1、一、填空题（本题满分一、填空题（本题满分 12 分，每空分，每空 1 分）分） (一一) 已知函数 xdtexf xt ,)( 0 2 12 . （1）)(xf 2 2 1t e . （2）)(xf的单调性： 单调增加 . （3）)(xf的奇偶性： 奇函数 . （4）)(xf图形的拐点： （0，0） （5）)(xf图形的凹凸性：0 x 时上凹（下凸）,0 x 时下凹（上凸）. （6）)(xf图形的水平渐近线近线： , 22 yy (二二) 1110 1101 1011 0111 3. (三三) 1 0001 0010 0100 1000 0001 0010 0100 1000 . (四) 假设
2、( )0.4()0.7P AP AB，那么 （1）若 A 与 B 互不相容，则 P（B）=0.3. （2）若 A 与 B 相互独立，则 P（B）=0.5. 二、 （本题满分二、 （本题满分 10 分） （每小题，回答正确得分） （每小题，回答正确得 2 分，回答错误得分，回答错误得-1 分，不回答得分，不回答得 0 分； 全题最低得 分； 全题最低得 0 分）分） （1）若极限)(lim 0 xf xx 与)(lim 0 xf xx )(xg都存在，则极限)(lim 0 xg xx 必存在. （） （2）若 0 x是函数)(xf的极值点，则必有0)( 0 x f. （） （3）等式 aa dx
3、xafdxxf 00 ,)()(对任何实数a都成立. （） （4）若 A 和 B 都是n阶非零方阵，且 AB=0，则 A 的秩必小于n.（） 1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷四） 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷四） （5）若事件 A，B，C 满足等式,ACBC 则 A=B.（） 三、 （本题满分三、 （本题满分 16 分，每小题分，每小题 4 分分.） (1) 求极限 1 1 lim ln x x x xx 解一：解一： 此极限为 0 0 型未定式，由罗必塔法则，则 11 (ln1) =limlim1 ln1
4、 x x xx xx x x 原式. 4 分 解二：解二： 令lntxx，则 xt xe.由于当1x 时，0t ，可见 00 1 =limlim1 t t tt e e t 原式.4 分 (2) 已知xyeu，求 yx u 2 . 解：解：由于 11 uu uyux xeye ，2 分 可见 2 2 1 (1) uu u u eye uuy x yyxe 3 分 3 1 1(1) u uu xye ee . 4 分 (3) 求定积分 )1 ( 3 0 xx dx . 解一：解一： 由于2 () dx dx x ，可见 原式 3 0 2 = 1 dx x 2 分 2 3 .4 分 解二：解二：
5、令 2, 2xtxt dxtdt，；当0 x 时，0t ；当3x 时，3t ； 1 分 于是， 3 2 0 2 = 1 dt t 原式2 分 3 0 2arctanx3 分 2 3 .4 分 (4) 求二重积分 66 0 cos y x dydx x . 解：解： 在原式中交换积分次序，得 原式 6 00 cos x x dxdy x 2 分 6 0 =cosxdx 6 0 1 =sin 2 x 4 分 . 四、 （本题满分分，每小题分）四、 （本题满分分，每小题分） (1) 讨论级数 1 1 )!1( n n n n 的敛散性 解：解：由 11 1 21 1 (2)!(2)21 1 (1)(
6、1)11(1)! (1) nn n nn n n unnnnn unnnnn n ，有 1 1 limlim 211 1 1 (1 1 ) n n n n n n e u un n ，2 分 故由级数收敛的比值判别法，知 1 1 )!1( n n n n 收敛. 3 分 (2) 已知级数 1 2 n a和 2 i i n b 都收敛，试证明级数 1n nnb a绝对收敛. 证：证： 由于级数 1 2 n a和 2 i i n b 都收敛，所以 22 1 1 () 2 ii n ab 收敛. 2 分 而 22 1 () 2 n nnn a bab， 故由比较判别法，知级数 1 | nn n a
7、b 收敛，即 1n nnb a绝对收敛. 3 分 五、 （本题满分五、 （本题满分 8 分）分） 已知某商品的需求量和供给量都是价的函数： 2 ( ) a DD p p ，( )SS pbp， 其中a0和b0是常数： 价格p是时间t的函数且满足方程(),()(pspdk dt dp k是常数） ， 假设当 t=0 时价格为 1.试求： （1）需求量等于供给量时的均衡价格 e P； （2）价格函数)(tp； （3）极限)(limtp t . 解：解：(1) 当需求量等于供给量时，有 2 a bp p ，即 3 a p b . 故 1 3 ( ) e a p b .1 分 (2) 由条件知 3 2
8、2 ( )( ) dpaba k D pS pkbpkp dtppb . 因此有 33 2 e dpb kpp dtp ，即 2 33 e p dp kbdt pp . 3 分 在该式两边同时积分得 333kbt e ppce. 5 分 故由条件(0)1P，可得 3 1 e cp .于是价格函数为 1 333 3 ( )(1) kbt ee p tpp e. 6 分 (3) 1 333 3 lim ( )lim(1) kbt eee tt p tpp ep 8 分 六、 （本题满分六、 （本题满分 8 分）分） 在曲线 2( 0)yx x上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积
9、为 1 12 ，试求： (1) 切点 A 的坐标； (2) 过切点 A 的切线方程； (3) 由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 解：解：设切点 A 的坐标为 2 ( ,)a a， 则过点 A 的切线方程的斜率为 |2 x a ya ，切线方程为 2 2 ()yaa xa，即 2 2yaxa.2 分 可见，切线与x轴的交点为 2 (,0) 2 a . 故曲线、x轴以上及切线这三者所围图形的面积为 3333 2 0 43412 a aaaa Sx dx . 4 分 而由题设知 1 12 S ，因此1a . 5 分 于是，切点 A 的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为2
10、1yx. 6 分 旋转体的体积为 11 2 22 1 0 2 ()(21) 30 Vxdxxdx .8 分 七、 （本题满分七、 （本题满分 8 分）分） 已给线性方程组 1234 1234 1234 1234 231 231 231 231 xxxx xxxx xxxx xxxx ，问 1 k和 2 k各取何值时，方程组无解？有唯一 解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解. 解：解： 以A表示方程组的系数矩阵，以(|)A B表示增广矩阵， 因 1 2 11123 31361 (|) 33115 1510 12 k k A B 1 2 11123 10121 40022 5000
11、3 k k 2 分 故当 1 2k 时，( )(|)4RRAA B，方程组有唯一解； 3 分 当 1 2k 时，有 22 1111231123 1101210121 (|) 4200020001 5100030000kk A B4 分 这时，若 2 1k ，则( )3(|)4RRAA B，故方程组无解； 若 2 1k ，则( )(|)34RRAA B，故方程组有无穷多组解，此时有 6 分 1123 11004 010008 01211012110120 3 (|) 0001 20001 20001 2 0000 00000 00000 0 A B 7 分 相应的方程组为 1 23 4 8; 3
12、2 2. x xx x ，取 3 xc（c为任意常数） ，得方程组的一般解： 1234 8,3 2 ,2xxc xc x . 8 分 综上所述：当 1 2k 时，方程组有唯一解；当 1 2k 而 2 1k 时，方程组无解； 当 1 2k 且 2 1k 时，方程组有无穷多组解，其一般解为 1234 8,3 2 ,2xxc xc x ，其中c为任意常数. 八、 （本题满分八、 （本题满分 7 分）分） 已知向量组 1,2, , s a aa（S2） 线性无关， 设 11222311 , ssss aaaaaaa ， 讨论向量组 12 , s 的线性相关性. 解：解：假设 12 , s k kk是一
13、数组，满足条件 1122 0 ss kkk1 分 那么，有 111221 ()()()0 ssss kkkkkk . 由于, 2, 1s aaa 线性无关，故有 1 12 23 1 0 0 0 0 s ss kk kk kk kk （*） 3 分 此方程组的系数行列式为s阶行列式： 1 10001 11000 2, 1 ( 1)01100 0, 00011 s D 若s为奇数 若s为偶数 5 分 若s为奇数，则20D ，故方程组（*）只有零解，即 12 , s k kk必全为 0. 这时，向量组 12 , s 线性无关. 若s为偶数，则0D ，故方程组（*）有非零解，即存在不全为 0 的数组
14、12 , s k kk ， 使 1122 0 ss kkk.这时，向量组 12 , s 线性相关,7 分 九、 （本题满分九、 （本题满分 6 分）分） 设 A 是三阶方阵， A是 A 的伴随矩阵， A 的行列式 . 2 1 A求行列式 AA2)3 ( 1 的值. 解：解： 因 11 1 (3 ) 3 AA， 2 分 故 *11 1 | 2 AA AA， 3 分 所以 3 11111 122 (3 )2| 333 AA AAAA5 分 16 27 .6 分 十、 （本题满分十、 （本题满分 7 分）分） 玻璃杯成箱出售，每箱? 20 只，假设各箱含? 0，1，2 只残次品的概率是0.8，0.1
15、 和? 0.1， 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察? 4 只，若无 残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： (1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率. 解：解：设 i B箱中恰有 i 件残品次品 （0,1,2i ） ，A顾客买下所察看的一箱. 1 分 由题意知 012 ()0.8, ()0.1, ()0.1P BP BP B； 4 19 01 4 20 4 (|)1, (|) 5 C P A BP A B C ； 4 18 2 4 20 12 (|) 19 C P A B C .3 分 (1) 由全概率公式 2 0
16、 0.41.2 ( )() (|)0.80.94 519 ii i P AP B P A B ； 5 分 (2) 由贝叶斯公式 00 0 () (|)0.8 (|)0.85 ( )0.94 P B P A B P BA P A .7 分 十一、 （本题满分十一、 （本题满分 6 分）分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随意抽 查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出 X 的概率分布； (2) 利用棣莫佛拉普拉斯定理， 求出索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值. 解：解：(1) X服从二项分布，参数100,
17、0.2np，其概率分布为 100 100 0.2 0.8(0,1,100) kkk P XkCk . 2 分 (2) 由( , )XB n p知，20,(1)16EXnpDXnpp,4 分 故根据棣莫佛拉普拉斯定理，有 1420203020 1430 161616 X PXP 20 1.52.5 4 X P 5 分 (2.5)( 1.5)(2.5)1(1.5) 0.9941 0.9330.927.6 分 十二、 （本题满分十二、 （本题满分 6 分）分） 假设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量 x eY 2 的概率密度 f(y). 解：解：由条件知，X的密度函数为 1,12 ( ) 0, x p x 若 其他 1 分 记( )F yP Yy为Y的分布函数，则有 2 1ln 24 2 1 4 0,2 ( ),3 1,4 y ye F ydxeye ye 若 分 若 分 若 分 因此 2 24 4 0, 1 ( )( ), 2 0, ye f yF yeye y ye 若 若 若 于是（当 24 ,ye e时，补充定义( )0f y ） ，得 24 4 1 , 2( ) 0 eye yf y ye 若 若 . 6 分
