1、目目录录 初高中衔接.2 集合预习册.15 集合.17 集合关系预习册.23 集合的关系.25 集合的运算预习册.30 集合的运算.32 函数的概念预习册.36 函数的概念.38 函数的单调性预习册.50 函数的单调性.52 函数的奇偶性预习册：.60 函数的奇偶性.62 函数性质综合预习册.69 函数性质综合.70 一次和二次函数预习册.75 一次和二次函数.78 指数运算及指数函数预习册.95 指数运算及指数函数.99 对数与对数函数预习册.107 对数及对数函数.108 幂函数预习册.120 幂函数.121 函数与方程预习册.128 函数与方程.129 函数应用题预习册.138 函数应用
2、题.143 初高中衔接初高中衔接 绝对值绝对值 经典例题经典例题 例 1 解不等式：13xx4 【解析】 解法一：由01x，得1x；由30 x ，得3x ； 若1x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4，解得 x0， 又 x1， x0； 若12x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即 14， 不存在满足条件的 x； 若3x ，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4， 解得 x4 又 x3， x4 综上所述，原不等式的解为 x0，或 x4 解法二： 如图 1 11，1x表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|， 即|PA|x1|；|x3|表示
3、x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|，即|PB|x3| 所以，不等式13xx4 的几何意义即为 |PA|PB|4 由|AB|2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐 标为 4)的右侧 x0，或 x4 快速练习快速练习 1.若5x，则 x=_；若4x，则 x=_. 2.如果5 ba，且1a，则 b_；若21 c，则 c_. 3.下列叙述正确的是（） （A）若ab，则ab（B）若ab，则ab （C）若ab，则ab（D）若ab，则ab 13 A B x04 C D x P |x1| |x3| 图 111 4.化简：|x5|2x13|（x5） 乘法公
4、式乘法公式 （1）平方差公式 22 ()()ab abab； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab； （2）立方差公式 2233 ()()ab aabbab； （3）三数和平方公式 2222 ()2()abcabcabbcac； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb 经典例题经典例题 例 1：计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx 【解析】 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx = 336 111xxx 例 2：已知4abc
5、，4abbcac，求 222 abc的值 【解析】 2 16abc 222 22216abcabacbc 222 16 88abc 快速练习快速练习 1. 22 1111 () 9423 abba（） ； 2.(4m 22 )164(mm)； 3. 2222 (2)4(abcabc) 4.若 2 1 2 xmxk是一个完全平方式，则k等于（） （A） 2 m（B） 2 1 4 m（C） 2 1 3 m（D） 2 1 16 m 5.不论a，b为何实数， 22 248abab的值（） （A）总是正数（B）总是负数 （C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数 分式分式 经典例题经典例题 例 1:若
6、54 (2)2 xAB x xxx ，求常数,A B的值 254(2) (2)2(2)(2) AB xAxABA xBx x xxxx xx x 24,5AAB 2,3AB 例 2:（1）试证： 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数） ； （2）计算： 111 1 22 39 10 ； （3）证明：对任意大于1 的正整数n， 有 1111 2 33 4(1)2n n 【解析】 （1） 1111 1(1)(1)(1) nn nnn nn nn n （2） 1111111119 11 1 22 39 102239101010 （3） 111111111111 2 33 4(1)2334
7、1212n nnnn 快速练习快速练习 1.对任意的正整数 n， 1 (2)n n ( 11 2nn )； 2.若 22 3 xy xy ，则 x y （） （A）（B） 5 4 （C） 4 5 （D） 6 5 3正数, x y满足 22 2xyxy，求 xy xy 的值 4计算 1111 . 1 22 33 499 100 巩固巩固练习练习 1.(1)13x ； (2)327xx； (3)116xx 2.已知1xy，求 33 3xyxy的值 3.（1） 1819 (23) (23)_； （2）若 22 (1)(1)2aa，则a的取值范围是_； （3） 11111 1223344556 _ 4
8、.（1） 1 2 a ， 1 3 b ，则 2 22 3 352 aab aabb _； （2）若 22 20 xxyy，则 22 22 3xxyy xy _； 5已知： 11 , 23 xy，求 yy xyxy 的值 6.（1）若2ababba ，则（） （A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba （2）计算 1 a a 等于（） （A）a（B）a（C）a （D）a 7.解方程 2 2 11 2()3() 10 xx xx 8.计算： 1111 1 32 43 59 11 9.试证：对任意的正整数 n，有 111 1 2 32 3 4(1)(2)n nn 1 4 因式分解因式分解 经典例题
9、经典例题 例 1：分解因式： （1） 2 32xx ； （2） 2 412xx （3） 22 ()xab xyaby； （4）1xyxy 【解析】 （1） 2 3212xxxx （2） 2 41226xxxx （3） 22 ()xab xyabyxayxby； （4） 11111xyxyx yyxy 例 2：分解因式： （1） 32 933xxx ； （2） 22 2456xxyyxy 【解析】 （1） 32 933xxx = 32 (3)(39)xxx= 2( 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx 或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 2
10、2 (1)2(1)(1) 22 xxx 2 (3)(3)xx （2） 22 2456xxyyxy= 22 2(4)56xyxyy = 2 2(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy 或 22 2456xxyyxy= 22 (2)(45 )6xxyyxy =(2)()(45 )6xy xyxy=(22)(3)xyxy 例 3把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx；（2） 22 44xxyy 【解析】 （1）令 2 21xx=0，则解得 1 12x ， 2 12x ， 2 21xx=( 12)( 12)xx =(12)(12)xx （2）令 22 44xxyy=0
11、，则解得 1 ( 22 2)xy ， 1 ( 22 2)xy ， 22 44xxyy=2(12) 2(12) xy xy 快速练习快速练习 1.多项式 22 215xxyy的一个因式为（） （A）25xy（B）3xy（C）3xy（D）5xy 2分解因式： （1） 2 68xx ； （2） 33 8ab； （3） 2 21xx （4）4(1)(2 )xyy yx 3分解因式： （1） 3 1a ； （2） 42 4139xx； （3） 22 222bcabacbc； （4） 22 35294xxyyxy 4在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx； （2） 2 2 23xx； （3） 22
12、34xxyy； （4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx 5ABC三边a，b，c满足 222 abcabbcca，试判定ABC的形状 6分解因式： 22 ()xxaa . 巩固巩固练习练习 1. 22 1xaxxaxa 2.1xyxy 3.axbybxay 4. 2222 acbdadbc 5. 22 abxbxyaxyy 6. 32 xbxaxab 7. 32 acxbcxadxbd 8. 2222 1a bab 9. 22222 1x y zx zy z 10 222 6923axa xyxyay 11. 32 5153xxx 12. 2 51539a mamabmbm 13. 3
13、254 222xxxxx 432 xxxx 14. 2222 ()()()()abaccdbd 15. 22 93xxyy 16. 5544 ()xyx yxy 17. 22 12xxy 18. 24 11 94 nnm xxy 19. 22 (1)12abbb 20. 444222222 222abca bb cc a 3232 xxyy 21. 3 1axxa 22. 4334 aa babb 23. 3322 2xyxxyy 24. 4333 xx yxzyz 25. 5432 1xxxxx 26. 333333 ()()()()aybxaxbyabxy 27. 333333 ()()(
14、)abbccaabc 28. 432 21xxxx 29. 432234 232aa ba babb 30. 42 31xx 31. 42 231xx 32. 4224 aa bb 33. 126 31xx 34. 84 1xx 35. 4224 781xx yy 36. 22 224 1211yxyxy 37. 4222222 2()()xabxab 38. 33 (1)()()(1)x axy xy aby b 39. 2 376aa 2 383xx 40. 2 5129xx 41. 42 730 xx 42. 2 273320 xx 43. 2 612xx 44. 22 14425xyx
15、y 45. 22 672xxyy 46. 22 121115xxyy 47. 2 ()4()12xyxy； 48. 22 12()11()()2()xyxy xyxy 49. 2 57(1)6(1)aa 50. 6336 19216xx yy 一元二次方程一元二次方程 例 1：方程 22 2 330 xkxk的根的情况是（） （A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根（D）没有实数根 【解析】C 例 2：若关于 x 的方程 2 210()mxmxm 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范 围是（） （A）m 1 4 （B）m 1 4 （C）m 1 4 ，且 m0
16、（D）m 1 4 ，且 m0 【解析】D 例 3： （1）若方程 2 31 0 xx 的两根分别是 1 x和 2 x，则 12 11 xx （2）方程 2 200mxxmm （）的根的情况是 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 【解析】（1）3（2）有两个不相等的实数根（3） 2 23 0 xx 例 4：已知 2 816|1| 0aab，当 k 取何值时，方程 2 0kxaxb 有两个不相等 的实数根？ 【解析】k4，且 k0 4已知方程 2 310 xx 的两根为 1 x和 2 x，求 12 33xx的值 【解析】 121212 3339xxx xxx 12 331xx 巩固巩固练习练
17、习 1.已知关于 x 的方程 2 2 0 xkx 的一个根是 1，则它的另一个根是（） （A）3（B）3（C）2（D）2 2.下列四个说法： 方程 2 27 0 xx 的两根之和为2，两根之积为7； 方程 2 27 0 xx 的两根之和为2，两根之积为 7； 方程 2 370 x 的两根之和为 0，两根之积为 7 3 ； 方程 2 320 xx 的两根之和为2，两根之积为 0 其中正确说法的个数是（） （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 3.关于 x 的一元二次方程 22 50axxaa 的一个根是 0，则 a 的值是（） （A）0（B）1（C）1（D）0，或1 4.方程 2 4
18、1 0kxx 的两根之和为2，则 k 5.方程 2 24 0 xx 的两根为，则 22 + 6.已知关于 x 的方程 2 30 xaxa 的一个根是2，则它的另一个根是 7.方程 2 221 0 xx的两根为 1 x和 2 x，则 12 |xx 8.试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 22 210(1)m xmx有两个不相等的实 数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 9求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 2 71 0 xx各根的相反数 10.若关于 x 的方程 22 1)1(0 xkxk 的两根互为相反数，则 k 的值为(） （A）1，或1（B）1（C）1（D）0 11.
19、 若 m ， n 是 方 程 2 20051 0 xx的 两 个 实 数 根 ， 则 22 m nmnmn的 值 等 于 12.如果 a，b 是方程 2 1 0 xx 的两个实数根，那么代数式 3223 aa babb的值 是 13已知关于 x 的方程 2 2 0 xkx （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为 1 x和 2 x，如果 1212 ()2 xxx x，求实数 k 的取值范围 14一元二次方程 2 00axbxca （）的两根为 1 x和 2 x求： （1） 12 |xx和 12 2 xx ； （2） 33 12 xx. 15关于 x 的方程 2 40 xxm
20、 的两根为 1 x和 2 x,满足 12 | 2xx ，求实数 m 的值 16.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2 287 0 xx 的两根，则这个直角三 角形的斜边长等于() （A）3（B）3（C）6（D）9 17.若 1 x和 2 x是方程 2 241 0 xx的两个根，则 12 21 xx xx 的值为（） （A）6（B）4（C）3（D） 3 2 18.如果关于 x 的方程 22 )20(1xm xm有两实数根，,则 +的取值范围为(） （A） + 1 2 （B） + 1 2 （C） +1（D） +1 19.已知abc， ，是ABC的三边长，那么方 2 ( 1 0 4 )cx
21、ab x 的根的情况是(） （A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根 20.若方程 2 80 xxm 的两根为 1 x和 2 x，且 12 3218xx，则 m 21.已知 1 x和 2 x是关于 x 的一元二次方程 2 441 0kxkxk 的两个实数根 （1）是否存在实数 k，使 1212 (22)( 3 2 )xxxx-成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由； （2）求使 12 21 2 xx xx 的值为整数的实数 k 的整数值； （3）若2k， 1 2 x x ，试求的值 22.已知关于 x 的方程 2 2 (2)0 4
22、m xmx （1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根 12 xx，满足 21 |2|xx，求 m 的值及相应的 12 xx， . 23.若关于 x 的方程 2 0 xxa 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围 二次函数二次函数 经典例题经典例题 例 1下列各组中的值是不是方程组 22 13, 5 xy xy 的解? （1） 2, 3; x y （2） 3, 2; x y （3） 1, 4; x y （4） 2, 3; x y 【解析】 （1） （2）是方程的组解；（3） （4）不是方程组的解 例 2解下列方程组: （1）
23、22 5, 625; yx xy （2） 3, 10; xy xy （3） 22 1, 54 3; xy yx （4） 2 22 2 , 8. yx xy 【解析】 （1） 1 1 15, 20, x y 2 2 20, 15; x y （2） 1 1 5, 2, x y 2 2 2, 5; x y （3） 5 , 3 4 . 3 x y （4） 1 1 2, 2, x y 2 2 2, 2. x y 3.解下列不等式： （1） 2 340 xx （2） 2 120 xx ； （3） 2 340 xx ；（4） 2 16 80 xx 【解析】 （1）x1，或 x4 3 ； （2）3x4；（3）
24、x4，或 x1； （4）x4 4.解关于 x 的不等式 22 210 xxa （a 为常数） 【解析】不等式可以变为()()110 xa xa ， （1）当1a1a，即 a0 时，1ax1a； （2）当1a1a，即 a0 时，不等式即为(x1)20，x1； （3）当1a1a，即 a0 时，1ax1a 综上，当 a0 时，原不等式的解为1ax1a； 当 a0 时，原不等式的解为 x1； 当 a0 时，原不等式的解为1ax1a 快速练习快速练习 1解下列方程组： （1） 2 2 1, 4 20; x y xy （2） 22 (3)9, 20; xy xy （3） 22 22 4, 2. xy xy
25、 2解下列不等式： （1） 2 321 0 xx（2） 2 340 x （3） 2 21xx （4） 2 40 x 3.m取什么值时,方程组 2 4 , 2 yx yxm 有一个实数解?并求出这时方程组的解 4.解关于 x 的不等式 2 )0(1xa xa （a 为常数） 5.已知关于 x 不等式 2 20 xbxc 的解为 x1，或 x3试解关于 x 的不等式 2 40bxcx 6.试求关于 x 的函数 2 2yxmx 在 0 x2 上的最大值 k 集合集合预习册预习册 例 1：180 以上的男生是否可以构成集合 【解析】可以，180 以上的男生是确定的 例 2：帅哥是否可以构成集合 【解析
26、】不可以，帅是无法确定的，一个人是否在集合内无法做出确定的判断。 例 3：集合1,2,3,4,5中，1 与1,2,3,4,5的关系是什么？ 【解析】属于，用符号表示 10 分钟 1、判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： 某班个子较高的同学 长寿的人 2的近似值 倒数等于它本身的数 比较小的正整数全体； 血压很高的人； 著名的数学家； 平面直角坐标系内所有第三象限的点 平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体； 正三角形的全体； 2、以下符号分别表示什么集合： N * N Z Q R 3、用符号或填空： 16, 8 , 4 , 2A，则 4_A，8A，32A. 1_N，0_N3_Q，0
27、.5_Z，2_R 2 1 _R，5_Q，3_ N，3_Z 20 分钟 4. t t 1 3 t,那么t=_. 5.对于集合6 , 4 , 2A，若Aa，则Aa6，那么a的值是_ 6.由实数xxx,所组成的集合，其元素最多有个 7.集合xxx2, 3 2 中，x应满足的条件是_ 8.设 A=32, 3 , 2 2 aa，B=2 , 3a，若已知A5，且B5，那么a=_ 30 分钟 9.已知集合0168 2 xkxxA只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合 A. 集合集合 预备知识：预备知识： S1、自然数的定义、有理数的定义、整数的定义、实数的定义。、自然数的定义、有理数的定义、整数的
28、定义、实数的定义。 S2、解决一元二次方程解的情况。、解决一元二次方程解的情况。 快速测试题：快速测试题： 1、3 和-5 都是整数？Go help S1 2、0 是自然数？Go help S1 3、是有理数？Go help S1 4、02 2 xGo help S2 5、02 2 xxGo help S2 引入：引入： “集合”一词与我们日常熟悉的“整体”、“一类”、“一群”等词语的意义相近，例如：数学 书的全体、 地球上人的全体、 所有文具的全体， 所有新东方的学员等都可以看成对象的集合。 集合论是德国数学家康托在 19 世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言。使用 集合语言，可以简洁
29、、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来 学习， 学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象， 发展运用数学语言进行交流 的能力。 集合语言是现代数学的基本语言。在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语 言的基础， 因此把它安排在了高中数学的起始章。 教科书从学生熟悉的集合 （有理数的集合、 直线或圆上的点集等）出发，结合学生身边的实例引出元素、集合的概念，介绍了表示集合 的列举法和描述法及韦恩图；类比实数间的相等、大小关系，通过对具体实例共性的分析、 概括出了集合间的相等、包含关系；针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引出了集合 间“并”的运算，并在此基础
30、上进一步扩展，介绍了“交”的运算和“补”的运算。这里采用类比 方式处理集合间的关系和运算的目的在于体现知识之间的联系，渗透数学学习的方法。 适当地引入集合知识是在中学数学教材中渗透近代数学思想的基础。 这里“渗透”的意思 是，学习与中学数学内容相关的集合语言，使中学数学内容表述更加准确，逻辑更加清楚， 以帮助学生正确的理解和运用中学数学知识。 应注意， 在中学不可能用集合的理论严格地建 立中学数学体系。 那什么叫做集合？什么叫做元素呢？ 下面我们看看几个集合的例子： 中国代表团步入亚特兰大奥林匹克体育场的照片，代表团的 309 名成员构成一个集合； 平行四边形的全体构成一个集合，其中每个平行四
31、边形都是这个集合的元素； 圆是平面上与一个定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合； 线段的垂直平分线是到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合； 中国的直辖市（北京，上海，天津，重庆）也可组成一个集合； 中国古代的四大发明（火药，印刷术，指南针，造纸术）也课组成一个集合； 下面我们说几个不是集合的例子： 接近于 0 的数的全体； 比较小的正整数全体； 2的近似值的全体； 某班个子较高的同学； 某班学习较好的学生。 基础知识：基础知识： 1.集合及元素的概念集合及元素的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 （3）元素用小
32、写字母,a b c 表示；集合用大写字母,A B C 表示 （4）不含任何元素的集合叫做空集，记作 （5）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 2.元素与集合间关系：元素与集合间关系： （1）属于：如果a是集合 A 的元素，就说a属于 A，记作Aa （2）不属于：如果a不是集合 A 的元素，就说a不属于 A，记作Aa 3.集合中元素的特性集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 4.常用数集及记法
33、常用数集及记法 （1）自然数集：全体非负整数的集合 记作N，, 3 , 2 , 1 , 0N （2）正整数集：非负整数集内排除 0 的集 记作 N或 N，, 3 , 2 , 1 N （3）整数集：全体整数的集合 记作Z, 2, 1, 0Z （4）有理数集：全体有理数的集合 记作Q,所有整数与分数Q （5）实数集：全体实数的集合 记作R，的数数轴上所有的点所对应R 课时例题：课时例题： 例 1若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是() A.3.14B5C. 7 3 D.7 【解析】由题意知a应为无理数，故a可以为7。答案：D 例 2下面有四个结论： 集合N中最小数为 1；若Na，则Na；
34、若Na，Nb，则ba的最小 值为 2；所有的正数组成一个集合其中，正确结论的个数为() A0B1 C2D3 【解析】错，最小为 0；错，若5 . 1a，5 . 1a，则N 5 . 1；错，若0a， 0b，则0ba；正确答案：B 例 3给出下列四个命题：平方等于1 的实数不能组成一个集合；正方形组成的集合 只有一个元素；012 2 xx的解集是空集；若Aa，则A有可能为空集。其中， 正确命题的个数为() A0B1 C2D3 【解析】能组成一个空集；有很多元素(大小不同的正方形)；方程012 2 xx有 解1x；Aa，说明A中含有元素a，无论a为何值，都是一个确定的数，A不 可能为空集答案：A 例
35、 4已知R5；Q 3 1 ； 00 ；N0；Q；Z3。其中正 确的个数为_ 【解析】错误，0 是元素， 0是一个集合；N0；Q，正确答案：3 快速练习：快速练习： 1判断下列说法是否正确，并说明理由 (1)某个单位里的年轻人组成一个集合； (2)1， 2 3 ， 4 6 ， 2 1 ， 2 1 这些数组成的集合有 5 个元素； (3)由cba,组成的集合与由cab,组成的集合是同一个集合 2下列命题中正确的是() 0 与 0表示同一个集合；由3 , 2 , 1组成的集合可表示为3 , 2 , 1或1 , 2 , 3；方程 0)2(1 2 xx的所有解的集合可表示为2 , 1 , 1； 集合54
36、 xx可以用列举法表示 A只有和B只有和 C只有D以上命题都不对 3设Rx，集合 A 中含有三个元素 3，x，xx2 2 。 (1)求元素x应满足的条件； (2)若A2，求实数x。 引入：引入： 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有的元素都列举出来。 另一种更加有效的描述集合的方法，是用集合中元素的特征性质来描述。 基础知识：基础知识： 5.集合的表示方法：集合的表示方法： （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 例：由方程01 2 x的所有解组成的集合可表示为1 , 1 例；所有大于 0 且小于 10 的奇数组成的集合可表示为9 , 7 , 5 , 3 ,
37、1 （2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征语言描述法：例 形不是直角三角形的三角 数学式子描述法：例 不等式23x的解集是23 xRx或23 xx 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集 合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法 （3）Venn 图（韦恩图） ： 即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示： 6.集合的分类集合的分类 （1）有限集含有有限个元素的集合 （2）无限集含
38、有无限个元素的集合 （3）空集不含任何元素的集合 课时例题：课时例题： 例 1集合23 xNx的另一种表示方法是() A4 , 3 , 2 , 1 , 0B4 , 3 , 2 , 1 C5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0D5 , 4 , 3 , 2 , 1 【解析】题目中用描述法表示集合，选项中想让用列举法表示集合。题目中集合中元素满足 5x且 Nx，所以集合的元素有4 , 3 , 2 , 1。答案：B 例 2下列集合的表示法正确的是() A第二、四象限内的点集可表示为RyRxxyyx, 0, B不等式41x的解集为5x C全体整数 A 表示任意一个集合 A 3,9,12 表示 12,
39、 9 , 3 D实数集可表示为R 【解析】选项 A 中应是0 xy；选项 B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范 格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项 C 的“ ”与“全体”意思重复答案：D 快速练习：快速练习： 1方程组 12 2 yx yx 的解集是() A1, 1yxB1C 1 , 1D) 1 , 1 (, yx 2 已知集合NnnxxM, 27， 则 2 011_M,2 012_M(填或) 3已知集合 NxN x xA, 5 12 ，则用列举法表示为_ 4用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集 (1)方程09 2 x的解集； (2)大于0且小于10的
40、奇数构成的集合； (3)不等式23x的解集； (4)抛物线 2 xy 上的点构成的采合； (5)方程01 2 xx的解集 5已知集合0168 2 xkxxA只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集 合A。 每日一法：每日一法： 分类讨论利用互异性 方法描述： 对于形如0 2 cbxax的讨论，讨论的方向主要集中在是一元一次方程，还是一元二次 方程。 方法步骤： 已知集合023 2 xaxxA，其中a为常数，且Ra 若A中只有一个元素，求a的值； S1：当0a时，方程变为023 x，解得 3 2 x， 3 2 A，满足题意 S2： 当0a时， 方程为023 2 xax， 若A中只有一个元素
41、， 则有0243 2 a 解得 8 9 a，满足题意 S3：若集合A中只有一个元素，则 8 9 3 2 或a。 方法练习： 1.求集合xxx2, 3 2 中，元素 x 应满足的条件 2.已知 2 , 2 , 1xx，则实数x= _ 3.已知集合023 2 xaxxA，其中a为常数，且Ra （1）若A是空集，求a的范围； （2）若A中至多只有一个元素，求a的范围 4.已知baM, 2， 2 , 2 ,2baN ，且NM ，求a，b的值 5.已知集合babaaA2,， 2 ,axaxaB 求实数x的值 集合关系集合关系预习册预习册 例题 1：， 【解析】集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，所以
42、我们可以记作，但我们发 现 B 中比 A 中多一个元素，所以我们还可以记作 AB， 例题 2：， 【解析】集合C的任意一个元素都是集合D的元素，所以我们可以记作，但我们发现 D 中比 C 中多一些元素，所以我们还可以记作 CD， 例题 3：， 【解析】集合F的元素都是集合E的元素，所以我们可以记作，但我们发现 E 中比 F 中多一些元素，所以我们还可以记作 FE， 例题 4：， 【解析】G 中的任何一个元素都在 H 中，所以我们可以记作，但我们发现 H 中的任何 一个元素都在 G 中，所以我们也可以记作，当我们既满足，又满足时，我 们说。 10 分钟分钟 1、 用适当的符号填空： （1）菱形平
43、行四边形；等腰三角形等边三角形. （2） 2 |20 xR x；00；0；N0. 2、. 说出下列集合之间的关系 （1） 1 2 3 4 5A ， ， 1 3 5B ， （2） ( , )|1,2Ex yxy ， ( , )|2 Fx yyx （3） |1, |1Ax xBx x （4） |Ax x是菱形 ， |Bx x是对角线互相垂直的平行四边形 20 分钟分钟 3、.用适当的符号填空 （1）1_ 2 |320 x xx （2）1,2_ 2 |320 x xx （3） | 2 ,Nx xk k _ | 6 ,Nx x （4）_ 2 R |20 xx 集合的关系集合的关系 预备知识预备知识：
44、S1、集合的描述法。 快速测试题：快速测试题： 用列举法把下列几何表示出来. 1.go help S1 2.go help S1 3.go help S1 4.go help S1 5.go help S1 引入：引入： 考察集合 ， ， ， 你能发现集合A与集合B，集合C与集合D，集合E与集合F的关系吗？ 容易看出集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C的任意一个元素都是集合D 的元素，集合F的元素都是集合E的元素 基础知识：基础知识： 1.子集的概念子集的概念 （1）概念：一般的,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,那么集合 A 叫做集 合 B 的子集,记作：,读作
45、“A 包含于 B”，或“B 包含 A”。 如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A分别记 作A B 或B A 注：venn 示意图： （2）重点提示： 1）空集是任何一个集合的子集。也就是说，对任意集合 A，都有； 2）任意一个集合 A 都是它本身的子集，即； 3）对于集合 A、B、C，若，则； 4）符号与符号含义不同：只能用在集合与元素之间，用在两个集合之间。 5）子集个数：如果集合 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数是 符号与符号含义相同吗？ 2.真子集的概念真子集的概念 （1）如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于集合 A，
46、那么集 合 A 叫做集合 B 的真子集，记作：。 （2）重点提示：1）就是中不包含的情形。 2）真子集个数：如果集合 A 中有 n 个元素，则 A 的真子集个数是 ；非空真子集个数是。 3.集合相等集合相等 （1）一般地，如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，反过来，集合 B 的每 一个元素也都是集合 A 的元素，那个我们说集合 A 等于集合 B，记作：。 （2）重点提示：判断两个集合相等的方法 1）关键是分析其元素的特点 2）注意集合元素的无序性 3）可通过证明且，从而 思考 4.集合关系与其特征性质之间的关系集合关系与其特征性质之间的关系 （1）一般地，设，。如果，则。 （2）具
47、有性质x 具有性质，即，反之，如果，则 A 一定是 B 的子集。 （3）重点提示：由其特征性质判断集合之间的包含关系，主要看个特征性质之间是否有推 出关系，就是要分清集合中元素具备什么样的性质，然后再进行相关判断。 填表 集合元素个数子集个数 a a b， a b c， a b c d， 1你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的关系的规律吗？ 如果一个集合有n个元素， 则它有多少个子集？多少个真子集？有多少个非空子集？有多 少个非空真子集？ 课时例题：课时例题： 例 1 已知， 且， 求实数 a 的值。 【解析】解得： 例 2若集合，且，求数学 a 的值 【解析】由 2 6023xxx或，因
48、此，2, 3M . （i）若0a 时，得N ，此时，NM； （ii）若0a 时，得 1 N a . 若NM,满足 11 23 aa 或，解得 11 23 aa 或. 故所求实数a的值为0或 1 2 或 1 3 . 例 3已知集合，若，求数学 x 的值 探究 AB BA ABA B ABCD 【解析】若 2 2 abax abax a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0，即 a=0 或 x=1. 当 a=0 时，集合 B 中的元素均为 0，故舍去； 当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去. 若 2 2 abax abax 2ax2-ax-a=0. 因为 a0，所以 2x2-
49、x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0.又 x1，所以只有 1 2 x . 经检验，此时 A=B 成立. 综上所述 1 2 x . 例 4集合真子集个数是（A） （A）16（B）8（C）7（D）4 【解析】0,1,2A，A 的真子集有：,0,1,2,0,1,0,2,1,2，共 7 个，选 C 例 5设集合 1 , 22 |, | n nxnnAx xBxZZ，则下列图形能表示 A 与 B 关系 的是（）. 【解析】简单列举两个集合的一些元素， 3113 ,1,0,1, 2222 A ， 31 1 3 , 22 2 2 B ，易知 B A，故答案选 A 快速练习：快速练习： 1 设集合 |
50、12Mxx ， |0Nx xk ，若MN，则k的取值范围是（）. A2k B1k C1k D2k 2设集合 S=a,b,c,d,e,则包含a,b的 S 的子集共有（D）个 A2B3C5D8 3集合 A= （x,y)|2x+y=5,xN,yN,则 A 的非空真子集的个数为（C） 4当 2 1, , 0, b aaab a 时，a=_，b=_. 5 已知集合3 ,6 ,Ax xk kZBx xk kZ, 则 A 与 B 之间最适合的关系是 （） . A.ABB.ABC. A BD. A B 每日一法：每日一法： 分类讨论分类讨论空集 方法描述方法描述：空集是任何一个集合的子集 方法步骤方法步骤：
