1、1 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】 sin cos xy exy ydxxdy 【解析】方法一方法一：先求出两个偏导数 z x 和 z y ,然后再写出全微分dz, sinsin sinsin coscos coscos xyxy xyxy z exy yyexy x z exy xxexy y , 所以 sinsin coscos xyxy zz dzdxdyyexydxxexydy xy sin co
2、s() xy exy ydxxdy. 方法二方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz. sinxysinxysinxysinxy dzd eed sinxyecos xydxyecos xy ydxxdy. (2)【答案】1a ,1b ,1c 【解析】由于曲线 f x与 g x都通过点1 0 ,则 110 10 fa gbc , 又曲线 f x与 g x在点1 0 ,有公切线,则11fg,即 2 1 1 133122 x x fxaagbxb , 亦即32ab ,解之得1a ,1b ,1c . (3)【答案】1xn ； 1n e 【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式 0 n
3、n kn kk n k uvC uv 可知, ( )0( )1(1)2(2)( ) ( )()()() nxnxnxnnnx nnnn fxC x eC x eC x eC xe 00() xxx xenexn e. 对函数 n g xfx求导,并令 0gx,得 2 (1)( ) (1)0 nx gxfxxne , 解之得驻点1xn ,且 ( )0,(1),( ) ( )0,(1),( ) g xxng x g xxng x 函数严格单调递减 函数严格单调递增 ； ； 故1xn 是函数 n g xfx的极小值点,极小值为 ( )11 (1)(1)(1) nnn gnfnnn ee . (4)【
4、答案】 1 1 0 0 B A 【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有 12 34 00 00 XXAE XXBE , , 由对应元素或块相等,即 3 4 1 2 , 0, 0, . AXE AX BX BXE 从A和B均为可逆矩阵知 11 3412 ,0,0,XAXXXB .故应填 1 1 0 0 B A . (5)【答案】 x 113 P Xx 0.40.40.2 【解析】 因为随机变量X的分布函数( )F x在各区间上的解析式都与自变量x无关,所以 在( )F x的连续点,0P Xx,只有在( )F x的间断点处X取值的概率才大于零,且 ( )(0)P XxP XxP XxF xF x,
5、则 1( 1)( 1 0)0.4P XFF , 1(1)(1 0)0.80.40.4,P XFF 3(3)(30)1 0.80.2.P XFF 因此X的概率分布为 3 x 113 P Xx 0.40.40.2 二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.) (1)【答案】(A) 【解析】由重要极限 1 lim(1)x x e x 可知, 极限 ( 1)1 11 lim(1)lim1 () xx xx e xx , ( 1)1 11 lim(1)lim(1) xx xx e xx . 而极限 00 11 1 lim ln(1)limln(1)
6、 ln(1) 00 1 lim(1)lim x x xx x xxx x xx eee x , 令 1 t x ,则 0 1ln(1)1 limln(1)limlim0 1 tt x t x xtt 洛, 所以 0 1 limln(1) 0 0 1 lim(1)1 x x xx x ee x . 故选项(A)正确. (2)【答案】(D) 【解析】 因为 22 2 1 ( 1)n nn aa n ,由 2 1 1 n n 收敛及比较判别法可知 2 1 ( 1)n n n a 绝对收敛. 即(D)正确. 另外,设 1 (1,2) 2 n an n ,则可知 (A) 111 111 22 n nnn
7、 a nn , (C) 1 111 2 121 22 n nnn a n n 都不正确. 设 212 1 0,(1,2) 4 nn aan n ,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B). 【解析】由为A的特征值可知,存在非零向量X,使得AXX. 两端同时乘以 * A,有 * ()AXA AX,由公式 * A AA得到 * A XA X.于是 *1 A XA X . 按特征值定义知 1 A 是伴随矩阵 * A的特征值.故应选(B). 4 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维 列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征 向
8、量. (4)【答案】(D) 【解析】A BAB,如果AB ,则A B ,即A与B互不相容；如果 AB ,则A B ,即A与B相容.由于A、B的任意性,故选项(A)(B)均不正确. 任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和. 又因AB ,从而 ABABA,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A、B互不相容 等同于A、B相互独立而错选(C). A,B不相容, P A, P B均不为零,因此 0P ABP , P ABP A P B . 即(C)不正确. 用排除法应选(D). 事实上, P ABP AP ABP A . (5)【答案】(B) 【解析】由于()() ( )E
9、 XYE X E Y,因此有 cov(, )()() ( )0, ()()2cov(, )( )()( ). X YE XYE X E Y D XYD XX YD YD XD Y 故应选(B). 【相关知识点】若两个随机变量X ,Y的方差都大于零,则下面四个命题是等价的： 1)()() ( )E XYE X E Y； 2)()()( )D XYD XD Y； 3)cov(, )0X Y ； 4)X和Y不相关,即X和Y的相关系数0. 三、(本题满分 5 分)三、(本题满分 5 分) 【解析】方法一方法一：这是1型未定式极限. 1 22 0 1 1 2 lnlim 00 limlim xxnxxx
10、nx x x eeeeee xxnx x nxn xx eee ee n 5 2 0 ln() ln lim xxnx x eeen x e , 其中指数上的极限是 0 0 型未定式,由洛必达法则,有 2 0 ln()ln lim xxnx x eeen x 2 2 0 212(1)1 lim 22 xxnx xxnx x eenenn nn eeenn . 所以 1 12 2 0 lim nxxnx x x eee e n . 方法二方法二：由于 11 22 11 xxnxxxnx xx eeeeee nn , 记 2 1 xxnx eee y n ,则当0 x 时0y ,从而 1 1 12
11、 000 limlim(1)lim (1) y xxnxx x y x xxx eee yy n . 而 1 0 lim(1) y y ye ,所以 0 1 lim 0 lim (1) x y yx y x x ye . 又因 2 00 (1)(1)(1) limlim xxnx xx yeee xnx 2 000 111111 limlimlim(12) 2 xxnx xxx eeen n nxxxn 洛. 所以 1 12 2 0 lim nxxnx x x eee e n . 四、(本题满分 5 分)四、(本题满分 5 分) 【解析】积分区域D如图阴影部分所示. 由1 xy ab ,得 2
12、 1 x yb a . 6 因此 2 2 4 1 2 1 2 0000 0 1 1 22 bx a abx aaa D bx Iydxdydxydydxydx a . 令1 x t a ,有 2 (1) ,2 (1)xatdxat dt ,故 4 22 0 4 01 12 (1) 22 a bxb Idxta tdt a 1 562 1 2452 0 0 () 5630 ttab abttdtab . 五、(本题满分 5 分)(本题满分 5 分) 【解析】将原方程化为 2 22 1 y dyxyx y dxxy x ,由此可见原方程是齐次微分方程. 令yux,有, dydu ux dxdx 将
13、其代入上式,得 2 1dyduu ux dxdxu , 化简得 1du x dxu ,即 dx udu x .积分得 2 1 ln. 2 uxC 将 y u x 代入上式,得通解 22 2(ln)yxxC. 由条件2 x e ye ,即 22 42(ln)eeeC求得1C . 所以 22 2(ln1)yxx所求微分方程的特解. 六、(本题满分 6 分)(本题满分 6 分) 【解析】先求出曲线 1 L和 2 L的交点,然后利用定积分求出平面图形面积 1 S和 2 S,如图： 由 2 2 101 0 yxx yaxa 得 1 1 1 x, a a y. a 所以 11 2 12 00 (1)SSS
14、ydxxdx 1 3 0 12 33 xx , 7 11 222 11 1 00 111 aa Sxaxdxa xdx 1 1 3 0 12 33 1 a a xx a . 又因为 1 2SS,所以 22 2 33 1a ,即12a,解得3a. 七、(本题满分 8 分)七、(本题满分 8 分) 【解析】方法 1：方法 1：总收入函数为 22 1 1221122 240 2100 05Rp qp qp. pp.p, 总利润函数为 1 12212 3540LRCp qp qqq 22 1122 320 2120 051395p. pp.p. 由极值的必要条件,得方程组 1 1 2 2 320 40
15、 120 10 L . p, p L . p, p 即 12 80120p,p. 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 12 80120p,p时,厂 家所获得的总利润最大,其最大总利润为 12 12 22 1122 80120 80120 320 2120 051395605 p,p p,p Lp. pp.p （） 方法 2：方法 2：两个市场的价格函数分别为 1122 120520020pq ,pq, 总收入函数为 1 1221122 120520020Rp qp qq qqq, 总利润函数为 112212 1205200203540LRCq qqqqq 22 1122 8
16、051602035qqqq. 由极值的必要条件,得方程组 8 1 1 12 2 2 80 100 84 160400 L q, q q,q. L q, q 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当 12 84q,q,即 1 80p, 2 120p 时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为 12 84 605 q,q L . 八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分) 【解析】因为(0,)x,所以 1 ( )(1)0 x f x x . 1 ln(1) 1 ( )(1) x x x f xe x ,两边对x求导,得 11 2 ln(1)ln(1) 1 () 1111 ( )
17、ln(1)(1)ln(1) 1 1 1 xx x xx x x fxee xxxx x . 令 11 ( )ln(1) 1 g x xx ,为证函数( )f x为增函数,只需( )0fx在(0,)上成 立,即( )0,(0,)g xx. 方法一方法一：利用单调性. 由于 2 22 1 1111 ( )ln(1) 1 1(1)(1) 1 x g x xxxxx x , 且(0,)x,故 2 1 ( )0 (1) g x xx ,所以函数( )g x在(0,)上单调减少. 又 11 lim ( )limln(1)0 1 xx g x xx ,于是有( )0,(0,)g xx.从而 1 ( )(1)
18、( )0 x fxg x x ,(0,)x, 于是函数( )f x在(0,)单调增加. 方法二方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11 ln(1)ln()ln(1)ln(1)( ) x xxu xu x xx , 所以在区间( ,1)x x存在一点,使得 9 1 (1)( )( )(1)( )u xu xuxxu , 即 11 ln(1) x .又因为01xx ,所以 111 1xx ,所以 1111 ln(1) 1xxx . 故对一切(0,)x,有 111 ( )(1) ln(1)0 1 x fx xxx .函数( )f x在(0,)单调 增加. 九、(本题满分 7 分)九、(本题满分 7
19、分) 【解析】设 112233 xxx,将分量代入得到方程组 123 123 2 123 10 1 1 xxx, xxx, xxx. 对方程组的增广矩阵作初等行变换. 第一行分别乘以有1、1加到第二行和第三行上,有 222 1110111 0 1110 11120 , 再第二行加到第三行上,所以有 22 1110 0 300 . 若0且 2 30,即0且3 ,则 3r Ar A,方程组有唯一解,即 可由 123 , 线性表示且表达式唯一. 若0,则 13r Ar A ,方程组有无穷多解,可由 123 , 线性表示,且表 达式不唯一. 若3,则 23r A,r A,方程组无解,从而不能由 123
20、 , 线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵AA b的秩,即是( )( )r Ar A(或者说,b可由A的列向量 12 , n 线表出, 10 亦等同于 12 , n 与 12 , n b 是等价向量组). 设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则 (1) 有唯一解( )( ).r Ar An (2) 有无穷多解( )( ).r Ar An (3) 无解( ) 1( ).r Ar A b不能由A的列向量 12 , n 线表出. 十、(本题满分 6 分)十、(本题满分 6 分) 【解析】关于判定二
21、次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于 0”的方法最为简捷. 二次型f的矩阵为 11 42 124 A ,其顺序主子式为 22 123 1 1,4,448. 4 A 正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于 0,所以有 123 1 0,(2)(2)0,4(1)(2)0 4 A . 解出其交集为( 2,1),故( 2,1) 时,f为正定二次型. 【相关知识点】 二次型的定义： 含有n个变量 12 , n x xx的二次齐次多项式(即每项都是二 次的多项式) 12 11 , nn nijij ij f x xxa x x 其中 ijji aa, 称为n元二次型,令 12 , T n xx xx,
22、 ij Aa,则二次型可用矩阵乘法表示为 12 , T n f x xxx Ax 其中A是对称矩阵 T AA,称A为二次型 12 , n f x xx的矩阵. 十一、(本题满分 6 分)十一、(本题满分 6 分) 【解析】记 12 (,) n A ,则 12 , n 线性无关的充分必要条件是0A . 由于 11 111121 221222 12 12 , TTTT n TTTT Tn n TTTT nnnnn A A , 从而取行列式,有 2 TT DA AAAA. 由此可见 12 , n 线性无关的充分必要条件是0D . 【相关知识点】m个n维向量 12m , 线性相关的充分必要条件是齐次方
23、程组 1 2 12 0 m m x x x 有非零解.特别地,n个n维向量 12 , n 线性相关的充分必要条件是行列式 12 ,0 n . 十二、(本题满分 5 分)十二、(本题满分 5 分) 【解析】首先确定X的可能值是0 1 2 3, , ,其次计算X取各种可能值的概率. 设事件 i A “汽车在第i个路口首次遇到红灯”,1 2 3i, , ,且 i A相互独立. 1 2 ii P AP A. 事件 i A发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i.所以有 1 1 0 2 P XP A, 2 1212 1 1 2 P XP A AP A P A, 3 123123 1 2 2
24、P XP A A AP A P AP A, 3 123123 1 3 2 P XP A A AP A P AP A. 则X的概率分布为 x 0123 P Xx 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 注注：此题易犯的一个错误是将3P X 计算为 4 12 ,这是由于该街道仅有三个设有红绿信 12 号灯的路口,3X 仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问 题. 十三、(本题满分 6 分)十三、(本题满分 6 分) 【解析】二维均匀分布(, )X Y的联合密度函数为 1 , ( , ), ( , ) 0, ( , ), D x yD Sf x y x yD D S是区域
25、D的面积, 2, D Sr所以(, )X Y的联合密度 222 2 222 1 , ( , ) 0, xyr f x yr xyr . 由连续型随机变量边缘分布的定义,X和Y的概率密度 1( ) f x和 2( ) fy为 22 22 22 1 22 12 ( )( , )(), rx rx f xf x y dydyrxxr rr 22 2 2 2 ( )( , )()fyf x y dxryyr r . 由一维连续型随机变量的数学期望的定义： ( )EXx f x dx ,()( )( ).E g Xg xf x dx 若( )f x为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是( )0
26、 r r f x dx . 故 22 2 2 , r r EXx rx dx r 22 2 2 r r EYy ry dy r , 由于被积函数为奇函数,故0EXEY. 222 2 cov(, ) xyr xy X YE XYEX EYdxdy r , 因为此二重积分区域关于x轴对称,被积函数为y的奇函数,所以积分式为 0. cov(, )0X Y .由相关系数计算公式 cov(, )X Y DXDY ,于是X和Y的相关系数0. (2)由于 12 ( , )( )( )f x yf x fy,可见随机变量X和Y不独立. 十四、(本题满分 5 分)十四、(本题满分 5 分) 【解析】 最大似然估
27、计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似 然函数. 13 现题设给出概率密度函数( ; )f x,则似然函数 1 1 12 1 ( ,; )(), n i i nx n ni i L x xxeX 1 11 lnln()ln. nn ii ii LnXX (由于ln L是单调递增函数,L取最大与ln L取最大取到的是一致的,而加对数后能把连 乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便). 由对数似然方程 1 ln 0, n i i Ln X 得的最大似然估计值 1 n i i n X .所以得的最大似然估计量为 1 n i i n X . 【相关知识点】似然函数的定义： 设 12 ,., n x xx是相应于样本 12 ,., n XXX的一组观测值,则似然函数为： 1212 1 ( )( ,; )( ; )( ; ) (; )(; ) n nin i Lf x xxf xf xf xf x .
