2009年数学三真题答案解析.pdf

1、- 1 - 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数 3 ( ) sin xx f x x 的可去间断点的个数为 (A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个. 【答案】C. 【解析】 3 sin xx f x x 则当x取任何

2、整数时， f x均无意义 故 f x的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 3 0 xx的解 1,2,3 0, 1x 32 00 32 11 32 11 1 31 limlim sincos 1 32 limlim sincos 1 32 limlim sincos xx xx xx xxx xx xxx xx xxx xx 故可去间断点为 3 个，即0, 1 （2）当0 x 时，( )sinf xxax与 2 ( )ln(1)g xxbx是等价无穷小，则 (A)1a ， 1 6 b .（B）1a ， 1 6 b . (C)1a ， 1 6 b .（D）1a ， 1 6 b .

3、 【答案】A. 【解析】 2 ( )sin, ( )(1)f xxax g xx lnbx为等价无穷小，则 2 222 00000 ( )sinsin1cossin limlimlimlimlim ( )ln(1)()36 xxxxx f xxaxxaxaaxaax g xxbxxbxbxbx 洛洛 - 2 - 23 0 sin lim1 6 6 x aaxa b b ax a 3 6ab 故排除(B)、(C). 另外 2 0 1cos lim 3 x aax bx 存在，蕴含了1cos0aax0 x 故1.a 排除(D). 所以本题选(A). （3）使不等式 1 sin ln x t dtx

4、 t 成立的x的范围是 (A)(0,1).(B)(1,) 2 .(C)(, ) 2 .(D)( ,). 【答案】A. 【解析】原问题可转化为求 111 sinsin1 ( )ln xxx tt f xdtxdtdt ttt 1 1 sin11 sin 0 x x tt dtdt tt 成立时x的 取值范围，由 1 sin 0 t t ，0,1t时，知当0,1x时，( )0f x .故应选(A). （4）设函数 yf x在区间1,3上的图形为 1 ( )f x -2 O 23x -1 1 则函数 0 x F xf t dt的图形为 (A) ( )f x O 23x1-2 -1 1 (B) ( )

5、f x O 2 3 x 1 -2 -1 1 - 3 - (C) ( )f x O 23x1 -1 1 (D) ( )f x O 23x1-2 -1 1 【答案】D. 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由( )yf x的图形可见，其图像与x轴及y轴、 0 xx所围的图形的代数面积为所求函数( )F x，从而可得出几个方面的特征： 0,1x时，( )0F x ，且单调递减. 1,2x时，( )F x单调递增. 2,3x时，( )F x为常函数. 1,0 x 时，( )0F x 为线性函数，单调递增. 由于 F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为(D). （5）设,A B均为 2 阶矩阵

6、， * ,A B 分别为,A B的伴随矩阵，若| 2,| 3AB，则分块矩 阵 OA BO 的伴随矩阵为 (A) * * 3 2 OB AO .(B) * * 2 3 OB AO . (C) * * 3 2 OA BO .(D) * * 2 3 OA BO . 【答案】B. 【解析】根据CCC E ，若 11 1 ,CC CCC C 分块矩阵 OA BO 的行列式 2 2 12 36 OA A B BO （），即分块矩阵可逆 - 4 - 1 1 1 1 66 1 OB B OAOA OAOB BOBOBOAO AO A 1 2 3 6 13 2 OB OB AO AO 故答案为(B). （6）

7、设,A P均为 3 阶矩阵， T P为P的转置矩阵，且 100 010 002 T P AP ， 若 1231223 (,),(,)PQ ，则 T Q AQ为 (A) 210 110 002 .(B) 110 120 002 . (C) 200 010 002 .(D) 100 020 002 . 【答案】A. 【解析】 122312312312 100 (,)(,) 110(,)(1) 001 QE ，即： 12 12121212 2112 (1) (1)(1)(1)(1) 100 (1) 010(1) 002 110100100210 010010110110 001002001002 T

8、TTT QPE Q AQPEA PEEP AP E EE （7）设事件A与事件 B 互不相容，则 (A)()0P AB .(B)()( ) ( )P ABP A P B. (C)( )1( )P AP B .(D)()1P AB. - 5 - 【答案】D. 【解析】因为,A B互不相容，所以()0P AB (A)()()1()P ABP ABP AB ，因为()P AB不一定等于 1，所以(A)不正确. (B)当( ), ( )P A P B不为 0 时，(B)不成立，故排除. (C)只有当,A B互为对立事件的时候才成立，故排除. (D)()()1()1P ABP ABP AB ，故(D)正

9、确. （8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布(0,1)N，Y的概率分布为 1 01 2 P YP Y， 记( ) z F Z为随机变量ZXY的分布函数， 则函数( ) z F Z 的间断点个数为（） (A) 0.(B)1.(C)2.(D)3. 【答案】 B. 【解析】( )()(0) (0)(1) (1) Z FzP XYzP XYz YP YP XYz YP Y 1 (0)(1) 2 1 (00)(1) 2 P XYz YP XYz Y P Xz YP Xz Y ,X Y独立 1 ( ) (0)() 2 Z FzP xzP xz （1）若0z ，则 1 ( )( ) 2 Z F

10、zz （2）当0z ，则 1 ( )(1( ) 2 Z Fzz 0z为间断点，故选(B). 二、填空题：二、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） cos 320 lim 11 x x ee x . 【答案】 3 2 e. - 6 - 【解析】 coscos1 332200 (1) limlim 1111 xx xx eeee xx 0 2 (1cos ) lim 1 3 x ex x 2 0 2 1 2 lim 1 3 x ex x 3 2 e. （10）设() yx zxe，则 (1,0)

11、 z x . 【答案】2ln2 1. 【解析】由 x y zxe，故,01 x z xx ln(1)ln(1) 1ln(1) 1 x xxxx dzx xeex dxx 代入1x 得， ln2 1,0 1 ln22ln2 1 2 z e x . （11）幂级数 2 1 ( 1) nn n n e x n 的收敛半径为. 【答案】 1 e . 【解析】由题意知， 2 1 0 n n n e a n 1 1 1 1 22 1 22 1 1 1 () 1111 1 n n n n n n n n n n e e eann e n a nen e e 所以，该幂级数的收敛半径为 1 e （12）设某产

12、品的需求函数为( )QQ P,其对应价格P的弹性0.2 p ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加元. 【答案】8000. 【解析】所求即为QPQ PQ 因为0.2 p Q P Q ，所以0.2Q PQ - 7 - 所以0.20.8QPQQQ 将10000Q 代入有8000QP . （13）设(1,1,1)T,(1,0, )Tk，若矩阵 T 相似于 300 000 000 ，则k . 【答案】2. 【解析】 T 相似于 300 000 000 ，根据相似矩阵有相同的特征值，得到 T 的特征值为 3，0，0.而 T 为矩阵 T 的对角元素之和，1300k ，2k. (

13、14)设 1 X， 2 X, n X为来自二项分布总体( , )B n p的简单随机样本，X和 2 S分别为样 本均值和样本方差，记统计量 2 TXS，则ET . 【答案】 2 np 【解析】由 222 ()(1)ETE XSEXESnpnppnp. 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 9 分） 求二元函数 22 ( , )2lnf x yxyyy的极值. 【解析】 2 ( , )2 (2)0 x

14、fx yxy ， 2 ( , )2ln10 y fx yx yy ，故 1 0,xy e . 22 1 2(2),2,4 xxyyxy fyfxfxy y . 则1 2(0, ) 1 2(2) xx e f e ， 1 (0, ) 0 xy e f ， 1 (0, ) yy e fe. 0 xx f 而 2 ()0 xyxxyy fff 二元函数存在极小值 11 (0, )f ee . - 8 - （16） （本题满分 10 分） 计算不定积分 1 ln(1) x dx x (0)x . 【解析】令 1x t x 得 222 12 , 1(1) tdt xdx tt 2 22 11 ln(1)

15、ln(1) 1 ln(1)11 111 x dxt d xt t dt ttt 而 22 111112 () 11411(1) 111 ln(1)ln(1)2 441 dtdt ttttt ttC t 所以 2 1ln(1)111 ln(1)ln 1412(1) 111 ln(1)ln( 1). 221 xtt dxC xttt xx xxxC xxx （17） （本题满分 10 分） 计算二重积分() D xy dxdy ，其中 22 ( , ) (1)(1)2,Dx yxyyx. 【解析】由 22 (1)(1)2xy得2(sincos )r， 3 2(sincos ) 4 ()( coss

16、in ) 0 4 D xy dxdydrrrdr 3 3 2(sincos ) 1 4 (cossin ) 03 4 rd 2 3 8 4 (cossin ) (sincos ) (sincos ) 3 4 d - 9 - 3 3 8 4 (cossin ) (sincos ) 3 4 d 3 34 4 4 3 881 4 (sincos )(sincos )(sincos ) 334 4 d 8 3 . （18） （本题满分 11 分） （）证明拉格朗日中值定理，若函数( )f x在, ab上连续，在, ab上可导，则 , ab，得证 ( )( )( )f bf afba. （）证明：若函数

17、( )f x在0 x 处连续，在0,(0)内可导，且 0 lim( ) x fxA ， 则 (0) f存在，且 (0)fA . 【解析】 （）作辅助函数 ( )( ) ( )( )( )() f bf a xf xf axa ba ，易验证( )x满足： ( )( )ab；( )x在 闭 区 间, a b上 连 续 ， 在 开 区 间, a b内 可 导 ， 且 ( )( ) ( )( ) f bf a xfx ba . 根据罗尔定理，可得在, a b内至少有一点，使 ( ) 0 ，即 ( ) f ( )( ) 0,( )( )( )() f bf a f bf afba ba （）任取 0

18、(0, )x，则函数( )f x满足：在闭区间 0 0,x上连续，开区间 0 0,x内可导， 从而有拉格朗日中值定理可得：存在 0 0 0,0, x x，使得 0 0 0 ()(0) 0 x f xf f x * 又由于 0 lim x fxA ，对上式（*式）两边取 0 0 x 时的极限可得： 00 00 0 0 000 0 ()0 0limlim()lim() 0 x xx xx f xf fffA x 故 (0) f存在，且 (0) fA . - 10 - （19） （本题满分 10 分） 设曲线( )yf x，其中( )f x是可导函数，且( )0f x .已知曲线( )yf x与直线

19、 0,1yx及(1)xt t所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯 形面积值的t倍，求该曲线的方程. 【解析】旋转体的体积为 22 ( )( ) 11 xx tt Vfdxfdx 曲边梯形的面积为： ( ) 1 x t sfdx，则由题可知 22 ( )( )( )( ) 1111 xxxx tttt Vtsfdxtfdxfdxtfdx 两边对 t 求导可得 22 ( )( )( )( )( )( ) 11 txtttx tt ffdxtfftffdx 继续求导可得 2 ( )( )( )( )( )f t f tf ttf tf t，化简可得 1 (2 ( )( )2 (

20、)1 2 dt f tt f tf tt dyy ，解之得 1 2 2 3 tc yy 在式 中 令1t ， 则 2(1) (1)0,( )0,(1)1fff tf， 代 入 1 2 2 3 tcyy 得 111 ,(2 ) 33 cty y . 所以该曲线方程为： 1 230yx y . （20） （本题满分 11 分） 设 111 A=111 042 , 1 1 1 2 . （）求满足 21 A， 2 31 A的所有向量 2 ， 3 . （）对（）中的任意向量 2 , 3 ，证明 1 , 2 , 3 线性无关. 【解析】 （）解方程 21 A - 11 - 1 111111111111 ,

21、111100000211 042202110000 A ( )2r A 故有一个自由变量，令 3 2x ，由0Ax 解得， 21 1,1xx 求特解，令 12 0 xx，得 3 1x 故 21 10 10 21 k ，其中 1 k为任意常数 解方程 2 31 A 2 220 220 440 A 2 1 1 110 2201 2 ,22010000 44020000 A 故有两个自由变量，令 23 1,0 xx ，由 2 0A x 得 1 1x 令 23 0,1xx ，由 2 0A x 得 1 0 x 求得特解 2 1 2 0 0 故 323 1 10 2 100 010 kk ，其中 23 ,

22、k k为任意常数 （）证明：由于 - 12 - 12 121 2121221 1 1 1 2 11 12(21)()2 ()(21) 22 2210 kk kkk kkkk kkk k 1 0 2 故 123 , 线性无关. （21） （本题满分 11 分） 设二次型 222 1231231323 ( ,)(1)22f x x xaxaxaxx xx x. （）求二次型f的矩阵的所有特征值. （）若二次型f的规范形为 22 11 yy，求a的值. 【解析】 （） 01 01 111 a Aa a 01 10 |01() 1111 111 a aa EAaa a a 22 2 ()()(1) 1

23、 0() ()()(1)2 ()22 19 ()(1 2 ) 24 ()(2)(1) aaaa aaa aaaa aaa aaa 123 ,2,1aaa. （） 若规范形为 22 12 yy，说明有两个特征值为正，一个为 0.则 1)若 1 0a，则 2 20 ， 3 1，不符题意 2)若 2 0，即2a ，则 1 20， 3 30，符合 3)若 3 0，即1a ，则 1 10 ， 2 30 ，不符题意 综上所述，故2a （22） （本题满分 11 分） - 13 - 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 0 ( , ) 0 x eyx f x y 其他 （）求条件概率密度() Y X f

24、y x （）求条件概率11PXY 【解析】 （）由 0 ( , ) 0 x yxe f x y 其它 得其边缘密度函数 0 ( )0 x xx x fxe dyxex 故 | ( , )1 ( | )0 ( ) y x x f x y fy xyx fxx 即 | 1 ( | ) 0 y x yx fy xx 其它 （） 1,1 1|1 1 P XY P XY P Y 而 11 1 000 1 1 1,1( , )1 2 x xx x y P XYf x y dxdydxe dyxe dxe ( )|,0 xxy Y y fye dxeey y 1 11 0 1 1|11 0 yy P Ye

25、dyeee 1 1 1 22 1|1 11 ee P XY ee . （23） （本题满分 11 分） 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、 Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. 求10P XZ . 求二维随机变量(, )X Y的概率分布. 【解析】 （）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个 - 14 - 红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 1 2 11 33 24 (10) 9 C P XZ CC . （）X，Y 取值范围为 0，1，2，故 1111 3323 1111 6666 111 223 1111 6666 11 22 11 66 11 22 11 66 11 0,0,1,0 46 111 2,0,0,1 363 1 1,1,2,10 9 1 0,2 9 1,20,2,20 CCCC P XYP XY CCCC CCC P XYP XY CCCC CC P XYP XY CC CC P XY CC P XYP XY X Y 012 01/41/61/36 11/31/90 21/900