1、1 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 1 2( 1)! (1) n n n x 【解析】由于 1 12 ( )12(1)1, 11 x f xx xx 2 ( )2 ( 1)(1) ,fxx 3 ( )2 ( 1)( 2)(1) ,fxx 所以 1 ( )(1) ( )2 ( 1)!( 2( 1) 1)! (1) nnn n n fxx n x n . (2)【答案】2 y xy
2、f x 【解析】根据复合函数求导法则, 2 2 x yyyyyy zyfxyfyff xxxxxx , 1 y yyyy zxfxyfxfyf xxxxx . 所以 22 2 xy yyyyy yfy fxyfy fyf xxxxx xzyzxx . 【相关知识点】复合函数求导法则：( ( )yf x的导数为( ( )( )yf xfx. (3)【答案】 x xeC 【解析】在(ln )1fxx 中令ln xt,则( )1 t f te ,从而 ( )1( ) ttx f tedtteCf xxeC . (4)【答案】 100 1 220 10 345 【解析】由AAA E ,有 A AE A
3、 ,故 1A A A . 2 而 100 22010 345 A , 所以 1 100 1 220 10 345 A A A . (5)【答案】(1) X n n Q 【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先 提出原假设 0 H,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设 0 H是否成 立. 首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值的假设检验问题.据此类 型应该选取t检验的统计量是 0 2 1 1 () (1) n i i XX t S XXn n n , 经过化简得(1) X tn n Q . 【相关知识点】假设检验的一般步骤：
4、(1) 确定所要检验的基本假设 0 H； (2) 选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布； (3) 对确定的显著性水平,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域； (4) 由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设 0 H作出拒绝还是接受的判 断. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) 【解析】因 00 (1)(1)(1)(1) (1)limlim xx fxffxf fxx xx 0 0 (1)(1) lim (1)(1) 2lim2, 2 x x ffx
5、x ffx x 所以应选(D). (2)【答案】(A) 3 【解析】由计算知 1 1 1 21 1 arcsin 1 dxx x , 2 2 2 111 lnlnln2 dx xxx , 且泊松积分 2 0 2 x edx , 故应选(A). 注注：对于本题选项(A),由于当0 x 时sin0 x ,故在积分区间 1,1中0 x 是瑕点,反常 积分 1 1 1 sin dx x 应分解为两个反常积分之和: 101 110 111 sinsinsin dxdxdx xxx , 而且 1 1 1 sin dx x 收敛的充要条件是两个反常积分 0 1 1 sin dx x 与 1 0 1 sin
6、dx x 都收敛. 由于广义积分 1 1 0 0 1 ln tan sin2 x dx x , 即 1 0 1 sin dx x 发散,故 1 1 1 sin dx x 发散. 在此不可误以为 1 sin x 是奇函数,于是 1 1 1 0 sin dx x ,从而得出它是收敛的错误结论. (3)【答案】(C) 【解析】( )r Am表示A中有m个列向量线性无关,有m阶子式不等于零,并不是任意 的,因此(A)、(B)均不正确. 经初等变换可把A化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不 一定能化为标准形.例如 010 001 ,只用初等行变换就不能化成 2 (,0)E的形式,
7、故(D)不正 确. 关于(C),由0BA 知( )( )r Br Am,又( )r Am,从而( )0r B ,按定义又有 ( )0r B ,于是( )0r B ,即0B .故应选(C). (4)【答案】(D) 【解析】( , )(,)Cov U VCov XY XY. (,)( ,)Cov X XYCov Y XY (,)(, )( ,)( , )Cov X XCov X YCov Y XCov Y Y 4 DXDY. . 由于X和Y同分布, 因此DXDY,于是有( , )0Cov U V . 由相关系数的计算公式 (, )Cov X Y DXDY , 所以U与V的相关系数也为零,应选(D)
8、. 【相关知识点】协方差的性质： (,)(, )Cov aX bYabCov X Y； 1212 (, )(, )(, )Cov XXYCov X YCov XY. (5)【答案】(C) 【解析】由于 2 ( ,),XN 将此正态分布标准化,故0,1 X N , 1211 X P XP. 计算看出概率P X的值与大小无关.所以本题应选(C). 三、(本题满分 6 分)三、(本题满分 6 分) 【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可 导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数. 2 22 000 1 2 2(1 cos ) 2 li
9、m( )limlim1 xxx x x f x xx , 2 2 0 000 cos cos lim( )limlim1 1 x xxx t dt x f x x , 故(00)(00)(0)fff,即( )f x在0 x 处连续. 2 0 00 4 2 2 0 2 000 1 cos1 ( )(0) (0)limlim 0 1 cos cos1 2 limlimlim0, 22 x xx x xxx t dt f xf x f xx x t dtx x xxx 2 00 2 32 000 2 (1 cos ) 1 ( )(0) (0)limlim 0 2(1 cos )2sin22(cos1
10、) limlimlim0. 36 xx xxx x f xf x f xx xxxxx xxx 即(0)(0)0ff ,故( )f x在0 x 处可导,且(0)0 f . 5 四、(本题满分 6 分)四、(本题满分 6 分) 【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量 3 t s ,于是 3 00 3( ) 3 xx t fdtf s ds . 代入题设函数( )f x所满足的关系式,得 2 0 ( )3( ) x x f xf s dse . 在上式中令0 x 得(0)1f,将上式两端对x求导数得 2 ( )3 ( )2 x fxf xe. 由此可见( )f x是一阶线性方程 2 ( )3 (
11、 )2 x fxf xe满足初始条件(0)1f的特解. 用 3x e同乘方程两端,得 3 ( )2 xx f x ee ,积分即得 32 ( )2 xx f xCee. 由(0)1f可确定常数3C ,于是,所求的函数是 32 ( )32 xx f xee. 五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分) 【解析】由 2 12(1 2 )(1)xxxx知 2 ln(12)ln(1 2 )ln(1)xxxx. 因为 23 1 ln(1)( 1) 23 n n xxx xx n , 其收敛区间为( 1,1)； 又 23 1 ( 2 )( 2 )( 2 ) ln(1 2 )( 2 )( 1) 23
12、n n xxx xx n , 其收敛区间为 1 1 , 2 2 . 于是有 1 211 11 ( 2 )( 1)2 ln(12)( 1)( 1) nnnn nnn nn xx xxx nnn , 其收敛区间为 1 1 , 2 2 . 【相关知识点】收敛区间：若幂级数 0 n n n a x 的收敛半径是正数R,则其收敛区间是开区间 6 (, )R R；若其收敛半径是,则收敛区间是(,) . 六、(本题满分 5 分)六、(本题满分 5 分) 【解析】方法一方法一：本题中二重积分的积分区域D是全平面,设0a , ( , )|, a Dx yaxaaya , 则当a 时,有 a DD.从而 2222
13、 ()() min , limmin , a xyxy a D Ix y edxdyx y edxdy . 注意当xy时,min , x yx；当xy时,min , x yy.于是 222222 ()()() min , a ayax xyxyxy aaaa D x y edxdydyxedxdxyedy , 且 2222222 222 ()()22()2 2 11 () 22 11 . 22 axaxa xyxyxax aaaaa aa axx aa dxyedydxed xyeedx eedxedx 由于 2 x edx ,从而可得 222 ()2 1 lim0lim 2 axa xyx
14、aaaaa dxyedyedx 22 2 1 2lim 2 22 2 a t aa txedt . 同理可得 22 () lim 2 2 ay xy aaa dyxedx . 于是 2 22 I . 方法二方法二：设0R ,则圆域 222 ( , )| R Dx yxyR当R 时也趋于全平面,从而 2222 ()() min , limmin , R xyxy R D Ix y edxdyx y edxdy . 引入极坐标系cos ,sinxryr,则 7 当0 4 与 5 2 4 时,min , sinx yyr； 当 5 44 时,min , cosx yxr. 于是 22 () min
15、, R xy D x y edxdy 222 5 2 222 44 5 0000 44 sincossin RRR rrr dr edrdr edrdr edr 22 5 2 22 44 5 000 44 sincossin2 2 RR rr r edrdddr edr . 由此可得 22 2 00 2 2 lim2 lim() RR rr RR Ir edrrd e 222 00 0 2 2 lim22. 22 R R rrr R reedredr 七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分) 【解析】本题的关键在于p和Q之间存在函数关系,因此RpQ既可看作p的函数,也可 看作Q的函数,
16、由此分别求出 dR dp 及 dR dQ ,并将它们与弹性 p p dQ E Q dp 联系起来,进而求得 问题的解. 由( )QQ p是单调减函数知0 dQ dp ,从而需求对价格的弹性0 p p dQ E Q dp ,这表明 题设1 p Eb应理解为1 pp EEb .又由( )QQ p是单调减函数知存在反函数 ( )pp Q且 1dp dQ dQ dp .由收益RpQ对Q求导,有 1 (1) p dRdpp pQpp p dQ dQdQE Q dp , 从而 0 0 1 (1) Q Q dR pa dQb ,得 0 1 ab p b . 由收益RpQ对p求导,有 8 (1)(1) p d
17、RdQp dQ QpQQE dpdpQ dp , 从而 0 0(1 ) pp dR Qbc dp ,于是 0 1 c Q b . 八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分) 【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成0,a上的积分,即 0 0 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) aa aa f x g x dxf x g x dxf x g x dx , 再将 0 ( ) ( ) a f x g x dx 作适当的变量代换化为在0,a上的定积分. 方法一方法一：由于 0 0 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) aa aa f x g x dxf x g x dxf
18、x g x dx , 在 0 ( ) ( ) a f x g x dx 中令xt ,则由:0 xa ,得:0t a ,且 00 00 ( ) ( )() () ()() ( )() ( ) aa aa f x g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx , 所以 00 ( ) ( )( )()( )( ) aaa a f x g x dxf xfxg x dxAg x dx . 方法二方法二：在( ) ( ) a a f x g x dx 中令xt ,则由:xaa ,得: t aa ,且 0 ( ) ( )() () ()() ( )() ( ) aaaa aaa f x
19、 g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx . 所以 1 ( ) ( )( ) ( )() ( ) 2 aaa aaa f x g x dxf x g x dxfx g x dx 0 1 ( )()( )( )( ). 22 aaa aa A f xfxg x dxg x dxAg x dx (2)令( )arctan x f xe,( )sing xx,可以验证( )f x和( )g x符合(1)中条件,从而可以用 (1)中结果计算题目中的定积分. 方法一方法一：取( )arctan x f xe,( )sing xx, 2 a . 由于( )()arctanarct
20、an xx f xfxee 满足 22 arctanarctan0 11 xx xx xx ee ee ee , 故arctanarctan xx eeA . 令0 x ,得2arctan1 2 AA ,即( )() 2 f xfx .于是有 9 222 00 2 sinarctansinsin 222 x xe dxx dxxdx . 方法二方法二：取( )arctan x f xe,( )sing xx, 2 a ,于是 1 ( )()arctanarctan 2 x x f xfxe e . (这里利用了对任何0 x ,有 1 arctanarctan 2 x x ) 以下同方法一. 九
21、、(本题满分 9 分)九、(本题满分 9 分) 【解析】因为(I)(II)3rr,所以 123 , 线性无关,而 1234 , 线性相关, 因此 4 可由 123 , 线性表出,设为 4112233 lll. 若 112233454 ()0kkkk, 即 11412242334345 ()()()0kl kkl kkl kk, 由于(III)4r,所以 1235 , 线性无关.故必有 114 224 334 4 0, 0, 0, 0. kl k kl k kl k k 解出 4321 0,0,0,0kkkk. 于是 12354 , 线性无关,即其秩为 4. 十、(本题满分 10 分)十、(本题
22、满分 10 分) 【解析】(1)因为 123 ( ,)f x x x对应的矩阵为 022 244 243 A , 故 123 ( ,)f x x x的矩阵表示为 10 1 1231232 3 022 ( ,)( ,)244 243 T x f x x xx Axx x xx x . (2)由A的特征方程 22222 244240 243241 EA 2 4100 240(1)(36)0 241 , 得到A的特征值为 123 1,6,6 . 由()0EA x得基础解系 1 (2,0, 1)TX ,即属于1的特征向量. 由(6)0EA x得基础解系 2 (1,5,2)TX ,即属于6的特征向量.
23、由( 6)0EA x得基础解系 3 (1, 1,2)TX ,即属于6 的特征向量. 对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有 312 123 123 211 111 0 ,5 ,1 , 5306 122 XXX XXX 那么令 123 211 5306 51 ()0 306 122 5306 Q , 经正交变换 11 22 33 xy xQ y xy ,二次型化为标准形 222 123123 ( ,)66 TT f x x xx Axyyyyy . 十一、(本题满分 8 分)十一、(本题满分 8 分) 【解析】对于新生产的每台仪器,设事件A表示“仪器需要进一步调试”,B表示“
24、仪器能 出厂” ,则A “仪器能直接出厂” ,AB “仪器经调试后能出厂” .且BAAB,A与AB 互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式 11 () (|)()(|)( ) ( ) P AB P B AP ABP B AP A P A , 有 0 70 3 0 80 94P BP AP A P B| A. 设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数,则X服从二项分布0 94B n, .由二项分 布的概率计算公式,可得所求概率为 (1)0.94nP Xn； (2) 222 20.940.06 ; n n P XnC (3) 1 2111 0.060.940.94 nn P XnP XnP
25、 Xnn 【相关知识点】二项分布的概率计算公式： 若( , )YB n p,则(1) kkn k n P YkC pp ,0,1,kn. 十二、(本题满分 8 分)十二、(本题满分 8 分) 【解析】将整个平面分为五个区域(如右图). 当 1 ( , )x yD时,( , )0F x y , 其中 1 ( , )00Dx y xy或. 当 4 ( , )x yD,即1x 且1y 时,( , )1F x y . 当( , )x yD时,即01,01xy时, 222 000 ( , )42 xyx F x ystdtdssy dsx y . 当 2 ( , )x yD,即01,1xy时, 1 2 00000 ( , )442 xyxx F x ystdtdsdsstdtsdsx . 当 3 ( , )x yD,即1,01xy时,与 2 D类似,有 2 ( , )F x yy. 综上分析,(, )X Y的联合分布函数为 22 2 2 0,00, ,01,01, ( , ),1,01, ,01,1, 1,1,1. xy x yxy F x yyxy xxy xy 或 x y O 1 D D 2 D 4 D 3 D
