1、2021 年山西省临汾市高考数学适应性试卷（文科）（二）年山西省临汾市高考数学适应性试卷（文科）（二） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1复数的共轭复数是（） A2+iB2iC2+iD2i 2已知集合 Ax|x24x50，Bx|x0，则 AB（） A（1，0）B（5，1）C（5，0）D（，1） 3已知 a0.30.3，b0.30.2，c20.1，则 a，b，c 的大小关系为（） AabcBbcaCcbaDcab 4已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S321，a4a121，则 a3（） A9B10C11D12 5已知 f（x），则 f（f（ln2）（） ABCD
2、6已知 p：x0，x2+4x+10 恒成立，q：x0R，x02+2x0+10 有解，则下列命题中正确 的是（） ApqBpqCpqDpq 7如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的体积是（） A3B6C9D18 8随着移动互联网的飞速发展，许多新兴行业异军突起，抖音和快手牢牢占据短视频平台 的两大巨头，抖音日活跃用户数为 4 亿，快手日活跃用户数为 3 亿，且抖音和快手日均 时段活跃用户占比分布如图，则（） A46 点时段抖音的活跃用户数比快手的活跃用户数少 B13 点时段抖音的活跃用户数比快手的活跃用户数少 C13 点时段抖音与快手的活跃用户数差距
3、最大 D一天中抖音活跃用户数比快手活跃用户数少的时段有 2 个 9已知函数 f（x）2sin（x+）sinx+cos2x，则下列说法正确的是（） 函数 f（x）是最小正周期为的奇函数； 函数 f（x）在（，）的最大值为； 函数 f（x）在（，）单调递增； 函数 f（x）关于（，0）对称 ABCD 10已知 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左，右焦点，过右焦点 F2倾斜 角为 30的直线与双曲线的两支分别相交于 A，B 两点，且点 A 在右支上，ABBF1， 则此双曲线的离心率 e（） ABCD2 11已知圆 C：（x2）2+（y3）22若直线 l：x+y+m0 上存在点 P，过点 P
4、作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得APB60，则 m 的取值范围是（） A（，9）B（，91，+） C（1，+）D9，1 12点 A，B，C，D 在同一个球的球面上，ABBC1，ABC120，若四面体 ABCD 体积的最大值为，则这个球的表面积为（） AB4CD 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知向量 ， 的夹角为 30，| |1，| |，则| + | 14已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a28a8，则 S9 15已知点 B（8，8）在抛物线 C：y22px 上，C 在点 B 处的切线与 C 的准线
5、交于点 A，F 为 C 的焦点，则直线 AF 的斜率为 16已知函数 f（x）9xm3x+1+m25若存在 x0R，使得 f（x0）f（x0），则 m 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。（一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民 健身，利国利民，功在当
6、代，利在千秋一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查， 随机抽取了 300 人，并对这 300 人每周锻炼的时间（单位：小时）进行分组，绘制成了 如图所示的频率分布直方图： （1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时间的中位数（精确到 0.1）； （2）若每周锻炼时间超过 6 小时就称为运动卫士，超过 8 小时就称为运动达人现利用 分层抽样的方法从运动卫士中抽取 5 人，再从这 5 人中抽取 2 人做进一步调查，求抽到 的 2 人中恰有 1 人为运动达人的概率 18如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，O1，E 分别为 B1D1，A1B
7、的中点，A1BB1D1，AA14，A1AB60 （1）证明：O1E平面 B1BCC1； （2）求四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积 19如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为该地的纬度值，为此时太阳直射纬度， 那么这三个量之间的关系是90|，当地夏半年取正值，冬半年取负值已 知某地区的纬度数约为北纬 35.5，根据地理知识，太阳直射北回归线（约北纬 23.5） 时，称为夏至日，此时物体的影子最短；太阳直射南回归线（约南纬 23.5）时，称为 冬至日，此时物体的影子最长该地区某学校计划在一幢高 12 米的旧教学楼的北面建一 幢高 20 米的新教学楼 （1）要使新楼一层正午的太阳全年不被旧楼
8、遮挡，两楼间的距离 BC 不应小于多少米？ （2）要在两楼的楼顶连接网线，则网线的长度 AD 不应小于多少？（精确到米） 参考数据：tan310.6，tan784.7，5.3 20已知函数 f（x）x2+2ax（a0）与 g（x）4a2lnx+b 的图象有公共点 P，且在点 P 处 的切线相同 （1）若 a1，求 b 的值 （2）求证：f（x）g（x） 21已知点 Q（2，1）在椭圆 C：1（ab0）上，且点 Q 到 C 的两焦点的距 离之和为 4 （1）求 C 的方程； （2）设圆 O：x2+y2上任意一点 P 处的切线 l 交 C 于点 M，N，E 是线段 MN 的中点， 求的值 (二二)
9、选考题选考题：共共 10 分分。请考生在第请考生在第 22、 、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第题则按所做的第题 计分计分，作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修选修 4-4：坐标系与参数方坐标系与参数方 程程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）点 P 为 C1上任意一点，若 OP 的中点 Q 的轨迹为曲线 C2，求 C2的极坐标方程； （2）若点 M，N 分别是曲线 C1和 C2上的点，且 OMON
10、，证明：|OM|2+4|ON|2为定值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b 为正实数，且满足 a+b1证明： （1）a2+b2； （2） 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1复数的共轭复数是（） A2+iB2iC2+iD2i 解：复数2i 的共轭复数是2+i 故选：C 2已知集合 Ax|x24x50，Bx|x0，则 AB（） A（1，0）B（5，1）C（5，0）D（，1） 解：集合 Ax|x24x50 x|1x5， Bx|x0， ABx|1x0（1，0） 故选：A 3已知 a0.30.3，b0.30.2，c20.1，则 a，b，c 的
11、大小关系为（） AabcBbcaCcbaDcab 解：由函数 y0.3x的性质可知，该函数单调递减， 0.30.30.30.20.301， 20.1201， cba， 故选：C 4已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S321，a4a121，则 a3（） A9B10C11D12 解：等比数列an中 S321，a4a121， 所以， 解得 q2，a13， 则 a332212 故选：D 5已知 f（x），则 f（f（ln2）（） ABCD 解：xln21， f（ln2）e ln2 ， f（f（ln2）f（）， 故选：C 6已知 p：x0，x2+4x+10 恒成立，q：x0R，x02+2x0+
12、10 有解，则下列命题中正确 的是（） ApqBpqCpqDpq 解：已知命题 p：x0，x2+4x+10 恒成立，当 x1 时该不等式不成立，故 P 为假 命题， 命题 q：x0R，x02+2x0+10 有解，当 x01 时，方程成立，故命题 Q 为假命题 故pq 为真命题，pq、pq、pq 为假命题， 故选：A 7如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的体积是（） A3B6C9D18 解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，把它放入底面边长为 3、高为 2 的长方体中，如 图所示： 则该三棱锥的体积是 VSABCh3223 故选：A 8随着移动互联网
13、的飞速发展，许多新兴行业异军突起，抖音和快手牢牢占据短视频平台 的两大巨头，抖音日活跃用户数为 4 亿，快手日活跃用户数为 3 亿，且抖音和快手日均 时段活跃用户占比分布如图，则（） A46 点时段抖音的活跃用户数比快手的活跃用户数少 B13 点时段抖音的活跃用户数比快手的活跃用户数少 C13 点时段抖音与快手的活跃用户数差距最大 D一天中抖音活跃用户数比快手活跃用户数少的时段有 2 个 解：对于 A，46 点时间段的活跃用户：抖音是 417%0.68 亿，快手是 321%0.63 亿0.68 亿，故选项 A 错误； 对于 B，13 点时段的活跃用户：抖音是 412%0.48 亿，快手是 31
14、8%0.54 亿 0.48 亿，故选项 B 正确； 对于 C，13 点时段抖音与快手的活跃用户数的差距为 0.540.480.06 亿， 而 1921 点时段抖音与快手的活跃用户数的差距为 449%354%0.35 亿0.06 亿，故选项 C 错误； 对于 D， 一天中抖音活跃用户数比快手活跃用户数少的时段只有 13 时， 故选项 D 错误 故选：B 9已知函数 f（x）2sin（x+）sinx+cos2x，则下列说法正确的是（） 函数 f（x）是最小正周期为的奇函数； 函数 f（x）在（，）的最大值为； 函数 f（x）在（，）单调递增； 函数 f（x）关于（，0）对称 ABCD 解 ： 函
15、数 f （ x ） 2sin （ x+） sinx+cos2x sin（2x+）+ 故对于，函数 f（x）是最小正周期为，但是函数不满足 f（x）f（x），故函数 不为奇函数，故错误； 函数 f（x）在 x（，）时，2x+（，），当时，函数 的最大值为，故正确； 函数 f（x）在 x（，），2x+，所以函数 f（x）单调递 增，故正确； 函数 f（），所以函数关于（，）对称，故错误 故选：C 10已知 F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左，右焦点，过右焦点 F2倾斜 角为 30的直线与双曲线的两支分别相交于 A，B 两点，且点 A 在右支上，ABBF1， 则此双曲线的离心率 e（） AB
16、CD2 解：设双曲线的半焦距为 c，则|F1F2|2c， 由过右焦点 F2倾斜角为 30的直线，可得F1F2B30， 在直角三角形 F1F2B 中，可得|BF1|2csin30c，|BF2|2ccos30c， 由双曲线的定义可得|BF2|BF1|cc2a， 即 c（1+）a， 所以 e1+ 故选：A 11已知圆 C：（x2）2+（y3）22若直线 l：x+y+m0 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得APB60，则 m 的取值范围是（） A（，9）B（，91，+） C（1，+）D9，1 解：根据题意，圆 C：（x2）2+（y3）22 的圆心为（2，3），半径 r，
17、 过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，连接 PC， 若APB60，则APC30，又由 CAPA， 则|PC|2|CA|2r2， 若直线 l：x+y+m0 上存在点 P，满足APB60， 则有 C 到直线 l 的距离 d2， 解可得：9m1，即 m 的取值范围为91， 故选：D 12点 A，B，C，D 在同一个球的球面上，ABBC1，ABC120，若四面体 ABCD 体积的最大值为，则这个球的表面积为（） AB4CD 解：根据题意知，A、B、C 三点均在球心 O 的表面上， 且|AB|AC|1，ABC120， BC， ABC 外接圆半径 2r2，即 r1， SABC11sin120，
18、 小圆的圆心为 Q，若四面体 ABCD 的体积的最大值，由于底面积 SABC不变，高最大时体 积最大， 所以，DQ 与面 ABC 垂直时体积最大，最大值为SABCDQ， DQ3， 设球的半径为 R，则 在直角AQO 中，OA2AQ2+OQ2，即 R212+（3R）2，R， 球的表面积为， 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知向量 ， 的夹角为 30，| |1，| |，则| + | 解：向量 ， 的夹角为 30，| |1，| |， 则| + | 故答案为： 故答案为： 14已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，
19、若 a28a8，则 S936 解：等差数列an中 a28a8，即 a8+a28， 则 S936 故答案为：36 15已知点 B（8，8）在抛物线 C：y22px 上，C 在点 B 处的切线与 C 的准线交于点 A，F 为 C 的焦点，则直线 AF 的斜率为 解：把 B（8，8）代入抛物线 C：y22px，得 822p8， 可得 p4，则抛物线 C 为 y28x， 抛物线的焦点坐标 F（2，0），直线方程为 x2 y，y，把 x8 代入，可得 C 在点 B 处的切线的斜率 k 设 A（2，yA），解得 yA3， 则 A（2，3）， 故答案为： 16已知函数 f（x）9xm3x+1+m25若存在
20、x0R，使得 f（x0）f（x0），则 m 的取值范围是1，+） 解：函数 f（x）9xm3x+1+m25， 若存在 x0R，使得 f（x0）f（x0），则 f（x0）+f（x0）0， 即m+m25+m+m250， 设 t+，则 t2， 方程可化为 t23mt+2m2120，t2， 即关于 t 的方程 t23mt+2m2120 在2，+）上有解， 令 g（x）t23mt+2m212，由题意得， 则9m28m2+480，f（2）2m26m80，3m4 或 g（2）0， 或1m4， 解得 m4 或1m4， 即 m1， 故答案为：1，+） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，
21、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。（一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17经历过疫情，人们愈发懂得了健康的重要性，越来越多的人们加入了体育锻炼中，全民 健身，利国利民，功在当代，利在千秋一调研员在社区进行住户每周锻炼时间的调查， 随机抽取了 300 人，并对这 300 人每周锻炼的时间（单位：小时）进行分组，绘制成了 如图所示的频率分布直方图： （1）补全频率分布直方图，并估算该社区住户每周锻炼时
22、间的中位数（精确到 0.1）； （2）若每周锻炼时间超过 6 小时就称为运动卫士，超过 8 小时就称为运动达人现利用 分层抽样的方法从运动卫士中抽取 5 人，再从这 5 人中抽取 2 人做进一步调查，求抽到 的 2 人中恰有 1 人为运动达人的概率 解：（1）频率分布直方图如图所示， 由频率分布直方图可得，第一组和第二组的频率之和为 0.2+0.250.450.5， 前三组的频率之和为 0.2+0.25+0.30.750.5， 可知中位数在第三组，设中位数为 x， 则有（x4）0.150.50.450.05，解得 x， 所以该社区住户每周锻炼时间的中位数为 4.3； （2）因为，所以在抽取的
23、5 个运动卫士中，运动达人有 2 人， 从这 5 人中抽取 2 人，共有种抽法， 抽到的 2 人中恰有 1 人为运动达人，共有种抽法， 故从这5人中抽取2人做进一步调查， 抽到的2人中恰有1人为运动达人的概率为 18如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，O1，E 分别为 B1D1，A1B 的中点，A1BB1D1，AA14，A1AB60 （1）证明：O1E平面 B1BCC1； （2）求四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积 【解答】（1）证明：连接 A1C1，BC1， O1为 B1D1的中点，O1为 A1C1的中点， 又 E 为 A1B 的中点，O1
24、EBC1， 而 BC1平面 B1BCC1，O1EB1BCC1， O1E平面 B1BCC1； （2）解：连接 BD，则四边形 BB1D1D 为平行四边形，则 BDB1D1， 又 A1BB1D1，A1BBD， 在A1AB 中，AA14，A1AB60，AB2， 由余弦定理可得， ，即 A1BAB， 而 ABBDB，A1B平面 ABCD， 则四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积为 V 19如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为该地的纬度值，为此时太阳直射纬度， 那么这三个量之间的关系是90|，当地夏半年取正值，冬半年取负值已 知某地区的纬度数约为北纬 35.5，根据地理知识，太阳直射北回归线（约北
25、纬 23.5） 时，称为夏至日，此时物体的影子最短；太阳直射南回归线（约南纬 23.5）时，称为 冬至日，此时物体的影子最长该地区某学校计划在一幢高 12 米的旧教学楼的北面建一 幢高 20 米的新教学楼 （1）要使新楼一层正午的太阳全年不被旧楼遮挡，两楼间的距离 BC 不应小于多少米？ （2）要在两楼的楼顶连接网线，则网线的长度 AD 不应小于多少？（精确到米） 参考数据：tan310.6，tan784.7，5.3 解：（1）由题意可知35.5，23.5， 则90|35.5（23.5）|31，则在直角三角形 ABC 中，AB12，ACB 31， 所以 tan，所以 BC， 所以两楼之间的距离
26、不应少于 20 米； （2）在直角三角形 ABC 中，AB12，BC20， 则 AC，且 sin， 在三角形 ABC 中，因为ACD+ACB90， 所以，由余弦定理可得 cosACDsinACB， AD2AC2+CD22ACCDcosACD464， 所以 AD4， 所以网线的长度 AD 不应小于 22 米 20已知函数 f（x）x2+2ax（a0）与 g（x）4a2lnx+b 的图象有公共点 P，且在点 P 处 的切线相同 （1）若 a1，求 b 的值 （2）求证：f（x）g（x） 解：（1）设函数 f（x）x2+2ax（a0）与 g（x）4a2lnx+b 的图象有公共点 P（x0， y0），
27、x（0，+） 则+2ax04a2lnx0+b f（x）2x+2a，g（x）， 函数 f（x）与 g（x）在点 P 处的切线相同，2x0+2a， a1，+x020，解得 x01 b1+23 （2）证明：由（1）可得：+2ax04a2lnx0+b，2x0+2a， 由 2x0+2a，化为：+ax02a20，解得 x0a a2+2a24a2lnab0 令 h（x）f（x）g（x）x2+2ax4a2lnxb， 则 h（x）2x+2a， 可得：xa0 时，函数 h（x）取得极小值即最小值， h（x）h（a）a2+2a24a2lnab0， f（x）g（x） 21已知点 Q（2，1）在椭圆 C：1（ab0）上
28、，且点 Q 到 C 的两焦点的距 离之和为 4 （1）求 C 的方程； （2）设圆 O：x2+y2上任意一点 P 处的切线 l 交 C 于点 M，N，E 是线段 MN 的中点， 求的值 解：（1）点 Q（2，1）在椭圆 C：1（ab0）上，且点 Q 到 C 的两焦点 的距离之和为 4 2a4，a2 ，b22 综上，椭圆 C 的方程为： （2）当切线 l 的斜率存在时，设方程为：ykx+m，设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 直线 l 与圆 O：x2+y2相切，所以，即 5m28+8k2， 联立，整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m280， x1+x2，x1x2， 又因为又x1x2
29、+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 +m20， OMON 当直线 l 的斜率不存在时， M， N 的坐标分别可为 （，） （， ） ， 有， 综上，OMON OPMN，E 为 MN 中点，2OP (二二)选考题选考题：共共 10 分分。请考生在第请考生在第 22、 、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第题则按所做的第题 计分计分，作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修选修 4-4：坐标系与参数方坐标系与参数方 程程 22在直角坐标系 xO
30、y 中，曲线 C1的参数方程为（为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）点 P 为 C1上任意一点，若 OP 的中点 Q 的轨迹为曲线 C2，求 C2的极坐标方程； （2）若点 M，N 分别是曲线 C1和 C2上的点，且 OMON，证明：|OM|2+4|ON|2为定值 解：（1）曲线 C1的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为 x2+ （y2）24，根据，转换为极坐标方程为4sin 设 Q（，），P（1，）， 则12， 由于点 P 为 C1上的点， 所以14sin，整理得 24sin， 故2sin （2）证明：设 M（2，），则 N（）， 所以 OM|2，4|ON|2， 故：|OM|2+4|ON|216（定值） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b 为正实数，且满足 a+b1证明： （1）a2+b2； （2） 【解答】证明：（1）a2+b22ab，当且仅当 ab 时等号成立， 又 a+b1， ； （2）a+b1， （）（a+b）3+3， 则，当且仅当 b时等号成立
