1、2021 年陕西省渭南市临渭区高考数学第二次质检试卷（理科）年陕西省渭南市临渭区高考数学第二次质检试卷（理科） （二模）（二模） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x22x30，By|y2x+1，则 AB 等于（） A（1，+）B1，+）C（1，3D（1，+） 2若复数 z 满足（1i）z3+i（其中 i 为虚数单位），则|z|等于（） AB2 CD1 3已知 sin2，则 cos2（）（） ABCD 4已知 alog3，be0.1，cln，则 a，b，c 的大小关系是（） AabcBacbCcbaDcab 5在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，AC，
2、BAC30，AA1，则其外接球 的体积是（） ABCD 6已知向量，则向量 与向量 的夹 角为（） ABCD 7执行如图所示的程序框图，输出的结果是（） A66B36C55D45 8 设随机变量 X，Y 满足： Y3X1， XB （2， p）， 若 P（X1） ， 则 D （Y） （） A4B5C6D7 9下图网格纸中小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表 面积为（） AB CD 10如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为周牌算经作注时验证勾股定理的示意图， 现在提供 6 种不同的颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区 域颜色不同，则 A
3、，C 区域涂同色的概率为（） ABCD 11已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，直线 l 过焦点 F 与抛物线 C 分别交于 A，B 两点， 且直线 l 不与 x 轴垂直，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P（10，0），则AOB 的 面积为（） A4B4C8D8 12已知定义在 R 上的奇函数，满足 f（2x）+f（x）0，当 x（0，1时，f（x）log2x， 若函数 F（x）f（x）sinx，在区间1，m上有 10 个零点，则 m 的取值范围是 （） A3.5，4）B（3.5，4C（3，4D3，4） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
4、分，共分，共 20 分分. 13 14设函数 f（x）x3+ax2+（a+2）x若 f（x）的图象关于原点（0，0）对称，则曲线 y f（x）在点（1，3）处的切线方程为 15已知函数 f（x）cos2x+sinxcosx，给出下列结论： 函数 f（x）的最小正周期为； 函数 yf（x+）是偶函数； 函数 f（x）关于点（，0）（kZ）成中心对称； 函数 f（x）在上单调递减 其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号） 16已知 F1、F2分别是双曲线 C：y21 的左、右焦点，过点 F1且垂直于 x 轴的直线 与双曲线 C 相交于 A，B 两点，则ABF2的内切圆的半径为 三三、解答题解答
5、题：共共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答（一一）必考题必考题：共共 60 分分 17设an是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn（nN+），bn是等差数列已知 a1 1，a3a2+2，a4b3+b5，a5b4+2b6 （）求an和bn的通项公式； （）设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，BC平面 AA1C1C，D 是
6、AA1的中点，ACD 是边 长为 1 的等边三角形 （1）证明：CDB1D； （2）若 BC，求二面角 BC1DB1的大小 19针对国内天然气供应紧张问题，某市打响了节约能源的攻坚战某研究人员为了了解天 然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，数据资料见表 1： 表 1： 年份20152016201720182019 年份代码 x12345 天然气需求量 y/亿立方 米 2425262829 （）已知这 5 年的年度天然气需求量 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型拟合，求 y 与 x 的线性回归方程，并预测 2021 年该地区的天然气需求量； （）政府部门为节约能源出台了购
7、置新能源汽车补贴方案，根据续航里程的不同， 将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴 1 万元；B 类：每车补贴 2 万元；C 类：每车补 贴 3 万元 某出租车公司对该公司 120 辆新能源汽车的补贴情况进行了统计， 结果如表 2： 表 2： 类型A 类B 类C 类 车辆数目204060 为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽 车的补贴情况，在该出租公司的 120 辆车中抽取 6 辆车作为样本，再从 6 辆车中抽取 2 辆车进一步跟踪调查若抽取的两辆车享受的补贴金额之和记为，求的分布列及期望 参考公式： ， 20设中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 E 过
8、点（1，），且离心率为，F 为 E 的右 焦点，P 为 E 上一点，PFx 轴，F 的半径为 PF （1）求 E 和F 的方程； （2）若直线 l：yk（x）（k0）与F 交于 A，B 两点，与 E 交于 C，D 两点， 其中 A，C 在第一象限，是否存在 k 使|AC|BD|？若存在，求 l 的方程：若不存在，说 明理由 21已知曲线 f（x）axlnx2ax（a0）在点 P（1，f（1）处的切线与直线 xy10 垂直 （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若 1m2证明：f（x）x2mxlnx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分考生从分考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多
9、做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数）在以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 （）直接写出直线 l、曲线 C 的直角坐标方程； （）设曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2xa|+|x+|，（实数 a0） （）当 a1，求不等式 f（x）3 的解集； （）求证：f（x） 参考答案参考答案 一、选择题（共一、
10、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|x22x30，By|y2x+1，则 AB 等于（） A（1，+）B1，+）C（1，3D（1，+） 解：Ax|1x3，By|y1， AB1，+） 故选：B 2若复数 z 满足（1i）z3+i（其中 i 为虚数单位），则|z|等于（） AB2 CD1 解：由（1i）z3+i，得 z， |z|1+2i| 故选：A 3已知 sin2，则 cos2（）（） ABCD 解：， 由于：， 所以：， 故选：D 4已知 alog3，be0.1，cln，则 a，b，c 的大小关系是（） AabcBacbCcbaDcab 解：alog3（0，），be0.1e01，
11、cln（，1）， acb 故选：B 5在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，AC，BAC30，AA1，则其外接球 的体积是（） ABCD 解：直三棱柱 ABCA1B1C1中， 如图所示： 已知 AB2，AC，BAC30， 所以利用余弦定理：BC2AC2+AB22ACABcos30， 整理得， 解得 BC1， 所以 AB2AC2+BC2，故ABC 为直角三角形； 所以点 D 为ABC 的外接圆的圆心， 直三棱柱的外接球的球心在平面 AA1B1B 的中心位置， 由于 AA1， 所以 ROC， 故 故选：B 6已知向量，则向量 与向量 的夹 角为（） ABCD 解：，且， ， 又， 的夹角为 故
12、选：C 7执行如图所示的程序框图，输出的结果是（） A66B36C55D45 解：模拟程序的运行，可得 A1，n0 执行循环体，n1，M3，A3 不满足条件 n6，执行循环体，n2，M2，A6 不满足条件 n6，执行循环体，n3，M，A10 不满足条件 n6，执行循环体，n4，M，A15 不满足条件 n6，执行循环体，n5，M，A21 不满足条件 n6，执行循环体，n6，M，A28 不满足条件 n6，执行循环体，n7，M，A36 此时，满足条件 n6，退出循环，输出 A 的值为 36 故选：B 8 设随机变量 X，Y 满足： Y3X1， XB （2， p）， 若 P（X1） ， 则 D （Y）
13、 （） A4B5C6D7 解：随机变量 X，Y 满足：Y3X1，XB（2，p），P（X1）， P（X0）1P（X1）， 解得 p，XB（2，）， D（X）2， D（Y）9D（X）94 故选：A 9下图网格纸中小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表 面积为（） AB CD 解：由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体， 故所求表面积为， 故选：C 10如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为周牌算经作注时验证勾股定理的示意图， 现在提供 6 种不同的颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区 域颜色不同，则 A，C 区域
14、涂同色的概率为（） ABCD 解：根据题意，至少使用 3 种颜色由使用颜色数量，下面我们分三种情况： 使用 5 种颜色：选色，涂上去，共有720 种； 使用 4 种颜色：选色，先涂 D 有 4 种，下面，一、若 A、C 同色，则 B 和 E 各涂 剩余的两色，有 3种， 二、 若 A、 C 不同色， 则 B 和 E 必同色， 有种 共43+4360+360 720 种； 使用 3 种颜色：选色，先涂 D 有 3 种选择，D 用掉一种颜色，下面只有 A、C 同色， B、E 同色，有种，共3120 种， 共计 720+720+1201560 种， 其中 A，C 区域涂同色的有 360+120480
15、 种， 则 A，C 区域涂同色的概率为 故选：D 11已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，直线 l 过焦点 F 与抛物线 C 分别交于 A，B 两点， 且直线 l 不与 x 轴垂直，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P（10，0），则AOB 的 面积为（） A4B4C8D8 解：设直线 l：xty+2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 则由，可以得到 y28ty160， 所以 AB 的中点 M（4t2+2，4t），线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P（10，0），故 t 0 所以 AB 的中垂线的方程为：y（x4t22）+4t+8t+， 令 y0 可得 x8t2+2，解
16、方程 108t2+2，得 t1 此时|AB|816， O 到 AB 的距离为 d，所以8 故选：C 12已知定义在 R 上的奇函数，满足 f（2x）+f（x）0，当 x（0，1时，f（x）log2x， 若函数 F（x）f（x）sinx，在区间1，m上有 10 个零点，则 m 的取值范围是 （） A3.5，4）B（3.5，4C（3，4D3，4） 解：由 f（x）为奇函数，则 f（x）f（x）， 又 f（2x）+f（x）0，得：f（2x）f（x）， 即函数 f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为 2 的奇函数， 又 ysinx 的图象关于（k，0）对称， 其图象如图所示： 在区间1，m上有
17、 10 个零点，则实数 m 的取值范围为：3.5，4）， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13+ 解：（x3+lnx）（+lne）（+ln1）+ 故答案为：+ 14设函数 f（x）x3+ax2+（a+2）x若 f（x）的图象关于原点（0，0）对称，则曲线 y f（x）在点（1，3）处的切线方程为5xy20 解：由题函数 f（x）x3+ax2+（a+2）xf（x）的图象关于原点（0，0）对称， 知 f（x）为奇函数，可得 a0，f（x）x3+2xf（x）3x2+2， f（1）5k所以切线方程为 5xy20 故答案为
18、：5xy20 15已知函数 f（x）cos2x+sinxcosx，给出下列结论： 函数 f（x）的最小正周期为； 函数 yf（x+）是偶函数； 函数 f（x）关于点（，0）（kZ）成中心对称； 函数 f（x）在上单调递减 其中正确的结论是.（写出所有正确结论的序号） 解 ： 函 数 f （ x ） cos2x+sinxcosx ， 对于，由三角函数的周期公式可得 f（x）的最小正周期为，故选项正确； 对于，函数 yf（x+）是偶函数， 故选项正确； 对于，由于当时， ， 故函数 f（x）关于点（，0）（kZ）成中心对称，故选项正确； 对于，在区间上，故函数 f（x）在区间 上不是单调函数，故选
19、项错误 故答案为： 16已知 F1、F2分别是双曲线 C：y21 的左、右焦点，过点 F1且垂直于 x 轴的直线 与双曲线 C 相交于 A，B 两点，则ABF2的内切圆的半径为 解： 由双曲线的方程可得 a22， b21， 所以可得左焦点 F1（， 0） ， 右焦点 F2（， 0）， 因为过点 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线 C 相交于 A，B， 所以 xAxB，yAyB， 即 A（，），B（，）， 所以 S|AB|， |AF2|BF2|， 设内切圆的半径为 r，则（|AB|+|AF2|+|BF2|）rS， 可得（+2）r，所以可得 r， 故答案为： 三三、解答题解答题：共共 70 分解答
20、应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答（一一）必考题必考题：共共 60 分分 17设an是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn（nN+），bn是等差数列已知 a1 1，a3a2+2，a4b3+b5，a5b4+2b6 （）求an和bn的通项公式； （）设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn 解：（）an是等比数列，公比 q 大于 0，且 a11，a3a2+2， q2q20， 解得：q2
21、（q1 舍去）， an2n 1； 又bn是等差数列，设其公差为 d，由 a4b3+b52b4238，得 b44， 又 a5b4+2b64+2（4+2d）2416，解得 d1， bn的通项公式 bnb4+（n4）1n； （）设 cnanbn，则 cnn2n 1， 则 Tnc1+c2+cn1+22+322+n2n 1， 2Tn12+222+（n1）2n 1+n2n， 得：Tn1+2+22+2n 1n2n n2n（1n）2n1， Tn（n1）2n+1 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，BC平面 AA1C1C，D 是 AA1的中点，ACD 是边 长为 1 的等边三角形 （1）证明：CDB1D；
22、 （2）若 BC，求二面角 BC1DB1的大小 解：（1）证明：因为ACD 是边长为 1 的等边三角形，所以ADC60，DA1C1 120 因为 D 是 AA1的中点，所以 ADA1DA1C11，即A1C1D 是等腰三角形， 则A1DC130，故CDC190，即 CDC1D， 因为 BC平面 AA1C1C，BCB1C1，所以 B1C1平面 AA1C1C， 因为 CD平面 AA1C1C，所以 B1C1CD， 因为 B1C1C1DC1，B1C1平面 B1C1D，C1D平面 B1C1D，所以 CD平面 B1C1D， 因为 B1D平面 B1C1D，所以 CDB1D； （2）连接 CA1，则 ACCA1
23、，以 C 为原点，的方向分别为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Cxyz， 则 ， 故， 设平面 BDC1的法向量为， 则，令，得， 由（1）知，平面 B1C1D 的一个法向量为， 故， 所以二面角 BC1DB1的大小为 30 19针对国内天然气供应紧张问题，某市打响了节约能源的攻坚战某研究人员为了了解天 然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，数据资料见表 1： 表 1： 年份20152016201720182019 年份代码 x12345 天然气需求量 y/亿立方 米 2425262829 （）已知这 5 年的年度天然气需求量 y 与 x 之间的关系可
24、用线性回归模型拟合，求 y 与 x 的线性回归方程，并预测 2021 年该地区的天然气需求量； （）政府部门为节约能源出台了购置新能源汽车补贴方案，根据续航里程的不同， 将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴 1 万元；B 类：每车补贴 2 万元；C 类：每车补 贴 3 万元 某出租车公司对该公司 120 辆新能源汽车的补贴情况进行了统计， 结果如表 2： 表 2： 类型A 类B 类C 类 车辆数目204060 为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽 车的补贴情况，在该出租公司的 120 辆车中抽取 6 辆车作为样本，再从 6 辆车中抽取 2 辆车进一步跟
25、踪调查若抽取的两辆车享受的补贴金额之和记为，求的分布列及期望 参考公式： ， 解：（）由题意可知，26.4， 1.3， 26.41.3322.5， ，所以当 x7 时， 31.6， 2021 年该地区的天然气需求量大约为 31.6 亿立方米 （）由题意可知抽样比为， 所以 A 类车抽取 201 辆， B 类车抽取 402 辆， C 类车抽取 603 辆， 故的可能取值为 3，4，5，6， P（3）； P（4）； P（5）； P（6）； 所以的分布列为： 3456 P E（）3 20设中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 E 过点（1，），且离心率为，F 为 E 的右 焦点，P 为 E 上一点，P
26、Fx 轴，F 的半径为 PF （1）求 E 和F 的方程； （2）若直线 l：yk（x）（k0）与F 交于 A，B 两点，与 E 交于 C，D 两点， 其中 A，C 在第一象限，是否存在 k 使|AC|BD|？若存在，求 l 的方程：若不存在，说 明理由 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为， 椭圆的离心率 e， a2b2+c2，a2b， 将点（1，）代入椭圆的方程得： ， 联立 a2b 解得：， 椭圆 E 的方程为：， F（）， PFx 轴，P（）， F 的方程为：； （2）由 A、B 在圆上得|AF|BF|PF|r， 设 C（x1，y1），D（x2，y2） |CF| 1 同理：， 若|AC
27、|BD|，则|AC|+|BC|BD|+|BC|，即|AB|CD|1， 4， 由得， 41 得 12k212k2+3，无解，故不存在 21已知曲线 f（x）axlnx2ax（a0）在点 P（1，f（1）处的切线与直线 xy10 垂直 （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若 1m2证明：f（x）x2mxlnx 解：（1）f（x）axlnx2ax 的导数为 f（x）a（1+lnx）2a， 可得点 P（1，f（1）处的切线向量为 a2aa， 由切线与直线 xy10 垂直，可得a1，即 a1， 可得 f（x）xlnx2x，导数为 f（x）lnx1， 当 0 xe 时，f（x）递减；当 xe 时，f（
28、x）递增， 可得 xe 处 f（x）取得极小值，且为最小值 f（e）e； （2）证明：要证 f（x）x2mxlnx， 即证 xlnx2xx2mxlnx， 即为 lnxx2m，x0， 设 g（x）lnxx，g（x）1，当 x1 时，g（x）0，g（x）递减，0 x1 时，g（x）0，g（x）递增， 可得 g（x）在 x1 处取得最大值1， 设 h（x）2m，h（x），当 xe 时，g（x）0，g（x）递增， 0 xe 时，g（x）0，g（x）递减，可得 h（x）在 xe 处取得最小值 2m， 由 1m2，可得 2m1， 可得 f（x）x2mxlnx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分考生
29、从分考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数）在以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 （）直接写出直线 l、曲线 C 的直角坐标方程； （）设曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围 解：（I）（t 为参数），xy3，即 xy+30直线 l 的直角坐标方 程是 xy+30 ，2，即2+22cos23 曲线 C 的直角坐标方程为 3x2+
30、y23，即 （II）曲线 C 的参数方程为（为参数）， 则曲线 C 上的点到直线 l 的距离 d 当 cos（）1 时，d 取得最大值， 当 cos（）1 时，d 取得最小值 d 的取值是， 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2xa|+|x+|，（实数 a0） （）当 a1，求不等式 f（x）3 的解集； （）求证：f（x） 解：（）原不等式等价于|2x1|+|x+1|3， 当时，可得 2x1+x+13，得 x1；） 当时，可得2x+1+x+13，得 x1 不成立；） 当时，可得2x+1x13，得 x1； 综上所述，原不等式的解集为x|x1 或 x1 （）法一：f（x）|2xa|x+|， 当； 当， 当， 所以，当且仅当时等号成立， 法二：， 当且仅当时等号成， 又因为，所以当时，f（x）取得最小值， ，当且仅当时等号成立
