1、1 1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】 1 e 【解析】曲线 n yx在点(1,1)处的切线斜率 1x y 1 n x x 1 1 n x nxn ,根据点斜 式,切线方程为： 1(1).yn x 令0y ,代入1(1)yn x ,则 1 1x n ,即在x轴上的截距为 1 1 n n , lim() n n f lim n n n 1
2、lim(1)n n n 1 1 lim(1) x x x 1 e . (2)【答案】 ln x C x 【解析】由分部积分公式, 2 ln1x dx x 1 ln1xdx x 1 ln1xd x ln11 (ln1) x dx xx 分部 2 ln11x dx xx ln11x dx xx ln11x C xx ln x C x . 【相关知识点】分部积分公式：假定( )uu x与( )vv x均具有连续的导函数,则 ,uv dxuvu vdx 或者.udvuvvdu (3)【答案】 51 ( 5)() 126 t t yCt 【解析】 首先把差分方程改写成标准形式 1 5 5 2 tt yy
3、t ,其齐次方程对应的特征方程及 特征根分别为 50,5,rr 故齐次方程的通解为( 5) , t t YCC为常数. 将方程右边的 5 2 t改写成 5 1 2 t t,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为 , t yAtB 2 从而 1 (1), t yA tB 代入原方程,得 5 (1)5(), 2 A tBAtBt 5 6,60, 2 AAB 故 55 , 1272 AB . 于是通解为 51 ( 5)(). 126 t ttt yYyCt (4)【答案】 200 040 002 【解析】由题设 * 28A BABAE, 由于20A ,所以A可逆.上式两边左乘A,右乘 1
4、A,得 *111 28AA BAAABAAAA 28A BABE(利用公式： *1 ,AAA E AAE ) 28A BABE (移项) 28A EA BE (矩阵乘法的运算法则) 将2A 代入上式,整理得 1 4 EA BE. 由矩阵可逆的定义,知EA,B均可逆,且 1 1 4BEA 1 1 00 200 2 4 0104 010 0021 00 2 200 040 002 . (5)【答案】 11 ,2 20 100 【解析】 由于 1234 ,XXXX相互独立,均服从 2 (0,2 )N,所以由数学期望和方差的性质, 得 222 1212 (2)0,(2)1 22220E XXD XX
5、, 所以 12 (2)(0,20)XXN,同理 34 (34)(0,100)XXN. 3 又因为 12 (2)XX与 34 (34)XX相互独立,且 12 1 (2)(0,1) 20 XXN； 34 1 (34)(0,1) 100 XXN, 由 2 分布的定义,当 11 , 20100 ab时, 222 1234 11 (2)(34)(2) 20100 XXXXX. 即当 11 , 20100 ab时,X服从 2 分布,其自由度为2. 严格地说,当 1 0, 100 ab时, 2(1) X；当 1 ,0 20 ab时, 2(1) X也是正确的. 【相关知识点】1、对于随机变量X与Y均服从正态分
6、布,则X与Y的线性组合亦服从正态 分布. 若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有 ()()( )E aXbYcaE XbE Yc, 22 ()()( )D aXbYca D Xb D Y, 其中, ,a b c为常数. 2、定理：若 2 ( ,)XN ,则(0,1) X N . 3、 2 分布的定义：若 1, , n ZZ相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N,则 22 1 ( ) n i i Zn . 二、二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 择题(本题共 5 小题,每小题
7、3 分,共 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D) 【解析】根据导数定义： 0 ()( ) lim x f xxf x fx x 0 (1)(1) lim 2 x ffx x 0 1(1)(1) lim 2 x fxf x 1 (1) 2 f 1 所以 0 (1)(1) (1)lim2. x fxf f x 因为( )f x周期为 4,( )fx的周期亦是 4,即( )(4)fxfx, 所以(5) f (14) f (1)2 f . 所以曲线( )yf x在点5,(5)f处的切线的斜率为(5) f (1)2 f .选
8、(D). 4 (2)【答案】(B) 【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该( )f x的(分段)表达式,然 后再讨论( )f x的性质.不能隔着极限号去讨论. 【解析】现求( )f x的(分段)表达式： 当1x 时, 2 1 ( )lim 1 n n x f x x 21 2 2 lim 1 nn n n xx x 21 2 2 lim 0 1lim1 nn n n n xx x 0； 当1x 时, 2 1 ( )lim 1 n n x f x x 2 1 1 lim 1 1 n n 2 2 1； 当1x 时, 2 1 ( )lim 1 n n x f x x 2 1 1 l
9、im 11 n n 0 2 0； 当1x 时, 2 1 ( )lim 1 n n x f x x 2 lim 1 lim 1 n n n x x 2 0 1 1 n x x 1x . 由此, 0,1, 0,1, ( )1,1, 1,1, 0,1. x x f xxx x x 当 当 当 当 当 即 0,11, ( )1,1, 1,1. xx f xxx x 当或 当 当 再讨论函数( )f x的性质：在1x 处, 1 lim x f x 1 lim 1 x x 1 1 0, 1 lim10 x f xf , 所以, 11 limlim0 xx f xf x ,函数( )f x在1x 处连续,不
10、是间断点. 在1x 处, 1 lim x f x 1 lim0 x 0； 1 lim x f x 1 lim 1 x x 2； 所以 1 lim x f x 1 lim x f x ,函数( )f x在1x 处不连续,是第一类间断点.故选(B). (3)【答案】(C) 【解析】方法 1:方法 1:由0AB 知( )( )3r Ar B,又0,0AB,于是1( )3,r A 1( )3r B,故0,0AB,即 5 2 2 1010 10 1101 1(1)0 1 1 1111 A , 得1.应选(C). 方法 2:方法 2:由0AB 知( )( )3r Ar B,又0,0AB,于是1( )3,r
11、 A1( )3r B,故 0B . 显然,1时 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ,有1( )3,r A故应选(C). 作为选择题,只需在2 与1中选择一个,因而可以用特殊值代入法. 评注：评注：对于条件0AB 应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组0Ax 的解；二是 秩的信息,即( )( )r Ar Bn,要有这两种思考问题的意识. (4)【答案】(B) 【解析】 11 11 100 (1)11010 11001 aaaaaa aaaaa Aaaaaa aaaaa 1 (1) 0100 (2)0010 0001 naaaa a a a 其中(1)变换：将 1 行乘以(-1)再分别加
12、到其余各行；(2)变换：将其余各列分别加到第 1 列. 由阶梯形矩阵知,当1 (1)0na,即 1 1 a n 时,有( )1r An,故应选(B). (5)【答案】(A) 【解析】根据分布函数的性质lim( )1 x F x ,即 12 1lim( )()()() x F xFaFbFab . 在所给的四个选项中只有(A)满足1ab,故应选(A). 【相关知识点】分布函数 F x的性质： 6 y xO (1) F x单调不减； (2)lim( )()0, lim( )()1; xx F xFF xF (3) F x是右连续的. 三、(本题满分 5 分)三、(本题满分 5 分) 【解析】 ar
13、ctanarctan 2222 ()() () yy xx dzed xyxyd e arctan 22 arctan 22 2 arctan 2 2 arctan 22() ( arctan) 1 22()( ) 1( ) 22 (2)(2) y x y x y x y x y exdxydyxyd x y exdxydyxyd y x x xdyydx exdxydyx x exy dxyx dy 由全微分与偏微分的关系可知,其中dx的系数就是 z x ,即 arctan (2) y x z xy e x .再对y求偏 导数,得 222 arctanarctanarctan 222 2 1
14、1 (2). 1 yyy xxx zyxyx exy ee yx yxxy x 四、(本题满分 5 分)四、(本题满分 5 分) 【解析】 22 ( , )Dx y xyx表示圆心为 1 ,0 2 ,半径为 1 2 的圆及其内部,画出区域D,如右图. 方法 1:方法 1: 22 ( , )|01,Dx yxxxyxx 所以, 2 2 111 2 000 221 x x x x D xdxdyxdxdyxxx dxxxdx , 令1xt,则 2 1xt ,2dxtdt ,:10t所以 上式 1 35 01 222 10 0 8 2(1)( 2 )4(1)4 3515 tt ttt dttt dt
15、 . 7 方法 2:方法 2:引入极坐标系cos ,sinxryr ,于是 ( , )|,0cos 22 Drr , 3 coscos 222 00 22 3 2 0 coscos 48 cos. 515 D xdxdydrrdrdr dr d 其中倒数第二步用了华里士公式： 2 0 134 2 cos1 25 3 n nn d nn ,其中n为大于 1 的正奇数. 五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分) 【分析】根据连续复利公式,在年利率为r的情况下,现时的A(元)在t时的总收入为 ( )ertR tA,反之,t时总收入为( )R t的现值为( )( )e rt A tR t ,将
16、 2 5 0 t RR e代入即得到总收 入的现值与窖藏时间t之间的关系式,从而可用微分法求其最大值. 【解析】 由连续复利公式知,这批酒在窖藏t年末售出总收入R的现值为( )e rt A tR ,而由题 设,t年末的总收入 2 5 0 t RR e,据此可列出( )A t： 2 5 0 ( )ee trt rt A tRR , 令 dA dt 2 5 0e trt d R dt 2 5 0 1 e0 5 trt Rr t , 得惟一驻点 0 2 1 25 tt r . 2 2 d A dt ddA dtdt 2 5 0 1 e 5 trt d Rr dtt 22 55 00 11 ee 55
17、 trttrt dd RrRr dtdttt 2 22 55 00 3 11 5 10 trttrt R erR e t t 2 2 5 0 3 11 5 10 trt R er t t 0 12 3 25 0 2 ( 12.5)0 r t t d A R er dt . 8 根据极值的第二充分条件,知： 0 tt是( )A t的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值 点.故窖藏 2 1 25 t r 年出售,总收入的现值最大. 当0.06r 时, 2 1 250.06 t 100 11 9 (年). 【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数( )f x在 0 x处具有二阶导数且 0 ()0f
18、x, 0 ()0fx,当 0 ()0fx时,函数( )f x在 0 x处取得极大值； 当 0 ()0fx时,函数( )f x在 0 x处取得极小值. 六、(本题满分 6 分)六、(本题满分 6 分) 【分析】本题要证的结论中出现两个中值点和,这种问题一般应将含有和的项分别 移到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证 ( )()()( ) ba fbaeefe . 【解析】 方法1:方法1: 函数( )f x在, a b上连续,在( , )a b内可导,满足拉格朗日中值定理的条件, 对函数( )f x在, a b上用拉格朗日中值定理,有 ( )( )( )(),.f bf afba ab 又
19、函数( )f x与 x e满足柯西中值定理的条件,将函数( )f x与 x e在, a b上用柯西中值定理, 有 ( )( )( ) , ba f bf af ab eee ,即 ( ) ( )( ) ba f f bf aee e （）. 从而有 ( ) ( )() ba f fbaee e （）,即 ( ) , ,( , ) ( ) ba fee ea b fba . 方法 2：方法 2：题中没有限制,因此取,即成为要去证存在( , )a b使. ba ee e ba 在, a b上对函数 x e用拉格朗日中值定理,存在( , )a b使 ,1. baba eeee ee baba 即 再
20、取,则 ( ) 1 ( ) ba fee e fba ,原题得证. 9 【相关知识点】1.拉格朗日中值定理： 如果函数( )f x满足在闭区间 , a b上连续,在开区间, a b内可导,那么在, a b内至 少有一点()ab,使等式( )( )( )()f bf afba成立. 2. 柯西中值定理：如果函数( )f x及( )F x满足 (1) 在闭区间 , a b上连续； (2) 在开区间( , )a b内可导； (3) 对任一( , )xa b,( )0F x, 那么在( , )a b内至少有一点,使等式 ( )( )( ) ( )( )( ) f bf af F bF aF 成立. 七
21、、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分) 【解析】(1)由 2 1 ynx n 与 2 1 (1) 1 ynx n 得 1 . (1) n a n n 因图形关于y轴对称,所以,所求图形的面积为 22 0 3 2 0 11 2(1) 1 2141 22. (1)(1)33(1)(1) n n a n a nn Snxnxdx nn aa xdx n nn nn nn n (2)由(1)的结果知 414 11 () 3 (1)31 n n S an nnn , 根据级数和的定义, 111 411414 limlimlim 1. 31313 nn nk nnn nkk nk SS aakkn
22、 八、(本题满分 7 分)八、(本题满分 7 分) 【分析】 本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线( )yf x等围成的平面图 形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积( )V t与包含函数f的一个恒等式,这正是列方程的 依据. 【解析】由绕x轴旋转的旋转体体积公式得 2 1 ( )( ) t V tfx dx ,于是,依题意得 10 22 1 ( )( )(1) 3 t fx dxt f tf ,即 22 1 3( )( )(1) t fx dxt f tf . 两边对t求导,化成微分方程 22 3( )2 ( )( )fttf t t f t , 其中( )f t为未知函数.按通常
23、以x表示自变量,y表示未知函数( )f t,于是上述方程可写为 22 32,x yyxy 即 2 3( )2( ). dyyy dxxx 这是一阶齐次微分方程.令yux,有 dydu ux dxdx ,则上式化为 2 ()32 , du uxuu dx 即3 (1). du xu u dx (*) 若0u ,则0,yux不满足初始条件 2 2 9 x y ,舍弃； 若1u ,则,yuxx也不满足初始条件 2 2 9 x y ,舍弃； 所以,0u ,且1u . 由(*)式分离变量得 3 , (1) dudx u ux 两边积分得 3 1u Cx u .从而方程(*)的通解为 3 ,yxCx y
24、C为任意常数. 再代入初值,由 2 2 9 x y ,得1C ,从而所求的解为 3 3 ,(1). 1 x yxx yyx x 或 【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若 ( ) ( ) ( )( ) t t F tf x dx ,( ) t,( ) t均一 阶可导,则( )( )( )( )( )F ttfttft. 九、(本题满分 9 分)九、(本题满分 9 分) 【解析】(1)对等式0 T 两边取转置,有 0 T TT ,即0 T . 利用0 T 及矩阵乘法的运算法则,有 2 2TTT A 00 TTTT 0, 即 2 A是n阶零矩阵. 11 (2)设是A的任一特征值,(0)
25、 是A属于特征值的特征向量,即A. 对上式两边左乘A得 2 A()()AA 2 ,由(1)的结果 2 0A ,得 22 0A ,因0,故0(n重根),即矩阵的全部特征值为零. 下面求A的特征向量：先将A写成矩阵形式 11 11 21 22 1222 12 12 , n nT n nnnnn aababab aa ba ba b Ab bb aa ba ba b . 不妨设 11 0,0ab,则有 1 11 2112 2 12222 1222 1 1212 12 (0)1() 0 1(2, ) nn nn nnnnnnnn n i abababbbb a ba ba ba ba ba b EAa
26、 a ba ba ba ba ba b bbb aiin 行 行加到 行 00 000 于是得方程组(0)0EA x同解方程组 1 122 0 nn b xb xb x,这样基础解系所含向量 个数为(0)1nrEAn. 选 2, , n xx为自由未知量,将它们的组值 111 ( ,0,0),(0,0),(0,0,)bbb代入, 可解得基础解系为 12123111 (,0,0),(,0,0),(,0,0,) nn b bbbbb 则A的属于0的全部特征向量为 1 12211nn kkk ,其中 121 , n k kk 为不全为 零的任意常数. 十、(本题满分 7 分)十、(本题满分 7 分)
27、 【分析】由于B是实对称矩阵,B必可相似对角化,而对角矩阵即B的特征值,只要求出 B的特征值即知,又因正定的充分必要条件是特征值全大于零,k的取值亦可求出. 【解析】方法 1：方法 1：由 12 2 101 11 020(2)(2) 11 101 EA , 可得A的特征值是 123 2,0. 那么,kEA的特征值是2,2,kkk,而 2 ()BkEA的特征值是 222 (2) ,(2) ,.kkk 又由题设知A是实对称矩阵,则, T AA故 2 22 ()()() T TT BkEAkEAkEAB , 即B也是实对称矩阵,故B必可相似对角化,且 2 2 2 (2)00 0(2)0 00 k B
28、k k . 当20kk 且时,B的全部特征值大于零,这时B为正定矩阵. 方法 2：方法 2：由 2 101 11 020(2)(2) 11 101 EA , 可得A的特征值是 123 2,0. 因为A是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P使 1 2 2 0 P AP ,即 1 AP P. 那么 2 211 21 ()()()BkEAkPPP PP kEP 1121 ()()().P kEP P kEPP kEP 即 12 ()P BPkE .故 2 2 2 (2)00 0(2)0 00 k Bk k . 当20kk 且时,B的全部特征值大于零,这时B为正定矩阵. 【相关知识点】1.特征值的性质：若A有
29、特征值,则A的特征多项式( )f A有特征值 ( )f. 2.矩阵正定的充要条件是特征值全大于零. 13 O1020 x y 2 D 1 D 10 20 十一、(本题满分 10 分)十一、(本题满分 10 分) 【解析】设Z表示商店每周所得的利润, 当YX时,卖得利润为1000ZY(元)； 当YX时,调剂了YX,总共得到利润 1000500()500()ZXYXXY(元). 所以, 1000 , , 500(), . YYX Z XYYX 由题设X与Y都服从区间10,20上的均匀分布,联合概率密度为 1 , 1020,1020, ( , )100 0, xy f x y 其他. 由二维连续型随
30、机变量的数学期望定义得 12 12 202020 101010 2020 2 1010 ( )1000( , )500()( , ) 11 1000500() 100100 105() 3 10(20)5(1050) 2 20000 5 150014166.67(). 3 DD DD y y E Zy f x y dxdyxyf x y dxdy ydxdyxydxdy dyydxdyxy dx yy dyyydy 元 十二、(本题满分 9 分)十二、(本题满分 9 分) 【解析】记事件 j B “第j次抽到的报名表是女生表”(1,2)j , i A “报名表是第i个地 区的”(1,2,3)i
31、 .易见, 123 ,A A A构成一个完备事件组,且 111213 1 (1,2,3), 3 375 , , . 101525 i P Ai P B AP B AP B A (1) 应用全概率公式,知 3 11 1 137529 () 3 10152590 ii i pP BP AP B A . (2) 12 qP B B.需先计算概率 12 P B B与 2 P B.对事件 12 B B再次用全概率公式： 14 3 1212 1 1377852020 () 3 10 915 1425 2490 ii i P B BP AP B B A , 由“抽签原理”可知 21 61 ()() 90 P BP B, 12 12 2 ()20 9020 90 6161() P B B qP B B P B . 【相关知识点】1.全概率公式：如果事件 1, , n AA构成一个完备事件组,即它们是两两互不 相容,其和为(总体的样本空间)；并且0,1,2, i P Ain,则对任一事件B有 1 () (|) n ii i P BP A P B A .
