1、2021 年四川省凉山州高考数学二诊试卷（文科）年四川省凉山州高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1集合 Ax|2x10，By|y2x1，xR，则 AB（） AB（0，+）C（0，）D（，+） 2已知数列an为等差数列，数列an的前 5 项和为 S520，a56，则 a10（） A9B10C11D12 3一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数我国 数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个 大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 83+5在不超过 16 的素数中，随机地 取两
2、个不同的数，其和等于 16 的概率是（） ABCD 4已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 C，其长轴长为 4，焦距为 2，则 C 的方程为 （） A1 B1 或1 C1 D1 或+1 5已知数列an为等比数列，函数 yloga（2x1）+2 过定点（a1，a2），bnlog2an，数 列bn的前 n 项和为 Sn，则 S10（ ） A44B45C46D50 6命题 p：实数 x、y 满足，命题 q：xy，则命题 p 是 q 的（）条件 A充分不必要B必要不充分 C充要D既不充分也不必要 7高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一 本、二本等各批次“学科上线
3、有效分”的分数线考生总成绩达到总分各批次分数线的 称为总分上线；考生某一单科成绩达到该学科上线有效分的称为单科上线学科对总分 的贡献或匹配程度评价有很大的意义利用“学科对总分上线贡献率”（双上线人数/总 分上线人数100%）和“学科有效分上线命中率”（双上线人数/单上线人数100%） 这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有 效安排备考复习计划具有十分重要的意义某州一诊考试划定总分一本线为 465 分，数 学一本线为 104 分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上 线贡献率、有效分上线命中率”分别是（）（结果保留到小数点后一位有效数字
4、） 学生 编号 1234567891011121314151617181920 数学 成绩 120 117 122 101 100 112 99 111 102 100 8998928494 113 97 104 8585 总分 成绩 495 494 493 485 483 483 482 480 479 475 471 470 463 457 454 453 448 448 441 440 A41.7%，71.4%B60%，71.4% C41.7%，35%D60%，35% 8已知函数 f（x）sin（x）+sin（x+）（0），若 f（x）在（，2）内没 有零点，则的取值范围是（） A（0，
5、B（0， C（0，D（0， 9已知函数 f（x）（x）3+1，则 f（）+f（）+f（）+f（） 的值为（） A1B2C2020D2021 10集合 A1，2，3，4，yf（x）是 A 到 A 的函数，方程 f（x）f（f（x）恰好有 两个不同的根，且 f（1）+（2）+f（3）+f（4）10，则函数 yf（x）x 的零点个数 为（） A1B2C1 或 2D4 11F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的焦点，以 F1F2为直径的圆依次与双 曲线的渐近线交于 A、B、C、D 四点，M 为直线 BD 上一点，若直线 MA，MC 的斜率之 积为，则双曲线的离心率 e（） AB+1CD 12在ABC
6、 中，A，若 BC，m0，n0，且（m21）tan2B2tanB+m210， sin2C+1n2，则有（） AmnBmnCmn1Dmn2 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（） 1+lg5+ lg4 14复数 z 满足|z+i|1，且 z+ 2，则 z 15在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A（2，3），B（3，4），则在+上 的投影为 16已知三棱柱 ABCA1B1C1，AA1面 ABC，P 为A1B1C1内的一点（含边界），且ABC 为边长为 2 的等边三角形，AA12，M、N 分别为 AC、BC 的中点，下列命题正
7、确的 有 若 P 为 A1C1的中点时，则过 A、P、B 三点的平面截三棱柱表面的图形为等腰梯形； 若 P 为 A1C1的中点时，三棱锥 PC1MN 的体积 V； 若 P 为 A1C1的中点时，NPA1B； 若 AP 与平面 ABC 所成的角与 PBCA 的二面角相等，则满足条件的 P 的轨迹是椭 圆的一部分 三、解答题：（共三、解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 为必考题为必考题， 每个考题考生都必须作答每个考题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.）
8、（一）必考题：每）（一）必考题：每 题题 12 分共分共 60 分分 17为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛为了解学生对数学 竞赛的喜爱程度是否与性别有关，现对高中部 200 名学生进行了问卷调查，得到如下 2 2 列联表： 喜欢数学 竞赛 不喜欢数 学竞赛 合计 男生70 女生30 合计 已知在这 200 名学生中随机抽取 1 人，抽到喜欢数学竞赛的概率为 0.6 （1） 将 22 列联表补充完整， 并判断是否有 90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？ （2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中男生抽取 3 人，女生抽取 2 人，再在这 5 人中抽取 3 人，调查其喜欢的活
9、动类型，求抽取的 3 人中至少有一名女生的概率 参考公式及数据： P（K2 k） 0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001 k0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828 18如图，在四棱锥 PABCD 中，已知棱 AB，AD，AP 两两垂直且长度分别为 1，2，2， ABCD，ABDC （1）若 PC 中点为 M，证明：BM平面 PAD； （2）求点 A 到平面 PCD 的距离 19 如图在锐角ABC 中， 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c， 若（asinA+csinCbsinB）
10、2asinBsinC （1）求角 B； （2） 若在线段 AC 上存在一点 D 使得 BD2， E 为 BD 延长线上一点， CEBE， CD 1，CE，求ABC 的面积 20已知抛物线 C：y22px（p0），过 C 的焦点 F 的直线 l1与抛物线交于 A、B 两点， 当 l1x 轴时，|AB|4 （1）求抛物线 C 的方程； （2）如图，过点 F 的另一条直线 l 与 C 交于 M、N 两点，设 l1，l2的斜率分别为 k1，k2， 若 k1+k20（k10），且 3SAMFSBMN，求直线 l1的方程 21已知函数 f（x）lnx+ax2，g（x）eaxlnx+ax （1）讨论函数 h
11、（x）f（x）+（a+2）x 的单调区间； （2）是否存在正数 a 使得关于 x 的方程 f（x）g（x）0 在区间（1+）上恰有两个 不等实数根？如果有，求出 a 的取值范围；如果没有，请说明理由 （二）选做题：（共（二）选做题：（共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（为参数，），以坐标原 点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C2的极坐标方程为2 （0） （1）求曲线
12、 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）在直角坐标系 xOy 中，倾斜角为的直线过点（0，1），分别与 C1，C2交于 A， B 两点，求|AB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）2|x1|+3|x2| （1）解不等式 f（x）4； （2）已知 f（x）mina+3b+5c（a，b，c 均为正实数），求 a2+b2+c2的最小值 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的
13、） 1集合 Ax|2x10，By|y2x1，xR，则 AB（） AB（0，+）C（0，）D（，+） 解：集合 Ax|2x10，Ax|x， By|y2x1，xR， 故 AB（）， 故选：D 2已知数列an为等差数列，数列an的前 5 项和为 S520，a56，则 a10（） A9B10C11D12 解：设等差数列an的公差为 d，S520，a56， 5a1+d20，a1+4d6， 解得 a12，d1， 则 a102+911， 故选：C 3一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数我国 数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个
14、大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 83+5在不超过 16 的素数中，随机地 取两个不同的数，其和等于 16 的概率是（） ABCD 解：在不超过 16 的素数 2，3，5，7，11，13 中， 随机地取两个不同的数， 基本事件总数 n15， 其和等于 16 包含的基本事件有： （3，13），（5，11），共 2 个， 其和等于 16 的概率是 P 故选：C 4已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 C，其长轴长为 4，焦距为 2，则 C 的方程为 （） A1 B1 或1 C1 D1 或+1 解：椭圆 C 中心在原点，其长轴长为 4，焦距为 2，焦点在 x 轴上时， a2，c1， ，
15、椭圆方程为：1， 当椭圆的焦点坐标在 y 轴上时，椭圆方程为：+1 故选：D 5已知数列an为等比数列，函数 yloga（2x1）+2 过定点（a1，a2），bnlog2an，数 列bn的前 n 项和为 Sn，则 S10（ ） A44B45C46D50 解：函数 yloga（2x1）+2 过定点（1，2）， a11，a22， 等比数列an的公比 q2， an2n 1， bnlog2ann1， 数列bn的前 n 项和为 Sn，则 S1045， 故选：B 6命题 p：实数 x、y 满足，命题 q：xy，则命题 p 是 q 的（）条件 A充分不必要B必要不充分 C充要D既不充分也不必要 解：对应的平
16、面区域为：阴影部分 ABC， xy 表示的区域在直线 yx 的下方， 由图象知阴影部分 ABC 都在 yx 的下方， 即 p 是 q 的充分不必要条件， 故选：A 7高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一 本、二本等各批次“学科上线有效分”的分数线考生总成绩达到总分各批次分数线的 称为总分上线；考生某一单科成绩达到该学科上线有效分的称为单科上线学科对总分 的贡献或匹配程度评价有很大的意义利用“学科对总分上线贡献率”（双上线人数/总 分上线人数100%）和“学科有效分上线命中率”（双上线人数/单上线人数100%） 这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生
17、总分上线的贡献与匹配程度，这对有 效安排备考复习计划具有十分重要的意义某州一诊考试划定总分一本线为 465 分，数 学一本线为 104 分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上 线贡献率、有效分上线命中率”分别是（）（结果保留到小数点后一位有效数字） 学1234567891011121314151617181920 生 编 号 数 学 成 绩 120 117 122 101 100 112 99 111 102 100 8998928494 113 97 104 8585 总 分 成 绩 495 494 493 485 483 483 482 480 479 475 47
18、1 470 463 457 454 453 448 448 441 440 A41.7%，71.4%B60%，71.4% C41.7%，35%D60%，35% 解：由题中的表格可知，双上线的人数为 5 人，总分上线的人数为 12 人，单上线的人数 为 7 人， 所以该小组数学学科对总分上线贡献率为：100%41.7%， 该小组数学学科对有效分上线命中率为：100%71.4% 故选：A 8已知函数 f（x）sin（x）+sin（x+）（0），若 f（x）在（，2）内没 有零点，则的取值范围是（） A（0，B（0， C（0，D（0， 解：函数 f（x）sin（x）+sin（x+）sinx+cosx
19、sin（x+）（ 0）， 当 x（，2），x+（+，2+）， ，f（x）在（，2）内没有零点，2+， 或+，且 2+2， 解求得 0，解求得 综上可得，0，或， 故选：D 9已知函数 f（x）（x）3+1，则 f（）+f（）+f（）+f（） 的值为（） A1B2C2020D2021 解：函数 f（x）（x）3+1，设 m+n1，则有 m， 所以 f（m）+f（n）， 所以当 m+n1 时，f（m）+f（n）2， 令 Sf（）+f（）+f（）+f（）， 所以 2Sf（）+f（）+f（）+f（）22020， 故 Sf（）+f（）+f（）+f（）2020 故选：C 10集合 A1，2，3，4，yf（
20、x）是 A 到 A 的函数，方程 f（x）f（f（x）恰好有 两个不同的根，且 f（1）+（2）+f（3）+f（4）10，则函数 yf（x）x 的零点个数 为（） A1B2C1 或 2D4 解：函数 yf（x）是 A 到 A 的函数，意思为 x1，x2，x3，x4 分别与 y1，y 2，y3，y4 中的某一个对应， 又 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）10， 当是 1+2+3+410 或 2+2+3+310 或 1+1+4+410 这三种情况， 比如 1 对 2，2 对 2，3 对 3，4 对 3， 即 f（1）f（f（1）2，f（3）f（f（3）3，有 f（2）2，f（3）3 两个零
21、点， 当是 3+3+3+110 或 2+2+2+410 这两种情况， 比如 1 对 4，2 对 2，3 对 2，4 对 2，则 f（3）f（f（3）2，f（4）f（f（4） 2， 此时只有 f（2）2 一个零点， 故选：C 11F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的焦点，以 F1F2为直径的圆依次与双 曲线的渐近线交于 A、B、C、D 四点，M 为直线 BD 上一点，若直线 MA，MC 的斜率之 积为，则双曲线的离心率 e（） AB+1CD 解：可设 F1（c，0），F2（c，0）， 以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2c2， 双曲线的渐近线方程为 yx， 联立，解得四个交点（a，b）
22、，（a，b），（a，b），m（a，b） ， 可设 A（a，b），B（a，b），C（a，b），D（a，b）， 设 M（x0，y0），因为 M 在 BD 上，可得 y0 x0， 即 M（x0，x0）， 则 kMA，kMC， 所以 kMAkMC， 则 e， 故选：C 12在ABC 中，A，若 BC，m0，n0，且（m21）tan2B2tanB+m210， sin2C+1n2，则有（） AmnBmnCmn1Dmn2 解：因为 A，BC， 所以 B，即 B， 因为（m21）tan2B2tanB+m21（m21）（1+tan2B）2tanB， 0， 所以 m21sin2B， 所以 m21+sin2B（si
23、nB+cosB）2， 又 m0， 所以 msinB+cosB， 因为 sin2C+1n2，n0， 所以 nsinC+cosC， 所以 m（1+）n，A 正确，B 错误； 因为 mn（sinB+cosB） （sinC+cosC）sinBsinC+sinBcosC+sinCcosB+cosBcosCcos（B C）+sin（B+C）2， 又 cos（BC）cos45， 所以mn2，即，C，D 错误 故选：A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（） 1+lg5+ lg43 解：原式 故答案为：3 14复数 z 满足|z+i|1，
24、且 z+ 2，则 z1i 解：设复数 za+bi，解得 a1， 又 z+ia+（b+1）i1+（b+1）i，且|z+i|1， 所以，解得 b1， 所以 z1i 故答案为：1i 15在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A（2，3），B（3，4），则在+上 的投影为6 解：由题意得，（5，7），+（1，1）， 则在+上的投影为6 故答案为：6 16已知三棱柱 ABCA1B1C1，AA1面 ABC，P 为A1B1C1内的一点（含边界），且ABC 为边长为 2 的等边三角形，AA12，M、N 分别为 AC、BC 的中点，下列命题正确的有 若 P 为 A1C1的中点时，则过 A、P、B 三点的平面截三棱
25、柱表面的图形为等腰梯形； 若 P 为 A1C1的中点时，三棱锥 PC1MN 的体积 V； 若 P 为 A1C1的中点时，NPA1B； 若 AP 与平面 ABC 所成的角与 PBCA 的二面角相等，则满足条件的 P 的轨迹是椭 圆的一部分 解：对于，取 B1C1的中点 Q，连结 PQ，AP，BP，如图（1）所示， 则 PQ 为C1A1B1的中位线，所以 PQA1B1， 因为 A1B1AB，所以 PQAB， 故梯形 ABOP 即为过 A，P，B 三点的截面， 在 RtAA1P 中， 在 RtBB1Q 中， 所以 APBQ，故梯形 ABQP 为等腰梯形，故选项正确； 对于，过点 N 作 NDAC，垂
26、足为 D，如图（1）所示， 因为 AA1平面 ABC，ND平面 ABC，所以 AA1ND， 又 ACAA1A，所以 ND平面 AA1C1C， 所以 N 到平面 PMC1的距离即为 ND， 所以， 则，故选项正确； 对于，设 BC1的中点为 E，如图（2）所示， 则 PE 为C1A1B 的中位线，所以 PEA1B， 因为 PNPEP，PN平面 C1A1B，则 PN 与 A1B 不平行，故选项错误； 对于，过点 P 作 PS平面 ABC，垂足为 S，连结 AS， 过 S 作 SRBC 与点 R，连结 PR， 过点 P 作 PTB1C1于点 T，连结 A1P， 因为四边形 AA1PS 为矩形，所以
27、ASA1P， 四边形 PSRT 为矩形，所以 SRPT， 因为 PSBC，SRBC，且 PSSRS，所以 BC平面 PSR， 又 PR平面 PSR，所以 BCPR， 所以PRS 即为二面角 PBCA 的平面角， 因为 PS平面 ABC，所以PAS 即为 PA 与平面 ABC 所成的角， 所以PASPRS，因为， 所以 ASSR，则有 A1PPT， 所以点 P 到定点 A1的距离等于点 P 到定直线 B1C1的距离， 所以点 P 的轨迹为抛物线（A1为焦点，B1C1为准线），故选项错误 故正确的是 故答案为： 三、解答题：（共三、解答题：（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，
28、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 为必考题为必考题， 每个考题考生都必须作答每个考题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：每）（一）必考题：每 题题 12 分共分共 60 分分 17为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛为了解学生对数学 竞赛的喜爱程度是否与性别有关，现对高中部 200 名学生进行了问卷调查，得到如下 2 2 列联表： 喜欢数学 竞赛 不喜欢数 学竞赛 合计 男生70 女生30 合计 已知在这 200 名学生中随机抽取 1 人，抽到喜欢数学竞赛的概率为 0.6 （1
29、） 将 22 列联表补充完整， 并判断是否有 90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？ （2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中男生抽取 3 人，女生抽取 2 人，再在这 5 人中抽取 3 人，调查其喜欢的活动类型，求抽取的 3 人中至少有一名女生的概率 参考公式及数据： P（K2 k） 0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001 k0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828 解：（1）在这 200 名学生中随机抽取 1 人，抽到喜欢数学竞赛的概率为 0.6， 喜欢数学竞赛的人数为 2000.6120（人），
30、 不欢数学竞赛的人数为 80 人， 22 列联表如下图： 喜欢数学 竞赛 不喜欢数 学竞赛 合计 男生7050120 女生503080 合计12080200 0.3472.71， 没有 90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关 （2）记 3 名男生为 A，B，C，2 名女生为 a，b， 则 5 人中抽取 3 人的所有可能情况为：（A，B，C），（A，B，a），（A，B，b），（A， C，a），（A，C，b），（A，a，b），（B，C，a），（B，C，b），（B，a，b），（C， a，b）， 共 10 种结果，其中 3 人中至少有一名女生的 9 种， 所以所求概率 P 18如图，在四棱锥 PABC
31、D 中，已知棱 AB，AD，AP 两两垂直且长度分别为 1，2，2， ABCD，ABDC （1）若 PC 中点为 M，证明：BM平面 PAD； （2）求点 A 到平面 PCD 的距离 【解答】（1）证明：分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系如图所示， 因为 AB，AD，AP 的长度分别为 1，2，2，且 ABDC， 则 A（0，0，1），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0）， 又 M 是 PC 的中点，所以 M（1，1，1）， 所以，由已知可得平面 PAD 的一个法向量为， 则， 所以，又 BM平面 PAD， 所以
32、BM平面 PAD； （2）解：设平面 PDC 的法向量为， 因为， 则有，即， 令 y1，则 x0，z1，故， 又， 所以点 A 到平面 PCD 的距离 19 如图在锐角ABC 中， 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c， 若（asinA+csinCbsinB） 2asinBsinC （1）求角 B； （2） 若在线段 AC 上存在一点 D 使得 BD2， E 为 BD 延长线上一点， CEBE， CD 1，CE，求ABC 的面积 解：（1）由正弦定理知， （asinA+csinCbsinB）2asinBsinC， （a2+c2b2）2acsinB，即， 由余弦定理知，cosB，
33、 tanB， B（0，），B （2）在 RtCDE 中，sinCDE，CDE， cosCDBcos（CDE）cosCDE， 在BCD 中，由余弦定理知，BC2BD2+CD22BDCDcosCDB4+2 2（1）（）6， BC， 由正弦定理知，即， sinBCD， BCD 为锐角，cosBCD， sinAsin（BCD+ABC）sinBCDcosABC+cosBCDsinABC +， 在ABC 中，由正弦定理知，即， AB（1）， ABC 的面积 SABBCsinB（1） 20已知抛物线 C：y22px（p0），过 C 的焦点 F 的直线 l1与抛物线交于 A、B 两点， 当 l1x 轴时，|A
34、B|4 （1）求抛物线 C 的方程； （2）如图，过点 F 的另一条直线 l 与 C 交于 M、N 两点，设 l1，l2的斜率分别为 k1，k2， 若 k1+k20（k10），且 3SAMFSBMN，求直线 l1的方程 解：（1）根据题意可得 F（，0）， 当 l1x 轴时，直线 l1的方程为 x， 联立，解得 yp， 所以 A（，p），B（，p）， 所以|AB|2p4，解得 p2， 进而可得抛物线的方程为 y24x （2）由（1）可知 F（1，0）， 设直线 l1的方程为 yk1（x1）， 联立，得 k12x2（2k12+4）x+k120， 所以（2k12+4）24k1216k12+160，
35、 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以 x1+x2，x1x21， 因为 k1+k20， 所以 k1k2， 因为直线 l2与抛物线交于点 M，N， 所以 A 与 N 关于 x 轴对称，M 与 B 关于 x 轴对称， 因为 3SAMFSBMN，SAMFSBNF， 所以 3SAMFSAMF+SBFM， 所以 2SAMFSBFM， 所以 2|AF|BF|， 由抛物线定义可得|AF|x1+1，|BF|x2+1， 所以 2x1+2x2+1，即 x22x1+1， 代入得（2x1+1）x11，解得 x1或1（舍去）， 所以 x22x1+12+12， 所以 x1+x22，解得 k128，即 k12，
36、所以直线 l1的方程为 y2（x1） 21已知函数 f（x）lnx+ax2，g（x）eaxlnx+ax （1）讨论函数 h（x）f（x）+（a+2）x 的单调区间； （2）是否存在正数 a 使得关于 x 的方程 f（x）g（x）0 在区间（1+）上恰有两个 不等实数根？如果有，求出 a 的取值范围；如果没有，请说明理由 解：（1）由已知可得 h（x）+2ax+（a+2）（x0）， 当 a0 时，h（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，令 h（x）0，得 x， 当 x（0，）时，h（x）0，h（x）单调递增； 当 x（，+）时，h（x）0，h（x）单调递减 综上可得，当 a0
37、 时，h（x）的单调递增区间为（0，+）； 当 a0 时，h（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+） （2）方程 f（x）g（x）0 在区间（1+）上恰有两个不等实数根， 等价于方程 lnx+ax2eaxlnx+ax 在区间（1+）上恰有两个不等实数根， 因为 a0，即等价于方程在区间（1+）上恰有两个不等实数根， 令函数 h（x）（x1），则， 令 G（x）lnx1+（x1），则 G（x）0， G（x）在（1，+）单调递增，G（x）G（1）0， h（x）0，h（x）在（1，+）单调递增， 故方程在区间（1+）上恰有两个不等实数根， 等价于方程 h（eax）h（x）在区间（1+）
38、上恰有两个不等实数根， 等价于方程 eaxx 在区间（1+）上恰有两个不等实数根， 等价于方程 axlnx 在区间（1+）上恰有两个不等实数根， 等价于方程 a在区间（1+）上恰有两个不等实数根 令 m（x）（x1），则 m0，解得 xe， 当 x（1，e）时，m（x）递增，当 x（e，+）时，m（x）递减，且 f（1） m（x）的图象如下： 根据图象可得存在正数 a 使得关于 x 的方程 f（x）g（x）0 在区间（1+）上恰有两 个不等实数根， a 的取值范围为：（0，） （二）选做题：（共（二）选做题：（共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答
39、.如果多做，则按所做的如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分.）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（为参数，），以坐标原 点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C2的极坐标方程为2 （0） （1）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）在直角坐标系 xOy 中，倾斜角为的直线过点（0，1），分别与 C1，C2交于 A， B 两点，求|AB| 解：（1）曲线 C1：（为参数，），转换为普通方程为 x2+y2 1（x0） 曲线 C2的极坐标方程为2（0）根据， 整理得：5232（12sin2）8， 转
40、换为直角坐标方程为（0y1） （2）倾斜角为的直线过点（0，1），整理得 yx1， 由于直线与分别与 C1，C2交于 A，B 两点， 所以，解得或（舍去）， ，解得（舍去）或， 故|AB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）2|x1|+3|x2| （1）解不等式 f（x）4； （2）已知 f（x）mina+3b+5c（a，b，c 均为正实数），求 a2+b2+c2的最小值 解：（1）f（x）2|x1|+3|x2| f（x） 4，或或， ，不等式的解集为 （2）由（1）知 f（x）mina+3b+5c2， 又a，b，c 是正实数， 由柯西不等式得（a2+b2+c2）（12+32+52）（a+3b+5c）2， 当且仅当时，等号成立） a2+b2+c2的最小值为
