2012年数学三真题答案解析.pdf

1、1 2012 年全国硕士研究生入学统一考试2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上. （1）曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】 ：【答案】 ：C 【解析】 ：【解析】 ： 2 2 1 lim 1 x xx x ，所以1x 为垂直的 2 2 l

2、im1 1 x xx x ，所以1y 为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数 2 ( )(1)(2)() xxnx f xeeen，其中n为正整数，则 (0) f （A） 1 ( 1)(1)! n n （B）( 1) (1)! n n （C） 1 ( 1)! n n （D）( 1)! nn 【答案】 ：【答案】 ：C 【解析】 ：【解析】 ： 222 ( )(2)()(1)(22)()(1)(2)() xxnxxxnxxxnx fxe eeneeeneenen 所以 (0) f 1 ( 1)! n n （3）设函数)(tf连续，则二次积分rdrrfd 2 cos2 2 2 0 )(

3、=（） （A）dyyxfyxdx x xx )( 22 4 2 22 2 0 2 2 （B）dyyxfdx x xx )( 22 4 2 2 0 2 2 （C）dyyxfyxdx x xx )( 22 4 21 22 2 0 2 2 2 （D）dyyxfdx x xx )( 22 4 21 2 0 2 2 【答案】 ：【答案】 ： （B） 【解析】 ：【解析】 ：由 22 yxx解得y的下界为 2 2xx ，由2 22 yx解得y的上界为 2 4x.故排 除答案（C） （D）. 将极坐标系下的二重积分化为X型区域的二重积分得到被积函数为)( 22 yxf， 故选（B）. （4）已知级数 1 1

4、 sin) 1( i n n n 绝对收敛， 1 2 ) 1( i n n 条件收敛，则范围为（） （A） 2 1 0 （B）1 2 1 （C） 2 3 1 （D）2 2 3 【答案】 ： （【答案】 ： （D） 【解析】 ： ） 【解析】 ： 考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p级数的收敛性结论. 1 1 sin) 1( i n n n 绝对收敛可知 2 3 ； 1 2 ) 1( i n n 条件收敛可知2，故答案为（D） （5）设 1234 1234 0011 0 ,1 ,1 ,1 cccc 其中 1234 ,c c c c为任意常数，则下列向量组线性相关 的是（） （A） 1

5、23 , （B） 124 , （C） 134 , （D） 234 , 【答案】 ：【答案】 ： （C） 【解析】 ：由于【解析】 ：由于 1341 134 011 11 ,0110 11 c ccc ，可知 134 , 线性相关。故选（C） （ 6 ） 设A为 3 阶 矩 阵 ，P为 3 阶 可 逆 矩 阵 ， 且 1 1 1 2 P AP ， 123 ,P ， 3 1223 ,Q 则 1 Q AQ （） （A） 1 2 1 （B） 1 1 2 （C） 2 1 2 （D） 2 2 1 【答案】 ：【答案】 ： （B） 【解析】 ：【解析】 ： 100 110 001 QP ，则 11 100

6、110 001 QP ， 故 11 10010010011001 11011011011101 00100100120012 Q AQP AP 故选（B） 。 （7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间0,1上的均匀分布，则 22 1P XY（） （A） 1 4 （B） 1 2 （C） 8 （D） 4 【答案】 ：【答案】 ： （D） 【解析】 ：【解析】 ：由题意得， 1,01,01, , 0,. XY xy f x yfx fy 其它 22 1 =, D P XYf x y dxdy ，其中D表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是1，故根据二重积 分的几何意义，知 22 1 = 4 P

7、XY ，故选（D）. （8）设 1234 ,XXXX为来自总体 2 1,0N的简单随机样本，则统计量 12 34 2 XX XX 的分布 （） （A）0,1N （B） 1t （C） 2 1 （D）1,1F 4 【答案】 ：【答案】 ： （B） 【解析】 ：【解析】 ：从形式上，该统计量只能服从t分布。故选B。 具体证明如下： 12 12 2 34 34 2 2 2 2 XX XX XX XX ，由正态分布的性质可知， 12 2 XX 与 34 2 2 XX 均 服从标准正态分布且相互独立，可知 12 2 34 2 1 2 2 XX t XX 。 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小

8、题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上. （9） 1 cossin 4 lim tan xx x x _。 【答案】 ：【答案】 ： - 2 e 【解析】 ：【解析】 ： 4 1 limtan1 1 cossin cossin 4 lim tan x x xx xx x xe 4 1 limtan1 cossin x x xx = 4 tantan 4 lim cossin x x xx = 4 tan1tantan 44 lim - 2sin 4 x xx x = 4 1tantan 44 lim - 2 4 x xx x =

9、2 - 2 =- 2 所以 4 1 limtan1 1 cossin cossin 4 lim tan x x xx xx x xe = - 2 e 5 （10）设函数 ln,1 ( ),( ) 21,1 x x f xyff x xx ，求 0 x dy dx _。 【答案】 ：【答案】 ：4 【解析】 ：【解析】 ： 0 0 ( )( )(0)(0)1(0) x x dy ff xfxfffff dx 由( )f x的表达式可知 0( 1)2ff，可知 0 4 x dy dx （11） 函数( , )zf x y满足 220 1 ( , )22 lim0 (1) x y f x yxy x

10、y ，则 (0,1) dz 【答案】 ：【答案】 ：2dxdy 【解析】 ：【解析】 ：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即 22 ( , )22(1) )f x yxyoxy， 所以 (0,1) 2 z x ， (0,1) 1 z y ，故 (0,1) 2dzdxdy （12）由曲线 4 y x 和直线yx及4yx在第一象限中所围图形的面积为？ 【答案】 ：【答案】 ：4ln2 【解析】 ：【解析】 ：被积函数为 1 的二重积分来求，所以 4 24 02 44 y y yy Sdydxdydx 33 4ln24ln2 22 （13）设A为 3 阶矩阵，3A , * A为A的伴随矩阵，若交换

11、A的第一行与第二行得到矩阵B,则 * BA _。 【答案】 ：【答案】 ：-27 【解析】 ：【解析】 ：由于 12 BE A，故 * 121212 |3BAE A AA EE， 所以， *3 1212 | |3| 3 | 27*( 1)27BAEE . （14）设, ,A B C是随机事件，,A C互不相容， 1 () 2 P AB , 1 ( ) 3 P C ,则()P ABC _。 【答案】 ：【答案】 ： 3 4 【解析】 ：【解析】 ：由条件概率的定义， P ABC P AB C P C ， 6 其中 12 11 33 P CP C ， 1 2 P ABCP ABP ABCP ABC

12、，由于,A C互不相容，即AC，0P AC ，又 ABCAC，得0P ABC ，代入得 1 2 P ABC ，故 3 4 P AB C . 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15） （本题满分 10 分） 计算 2 2 2cos 4 0 lim xx x ee x 【解析】 ：【解析】 ： 22 2 2cos2 2cos 2 2cos 44 000 1 limlimlim xxxx x xxx eee e xx 2 4

13、 0 24 22 4 0 4 2 4 0 22cos lim 22 1 24! lim() + 12 =lim 1 = 12 x x x xx x xx xo x x x o x x 泰勒公式 （16） （本题满分 10 分） 计算二重积分 x D e xydxdy ，其中 D 为由曲线yx与 1 y x 所围区域。 【解析】：【解析】：由题意知，区域 1 ( , )|01,Dx yxxy x ，如图所示所以 1 1 00 lim xx x xx D e xydxdydxe xydy y O1x 7 1 1 2 00 1 00 11 2 000 11 2 00 0 1 00 11 00 0 0

14、 1 lim 2 1 lim 22 1 lim 2 1 lim12 2 1 lim12 2 1 lim12 2 11 lim12(1) 22 x x x x x x xx x xx x x x xx x x e xydx x e xdx x e dxe x dx ee xe xdx xde e xe dx ee （17） （本题满分 10 分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 10000（万元） ，设该企 业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x（件）和（y 件） ，且固定两种产品的边际成本分别为 2 20 x （万元 /件）与y6（万元/件） 。 1）求生产甲乙两种产品的总成本

15、函数),(yxC(万元) 2）当总产量为 50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。 3）求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 【解析】 ：【解析】 ：1）设成本函数为( , )C x y，由题意有：( , )20 2 x x Cx y ， 对 x 积分得， 2 ( , )20( ) 4 x C x yxD y， 再对 y 求导有，( , )( )6 y Cx yD yy ， 再对 y 积分有， 2 1 ( )6 2 D yyyc 所以， 2 2 1 ( , )206 42 x C x yxyyc 又(0,0)10000C，故100

16、00c ，所以 2 2 1 ( , )20610000 42 x C x yxyy 2）若50 xy，则50(050)yxx，代入到成本函数中，有 8 2 2 2 1 ( )206(50)(50)10000 42 3 3611550 4 x C xxxx xx 所以，令 3 ( )360 2 C xx，得24,26xy，这时总成本最小(24,26)11118C 3）总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32 x C，表示在要求总产量为 50 件时， 在甲产品为 24 件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生 32 万元的改变。 （18） （本题满分 10 分） 证明：

17、 2 1 lncos1, 11 12 xx xxx x 【解析】 ：【解析】 ：令 2 1 lncos1 12 xx f xxx x ，可得 2 2 2 2 112 lnsin 11 1 12 lnsin 11 11 lnsin 11 xx fxxxx xx x xx xx xx xx xx xx 当01x时，有 1 ln0 1 x x ， 2 2 1 1 1 x x ，所以 2 2 1 sin0 1 x xx x ， 故 0fx ，而 00f，即得 2 1 lncos10 12 xx xx x 所以 2 1 lncos1 12 xx xx x 。 当10 x ，有 1 ln0 1 x x ，

18、 2 2 1 1 1 x x ，所以 2 2 1 sin0 1 x xx x ， 故 0fx ，即得 2 1 lncos10 12 xx xx x 可知， 2 1 lncos1, 11 12 xx xxx x 9 （19） （本题满分 10 分）已知函数)(xf满足方程0)(2)()( xfxfxf及 x exfxf2)()( 1）求表达式)(xf 2）求曲线的拐点dttfxfy x 0 22 )()( 【解析】 ：【解析】 ： 1）特征方程为02 2 rr，特征根为2, 1 21 rr，齐次微分方程( )( )2 ( )0fxfxf x的通解 为 xx eCeCxf 2 21 )( .再由

19、( ) ( )2 x fxf xe得 2 12 22 xxx C eC ee ，可知 12 1,0CC。 故( ) x f xe 2）曲线方程为 22 0 x xt yeedt ，则 22 0 12 x xt yxeedt ， 22 2 0 22 12 x xt yxxeedt 令0y 得0 x 。为了说明0 x 是0y 唯一的解，我们来讨论y在0 x 和0 x 时的符号。 当0 x 时， 22 2 0 20,2 120 x xt xxeedt ，可知0y ；当0 x 时， 22 2 0 20,2 120 x xt xxeedt ，可知0y 。可知0 x 是0y 唯一的解。 同时，由上述讨论可

20、知曲线dttfxfy x 0 22 )()(在0 x 左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线 dttfxfy x 0 22 )()(唯一的拐点。 （20） （本题满分 10 分） 设 100 010 001 001 a a A a a ， 1 1 0 0 b （）求A （）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。 【解析】【解析】 ： （） 4 14 100 1000 010 101( 1)101 001 00101 001 a aa a aaaa a a a 10 （） 232 42 100110011001 010101010101 001000100010 001000

21、1001 1001 0101 0010 0001 aaa aaa aaa aaaaaa a a a aaa 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有 4 10a及 2 0aa ，可知1a 。 此时，原线性方程组增广矩阵为 11001 01101 00110 00000 ，进一步化为行最简形得 10010 01011 00110 00000 可知导出组的基础解系为 1 1 1 1 ，非齐次方程的特解为 0 1 0 0 ，故其通解为 10 11 10 10 k 线性方程组Axb存在 2 个不同的解，有| 0A . 即： 2 11 010(1) (1)0 11 A ，得1或-1. 当1时, 1 2

22、3 111 0000 1111 xx x x ，显然不符，故1 . （21） （本题满分 10 分）三阶矩阵 101 011 10 A a ， T A为矩阵A的转置，已知()2 T r A A ，且二次型 TT fx A Ax。 1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 【解析】 ：【解析】 ：1）由()( )2 T r A Ar A可得， 11 101 011101 10 aa a 2） 1 1232 3 222 1231223 202 ,022 224 22444 TT x fx A Axx x xx x xxxx xx x 则矩阵 202 022

23、224 B 202 022260 224 EB 解得B矩阵的特征值为： 123 0;2;6 对于 11 0,0EB X解得对应的特征向量为： 1 1 1 1 对于 22 2,0EB X解得对应的特征向量为： 2 1 1 0 对于 33 6,0EB X解得对应的特征向量为： 3 1 1 2 将 123 , 单位化可得： 1 1 1 1 3 1 ， 2 1 1 1 2 0 ， 3 1 1 1 6 2 123 ,Q （22） （本题满分 10 分） 已知随机变量,X Y以及XY的分布律如下表所示， 12 X012 P1/21/31/6 Y012 P1/31/31/3 XY0124 P7/121/30

24、1/12 求： （1）2P XY； （2）cov,XY Y与 XY . 【解析】 ：【解析】 ： X012 P1/21/31/6 Y012 P1/31/31/3 XY0124 P7/121/301/12 （1） 11 20,02,10 44 P XYP XYP XY （2）cov,cov,cov,XY YX YY Y cov,X YEXYEXEY ，其中 2 222 2545 ,1,1,1 3399 EXEXEYEYDXEXEX 2 2 52 1 33 DYEYEY , 2 3 EXY 所以，cov,0X Y ， 2 cov, 3 Y YDY， 2 cov, 3 XY Y ,0 XY . （2

25、3） （本题满分 10 分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min,max,VX YUX Y. 求（1）随机变量V的概率密度； （2）E UV. 【解析】 ：【解析】 ： （1）X概率密度为 ,0, 0,. x ex f x 其它 分布函数为 1,0, 0,. x ex F x 其它 X和Y同分布. 由min,VX Y， min,1, V FvP VvPX YvP Xv Yv ， 13 而,X Y独立，故上式等于 2 21,0, 111 0,. v ev P Xv P YvF v 其它 故 2 2,0, 0,. v VV ev fvFv 其它 （2）同理，U的概率密度为： 2 1,0, 0,. uu U eeu fu 其它 0 3 2 1 2 uu EUuee du ， 2 0 1 2 2 v EVv edv ， 所以 31 2 22 E UVE UE V.