1、汉中市汉中市 20212021 届高三年级教学质量第二次检测考试届高三年级教学质量第二次检测考试 文科数学试题文科数学试题 本试卷共本试卷共 2323 小题，共小题，共 150150 分，共分，共 4 4 页页. .考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回. . 注意事项：注意事项： 1.答题前， 考生先将自己的姓名、 准考证号码填写清楚， 将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试卷上答题无
2、效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第第卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分. . 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知集合 2 |30Ax xx， 2 |21 x Bx ，那么集合AB （ ） AB3,)C2,3（）D.(0,2） 2.在复平面内，复数 12 ,z z对应的点关于实轴对称， 1 12 ,zi
3、 则 1 2 z z（ ） A.-5B.5C. 1-4iD. -1+4i 3.已知，那么cos2（） A 7 9 B 2 9 C 2 9 D 7 9 4. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数。当基本传染数高于 1 时，每 个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传 染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散。广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数。假设 某种传染病的基本传染数为 0 R，1 个感染者在每个传染期会接触到 N 个新人，这 N 个人中有 V 个人接种过疫苗(V N 称为接种率)，那么 1 个感染者新的传染人数为 0 () R N
4、V N 已知新冠病 毒在某地的基本传染数 0 5R ， 为了使 1 个感染者新的传染人数不超过 1， 该地疫苗的接种率 至少为（） A50%B60%C70%D80% 5.直线:0l xya，圆 C： 22 2xy，则“2a ”是“l与圆C相切”的（） A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 6.已知 2 1 log 5 a ， 0.2 2b ， 1.2 1 2 c ，则（） AabcBbacCcabDbca 7.如图，网格纸上每个小正方形的边长均为 1，粗线画的是某几何体的三视图，则此几何体的表 面积为（） A4 2 B4 4 2 C8 4 2 D8 6 2 8.在直
5、三棱柱 111 ABCABC中， 1 56,8,10AAABBCAC， ， 则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（） A9B.16C.24D.25 9. 已知函数( )sincos(0)f xxx在区间- 2 3 ，上是增函数， 则的值可以为 （） A. 3 4 B. 4 5 C.1D.2 10. 已知数列 n a的前 n 项和为 n S，若323 nn San，则 2021 a() A 2021 17 22 B 2021 36C 2021 21D 2021 21 11.已知双曲线 22 22 :1,0,0 xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 2 F作倾斜角为 的直
6、线l交双曲线C的右支于,A B两点，其中点A在第一象限，且 1 cos 4 若 1 ABAF，则双曲线C的离心率为（） A4B15C 2D 3 2 12. 定义域为R的函数 2 log44 ( ) 14 xx f x x ， ， ，若关于 x 的方程 2 0fxmf xn 恰有 5 个不同的实数解 x1，x2，x3，x4，x5，则 12345 f xxxxx() A2B3C4D5 第第卷（非选择题卷（非选择题共共 9090 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.已知向量2,1a ，(1, 1)b
7、，若()abb ，则实数 14.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C 3 ，b2，c 6，则角 B_. 15.已知F为抛物线C： 2 4yx的焦点， 过F作两条互相垂直的直线 1 l，2l， 直线 1 l与C交于A、 B两点，直线 2 l与C交于D、E两点，则 11 | ABDE 的值为. 16. 已知函数),1k, x x4 xln k 2 k)x(f 2 ,曲线 yf x上总存在两点 11 ,M x y， 22 ,N xy，使曲线 yf x在 M，N 两点处的切线互相平行，则 12 xx 的取值范围为_. 三三、解答题解答题：共共 7070 分分. . 解答题写出
8、文字说明解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤. . 第第 17172121 题是必考题题是必考题，每每 个考生都必须作答个考生都必须作答. . 第第 2222、2323 题是选考题，考生根据要求作答题是选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17.（本小题满分 12 分）已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 5 9a ， 5 25S . (1) 求数列 n a的通项公式 n a； 1 2, 2 n nnnn babnT 若求数列的前 项和 . 18.（本小题满分 12 分）在四棱台 1111 ABCDABC D中，
9、底面ABCD是边长为 2 的菱形， 111 1AAAB，120BAD， 1 AA 平面ABCD. (1)E是棱AD的中点，求证： 1 /B E平面 11 CDDC； (2)求四棱锥 11 -ABB AC的体积. 19.（本小题满分 12 分）去年我校有 30 名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序 号之间的统计图如下： (1) 下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出 a，b 的值，并估计这些学生面试分 数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ； D1 D E B C A C1 B1 A1 面试分数0,100)100,200)200,300)300,400) 人数
10、15a41 频率 1 2 b 2 15 1 30 (2) 该大学的招生办从 2530 号这 6 位学生中随机选择两人进行访谈， 求选择的两人的面试分 数均在 200 分以上的概率. 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆E： 22 22 1,0 xy ab ab 的短轴长为 2，离心率为 3 2 ，左顶点为A （1）求椭圆E的标准方程； （2）若不与x轴平行的直线l交椭圆E于,P Q两点，试问：在x轴上是否存在定点M，当直 线l过点M时，恒有APAQ，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分 12 分）已知函数( )(ln1) x f xekx. （1）设1x 是
11、 ( )f x的极值点，求k的值，并求( )f x的单调区间； （2）证明：当0ek时，( )0f x . （二（二）选考题选考题：共共 1010 分分. . 考生从考生从 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分. . 作答时用作答时用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑. . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 1cos 3sin x y (为参数)，直线l过原 点O，倾斜角为 0 ，以坐标原点为
12、极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）当 0 , 6 3 时，设直线l与曲线C相交于M，N两点，求OMON的取值范围. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 413f xxx . （1）解不等式 1fx； （2）方程 20f xkx解集非空，求k的取值范围. 汉中市汉中市 20212021 届高三年级教学质量第二次检测考试届高三年级教学质量第二次检测考试 文科数学参考答案文科数学参考答案 一、选择题： 题号123456789101112 答案CBDDBACBACDC 二、填空题： 13.-214. 4 15. 1 4 1
13、6. 4 2, 三、解答题： 17 解： 设 n a的公差为d，则由题意得 1 1 49 5 4 525 2 ad ad ，解得： 1 1,2ad.4 分 (1) n a的通项公式为 1 112121 n aandnn ， 即21 n an.6 分 （2）由知 n a的前n项和为 12 121 22 n n n aann Sn 8 分 又数列 1 2 n 的前 n 项和为： 11 1 22 1 1 1 2 1 2 n n 11 分 故 2 1 1. 2 n n Tn 12 分 18 解：（1）证明：连 1 DC，由 1 BC/AD，E是棱AD的中点，得， 11 BC /DE且 11 BC=DE
14、 故四边形 11 B EDC为平行四边形.所以 11 BE/C D， 3 分 又 1 C D 平面 11 CDDC， 1 B E 平面 11 CDDC， 所以 1 /B E平面 11 CDDC5 分 （2）取AB中点F，连接 AC，CF，因为底面ABCD是菱形，120BAD， 所以CFAB，又 1 AA 面ABCD， 1 CFAA ， 1 AAABA 所以 11 CFABB A 面，即CF为四棱锥 11 -ABB AC的高，且CF= 3 10 分 而 1 1 (12) 13 22 S 直角梯形AA B B ，11 分 所以四棱锥 11 -ABB AC的体积 133 V3= 322 12 分 1
15、9 解：(1) 面试分数在100,200)内的学生共有 30154110 (名)， 故 a10，b10 30 1 3 2 分 估计这些学生面试分数的平均值为 501 2150 1 3250 2 15350 1 30120(分). 6 分 (2) 从 2530 号学生中任选两人的选择方法有(25,26)，(25,27)，(25,28)，(25,29)，(25,30)， (26,27)，(26,28)，(26,29)，(26,30)，(27,28)，(27,29)，(27,30)，(28,29)，(28,30)，(29,30) 共 15 种，9 分 观察题图易知 25 号，26 号，27 号学生的
16、面试分数均在 200 分以上， 10 分 所以选择的两人的面试分数均在 200 分以上的选择方法有(25,26)，(25,27)，(26,27)， 共 3 种，11 分 故选择的两人的面试分数均在 200 分以上的概率为 3 15 即1 5 12 分 20 解：（1）由题22,1bb，又由 2222 222 3 1, 2 ccabb e aaaa 得 2 2 2,1. 4 x ay椭圆方程为：4 分 （2）假设存在x轴上的点,0M t满足题意，则2,2t ，由（1）2,0A 当l斜率不存在时，易得 22 , 1,1, 44 tt P tQ t 6 分 由APAQ得， 22 ,0,2, 12,1
17、0 44 tt APAQAP AQtt 即 解得： 66 2,0 55 ttM 舍去 ，即点的坐标为8 分 F D1 E B C A C1 B1 A1 D 当l斜率存在时，由无妨设直线 1122 6 :, 5 l xmyP x yQ xy 由 22 2 2 6 12645 40 525 1 4 xmy mymy x y ， 1212 22 1264 ,. 54254 m yyy y mm 9 分 112212121212 66 2,2,(2)222 55 AP AQxyxyxxy ymymyy y 222 2 121212 2 644816464 416 0 525254 mmm m y ym
18、 yyy y m ,APAQAPAQ 即 11 分 综上：在x轴上存在定点 6 ,0 5 M ，当直线l过点M时，恒有APAQ 12 分 （2）解法二：假设存在点,0M t满足条件，由题可设直线:.l xmyt 1122 ,设P x yQ xy由 222 2 2 + 4240 1 4 xmy t mymtyt x y ， 2 1212 22 24 ,. 44 mtt yyy y mm 7 分 112212121212 2,2,(2)222AP AQxyxyxxy ymytmyty y 2 2 121212 220m y ytm yyty y9 分 即： 2 22222 2 422244 0 4
19、 mtm t ttmt m 2 6 化简得： 516120，解得2舍去 5 tttt 11 分 所以：在x轴上存在定点 6 ,0 5 M ，当直线l过点M时，恒有APAQ12 分 21 解：（1）由题意 ( )f x的定义域为(0,)，且( )ex k fx x .1 分 由题意可知(1)0 f ，即e0k， 所以e0k ，从而( ) fx是增函数. 2 分 又(1)0 f ，所以当(0,1)x时，( )0fx；当(1,)x时，( )0fx. 4 分 故 ( )f x的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,). 5 分 （2）证明：当0ek时， e ( )ln1 x f xkx k ，
20、所以 ee ln1ln1 e xx xx k . 令 e ( )ln1 e x g xx，则 e1 ( ) e x g x x ， 9 分 易知( ) g x在(0,)上单调递增，且(1)0 g . 所以当(0,1)x时，( )0g x ；当(1,)x时，( )0g x .11 分 从而 min ( )(1)0g xg，即( )0g x ，所以，当0ek时，( )0f x .12 分 22.解：（1）直线l极坐标方程： 0( )R 2 分 曲线C的参数方程为 1cos 3sin x y (为参数)，消去，得 2 2 131xy， 即 22 22 330 xyxy，将 cosx，siny，代入上
21、式得 曲线C的极坐标方程： 2 2 cos2 3 sin305 分 （2）将 0 代入曲线C的极坐标方程，得 2 00 2cos2 3 sin30. 设 10 ,M ， 20 ,N ，则 1200 2cos2 3sin，7 分 12000 2cos2 3sin4sin 6 OMON ， 0 , 6 3 ， 0 , 63 2 ， 0 4sin(2 3,4) 6 . OMON的取值范围为2 3,4.10 分 23. 解： 不等式 1fx，即1431xx 所以 1 221 x x 或 14 01 x 或 4 281 x x 3 分 解得 1 1 2 x或14x或 9 4 2 x 所以不等式 1fx的解集为： 19 22 xx5 分 （2）方程 20f xkx解集非空等价于114kxxx 有解， 即函数1ykx和函数14yxx 的图像有交点， 521 14314 254 xx yxxx xx 6 分 画出14yxx 的图像，直线1ykx恒过点0,1P, 即直线1ykx绕点P旋转时，与函数图象14yxx 有交点时斜率的取值范围， 如图，当直线1ykx过点B时刚好满足条件，当旋转到斜率为2，刚好不满足条件, 1 2 BP kk的取值范围为 1 , 2, 2 10 分
