1、2021 年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（理科）年河南省洛阳市高考数学第二次考试试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Mx|4x2，Nx|0，则 MN（） Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x3 2若复数 z 满足（3+4i）z|43i|，则 z 的虚部为（） AB4CD4 3已知平面，直线 m，n 满足 m，n，则“m”是“mn”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4设 x，y 满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（） A0，10B1，10C1，17D0，17 5已知函数 f（x）是定义在
2、R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）lnx+x，则 af（2）， bf（log29），cf（）的大小关系为（） AabcBacbCbcaDbac 6（xy）8的展开式中，x2y6项的系数是（） A28B28C56D56 7已知双曲线 C：的焦点 F 到渐近线的距离与顶点 A 到渐近线 的距离之比为 3：1，则双曲线 C 的渐近线方程为（） ABCD 8已知函数 f（x）sinx+cosx（0）的最小正周期为，则该函数的图象（） A关于点（，0）对称B关于直线 x对称 C关于点（，0）对称D关于直线 x对称 9已知点 A 是抛物线 C：x22py（p0）上一点，O 为坐标原点，若以点 M（0，
3、8）为圆 心，|OA|的长为半径的圆交抛物线 C 于 A，B 两点，且ABO 为等边三角形，则 p 的值 是（） AB2C6D 10易系辞上有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源， 其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背 中如图，白圈为阳数，黑点为阴数若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少 有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为（） ABCD 11 四棱锥 PABCD 的三视图如图所示， 四棱锥 PABCD 的五个顶点都在一个球面上， E、 F 分别是棱 AB、CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为，则该球
4、表面积为 （） A12B24C36D48 12 已知ABC 的三边分别为 a， b， c， 若满足 a2+b2+2c28， 则ABC 面积的最大值为 （） ABCD 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）分，将答案填在答题卡上） 13函数 f（x）cos2x2cosx 的最大值为 14 若非零向量 f （x） 满足| | |， 且， 则 与 的夹角为 15若曲线 ylnx 在点（1，0）的切线与曲线 g（x）x2+mx+也相切，则 m 16在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q 分别是 AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给 出以
5、下四个结论：AC1MN； AC1平面 MNPQ； AC1与 PM 相交； NC1 与 PM 异面其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，首项 a11，且 S1，S2，S4成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）若数列an是单调数列，数列bn满足 log2bn，记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn3 18如图，在平面五边形 ABCDE 中，ABCE，且 AE2，AEC60，CDED， cosEDC，将C
6、DE 沿 CE 折起，使点 D 到 P 的位置，且 AP，得到如图 2 所 示的四棱锥 PABCE （1）求证：AP平面 ABCE； （2）求平面 PAB 与平面 PCE 所成锐二面角的大小 19 某厂生产不同规格的一种产品， 根据检测标准， 其合格产品的质量 y （g） 与尺寸 x （mm） 之间近似满足关系式 ycxb（b，c 为大于 0 的常数）按照某项指标测定，当产品质量 与尺寸的比在区间（，）（0.302，0.388）内时为优等品现随机抽取 6 件合格产 品，测得数据如下： 尺寸 x （mm）384858687888 质量 y（g）16.818.820.722.42425.5 质量与
7、尺寸 的比 0.4420.3920.3570.3290.3080.290 （1）现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记为取到优等品的件数，试求随机变量 的期望； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表： （lnxilnyi）（lnxi） （lnyi）（lnxi）2 75.324.618.3101.4 （）根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程； （）已知优等品的收益 z（单位：千元）与 x，y 的关系为 z2y0.32x，则当优等品 的尺寸 x 为何值时，收益 z 的预报值最大？ 附：对于样本（vi，ui）（i1，2，n），其回归直线 ubv+a 的斜率和截距的最小
8、 二乘估计公式分别为： ， ，e 2.7182 20已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，点 E，F 分别为其下顶点和右 焦点，坐标原点为 O，且EOF 的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在直线 l，使得 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且点 F 恰为EAB 的垂心？ 若存在，求直线 l 的方程，若不存在，请说明理由 21已知函数 f（x）+ （1）若 x1 时，f（x），求实数 m 的取值范围； （2）求证：lnk+1n（k+1）（nN*） 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计题中任选一题作答如果多
9、做，则按所做的第题计 分分作答时作答时，用用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选修选修 4-4：极坐极坐 标与参数方程标与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数）经 过伸缩变换：后，曲线 C1变为曲线 C2 （1）求曲线 C1和曲线 C2的普通方程； （2）已知点 P 是曲线 C2上的任意一点，曲线 C1与 x 轴和 y 轴正半轴的交点分别为 A， B，试求PAB 面积的最大值和此时点 P 的坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|x+a| （1）当 a1
10、时，画出 yf（x）的图象； （2）若关于 x 的不等式 f（x）3a 有解，求 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Mx|4x2，Nx|0，则 MN（） Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x3 解：Mx|4x2，Nx|0 x|2x3， MNx|4x3， 故选：A 2若复数 z 满足（3+4i）z|43i|，则 z 的虚部为（） AB4CD4 解：由（3+4i）z|43i|，得 z， z 的虚部为 故选：C 3已知平面，直线 m，n 满足 m，n，则“m”是“mn”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D
11、既不充分也不必要条件 解：因为 m，n，当 m时，m 与 n 不一定平行，即充分性不成立； 当 mn 时，满足线面平行的判定定理，m成立，即必要性成立； 所以“m”是“mn”的必要不充分条件 故选：B 4设 x，y 满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（） A0，10B1，10C1，17D0，17 解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（3，1）， （x+1）2+y2的几何意义为可行域内动点与定点 P（1，0）距离的平方， 由图可知，可行域内动点与定点 P（1，0）距离的最小值且为 1， 最大值为|PA|， （x+1）2+y2的取值范围是1，17 故选：C 5已知函数 f（x）是定义
12、在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）lnx+x，则 af（2）， bf（log29），cf（）的大小关系为（） AabcBacbCbcaDbac 解：根据题意，函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，则 af（2）f（2）f（） ， 当 x0 时，f（x）lnx+x，其导数为 f（x）+1，则 f（x）在（0，+）上为增函 数， 又由 03log28log29，则 f（）f（2）f（log29）， 故有 bac， 故选：D 6（xy）8的展开式中，x2y6项的系数是（） A28B28C56D56 解：（xy）8的展开式中，通项公式为 Tr+1（1）rx6 ryr， 令 r6，可得 x2y
13、6项的系数是256， 故选：C 7已知双曲线 C：的焦点 F 到渐近线的距离与顶点 A 到渐近线 的距离之比为 3：1，则双曲线 C 的渐近线方程为（） ABCD 解：设顶点 A（a，0）焦点 F（c，0），其中一条渐近线的方程为：bx+ay0， 设 A 到渐近线的距离为 d， 焦点 F 到渐近线的距离为 db， 由题意可得 b：3：1 即3，所以 9a2c2a2+b2，可得 b28a2， 所以渐近线的方程为：yxx， 故选：A 8已知函数 f（x）sinx+cosx（0）的最小正周期为，则该函数的图象（） A关于点（，0）对称B关于直线 x对称 C关于点（，0）对称D关于直线 x对称 解：函
14、数 f（x）sinx+cosxsin（x+）（0）的最小正周期为， 2， f（x）sin（2x+） 令 x，求得 f（x）sin0，且 f（x）不是最值，故 A、D 错误； 令 x，求得 f（x），为最大值，故函数 f（x）的图象关于直线 x对称， 故 B 正确，C 错误； 故选：B 9已知点 A 是抛物线 C：x22py（p0）上一点，O 为坐标原点，若以点 M（0，8）为圆 心，|OA|的长为半径的圆交抛物线 C 于 A，B 两点，且ABO 为等边三角形，则 p 的值 是（） AB2C6D 解：由题意，|MA|OA|，A 的纵坐标为 4， ABO 为等边三角形， A 的横坐标为， 点 A
15、是抛物线 C：x22py（p0）上一点， ， p 故选：D 10易系辞上有“河出图，洛出书“之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源， 其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背 中如图，白圈为阳数，黑点为阴数若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少 有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为（） ABCD 解：河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背 中如图， 白圈为阳数，黑点为阴数 若从这 10 个数中任取 3 个数，基本事件总数 n120， 这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列包含的基本事件有 10
16、 个，分别为： （1，3，5），（3，5，7），（5，7，9），（1，5，9），（1，2，3），（1，4，7）， （3，4，5），（3，6，9），（5，6，7），（7，8，9）， 则这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为 p 故选：C 11 四棱锥 PABCD 的三视图如图所示， 四棱锥 PABCD 的五个顶点都在一个球面上， E、 F 分别是棱 AB、CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为 （） A12B24C36D48 解： 将三视图还原为直观图如右图， 可得四棱锥 PABCD 的五个顶点位于同一个正方体 的顶点处， 且与该正方体内接于同一个球且
17、该正方体的棱长为 a 设外接球的球心为 O，则 O 也是正方体的中心，设 EF 中点为 G，连接 OG，OA，AG 根据题意，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2，即正方体面对角线长也是 2， 得 AGa，所以正方体棱长 a2 RtOGA 中，OGa1，AO， 即外接球半径 R，得外接球表面积为 4R212 故选：A 12 已知ABC 的三边分别为 a， b， c， 若满足 a2+b2+2c28， 则ABC 面积的最大值为 （） ABCD 解：由三角形面积公式可得：SabsinC， 可得：S2a2b2（1cos2C）a2b21（）2， a2+b2+2c28， a2+b282c2，可得：a2+
18、b282c22ab，解得：ab4c2，当且仅当 ab 时等号 成立， S2a2b21（）2 a2b21（）2 a2b2 （4c2）2 +c2 （c2）2，当且仅当 ab 时等号成立， 当 c2时，+c2取得最大值，S 的最大值为 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）分，将答案填在答题卡上） 13函数 f（x）cos2x2cosx 的最大值为3 解：函数 f（x）cos2x2cosx2cos2x2cosx1， 当 cosx1 时，函数 f（x）取得最大值， ， 故答案为：3 14 若非零向量 f （x） 满足| | |， 且， 则 与
19、的夹角为 解 ： 根 据 条 件 ， ； ； ； 与 的夹角为 故答案为： 15若曲线 ylnx 在点（1，0）的切线与曲线 g（x）x2+mx+也相切，则 m2 或 4 解：ylnx 的导数为 y， 可得曲线 ylnx 在点（1，0）的切线斜率为 1，切线的方程为 yx1， 联立，可得 x2+（2m2）x+90， 由切线与曲线 g（x）x2+mx+也相切， 可得（2m2）2490， 解得 m4 或2 故答案为：2 或 4 16在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q 分别是 AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给 出以下四个结论：AC1MN； AC1平面 MNPQ； AC1与
20、PM 相交； NC1 与 PM 异面其中正确结论的序号是 解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1DAD1， CD面 AA1D1D，AD1面 AA1D1D， CDAD1， AD1面 A1CD，A1CAD1 M，N 分别是 AA1，A1D1的中点，AD1MN，即 A1CMN，故正确； 由于 M、N、P、Q 分别是 AB、AA1、C1D1、CC1的中点， 则 AC1与 PM 相交，故不正确，正确； N面 ACC1A1，而 M，P，C面 ACC1A1，NC 与 PM 异面，故正确； 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程
21、或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，首项 a11，且 S1，S2，S4成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）若数列an是单调数列，数列bn满足 log2bn，记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn3 【解答】（1）解：设等差数列an的公差为 d， a11，且 S1，S2，S4成等比数列， S22S1S4，即（2+d）24+，即 d22d0，解得：d0 或 2， an1 或 an1+2（n1）2n1，即 an1 或 an2n1； （2）证明：数列an是单调数列， an2n1，Snn2， 又 log2bnn， bn2 n
22、，anbn ， Tn+， 又Tn+， 两式相减得：Tn+2（+）+， 整理得：Tn3， Tn3 18如图，在平面五边形 ABCDE 中，ABCE，且 AE2，AEC60，CDED， cosEDC，将CDE 沿 CE 折起，使点 D 到 P 的位置，且 AP，得到如图 2 所 示的四棱锥 PABCE （1）求证：AP平面 ABCE； （2）求平面 PAB 与平面 PCE 所成锐二面角的大小 【解答】（1）证明：在CDE 中，因为 CDED，cosEDC， 由余弦定理可得， 连结 AC，因为 AECE2，AEC60，所以 AC2， 又因为 AP，故在PAE 中，AP2+AE2PE2， 所以 APA
23、E，同理可证 APAC，因为 ACAEA，AE，AC平面 ABCE， 所以 AP平面 ABCE； （2）解：以 A 为坐标原点，AB，AP 所在直线为 x 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所 示， 则， 平面 PAB 的一个法向量为， 设平面 PCE 的法向量为， 因为， 所以，即， 令 y1，则 z1，故， 所以， 故平面 PAB 与平面 PCE 所成锐二面角的大小为 45 19 某厂生产不同规格的一种产品， 根据检测标准， 其合格产品的质量 y （g） 与尺寸 x （mm） 之间近似满足关系式 ycxb（b，c 为大于 0 的常数）按照某项指标测定，当产品质量 与尺寸的比在区间（，）（0.
24、302，0.388）内时为优等品现随机抽取 6 件合格产 品，测得数据如下： 尺寸 x （mm）384858687888 质量 y（g）16.818.820.722.42425.5 质量与尺寸0.4420.3920.3570.3290.3080.290 的比 （1）现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记为取到优等品的件数，试求随机变量 的期望； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表： （lnxilnyi）（lnxi）（lnyi）（lnxi）2 75.324.618.3101.4 （）根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程； （）已知优等品的收益 z（单位：千元）与
25、 x，y 的关系为 z2y0.32x，则当优等品 的尺寸 x 为何值时，收益 z 的预报值最大？ 附：对于样本（vi，ui）（i1，2，n），其回归直线 ubv+a 的斜率和截距的最小 二乘估计公式分别为： ， ，e 2.7182 解：（1）由表可知，抽取的 6 件合格产品中有 3 件优等品， 的所有可能取值为 0，1，2，3， P（0），P（1），P（2），P（3） ， 随机变量的期望为 E（）0+1+2+3 （2）（）ycxb，lnylnc+blnx， （lnxi）24.6，（lnyi）18.3， （lnxi）4.1，（lnyi）3.05， 0.5， 3.050.54.11， lny1+0
26、.5lnx， 故 y 关于 x 的回归方程为 ex0.5 （）由（i）知， ex0.5， 2 0.32x2ex0.50.32x0.32（）2+， 当，即 x72 时， 取得最大值， 故当优等品的尺寸 x 为 72mm 时，收益 z 的预报值最大 20已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，点 E，F 分别为其下顶点和右 焦点，坐标原点为 O，且EOF 的面积为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在直线 l，使得 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且点 F 恰为EAB 的垂心？ 若存在，求直线 l 的方程，若不存在，请说明理由 解：（1）由题可知， 解得， 所以椭圆 C 的方程为+1 （
27、2）假设满足条件的直线 l 存在，由 E（0，2），F（，0）， 所以 kEF， 因为点 F 为EAB 的垂心， 所以 ABEF， 所以 kAB， 设直线 l 的方程为 yx+t，代入+1， 得 7x26tx+6（t24）0，（*）， （6t）2476（t24）96t2+6720，即t， 记 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 由 AFBE，得1， 所以 y1y2+2y1+x1x2x20， 将 y1x1+t，y2x2+t 代入上式， 得 3x1x2（t+2）（x1+x2）+（2t2+4t）0， 所以 3（t+2）+（2t2+4t）0， 所以 5t2+t180， 解得 t（t2 舍去），
28、 代入（*）满足0， 所以直线 l 的方程为 yx+ 21已知函数 f（x）+ （1）若 x1 时，f（x），求实数 m 的取值范围； （2）求证：lnk+1n（k+1）（nN*） 解：（1）不等式 f（x），即为 m， 记 g （x） ， 故 g （x） ， 令 h（x）xlnx，则 h（x）1， x1，h（x）0，h（x）在1，+）单调递增， 故 h（x）minh（1）10，故 g（x）0， 故 g（x）在1，+）上单调递增， 故 g（x）ming（1）2，故 m2； （2）由（1）知：f（x）恒成立， 即 lnx11， 令 xn（n+1），则 lnn（n+1）1， 故 ln（12）1，l
29、n（23）1， ln（34）1，lnn（n+1）1， 累加得：lnk+1n（k+1）n2（1）n2+， 故lnk+1n（k+1）（nN*） 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计 分分作答时作答时，用用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选修选修 4-4：极坐极坐 标与参数方程标与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数）经 过伸缩变换：后，曲线 C1变为曲线 C2 （1）求曲线 C1和曲线
30、 C2的普通方程； （2）已知点 P 是曲线 C2上的任意一点，曲线 C1与 x 轴和 y 轴正半轴的交点分别为 A， B，试求PAB 面积的最大值和此时点 P 的坐标 解：（1）由题设知：曲线 C1的参数方程为， 由2+2得：x2+y24， 经过伸缩变换：后，曲线 C1变为曲线 C2， 所以， 整理得，即： （2）曲线 C1与 x 轴和 y 轴正半轴的交点分别为 A，B，即 x2+y24 与 x 轴的正半轴的交 点坐标为 A（2，0），与 y 轴的正半轴交点的坐标为 B（0，2）， 所以直线 AB 的方程为 x+y20 所以：直线 AB 的斜率为1， 直线 AB 的垂直平分线的斜率为 k1，
31、 点 A 和 B 的中点为（），即（1，1） 所以 l 的方程为 yx， 所以，解得， 故 P（）， 点 P（）到直线的距离 d， 所以 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|x+a| （1）当 a1 时，画出 yf（x）的图象； （2）若关于 x 的不等式 f（x）3a 有解，求 a 的取值范围 解：（1）a1 时，f（x）|x+2|x+1|， 其图像为： （2）若关于 x 的不等式 f（x）3a 有解，即 f（x）max3a， f（x）|x+2|x+a|x+2xa|2a|， |2a|3a，2a3a 或 2a3a， 故 a或 a1，故 a， 故 a 的取值范围是（，
