1、2021 年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1设集合 AxN|1x1，Bx|log2x1，则 AB（） A1，1）B（0，1）C1，1D1 2已知直线 l1：ax+2y+10，直线 l2：2x+ay+10，若 l1l2，则 a（） A0B2C2D4 3已知平面向量 （1，）， （2，），其中0，若| |2，则（） A2BCD8 4已知函数 f（x）x3+sinx+2，若 f（m）3，则 f（m）（） A2B1C0D1 5已知 cos+sin（）0，则 tan（） ABCD 6已知曲线 yex（e 为
2、自然对数的底数）与 x 轴、y 轴及直线 xa（a0）围成的封闭图 形的面积为 ea1现采用随机模拟的方法向右图中矩形 OABC 内随机投入 400 个点，其 中恰有 255 个点落在图中阴影部分内，若 OA1，则由此次模拟实验可以估计出 e 的值 约为（） A2.718B2.737C2.759D2.785 7已知命题 p：若数列an和bn都是等差数列，则ran+sbn（r，sR）也是等差数列；命 题 q：x（2k，2k+） （kZ），都有 sinxcosx则下列命题是真命题的是（） ApqBpqCpqDpq 8对全班 45 名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为 80，方差为 25，现发现数
3、据收集 时有两个错误，其中一个 95 分记录成了 75 分，另一个 60 分记录成了 80 分纠正数据 后重新计算，得到平均数为 ，方差为 s2，则（） A 80，s225B 80，s225C 80，s225D 80，s225 9已知圆 x2+y24x2y+10 上，有且仅有三个点到直线 ax3y+30（aR）的距离为 1， 则 a（） ABC1D 10若函数+2ax+3 在 x2 处取得极小值，则实数 a 的取值范围是 （） A（，6）B（，6）C（6，+）D（6，+） 11已知正实数 x，y 满足 lnlg，则（） A2x2yBsinxsinyClnxlnyDtanxtany 12已知点
4、F1，F2是双曲线 E：的左、右焦点，点 P 为 E 左支上一点， PF1F2的内切圆与 x 轴相切于点 M，且，则 a（） A1BCD2 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13复数 z 满足（1+i）z1i，则 z 14为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式 从 A，B，C 三个部门中抽取 16 名员工进行科研能力访谈已知这三个部门共有 64 人， 其中 B 部门 24 人，C 部门 32 人，则从 A 部门中抽取的访谈人数 15已知椭圆 E：的左、右焦点分别为 F1，F2，若 E 上存在一点 P 使0，且|PF1|F1F2|，则 E 的
5、离心率为 16关于 x 的方程 sin2x+2cos2xm 在区间0，）上有两个实根 x1，x2，若 x1x2，则 实数 m 的取值范围是 三三、解答题解答题：共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17某食品厂 2020 年 2 月至 6 月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如表： x（月份）23456 y（生产产量：万瓶
6、）356.5810.5 （1）根据以上数据，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2） 调查显示该年 7 月份的实际市场需求量为 13.5 万件， 求该年 7 月份所得回归方程预 测的生产产量与实际市场需求量的误差 附：参考公式： ， 18已知数列an是递增的等比数列，且 a1+a517，a2a416 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列an的前 n 项和为 Sn，且 S2nan，求 n 的最小值 19如图，在ABC 中，点 P 在边 BC 上，PAC30，AC，AP+PC2 （1）求APC； （2）若，求APB 的面积 20已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 A（x0，
7、2）为抛物线上一点，若点 B（2，0）满足0 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 B 的直线 l 交 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x2 于点 P，Q，求 的值 21已知函数 f（x）（2m+2）xnlnxmx2（mR），曲线 yf（x）在点（2，f（2） 处的切线与 y 轴垂直 （1）求 n； （2）若 f（x）0，求 m 的取值范围 (二二)选考题选考题：共共 10 分分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答题中任选一题做答。如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题记分。题记分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程(10 分分
8、) 22 在直角坐标系xOy中， 曲线C1的方程为 （x2） 2+y26 曲线C2的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐 标方程为（，R） （1）求曲线 C1与 C2的极坐标方程； （2） 已知直线 l 与曲线 C1交于 A， B 两点， 与曲线 C2交于点 C， 若|AB|： |OC|， 求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) 23已知函数 f（x）|x3|+|x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）记函数 f（x）的最小值为 m，a0，b0，c0，a+b+cmabc，证明：ab+bc+ac
9、9 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1设集合 AxN|1x1，Bx|log2x1，则 AB（） A1，1）B（0，1）C1，1D1 解：集合 AxN|1x10，1，Bx|log2x1（0，2），则 AB1 故选：D 2已知直线 l1：ax+2y+10，直线 l2：2x+ay+10，若 l1l2，则 a（） A0B2C2D4 解：根据题意，直线 l1：ax+2y+10，直线 l2：2x+ay+10， 若 l1l2，则有 2a+2a0，解可得 a0， 故选：A 3已知平面向量 （1，）， （2，），其中0，若| |2，则（） A2BCD8 解：，且， ，且0，
10、解得， ， 故选：D 4已知函数 f（x）x3+sinx+2，若 f（m）3，则 f（m）（） A2B1C0D1 解：根据题意，函数 f（x）x3+sinx+2，则 f（x）（x） 3+sin（x）+2（x3+sinx） +2， 则 f（x）+f（x）4， 若 f（m）3，则 f（m）1， 故选：B 5已知 cos+sin（）0，则 tan（） ABCD 解：cos+sin（）0， 整理得0， 故， 故 故选：A 6已知曲线 yex（e 为自然对数的底数）与 x 轴、y 轴及直线 xa（a0）围成的封闭图 形的面积为 ea1现采用随机模拟的方法向右图中矩形 OABC 内随机投入 400 个点，
11、其 中恰有 255 个点落在图中阴影部分内，若 OA1，则由此次模拟实验可以估计出 e 的值 约为（） A2.718B2.737C2.759D2.785 解：OA1，x1，ABe， S阴影e1，S矩形OABCe， 采用随机模拟的方法向右图中矩形 OABC 内随机投入 400 个点，其中恰有 255 个点落 在图中阴影部分内， ， 解得 e2.759 故选：C 7已知命题 p：若数列an和bn都是等差数列，则ran+sbn（r，sR）也是等差数列；命 题 q：x（2k，2k+） （kZ），都有 sinxcosx则下列命题是真命题的是（） ApqBpqCpqDpq 解：对于命题 p：若数列an和b
12、n都是等差数列， 则ran+sbn（r，sR）也是等差数列 则 p 为真命题； 对于命题 q：x（2k，2k+）（kZ）， 都有 sinxcosx，故 q 为假命题 故：pq 为假命题； pq 为假命题； pq 为真命题； pq 为假命题 故选：C 8对全班 45 名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为 80，方差为 25，现发现数据收集 时有两个错误，其中一个 95 分记录成了 75 分，另一个 60 分记录成了 80 分纠正数据 后重新计算，得到平均数为 ，方差为 s2，则（） A 80，s225B 80，s225C 80，s225D 80，s225 解：根据题意，两个数据记录有误，一个错
13、将 95 记录为 75，另一个错将 60 记录为 80， 由 95+6075+80 知，这组数据的总和不变， 所以在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数不变，即 80， （9580）2+（6080）2（7580）2+（8080）2， 所以数据的波动变大了，即 s225 故选：C 9已知圆 x2+y24x2y+10 上，有且仅有三个点到直线 ax3y+30（aR）的距离为 1， 则 a（） ABC1D 解：圆 x2+y24x2y+10 化为标准方程为（x2）2+（y1）24，圆心为（2，1）， 半径为 2， 因为圆上有且仅有三个点到直线 ax3y+30 的距离为 1， 所以圆心到直线 a
14、x3y+30 的距离为 1，即，解得 故选：D 10若函数+2ax+3 在 x2 处取得极小值，则实数 a 的取值范围是 （） A（，6）B（，6）C（6，+）D（6，+） 解：+2ax+3， 则 f（x）3x2（a+6）x+2a， 由题意得：f（2）0，即 122a12+2a0，f（2）恒为 0， f（2）是极小值，x2 时，在 x2 的左侧局部，函数单调递减， x2 时，在 x2 的右侧局部，函数单调递增， 结合二次函数的性质 f（x）的对称轴在 x2 的左侧， 即2，故 a6，又（a+6）224a（a6）20， 故 a6， 故选：B 11已知正实数 x，y 满足 lnlg，则（） A2x
15、2yBsinxsinyClnxlnyDtanxtany 解：因为正实数 x，y 满足 lnlg， 所以 lnxlnylgylgx，即 lnx+lgxlgy+lny， 令 g（x）lnx+lgx，则 g（x）g（y）， 因为 g（x）在（0，+）上单调递增， 故 xy， 结合指数函数的性质得，2x2y，A 正确， ysinx，ytanx 在（0，+）上不单调，sinx 与 siny 的大小不确定，B 错误；同理 D 错 误 结合对数函数的性质可知，lnxlny，C 错误 故选：A 12已知点 F1，F2是双曲线 E：的左、右焦点，点 P 为 E 左支上一点， PF1F2的内切圆与 x 轴相切于点
16、 M，且，则 a（） A1BCD2 解：如图， 设 PF1，PF2分别与圆切于 G，H，则|PG|PH|，|F1G|F1M|，|F2H|F2M|， 由双曲线定义可得，|PF2|PF1|2a，则|F2H|F1G|2a， |F2M|F1M|2a，设 M（x0，0），则 cx0（c+x0）2a，得 x0a 又，a+c（c+a），得 c2a，即 c2a2+b2a2+64a2， 解得 a 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13复数 z 满足（1+i）z1i，则 zi 解：由（1+i）z1i， 得， 故答案为：i 14为加速
17、推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式 从 A，B，C 三个部门中抽取 16 名员工进行科研能力访谈已知这三个部门共有 64 人， 其中 B 部门 24 人，C 部门 32 人，则从 A 部门中抽取的访谈人数2 解：由题意可知，A 部门一共有 6424328 人， 故采用分层抽样的方法从 A，B，C 三个部门中抽取 16 名员工，则从 A 部门中抽取的访 谈人数为 故答案为：2 15已知椭圆 E：的左、右焦点分别为 F1，F2，若 E 上存在一点 P 使0，且|PF1|F1F2|，则 E 的离心率为 解：因为0，所以可设点 P 的坐标为（c，y）， 令 xc 代
18、入椭圆方程可得：y， 又因为|PF1|F1F2|，所以， 即 e2+2e10，解得 e或 1（舍去）， 所以椭圆的离心率为1， 故答案为： 16关于 x 的方程 sin2x+2cos2xm 在区间0，）上有两个实根 x1，x2，若 x1x2，则 实数 m 的取值范围是1，2） 【解答】 sin2x+2cos2xm sin2x+cos2x+1m ， ， m1，2） 故答案为：1，2） 三三、解答题解答题：共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、
19、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17某食品厂 2020 年 2 月至 6 月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如表： x（月份）23456 y（生产产量：万瓶）356.5810.5 （1）根据以上数据，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2） 调查显示该年 7 月份的实际市场需求量为 13.5 万件， 求该年 7 月份所得回归方程预 测的生产产量与实际市场需求量的误差 附：参考公式： ， 解：（1）由表中数据可知， （2+3+4+5+6）4， （3+5+6.5+8+10.5） 6.6， 18，10， 1.
20、8， 6.61.840.6， y 关于 x 的线性回归方程为 1.8x0.6 （2）把 x7 代入线性回归方程，有 1.870.612， 13.5121.5， 故该年 7 月份所得回归方程预测的生产产量与实际市场需求量的误差为 1.5 万件 18已知数列an是递增的等比数列，且 a1+a517，a2a416 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列an的前 n 项和为 Sn，且 S2nan，求 n 的最小值 解：（1）数列an是递增的等比数列，且 a1+a517，a2a416， a1a5a2a416， 设数列an的公比为 q（q1）， 由，解得，或（舍）， 又，q2， 则数列an的通项公式为
21、； （2）， ， S2nan，9（22n1）802n，即（92n+1）（2n9）0， 2n90，又N*， 正整数 n 的最小值为 4 19如图，在ABC 中，点 P 在边 BC 上，PAC30，AC，AP+PC2 （1）求APC； （2）若，求APB 的面积 解：（1）因为PAC30，AC， 由余弦定理可得 CP2AP2+AC22APACcosPAC，即 CP2AP2+32APcos30 ， 又 AP+CP2， 联立解得 AP1，CP1， 所以APC120 （2）因为APC120，可得APB60， 因为 cosB，可得 sinB， 在APB 中，由正弦定理，可得 AB， 在APB 中， 由余弦
22、定理 AB2AP2+PB22APPBcosAPB， 可得 71+PB22PBcos60 ，即 PB2PB60，解得 BP3 所以APB 的面积为 SAPBPsinAPB 20已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 A（x0，2）为抛物线上一点，若点 B（2，0）满足0 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 B 的直线 l 交 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x2 于点 P，Q，求 的值 解：（1）由0，可知AFB 是以 AB 为底边的等腰三角形， 由 A 在抛物线 C 上，得， 由抛物线定义得，|AF|， 又|BF|，|AF|BF|，得，解得 p2 抛物线方程为
23、 y24x； （2）由（1）知，A（2，2），F（1，0）， 设直线 l 的方程为 xmy2，M（），N（）， 联立，消去 x 得，y24my+80 y1+y24m，y1y28， 直线 MA 的方程为， ， 同理可得 | 1 21已知函数 f（x）（2m+2）xnlnxmx2（mR），曲线 yf（x）在点（2，f（2） 处的切线与 y 轴垂直 （1）求 n； （2）若 f（x）0，求 m 的取值范围 解：（1）因为 f（x）（2m+2）mx， 由题意可得 f（2）2m+22m0， 解得 n4； （2）f（x）2m+2mx，x0， 当 0m1 时，f（x）在（2，）上单调递增， 在（0，2），（
24、，+）递减， 当 x4+时，f（x）在（，+）上递减， 所以 f（x）x（2m+2mx）4lnxf（4+）0， 所以 f（x）0，在 x0 恒成立不成立， 即 0m1 不合题意 当 m1 时，f（x）在（，2）上递增，在（0，），（2，+）递减， 当 x4+2 时，f（x）在（2，+）递减， 所以 f（x）x（2m+2mx）4lnxf（4+）， 所以 f（x）0 在 x0 恒成立不成立，即 m1 不合题意； 当 m0 时，f（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增， 所以要使 f（x）0 的充要条件是 f（2）0， 即 2（m+2）4ln20， 解得 m2ln22， 所以 2ln22m0， 综
25、上可得，实数 m 的范围是2ln22，0 (二二)选考题选考题：共共 10 分分。请考生在第请考生在第 22、 、23 题中任选一题做答题中任选一题做答。如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题记分。题记分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程(10 分分) 22 在直角坐标系xOy中， 曲线C1的方程为 （x2） 2+y26 曲线C2的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐 标方程为（，R） （1）求曲线 C1与 C2的极坐标方程； （2） 已知直线 l 与曲线 C1交于 A， B 两点， 与曲线 C2交
26、于点 C， 若|AB|： |OC|， 求的值 解：（1）曲线 C1的方程为（x2）2+y26，转换为 x2+y24x2，根据 转换为极坐标方程为24cos2； 曲线 C2的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为 x2y24，根 据转换为极坐标方程为2cos22sin24 （2）根据，整理得24cos20， 所以1+24cos，122， 故， ，解得， 由于|AB|：|OC|， 所以， 整理得 4cos22+8cos250， （2cos2+5）（2cos21）0， 解得 cos2， 由于， 故 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) 23已知函数 f（x）|x3|+|x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）记函数 f（x）的最小值为 m，a0，b0，c0，a+b+cmabc，证明：ab+bc+ac 9 解：（1）f（x）|x3|+|x2| f（x）3，或 2x3 或， 3x4 或 2x3 或 1x2，1x4， 不等式的解集为x|1x4 （2）证明：由（1）可得 mf（x）min1， a+b+cabc， a0，b0，c0， 9， 当且仅当 abc 时可取等号， 即 ab+bc+ac 9
