 11 2()3() 10 xx xx 3计算： 1111 1 32 43 59 11 4试证：对任意的正整数 n，有 111 1 2 32 3 4(1)(2)n nn 1 4 1.21.2 因式分解因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、
21、分组分解法，另外还应 了解求根法及待定系数法 1十字相乘法 例 1分解因式： （1）x23x2；（2）x24x12； （3） 22 ()xab xyaby；（4）1xyxy 解： （1）如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所 以，有 x23x2(x1)(x2) 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个 x 用 1 来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得 x24x12(x2)(x6) （3）由图 114，得 22 ()xa
22、b xyaby()()xay xby （4）1xyxy xy(xy)1 (x1) (y+1) （如图 115 所示） 课堂练习 一、填空题： 1 2 x x 图 111 1 2 1 1 图 112 2 6 1 1 图 113 ay by x x 图 114 1 1 x y 图 115 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材11 1、把下列各式分解因式： （1）65 2 xx_。 （2）65 2 xx_。 （3）65 2 xx_。 （4）65 2 xx_。 （5）axax1 2 _。 （6）1811 2 xx_。 （7）276 2 xx_。 （8）9124 2 mm_。
23、 （9） 2 675xx_。 （10） 22 612yxyx_。 2、 3 4 2 xxxx 3、若42 2 xxbaxx则 a， b。 二、选择题： （每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）67 2 xx（2）34 2 xx（3）86 2 xx（4）107 2 xx （5）4415 2 xx中，有相同因式的是（） A、只有（1） （2）B、只有（3） （4） C、只有（3） （5）D、 （1）和（2） ； （3）和（4） ； （3）和（5） 2、分解因式 22 338baba得（） A、3 11aaB、baba3 11C、baba3 11D、baba3 11 3、208 2
24、baba分解因式得（） A、2 10babaB、4 5baba C、10 2babaD、5 4baba 4、若多项式axx3 2 可分解为bxx5，则a、b的值是（） A、10a，2bB、10a，2bC、10a，2bD、10a，2b 5、若bxaxmxx 10 2 其中a、b为整数，则m的值为（） A、3或9B、3C、9D、3或9 三、把下列各式分解因式 1、321126 2 pqqp2、 223 65abbaa 3、642 2 yy4、82 24 bb 2提取公因式法 例 2分解因式： （1）baba55 2 （2） 32 933xxx 解：（1） baba55 2 =) 1)(5(aba
25、（2） 32 933xxx= 32 (3)(39)xxx= 2( 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx 或 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材12 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx 课堂练习： 一、填空题： 1、多项式xyzxyyx426 22 中各项的公因式是_。 2、 yxxynyxm_。 3、 222 yxxynyxm_。 4、 zyxxzynzyxm_。 5、zyxzyxzyxm_。 6、 52362 3913xbaxab分解因式得_。 7
26、计算99992= 二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“” ） 1、baababba242 22 （） 2、bammbmam （） 3、5231563 223 xxxxxx（） 4、1 11 xxxx nnn （） 3：公式法 例 3分解因式：（1）16 4 a（2）2 2 23yxyx 解：(1)16 4 a=)2)(2)(4()4)(4()(4 222222 aaaaaa (2)2 2 23yxyx=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx 课堂练习 一、 22 2baba， 22 ba ， 33 ba 的公因式是_。 二、判断题： （正确的打上“” ，错误的打上“”
27、 ） 1、 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 1 . 0 3 2 01. 0 9 4 2 2 2 xxxx （） 2、babababa43 434389 22 22 （） 3、bababa45 451625 2 （） 4、yxyxyxyx 2222 （） 5、cbacbacba 2 2 （） 五、把下列各式分解 1、2 2 9nmnm2、 3 1 3 2 x 3、 2 2 244xx4、12 24 xx 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材13 4分组分解法 例 4（1）xyxyx33 2 （2） 22 2456xxyyxy （2） 22 2456xxyyxy
28、= 22 2(4)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy 或 22 2456xxyyxy= 22 (2)(45 )6xxyyxy =(2)()(45 )6xy xyxy =(22)(3)xyxy 课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx22 2222 （2）912644 22 bababa 5关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 若关于若关于 x 的方程的方程 2 0(0)axbxca的两个实数根是的两个实数根是 1 x、 2 x， 则二次三项式则二次三项式 2 (0)axbxc a 就可分解为就可分解为 12 ()(
29、)a xxxx. 例 5把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx；（2） 22 44xxyy 解： （1）令 2 21xx=0，则解得 1 12x ， 2 12x ， 2 21xx=( 12)( 12)xx =(12)(12)xx （2）令 22 44xxyy=0，则解得 1 ( 22 2)xy ， 1 ( 22 2)xy ， 22 44xxyy=2(12) 2(12) xy xy 练习 1选择题： 多项式 22 215xxyy的一个因式为（） （A）25xy（B）3xy（C）3xy（D）5xy 2分解因式： （1）x26x8；（2）8a3b3； （3）x22x1；（4）4
30、(1)(2 )xyy yx 习题习题 12 1分解因式： （1） 3 1a ；（2） 42 4139xx； （3） 22 222bcabacbc；（4） 22 35294xxyyxy 2在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx；（2） 2 2 23xx； （3） 22 34xxyy；（4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx 3ABC三边a，b，c满足 222 abcabbcca，试判定ABC的形状 4分解因式：x2x(a2a) 5. （尝试题）已知 abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求 1-cab 1 + 1-abc 1 + 1-bca 1 的值. 传播数学文化开启智慧人生
31、 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材14 2.12.1一元二次方程一元二次方程 2.1.1 根的判别式根的判别式 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 如求方程的根（如求方程的根（1）032 2 xx(2)012 2 xx(3)032 2 xx 我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，用配方法可以将其变形为 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 因为 a0，所以，4a20于是 （1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2 2 4 2 bbac
32、a ； （2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1x2 2 b a ； （3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 2 () 2 b x a 一定大于或等于零，因 此，原方程没有实数根 由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac 叫 做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式根的判别式，通常用符号“”来表示 综上所述，对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有，有 （1）当当0 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根 x1，2 2 4
33、 2 bbac a ； （2）当）当0 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根 x1x2 2 b a ； （3）当）当0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根 例 1判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根 （1）x23x30；（2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0；（4）x22xa0 解： （1）3241330，方程没有实数根 （2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根 2 1 4 2 aa x ， 2 2 4 2 aa x （3）由于该方程的根的判别式为 a241(a1)a24a
34、4(a2)2， 所以， 当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21； 当 a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1 （3）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1a)， 所以 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材15 当0，即 4(1a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根 1 11xa ， 2 11xa ； 当0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即 a1 时，方程没有实数根 说明：说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程 中，需要对
35、 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非 常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题 2.1.2根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根 2 1 4 2 bbac x a ， 2 2 4 2 bbac x a ， 则有 22 12 442 222 bbacbbacbb xx aaaa ； 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc x x aaaaa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果如果 ax2bxc0（a0）
36、的两根分别是的两根分别是 x1，x2，那么那么 x1x2 b a ，x1x2 c a 这一关系也被称为 韦达定理韦达定理 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q， 即p(x1x2)，qx1x2， 所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于 x1，x2是一元二次方程 x2pxq0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程 x2(x1x2)xx1x20因此有 以两个数以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是）是 x2(x1x2)xx1x2
37、0 例 2已知方程 2 560 xkx的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根但 由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数 和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值 解法一：2 是方程的一个根， 522k260， k7 所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x2 3 5 所以，方程的另一个根为 3 5 ，k 的值为7 解法二：设方程的另一个根为 x1，则2x1 6 5 ，x1 3 5 由（ 3 5 ）2 5
38、k ，得 k7 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材16 所以，方程的另一个根为 3 5 ，k 的值为7 例 3已知关于 x 的方程 x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两 个根的积大 21，求 m 的值 分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解 得 m 的值 但在解题中需要特别注意的是， 由于所给的方程有两个实数根， 因此，其根的判别式应大于零 解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x2
39、21， 即2(m2)23(m24)21， 化简，得m216m170， 解得m1，或 m17 当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意； 当 m17 时，方程为 x230 x2930，302412930，不合题意，舍去 综上，m17 说明： （1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由 “两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可 （1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于 零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根 例 4已知两个数的和为 4，积为12，
40、求这两个数 分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化 出一元二次方程来求解 解法一：设这两个数分别是 x，y， 则xy4， xy12 由，得y4x， 代入，得 x(4x)12， 即x24x120， x12，x26 1 1 2, 6, x y 或 2 2 6, 2. x y 因此，这两个数是2 和 6 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根 解这个方程，得 x12，x26 所以，这两个数是2 和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷 例 5若 x1和 x2分别是一元二次方
41、程 2x25x30 的两根 （1）求| x1x2|的值； （2）求 22 12 11 xx 的值； （3）x13x23 解：x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根， 12 5 2 xx ， 12 3 2 x x 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材17 （1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 2 53 ()4 () 22 25 4 6 49 4 ， | x1x2| 7 2 （2） 2 222 121212 22222 2 121212 5325 ()2 ()3 ()21137 224 39 ()9 () 24 x
42、xxxx x xxxxx x （3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2)23x1x2 ( 5 2 )( 5 2 )23( 3 2 ) 215 8 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题， 为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则 2 1 4 2 bbac x a ， 2 2 4 2 bbac x a ， | x1x2| 222 4424 222 bbacbbacbac aaa 2 4 | bac aa 于是有下面的结论： 若
43、若 x1和和 x2分别是一元二次方程分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则，则| x1x2| |a （其中（其中b24ac） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论 例 6若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、 另一根小于零， 求实数 a 的取值范围 解：设 x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得a4， 由得a17 4 a 的取值范围是 a4 练习 1选择题： （1）方程 22 2 330 xkxk的根的情况是（） （A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根（D）没有实数根
44、（2）若关于 x 的方程 mx2 (2m1)xm0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （） （A）m 1 4 （B）m 1 4 （C）m 1 4 ，且 m0（D）m 1 4 ，且 m0 2填空: （1）若方程 x23x10 的两根分别是 x1和 x2，则 12 11 xx （2）方程 mx2x2m0（m0）的根的情况是 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材18 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知 2 816|1| 0aab，当 k 取何值时，方程 kx2axb0 有两个不相等的实数根？ 4已知方程 x23x10 的两根为 x1和 x2，求
45、(x13)( x23)的值 习题习题 2.1 A组组 1选择题: （1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（） （A）3（B）3（C）2（D）2 （2）下列四个说法： 方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7； 方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7； 方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 7 3 ； 方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0 其中正确说法的个数是（） （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 （3）关于 x 的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（） （A）0（B
46、）1（C）1（D）0，或1 2填空: （1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x40 的两根为，则22 （3）已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是2，则它的另一个根是 （4）方程 2x22x10 的两根为 x1和 x2，则| x1x2| 3试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个 相等的实数根？没有实数根？ 4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数 B组组 1选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 (k2 1) x k 1 0 的 两 根 互 为 相 反
47、 数 ， 则 k 的 值 为 （） （A）1，或1（B）1（C）1（D）0 2填空: （1）若 m，n 是方程 x22005x10 的两个实数根，则 m2nmn2mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a2bab2b3的值是 3已知关于 x 的方程 x2kx20 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为 x1和 x2，如果 2(x1x2)x1x2，求实数 k 的取值范围 4一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根为 x1和 x2求： （1）| x1x2|和 12 2 xx ； （2）x13x23 5关于 x 的方程 x24xm
48、0 的两根为 x1，x2满足| x1x2|2，求实数 m 的值 C组组 1选择题： （1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边 长等于（） （A）3（B）3（C）6（D）9 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材19 （2）若 x1，x2是方程 2x24x10 的两个根，则 12 21 xx xx 的值为（） （A）6（B）4（C）3（D） 3 2 （ 3 ） 如 果 关 于 x 的 方 程 x2 2(1 m)x m2 0 有 两 实 数 根 ， ， 则 的 取 值 范 围 为 （） （A） 1 2 （B） 1 2
49、 （C）1（D）1 （ 4 ） 已 知 a ， b ， c 是 ABC 的 三 边 长 ， 那 么 方 程 cx2 (a b)x 4 c 0 的 根 的 情 况 是 （） （A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根 2填空： 若方程 x28xm0 的两根为 x1，x2，且 3x12x218，则 m 3 已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk10 的两个实数根 （1）是否存在实数 k，使(2x1x2)( x12 x2) 3 2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使 12 21 xx xx 2 的值为整
50、数的实数 k 的整数值； （3）若 k2， 1 2 x x ，试求的值 4已知关于 x 的方程 2 2 (2)0 4 m xmx （1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根 x1，x2满足|x2|x1|2，求 m 的值及相应的 x1，x2 5若关于 x 的方程 x2xa0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围 传播数学文化开启智慧人生 书山有路学海无涯初中升高中数学衔接教材20 2 22 2二次函数二次函数 2.2.1二次函数二次函数 yax2bxc 的图的图象象和性质和性质 情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图
