1、黄山市黄山市 20212021 届高中毕业班第二次质量检测届高中毕业班第二次质量检测 数学（文科）试题数学（文科）试题 本试卷分第卷（选择题 60 分）和第卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分 钟. 注意事项： 1答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条 形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号 后两位. 2答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3答第卷时，必须使用 0.5
2、毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图 题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号 所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效 . 4参考公式： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K 第第卷卷（选择题 满分 60 分） 一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 请在答题卷的相应区域答题.） 1已知集合1,2,3A ，(2)0Bx xx，则AB I A1,2B1,3C2,3D1,2,
3、3 2 3i5 23i 的实部为 A 1 13 B 9 13 C 1 13 -D 21 13 3若 1 cos 64 x ，则sin 2 6 x A 15 8 B 7 8 C 15 8 D 7 8 4古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统 文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的茶壶 回文诗（如图）以连环诗的形式展现，20 个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳 作数学与生活也有许多奇妙的联系，如 2020 年 02 月 02 日（20200202)被称为世界完全对称日（公 历纪年日期中数字左右
4、完全对称的日期）数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数，如两位数的回 文数共有 9 个(11,22,99)，则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 A 1 3 B 4 9 C 5 9 D 2 3 5. 设函数 2 2 4 ,4 ( ) log,4 xx x f x x x ，若函数( )yf x在区间,1m m上单调递减，则实 数m的取值范围是 A.2,3B.2,3C.2,3D.2,3 6已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1(0) yx Eab ab 的两个焦点，P是椭圆E上的点，
5、12 PFPF，且 2112 sin3sinPF FPFF，则椭圆E的离心率为 A 10 2 B 10 4 C 5 2 D 5 4 7已知n为正数，则“1n ”是“ 11 lg1 nn ”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 8设抛物线C： 2 20 xpy p的焦点为F，点P在C上，5PF ，若以线段PF为直径的圆与x 轴相切，且切点为( 2,0)，则C的方程为 A 2 4xy或 2 8xyB 2 2xy或 2 4xy C 2 2xy或 2 8xyD 2 4xy或 2 16xy 9我们常把 2 210,1,2. n n Fn叫“费马数”，设 2 log1 ,
6、1,2,3. nn aFn， n S 表示数列 n a的前n项之和，则使不等式 231 12231 2227 15 n nn S SS SS S L成立的最大正 整数n的值是 A2B3C4D5 10.已知函数 3 ( )ln2f xx x ，设 3 (log2)af， 0.1 ()bf e， 3 () 3 cf ，则, ,a b c的 大小关系是 A.cbaB.acbC.cabD.abc 11.棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的 空间的体积为 A. 22 32 3 B. 4 36 3 C. 13 44 3 D.12 12 12.已知( )
7、f x是奇函数，当0 x 时,( )( )1fxf x , 13f,则下列结论中不正确的是 A 43fefB. 3 441feC 2 ( 4)( 2)fe fD 2 ( 4)41fe 第第卷卷（非选择题 满分 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请在答题卷的相应区域答题.） 13.若一扇形的圆心角为144，半径为10cm，则扇形的面积为cm2. 14.已知 (3, )ax r ， ( 1,2)b r ，若a b rr P ，则2 3ab rr . 15. 在 三 棱 锥PABC中 ， 2 2AP ，3AB ，PA 面ABC， 且 在 三 角 形ABC中 ，
8、有 cos2coscBabC，则该三棱锥外接球的表面积为. 16.双曲线 22 22 :1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线与的左、右两支分别 交于A，B两点，点M在x轴上， 2 1 3 AFBM uuu ruuur ， 2 BF平分 1 FBM，则的渐近线方程 为. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在答题卷的相应 区域答题.） 17.（本小题满分 12 分）2021 年 3 月 5 日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消 息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会
9、上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄.现对某 市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们月收入的频数分布及对延迟退 休政策赞成的人数如下表. 月收入（单位百元）15， 25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75 频数510151055 赞成人数123534 （1）根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有 99%的把握认为“月收入以 55 百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异； 月收入高于 55 百元的人数月收入低于 55 百元的人数合计 赞成 不赞成 合计 （2）若采用分层抽样从月收入在25，35）和65，75
10、）的被调查人中选取 6 人进行跟踪调查，并随机给 其中 3 人发放奖励，求获得奖励的 3 人中至少有 1 人收入在65，75）的概率. 18.（本小题满分 12 分）已知数列 n a是公差不为零的等差数列， 2 3a 且 1 a、 3 a、 7 a成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记数列 1 2 n a 的前n项和为 n S，求数列 n nS的前n项和 n T. 19.（本小题满分 12 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 4AB ， 1 2ADAA，E是CD的 中点，F是底面 1111 ABC D上的动点，且满足AF BE. （1）求证：平面AEF 平面
11、ABCD； （2）当AFEF时，求点C到平面BEF的距离. 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab ,其短轴长为32,离心率为 1 e,双曲线 22 2: 1(0,0) xy Cpq pq 的渐近线为xy3,离心率为 2 e,且1 21 ee. （1）求椭圆 1 C的方程； （2） 设椭圆 1 C的右焦点为F,动直线l（l不垂直于坐标轴） 交椭圆 1 C于,M N不同两点,设直线FM和 FN的斜率为 12 ,kk, 若 21 kk,试探究该动直线l是否过x轴上的定点,若是， 求出该定点;若 不是,请说明理由. 21.（本小题满分 12 分）已知函
12、数( ) x f xaexa， ( ) x g xf x em，, a mR. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当1a 时，若对任意实数, k b都有函数 yg xkxb的图象与直线ykxb 相切，求证： 3 0 16 m（参考数据： 3 20e ） 考生注意：请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用 2B 铅笔 在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 os3cx ysin （其中为参数） ，曲线 22 2: 20Cxyy，以原点O为极
13、点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 : l（0）与曲线 1 C， 2 C分别交于点A，B（均异于原点O）. （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）当0 2 时，求 22 OAOB的最小值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |2|1|f xxax. （1）当2a 时，求不等式 2f x 的解集； （2）若0a ，不等式 30f x 恒成立，求实数a的取值范围. 黄山市黄山市 20212021 届高中毕业班第二次质量检测届高中毕业班第二次质量检测 文科数学参考答案及评分标准文科数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共 12 小题，每小题
14、 5 分，共 60 分.） 题号123456789101112 答案CCDCABCDABAC 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13.4014.(3,6)15.2016.6yx 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （本小题满分 12 分） 解: (1)2 2列联表如下 月收入高于 55 百元的人数月收入低于 55 百元的人数合计 赞成71118 不赞成32932 合计104050 3 分 2 2 50 (7293 11) 6.276.635 10 40 32 18 K ，所以没有 99%的把握认为“月收入
15、以 55 百元为 分界点”对延迟退休政策的态度有差异；6 分 （3）按照分层抽样方法可知，月收入在25，35）的抽 4 人，记为a，b，c，d，月收入在65，75）的抽 2 人， 记为A，B，则从 6 人中任取 3 人的所有情况为：A，B，a、A，B，b、A，B，c、A，B，d、A，a， b、A，a，c、A，a，d、A，b，c、A，b，d、A，c，d、B，a，b、B，a，c、B，a，d、B， b，c、B，b，d、B，c，d、a，b，c、a，b，d、 a，c，d 、b，c，d，共 20 种， 10 分 其中至少有一人月收入在65，75）的情况有 16 种，所以 3 人中至少有 1 人月收入在65
16、，75） 的概率为 5 4 20 16 .12 分 18 （本小题满分 12 分） 解:(1) 设数列 n a的公差为d，则有 1 3ad，因为 1 a、 3 a、 7 a成等比数列， 所以 2 173 a aa即 2 111 (6 )(2 )a adad，化简得 1 2ad，解得 1 2a ，1d ， 3 分 所以2(1) 11 n ann ，即数列 n a的通项公式为1 n an； 5 分 (2) 1 1 22 2 n n an ， 11 1 22 1 1 1 2 1 2 n n n S ， 1 2 n n nSnn ， 2 111 1212 222 n n Tnn LL， 8 分 设 2
17、 111 12 222 n n tn L，则 231 1111 12 2222 n n tn L， 得 2311 11 1 22 1111111 1 2222222 1 2 n nnn n tnn L 1 1 1 22 n n n ， 2 2 2 n n n t ，11 分 12 2 22 n n n nn T .12 分 19 （本小题满分 12 分） (1)证明: 222 2 2,4,AEBEABAEBEABBEAFQ， 又,BEAF AEAFABEQI平面AEF，3 分 又BE Q平面ABCD，平面AEF 平面ABCD；5 分 （2）取AE中点G，连接FG，,AFEFAEFGQ, 由（1
18、）平面AEF 平面ABCD可知FG 平面ABCD， 22 2,6FGEFEGFG ，由（1）BE 平面AEF，BEEF，8 分 设点C到平面BEF的距离为h， C BEFF BCE VV Q 三棱锥三棱锥 ， 11112 2 22 3 323232 26 BEEFhBC CEFGh ， 所以点C到平面BEF的距离为 2 3 3 .12 分 20 （本小题满分 12 分） (1)由题意知 22 1 43 xy ,5 分 (2)假设该直线过定点且在x轴上，设直线l的方程)(txky， 联立 1 34 )( 22 yx txky 消去y整理得01248)43( 22222 tktxkxk， 设),(
19、),( 2, 211 yxNyxM则 2 22 21 2 2 21 43 124 , 43 8 k tk xx k tk xx 7 分 1212 12 1212 ()() 1111 yyk xtk xt kk xxxx 1221 12 ()(1)()(1) (1)(1) xt xxt x k xx 1212 1212 2(1)()2 0 () 1 x xtxxt k x xxx 即 2 222 22 222 222 4128824 8868 2(1)20 343434 k tk tk tk tk ttk t tt kkk ， 所以2460t，4t ，即直线过定点(4,0).12 分 21 （本
20、小题满分 12 分） 解:(1)( )1 x fxae， 当0a 时，( )0fx 恒成立，函数( )f x在R上单调递减，2 分 当0a 时，由( )0fx 得lnxa ，由( )0fx 得lnxa ，故函数( )f x在(,ln )a 上单调递 减，在( ln ,)a上单调递增；4 分 （2）设切点为 00 ,xy，则 0 gxkk且 000 g xkxbkxb，即 00 0,0gxg x，( )(1) xx g xexem，( )(22) xx g xexe， 由 0 ()0g x得 0 0 220 x ex，设( )22 x h xex，则( )21 x h xe，( )0h x 得l
21、n2x ， ( )0h x得ln2x ， 故( )h x在(,ln2) 上单调递减，在( ln2,)上单调递增， 1在单调递增区间( ln2,)上，(0)0h，故 0 0 x ，由 0 ()0g x得0m 7 分 2在单调递减区间(,ln2) 上， 2 ( 2)20he， 31 22 31111 ()22 (20)0 22225 he ， 故在区间 3 ( 2,) 2 上存在唯一的 0 x，使得 0 0 220 x ex，故 0 0 2 2 x x e ， 9 分 此时由 0 ()0g x，得 00 00 00 22 (1)(1) 22 xx xx mexex 00 1 (2) 4 xx 2
22、0 11 (1) 44 x ， 函数 2 11 ( )(1) 44 xx 在 3 ( 2,) 2 上递增，( 2)0， 33 () 216 ，故 3 0 16 m 综上 12所述， 3 0 16 m12 分 22（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：（1） 1 C的普通方程为 2 2 3 1 x y，代入 cos ,sinxy得 1 C的极坐标方程为 2 2 12 3 sin ， （3 分） 2 C的极坐标方程为2sin（5 分） （2）联立0 与 1 C的极坐标方程得 2 2 s n 3 12 i OA （6 分） 联立0 与 2
23、C的极坐标方程得 2 2 4OBsin（7 分） 则 22 22 22 33 4sin2 12sin22 62 12sin12sin OAOB 22 62OAOB最小值为2.（10 分） 23.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 45：不等式选讲：不等式选讲 （1）当2a 时，函数 3,1 2211 3 , 11 3,1 xx f xxxxx xx ，（2 分） 当1x时，由 2f x ，可得32x ，解得15x； 当11x 时，由 2f x ，可得1 32x，解得 1 1 3 x； 当1x 时，由 2f x ，可得32x，此时解集为空集， 综上所述：不等式 2f x 的解集为 1 ,5 3 .（5 分） （2）若0a ，函数 1, 2 1 3 , 1 2 1,1 a xax a f xaxx ax x 由一次函数性质可知 f x在, 2 a 为减函数，在+ 2 a ，为增函数， 所以 min1 22 aa fxf ，（8 分） 因为不等式 30fx 恒成立，即 min3f x ，即13 2 a ，解得4a 又因为0a ，所以实数 a 的取值范围0,4.（10 分）
