1、2020 学年奉贤区学科教学质量调研 高三数学（2021.4） （完卷时间（完卷时间 120120 分钟，满分分钟，满分 150150 分）分） 一一填空题填空题( (本大题满分本大题满分 5454 分分）本大题共有本大题共有 1212 题题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果，写结果，1-61-6 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 4 分分, , 7-127-12 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 5 分分) ) 1、 经过点2,4的抛物线 2 yax焦点坐标是_ 2、把一个表面积为16平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假
2、设 没有任何损耗） ，则圆锥的高是_厘米 3、 已 知 1 1 i z i （i是 虚 数 单 位 ） 是 方 程 2 10 xax aR的 一 个 根 ， 则 za_ 4、 已知各项为正的等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 576 0aaa，则 11 S=_ 5、已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入 为_万元 家庭年收入 （以万元为单位） 4,55,66,77,88,99,10 频率f0.20.20.20.260.070.07 6、某参考辅导书上有这样的一个题： 你对这个题目的评价是_（用简短语句回答） 7、用 0、1 两个数字编码，码长为
3、4 的二进制四位数（首位可以是 0） ，从所有码中任选一 码，则事件1A 码中至少有两个的概率是_ 8、设 n S为正数列 n a的前n项和， 11nn SqSS ，1q ,对任意的1n ，nN均有 +1 4 nn Sa ，则q 的取值为_ 9、函数3 31 x x a y 在0,内单调递增，则实数a的取值范围是_ 10、假如 1 n x x 的二项展开式中 3 x项的系数是84，则 1 n x x 二项展开式中系数最小 的项是_ 11、函数 2 cosfxx n (xZ)的值域有6个实数组成， 则非零整数n的值是_ 12、如图，已知P是半径为 2 圆心角为 3 的一段圆弧AB上的一点， 若2
4、ABBC ，则PAPC 的值域是_ 二二选择题选择题（本大题满分本大题满分 20 分分）本大题共有本大题共有 4 题题，每题有且只有一个正确答案每题有且只有一个正确答案，考生应在考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分分，否则一律零分 13、如图，PA 面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向 量中，数量积不一定为零的是（） APC 与BD BPB 与DA CPD 与AB DPA 与CD 14、下列选项中，y可表示为x的函数是（） A 2 30 y xB 2 3 xy C
5、sin arcsinsinxyD 2 ln yx 15、已知 1 x、 2 x、 1 y、 2 y都是非零实数， 2 2222 12121122 x xy yxyxy成立的 充要条件是（） A 21 21 101 00 11 0 xx yy B 11 22 101 00 0 yx yx C 11 22 101 00 0 yx xy D 21 12 101 00 11 0 xx yy 16、设点A的坐标为ba,，O是坐标原点，向量OA绕着O点顺时针旋转后得到A O ， 则 A 的坐标为（） Acossinsincosabab，Bcossinsabbcosa in， Csincoscossabab
6、 in，Dcosssincosba inba， 题题图图12 题图题图13 三解答题（第三解答题（第 17-19 题每题题每题 14 分，第分，第 20 题题 16 分，第分，第 21 题题 18 分，满分分，满分 76 分）分） 17、已知M、N是正四棱柱 1111 ABCDABC D的棱 11 BC、 11 C D的中点 异面直线MN与 1 AB所成角的大小为 10 arccos 10 （1） 、求证：M、N、B、D在同一平面上； （2） 、求二面角 1 CMNC的大小 18、设函数 lg 1 cos2cosfxxx，0, 2 （1） 、讨论函数 yfx的奇偶性，并说明理由； （2） 、设
7、0，解关于x的不等式 3 0 44 fxfx 19、假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，平面xOy内有一跟踪和控制飞 行机器人T的控制台A，A的位置为0,200,170 上午 10 时 07 分测得飞行机器人T在 120,80,150P处,并对飞行机器人T发出指令:以速度 1 13v 米/秒沿单位向量 1 3 124 13 1313 d ， ，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物） ，10 秒后到达Q点，再发出指令让 机器人在Q点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/ 秒，再沿单位向量 2 121 222 d ，作匀速直线飞行（飞行中无障碍物） ，当飞行机
8、器 人T最终落在平面xOy内发出指令让它停止运动机器人T近似看成一个点 （1） 、求从P点开始出发 20 秒后飞行机器人T的位置； （2） 、求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米） z x y A P O 题图题图19 20、曲线 22 1 1 xy a 与曲线 22 1 49 xy a 0a 在第一象限的交点为A曲线C是 22 1 1 xy a （1 A xx）和 22 1 49 xy a （ A xx）组成的封闭图形曲线C与x轴的左 交点为M、右交点为N （1） 、设曲线 22 1 1 xy a 与曲线 22 1 49 xy a 0a 具有相同的一个焦点F，求线段A
9、F 的方程； （2） 、在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF，请说明理由 （3） 、设过原点O的直线l与以,0D t0t为圆心的圆相切，其中圆的半径小于 1，切点 为T直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q当 2 22 11 +=OT OPOQ 对任意直 线l恒成立，求t的值 21、设数列 n a满足， 1 1 1 sin cos nnnn n nnnn akaaa a akaaa ， 1nn aa ，设 1 aa， 2 ab （1） 、设 5 = 6 b ，k ，若数列的前四项 1 a、 2 a、 3 a、 4 a满足 1423 a aa a，求a； （2） 、已知0k
10、 ，4n ，nN，当0 2 a ，0 2 b ，ab时，判断数列 n a是 否能成等差数列，请说明理由； （3） 、设4a ，=7b，1k ，求证：对一切的1n ，nN，均有 7 2 n a 2020 届高三数学二模参考答案 一、填空 1、 1 0, 4 2、83、14、22 5、6.516、无正确选择支，条件自相矛盾，是错题，无解（意思对即可） 7、 11 16 8、29、,410、 126 x 11、10, 11、12、52 13,0 二、选择题 13、A14、D15、C16、B 三、解答题 17 （1）画出图 连接MN、DB、 11 D B M是棱 11 BC的中点、N是棱的 11 C
11、D的中点， MN平行 11 D B DB平行 11 D B 所以MN平行DB M、N、B、D确定一个平面 即M、N、B、D在同一平面上 （2） 、 由（1）可知 11 AB D（或其补角）是异面直线MN与 1 AB所成的角 设底面ABCD的边长为a，正四棱柱高h 22 1 ABah， 22 1 ADah， 11 2B Da， 22222 11 22 210 cos 10 22 ahaah AB D aha ，解得2ha 取MN的中点O，因为CMCN， 11 C MC N， 则 1 ,COMN C OMN， 1 COC是二面角 1 CMNC的平面角 1 2 4 C Oa， 1 Rt COC中，
12、1 1 1 2 tan4 2 2 4 CCa COC OC a 二面角 1 CMNC的大小为arctan4 2 18（1）根据对数有意义，得1 cos20 x，cos21x xkkZ定义域关于原点对称， 当函数是偶函数，那么有 fxfx， lg 1 cos2coslog 1 cos2cosxxxx coscosxx 展开整理得2sin sin0 x对一切xkkZ恒成立， O 0,0 2 当函数是奇函数，那么任意定义域内 0 x有0 00 xfxf， 例如 4 0 x，0 44 ff ， lg 1 cos()coscos 4244 f lg 1 coscos=cos 4244 f 0 44 ff
13、 ，推得cos0显然这样0 2 ，是不存在的， 所以当0, 2 时既不是奇函数又不是偶函数 说明假命题只能举反例 （2） 3 0 44 fxfx 代入得 33 lg 1 cos2coslg 1 cos2cos0 4444 xxxx 这一步没有分 3 lg 1sin2coslg 1sin2cos0 44 xxxx 化简coscos0 44 xx 展开整理得2coscos0 4 x 0, 2 cos0，所以cos0 4 x 112 2 cos0 4 , 4 3 4 x xkkZ kZ xk ， 所以不等式解集为 335 2,22,2, 4444 mmmmmZ 19、 （1）设飞行时间为t秒，T的位
14、置xyz， ， 当010t 时，13v 11 ,13PTdt ， 3 124 150,80,12013, 13 1313 xyzt 当010t 时，所以 1503 80 12 1204 xt yt zt 10t 得180 200,80Q， 当1012t 时180 200,80Q， 当1232t 时 22 ,812QTdt ， 121 180,200,80812, 222 xyzt 所以 1804121324 2004 21220048 24 2 804121284 xtt ytt ztt 20t 秒后飞行机器人T的位置 212,20032 2,48 （2）当010t 时 222 1503170
15、80 122001204ATttt 2 169369029200ATtt 定义域内单调递减 min 10,10 6581tATAQ 当1012t 时 min 10 6581ATAQ 当1232t 时 1324 20048 24 2 ,1284Tttt， 2 22 132417020048 24 22001284ATttt 2 22 43848 24 21284ATttt 2 64209622436ATtt 2 131 645275 8 ATt min 16.375,73tAT 答：在整个行驶过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离73米 20、 （1）线段AF的方程 420 7 5 335 yx
16、x 7 24 , 55 A ， 5,0F ，线段 AF的方程 37 55 45 yxx （2）方法一：7,0N，2NF 假设点S在曲线 22 1 124 xy 上 22 222 7 77241251450 1 5 SNxyxxxxx 单调递增 6SN 所以点S不可能在曲线 22 1 124 xy 上 所以点S只可能在曲线 22 1 4924 xy 上，根据NFNS得 2 2 22 74 1 4924 xy xy 可以得到 16148 , 2525 S 当 F 左焦点，12NF ,同样这样的S使得NFNS不存在 所以这样的点S一共 2 个 （3）设直线方程ykx，圆方程为 2 22 01xtyr
17、r 直线与圆相切，所以 22 1 kt r k 1 2 2 222 2 k t DTODOTOT 2 2 2 2 1 P ykx a x y akx a ， 2 2 222 11 11 P ak kxka OP 2 2 2 2 49 49 1 49 Q ykx a x xy ak a ， 2 2 222 1149 1491 Q ak kxka OQ 22 22 22 1149 1491 akak kaka OPOQ 22 22 14950 491491 akak aakk 根据 2 22 11 +=OT OPOQ 得到 2 505 2 497 tt 补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数a
18、的影响，蕴含着如下关系， 2 22 2 2 5050124 1,0 4914917 1200 1, 117649 ka rk kk a rTT a 当，存在否则不存在 这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线 C 有两个交点的大前提，当共焦点时 24 2 0,0,1 35 r 存在2 7 5 t 24 2 1 35 r ，不存在 21、 （1）当ab时， 322 5 sin 623 aaa ， 433 cos 326 aaa 根据条件得 1423 5 3 a aa aa 当ab时， 322 53 3 53 cos 626 aaa ， 0 6 )335( sin 34 aa 所以 34 aa
19、， 3 4 1 a a 根据条件得 3 142322 4 , a a aa aaaa a 与ab不符合，舍去 所以 5 3 a （2）假设数列 n a成等差数列，设公差为d 因为ab，所以 21 0 2 daaba ，则 n a是单调递增的正数列 因此 1 sin nnn daaka ， 211 sin nnn daaka 所以 1 sinsin nn aa 得到Zmmmaa nn , 0,2 1 （舍去）或者 1 2,0, nn aammmZ 从而 12 2,0, nn aalllZ lm 推得 2 =22 , nn aalmddlm 与 1 0 2 nn daa ，矛盾 所以数列不可能成等
20、差数列 （3）设4a ，=7b，1k 得到 3 7 =7+sin78 2 a 得到 433 7 =+sin=7+sin7+sin 7+sin79 2 aaa 假设数列 n a中有不小于 7 2 的项，设 k a是第一个不小于 7 2 的项，(4,kkN)， 即 1 7 2 kk aa 根据运算性质可以得 1 1 1 sin cos nnn nn nnn aaa aa aaa ， 即数列中的任何相邻两项的差都不大于 1， 因此 1 77 31 22 k a ，即 1 7 3 , 2 k a ， 而在这个区间中 11 sin0,cos0 kk aa ，从而 112 1 112 sin 0 cos kkk kk kkk aaa aa aaa ， 得到 1 7 3 , 2 kk aa 产生矛盾所以对一切的nN，均有 7 2 n a
