1、榆林市榆林市 2021 届高考模拟第二次测试届高考模拟第二次测试 理科数学试题理科数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 4 44iii（） A.8 15iB.15iC.8 15iD.15i 2. 有限集合A中元素的个数，用 card A表示.若集合2MxZxa，3, 2,2,3N ，且 card5M ，则card MN （） A. 4B. 3C. 2D. 1 3. 2020 年广东 12 月份天气预报历史记录中 1 号至 8 号的数据如表所示，则（） 日期最高气温/C最低气温/C 12 月 1 日2
2、314 12 月 2 日2313 12 月 3 日2011 12 月 4 日1910 12 月 5 日219 12 月 6 日2115 12 月 7 日2312 12 月 8 日2311 A. 这 8 天的最高气温的极差为5 CB. 这 8 天的最高气温的中位数为23 C C. 这 8 天的最低气温的极差为5 CD. 这 8 天的最低气温的中位数为11.5 C 4. 已知( )22 xx f xaa为奇函数，则“ma ”是“ 0f m ”的（） A. 充要条件B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 5. 若 33 ( )sincossin cosf xxxxx的最
3、大值为（） A. 1 2 B. 1 4 C. 2 2 D. 1 6. 将傲慢与偏见 巴黎圣母院等六本不同的国外名著按如图所示的方式竖放在一起，则傲慢与偏见 放在最前面或最后面的不同放法共有（） A. 120 种B. 240 种C. 200 种D. 180 种 7. 若函数 2 ( )lnf xxx的图像在 , a f a处的切线与直线2650 xy垂直，则a的值为（） A. 1B. 2 或 1 4 C. 2D. 1 或 1 2 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端 点P在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则P在侧视图中对
4、应的点为（） A. 点DB. 点CC. 点BD. 点A 9. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目： “问有沙田一段，有 三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”题意是有一个三角形的 沙田，其三边长分别为 13 里、14 里、15 里、1 里为 300 步，设 6 尺为 1 步，1 尺0.231 米，则该沙田的 面积约为（结果精确到 0.1，参考数据： 2 415.8172889.64） （） A. 15.6 平方千米B. 15. 2 平方千米C. 14.8 平方千米D. 14.5 平方千米 10. 已知三棱锥BPAC的侧棱
5、都相等，侧棱的中点分别为D，E，F，棱AC的中点为G，PB 平面 ABC.且4AB ，120ABC.若四面体DEFG的每个顶点都在球O的球面上，则该球面与三棱锥 BPAC侧面的交线总长为（） A. 7 3 B. 8 3 C. 10 3 D. 11 3 11. 已知 3 log 7a ， 25 log343b ， 9 1 4log 2 2 c ，则（） A.bacB.cabC.abcD.bca 12. 已知双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的虚轴的一个顶点为D，直线2xa与C交于A，B两点， 若ABD的垂心在C的一条渐近线上，则C的离心率为（） A.5B. 2C.3D.2 二、
6、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若2,3a ，10,bm ，且ba ，则_. 14. 若抛物线 2 20 xpy p上的点,1A m到焦点的距离为 4，则m _. 15. 设x，y满足约束条件 13 13 x y ，且0,0zaxby ab的最大值为 3，则 19 ab 的最小值为 _. 16. 关于函数( )4sin 6 f xx 有如下四个命题： ( )f x的最小正周期为 2； ( )f x的图像关于点 7 ,0 6 对称； 若f axf ax，则a的最小值为 2 3 ； ( )f x的图像与曲线 125 0 6 yx x 共有 4 个交点. 其中所有真
7、命题的序号是_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个考题考 生必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 已知 n S为数列 n a的前n项和，数列 n S是等差数列，且 5 9S ， 9 17S . （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 2n nn aS的前n项和 n T. 18. 2020 年底某网购公司为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从 2020 年下半年 的会员中随机调查了 20 个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示.规
8、定评分不低于 80 分 为满意，否则为不满意. （1）求这 20 个会员对售后服务满意的频率. （2）以（1）中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立， 现从下半年的所有会员中随机选取 3 个会员. （i）求只有 1 个会员对售后服务不满意的概率； （ii）记这 3 个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的数学期望与标准差（标准差的结果精确 到 0.1）. 19. 如图所示的几何体由等高的 1 2 个圆柱和 1 4 个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C、E、D、G 四点共面. （1）证明：BF 平面BCG. （2）若直线DF与平面AFB所成角为4
9、5，求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值. 20. 已知椭圆C： 22 22 10 yx ab ab 的焦距与椭圆 2 2 1 3 x y的焦距相等，且C经过抛物线 2 12yx的顶点. （1）求C的方程； （2）若直线ykxm与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：10 xty 对称，O为C的对 称中心，且AOB的面积为 10 3 ，求k的值. 21. 已知函数 32 ( )6f xxxax的图像经过点2,2A. （1）设tR，讨论( )f x在1,上的单调性； （2）若( )f x在,1m m上的最大值为 f m，求m的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、2
10、3 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错 涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 33cos 3sin x y （为参数） ，点P的坐标为,0m. （1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （2）若直线l： 1 2 3 2 xmt yt （t为参数）与曲线C交于A，B两点，若2PA PB，求 2 6mm的取 值范围. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )3533f xxx. （1）求不等式( )40f x 的解集； （2）若不等式 2
11、 ( )2logf xmm对任意xR恒成立，求m的取值范围. 榆林市榆林市 2021 届高考模拟第二次测试届高考模拟第二次测试 理科数学逐题解析理科数学逐题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 解析： 2 4 441 4448 15iiiiiiii ，故选 A. 2. 解析：因为2MxZxa，card5M ，所以1,0,1,2,3M ，而3, 2,2,3N ， 因此2,3MN ，card2MN ，故选 C. 3. 解析：这 8 天的最高气温的极差为23 194 C ，这 8 天的最高气温的中位数为 21
12、23 22 C 2 ，这 8 天的最低气温的极差为15 96 C ，这 8 天的最低气温的中位数为11 1211.5 C 2 ，故选 D. 4. 解析： 因为( )22 xx f xaa为奇函数， 所以 1 2 a ，( )22 xx f x 为R上的减函数， 0f m ， 0m，因此， “ 1 2 m ”是“ 0f m ”的充分不必要条件，故选 B. 5. 解析：因为 3322 ( )sincossincossincossincosf xxxxxxxxx 11 sin2 cos2sin4 24 xxx ，所以 33 ( )sincossin cosf xxxxx的最大值为 1 4 ，故选 B
13、. 6. 解析： 傲慢与偏见故在最前面或最后面的不同放法共有： 5 5 2240A 种，故选 B. 7. 解析： 1 ( )2f xx x ， 1 23f aa a ，1a 或 1 2 ，故选 D. 8. 解析：根据三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由图可知，P在侧视图中对应的点为点B，故选 C. 9. 解析：由海伦公式可得：该沙田的面积 2 2 21 8 7 6300 6 0.23184 415.8 84 172889.6414522729.76平方米14.5 平方千 米，故选 D. 10. 解析： 连结BG， 4ABBCBP， 侧棱的中点D，E，F，G分别为各棱的中点，120ABC，
14、2BDBEBFBG，点B即为球O的球心，PB 平面ABC，球面与三棱锥BPAC侧 面的交线总长为 2 120909010 2 3603 ，故选 C. 11. 解析： 3 253 3 3log 7 log243log 7 log 25 ba， 9993 1 4log 2log 48log 49log 7 2 ca，所以 bac，故选 A. 12. 解析：设ABD的垂心为H，则DHAB，不妨设0,6D，则,H a b， 2 , 3Aab， 2 ,3Bab，,H a b，因为 3131 1 2 ADBH bb kk aa ，所以则 22 ab， 2 2 2 12 b e a ， 2e ，故选 D.
15、二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 答案：-5 解析：因为2,3a ，10,bm ，且ba ，所以210，5 . 14. 答案：2 3 解析：因为抛物线 2 20 xpy p上的点,1A m到焦点的距离为 4，所以14 2 P ，即：6P ， 2 12xy，所以 2 12m ，2 3m . 15. 答案：16 解析：因为x，y满足约束条件 13 13 x y ，且0,0 xaxby ab的最大值为 3，所以333ab， 即1ab，所以 2 1 319 16 abab ，当且仅当 13 ab ，即： 1 4 a ， 3 4 b 时取等号. 16. 答案： 解析：
16、由下图可得：( )f x的最小正周期为 2，正确；( )f x的图像关于点 7 ,0 6 对称，正确；离y轴 最近的对称轴为 1 3 x ，所以若f axf ax，则a的最小值为 1 3 ，错误；( )f x的图像与曲 线 125 0 6 yx x 只有 4 个交点，正确；故其中所有真命题的序号是. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个考题考 生必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 解析：（1） 因为数列 n S是等差数列， 且 5 9S ， 9 17S ， 设数列 n
17、 S的公差为d， 则 179 2 95 d ， 21 n Sn.当2n时， 1 2 nnn aSS ，当1n 时， 11 1aS，所以 2,2 1,1 n n a n ； （2）当2n时， 314 2 123252(21) n n Tn 341 22221 3 521 n n 32 22 2(121) 226 1 22 2 n n nn n ，当1n 时， 1 1T ，也满足上式，所以 22 26 n n Tn . 18. 解析： （1）由雷达图可知，这 20 个会员对售后服务满意的频率为 14 0.7 20 ； （2） （i）设只有 1 个会员对售后服务不满意的事件A，则 12 3 0.3
18、0.70.441P AC； （ii）因为3,0.7XB，所以3 0.72.1EX ，3 0.7 0.30.63DX ，0.8DX . 19. 解析： （1）取弧AB的中点H，连结BH，GH，则45ABFABH，所以BFBH，因为 / /BCGH，所以四边形BCGH为平行四边形，BFGC，又因为BC 平面ABF，所以BCBF， 所以BF 平面BCG. （2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB ，因为直线DF与平面AFB所成角为 45，则0,2,0AB ，1,1,2AG ，2,2,0FB ，2,0,2FD ，设平面BDF的法向量为 , ,nx y z ，由 0 0 n FB n
19、FD 可得： 0 0 xy xz ，令1x ，则1,1,1n ，同理可得：平面ABG的法向 量为2,0,1m ，则 315 cos, 535 m n m n m n ，故平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余 弦值为 15 5 . 20. 解析： （1）由题意： 22 22 21 1 2 ab ab ，解得： 2 4a ， 2 2b ，所以C的方程为： 22 1 42 yx ； （2）因为直线ykxm与C相交于A，B两点，且A，B关于直线l：10 xty 对称，所以kt， 联立 22 1 42 ykxm yx 可得 222 2240kxkmxm，设 11 ,A x y， 22 ,B xy，AB
20、的中点为 00 ,P xy，则 22 8 240km ， 0 2 2 km x k ， 00 2 2 2 m ykxm k ，因为 00 ,P xy在直线 l：10 xky 上，所以 22 2 10 22 kmkm kk ，即 2 mk k ，所以 2 2 4 80k k ，即： 2 2k ， 22 2 2 22 2 212 1 2 2 kk ABk k kk ，O到直线AB的距离 2 2 22 2 11 mk d kkk ， 2 2 24 110 23 AOB k SAB d k ，解得： 2 3k ，3k . 21. 解析： （1）因为 22162fa，所以9a ， 32 ( )69f x
21、xxx， 2 ( )343331fxxxxx，当1x 或3x 时，( )0g x ，当13x时，( )0g x ，所 以： 当1t 时，( )f x在,1t和3,上递增，在1,3上递减； 当13t 时，( )f x在,3t上递减，在3,上递增； 当3t 时，( )f x在, t 上递增； （2）因为( )f x在,1m m上的最大值为 f m，所以由（1）可得： 13 1 m f mf m ，解得： 933 1 6 m ，故m的取值范围为 933 1, 6 . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错 涂、漏涂均不给分，如果
22、多做，则按所做的第一题计分. 22. 解析： （1） 因为C的参数方程为 33cos 3sin x y （为参数） ， 所以C的直角坐标方程为 22 6xyx， 故C的极坐标方程为6cos； （2）将直线l： 1 2 3 2 xmt yt （t为参数）代入 22 6xyx，可得： 22 360tmtmm，则 2 2 3460mmm ，即： 2 63mm，因为 2 1 2 62PAPBt tmm，所以 2 62mm 或 2 263mm，故 2 6mm的取值范围为, 22,3 . 23. 解析： （1）( )353340f xxx，由绝对值的几何意义可得：19321x， 即： 19 7 3 x，不等式( )40f x 的解集为 19 ,7 3 ； （2） 因为 ( )353335338f xxxxx，1x 时可取到等号， 所以 2 2log8mm， 令 2 2logg mmm，则 g m为0,上的增函数，且 48g，所以04m，故m的取值范 围为0,4.
