1、- 1 - 2004 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析 一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0 bx ae x x x ，则 a =1，b =4. 【分析分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解详解】因为5)(cos sin lim 0 bx ae x x x ，且0)(cossinlim 0 bxx x ，所以 0)(lim 0 aex x ，得 a = 1. 极限化为 51)(coslim)(cos sin lim 00 bbx x x bx ae x x x x ，得
2、b = 4. 因此，a = 1，b = 4. 【评注评注】一般地，已知 )( )( lim xg xf A， (1) 若 g(x) 0，则 f (x) 0； (2) 若 f (x) 0，且 A 0，则 g(x) 0. (2) 设函数 f (u , v)由关系式 f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0， 则 )( )( 2 2 vg vg vu f . 【分析分析】令 u = xg(y)，v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解详解】令 u = xg(y)，v = y，则 f (u , v) =)( )( vg
3、vg u ， 所以， )( 1 vgu f ， )( )( 2 2 vg vg vu f . (3) 设 2 1 ,1 2 1 2 1 , )( 2 x xxe xf x ，则 2 1 ) 1( 2 2 1 dxxf. 【分析分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解详解】令 x 1 = t， 1 2 1 1 2 1 2 2 1 )()() 1(dtxfdttfdxxf 2 1 ) 2 1 (0) 1( 1 2 1 2 1 2 1 2 dxdxxex. - 2 - 【评注评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进
4、行求解. (4) 二次型 2 13 2 32 2 21321 )()()(),(xxxxxxxxxf的秩为2. 【分析分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换 或配方法均可得到答案. 【详解一详解一】因为 2 13 2 32 2 21321 )()()(),(xxxxxxxxxf 323121 2 3 2 2 2 1 222222xxxxxxxxx 于是二次型的矩阵为 211 121 112 A, 由初等变换得 000 330 211 330 330 211 A, 从而2)(Ar,即二次型的秩为 2. 【详解二详解二】因为 2 13 2 32 2 213
5、21 )()()(),(xxxxxxxxxf 323121 2 3 2 2 2 1 222222xxxxxxxxx 2 32 2 321 )( 2 3 ) 2 1 2 1 (2xxxxx 2 2 2 1 2 3 2yy, 其中, 2 1 2 1 3211 xxxy 322 xxy. 所以二次型的秩为 2. (5) 设随机变量X服从参数为的指数分布, 则DXXP e 1 . 【分析分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解详解】 由于 2 1 DX ,X的分布函数为 . 0, 0 , 0,1 )( x xe xF x 故 DXXP1DXXP 1 1 XP) 1 (1 F e 1
6、 . 【评注评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体X服从正态分布),( 2 1 N, 总体Y服从正态分布),( 2 2 N, - 3 - 1 , 21n XXX和 2 , 21n YYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则 2 21 2 1 2 1 2 )()( 21 nn YYXX E n j j n i i . 【分析分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案. 【详解详解】因为 2 1 2 1 )( 1 1 1 XX n E n i i , 2 1 2 2 )( 1 1 2 YY n E n j j , 故应填 2 . 【评注评注】本题是对
7、常用统计量的数字特征的考查. 二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数 2 )2)(1( )2sin(| )( xxx xx xf在下列哪个区间内有界. (A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).A 【分析分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限)(limxf ax 与)(limxf bx 存在，则函数 f (x) 在(a , b)内有界. 【详解详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而
8、 18 3sin )(lim 1 xf x ， 4 2sin )(lim 0 xf x ， 4 2sin )(lim 0 xf x ， )(lim 1 xf x ， )(lim 2 xf x ， 所以，函数 f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A). 【评注评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间a , b上连续，则 f (x)在闭区间a , b上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限)(limxf ax 与)(limxf bx 存在，则函数 f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设 f (x)在( , +)内有定义，且axf x )(lim， 0,0 0
9、, ) 1 ( )( x x x f xg，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点.(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关.D 【分析分析】考查极限)(lim 0 xg x 是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 x u 1 ， - 4 - 可将极限)(lim 0 xg x 转化为)(limxf x . 【详解详解】因为)(lim) 1 (lim)(lim 00 uf x fxg uxx = a(令 x u 1 )，又 g(0) = 0，所以， 当
10、 a = 0 时，)0()(lim 0 gxg x ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a 0 时， )0()(lim 0 gxg x ，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性 与 a 的取值有关，故选(D). 【评注评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0
11、 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点.C 【分析分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解详解】设 0 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ( , 0)时，f (x) = x(1 x)，02)( x f， 当 x (0 , )时，f (x
12、) = x(1 x)，02)( x f，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). 【评注评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题： (1) 若 1 212 )( n nn uu收敛，则 1n n u收敛. (2) 若 1n n u收敛，则 1 1000 n n u收敛. (3) 若1lim 1 n n nu u ，则 1n n u发散. (4) 若 1 )( n nn vu收敛，则 1n n u， 1n n v都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2).(B) (2) (3).(
13、C) (3) (4).(D) (1) (4).B 【分析分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性. 【详解详解】(1)是错误的，如令 n n u) 1(，显然， 1n n u分散，而 1 212 )( n nn uu收敛. - 5 - (2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性. (3)是正确的，因为由1lim 1 n n nu u 可得到 n u不趋向于零(n )，所以 1n n u发散. (4)是错误的，如令 n v n u nn 1 , 1 ，显然， 1n n u， 1n n v都发散，而 1 )( n nn vu收敛. 故选(B). 【评注评
14、注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (11) 设)(x f 在a , b上连续，且0)(, 0)(bfaf，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),( 0 bax ，使得)( 0 xf f (a). (B) 至少存在一点),( 0 bax ，使得)( 0 xf f (b). (C) 至少存在一点),( 0 bax ，使得0)( 0 x f. (D) 至少存在一点),( 0 bax ，使得)( 0 xf= 0.D 【分析分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解详解】首先，由已知)(x f 在a , b上连续，且0)(,
15、0)(bfaf，则由介值定理， 至少存在一点),( 0 bax ，使得0)( 0 x f； 另外，0 )()( lim)( ax afxf af ax ，由极限的保号性，至少存在一点),( 0 bax 使得0 )()( 0 0 ax afxf ，即)()( 0 afxf. 同理，至少存在一点),( 0 bax 使得)()( 0 bfxf. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). 【评注评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有 (A) 当)0(|aaA时,aB |.(B) 当)0(|aaA时,aB |. (C) 当0|A时,
16、0|B.(D) 当0|A时,0|B.D 【分析分析】 利用矩阵A与B等价的充要条件:)()(BrAr立即可得. 【详解详解】因为当0|A时,nAr)(, 又A与B等价, 故nBr)(,即0|B, 故选(D). - 6 - 【评注评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. (13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵, 0 * A若 4321 ,是非齐次线性方程组bAx 的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系 (A) 不存在.(B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量.(D) 含有三个线性无关的解向量.B 【分析分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要
17、确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解详解】 因为基础解系含向量的个数=)(Arn , 而且 . 1)(, 0 , 1)(, 1 ,)(, )( * nAr nAr nArn Ar 根据已知条件, 0 * A于是)(Ar等于n或1n. 又bAx 有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)( nAr. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B). 【评注评注】 本题是对矩阵A与其伴随矩阵 * A的秩之间的关系、 线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14) 设随机变量X服从正态分布) 1 , 0(N, 对给定的) 1 , 0(, 数 u满足uXP , 若xXP |, 则x等于 (A) 2 u
18、.(B) 2 1 u .(C) 2 1 u .(D) u 1 .C 【分析分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解详解】 由xXP |, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得 2 1 xXP . 故正确答案为(C). 【评注评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 三、解答题三、解答题(本题共本题共 9 小题，满分小题，满分 94 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分 8 分) 求) cos sin 1 (lim 2 2 2 0 x x x x . 【分析分析】先通分化
19、为“ 0 0 ”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解详解】 xx xxx x x x xx 22 222 0 2 2 2 0 sin cossin lim) cos sin 1 (lim = 3 4 6 )4( 2 1 lim 6 4cos1 lim 4 4sin 2 1 2 lim 2sin 4 1 lim 2 2 0 2 0 3 0 4 22 0 x x x x x xx x xx xxxx . - 7 - 【评注评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“ 0 0 ”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分 8 分) 求 D dyyx)( 22
20、 ，其中 D 是由圆4 22 yx和1) 1( 22 yx所围成的平面区域(如图). 【分析分析】首先，将积分区域 D 分为大圆4| ),( 22 1 yxyxD减去小圆 1) 1( | ),( 22 2 yxyxD，再利用对称性与极坐标计算即可. 【详解详解】令1) 1( | ),(,4| ),( 22 2 22 1 yxyxDyxyxD， 由对称性，0 D yd. 21 222222 DDD dyxdyxdyx cos2 0 2 2 3 2 2 0 2 2 0 drrddrrd. )23( 9 16 9 32 3 16 所以，)23( 9 16 )( 22 D dyyx. 【评注评注】本题
21、属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂 区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分 8 分) 设 f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足 x a x a dttgdttf)()(，x a , b)， b a b a dttgdttf)()(. 证明： b a b a dxxxgdxxxf)()(. 【分析分析】令 F(x) = f (x) g(x)， x a dttFxG)()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解详解】令 F(x) = f (x) g(x)， x a dttFxG)()(， 由题设 G(x) 0
22、，x a , b， G(a) = G(b) = 0，)()(xFxG. 从而 b a b a b a b a b a dxxGdxxGxxGxxdGdxxxF)()()()()(， 由于 G(x) 0，x a , b，故有 - 8 - 0)( b a dxxG， 即0)( b a dxxxF. 因此 b a b a dxxxgdxxxf)()(. 【评注评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 d E( d
23、 E 0)； (II) 推导)1 ( d EQ dP dR (其中 R 为收益)，并用弹性 d E说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使 收益增加. 【分析分析】由于 d E 0，所以 dP dQ Q P Ed；由 Q = PQ 及 dP dQ Q P Ed可推导 )1 ( d EQ dP dR . 【详解详解】(I) P P dP dQ Q P Ed 20 . (II) 由 R = PQ，得 )1 ()1 ( d EQ dP dQ Q P Q dP dQ PQ dP dR . 又由1 20 P P Ed，得 P = 10. 当 10 P 1，于是0 dP dR ， 故当 10 P 0 时，
24、需求量对价格的弹性公式为 dP dQ Q P dP dQ Q P Ed. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式： QdpEdR d) 1 ( ，QE dp dR d) 1 ( ，p EdQ dR d ) 1 1 ( ， d E Ep ER 1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分 9 分) 设级数 - 9 - )( 864264242 864 x xxx 的和函数为 S(x). 求： (I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. 【分析分析】对 S(x)进行求导，可得到 S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得 S(x)的表达式. 【详解详解】(I)
25、 864264242 )( 864 xxx xS， 易见S(0) = 0， 642422 )( 753 xxx xS ) 642422 ( 642 xxx x )( 2 2 xS x x. 因此 S(x)是初值问题 0)0(, 2 3 y x xyy的解. (II) 方程 2 3 x xyy的通解为 2 3 Cdxe x ey xdxxdx 2 2 2 1 2 x Ce x ， 由初始条件 y(0) = 0，得 C = 1. 故1 2 2 2 2 x e x y，因此和函数1 2 )( 2 2 2 x e x xS. 【评注评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002 年考过类似的题.
26、 (20)(本题满分 13 分) 设 T )0 , 2 , 1 ( 1 , T )3, 2, 1 ( 2 , T bb)2, 2, 1( 3 , T )3, 3 , 1 (, 试讨论当ba,为何值时, ()不能由 321 ,线性表示; - 10 - ()可由 321 ,唯一地线性表示, 并求出表示式; ()可由 321 ,线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析分析】将可否由 321 ,线性表示的问题转化为线性方程组kkk 332211 是否有解的问题即易求解. 【详解详解】 设有数, 321 kkk使得 kkk 332211 .(*) 记),( 321 A . 对矩阵),(A施以
27、初等行变换, 有 3230 3222 1111 ),( baa baA 000 10 1111 ba ba. () 当0a时, 有 1000 100 1111 ),(bA. 可知),()(ArAr.故方程组(*)无解,不能由 321 ,线性表示. () 当0a, 且ba 时, 有 000 10 1111 ),( ba baA 0100 1 010 1 1001 a a 3),()(ArAr,方程组(*)有唯一解： a k 1 1 1 , a k 1 2 ,0 3 k 此时可由 321 ,唯一地线性表示, 其表示式为 21 1 ) 1 1 ( a a () 当0 ba时, 对矩阵),(A施以初等
28、行变换, 有 - 11 - 000 10 1111 ),( ba baA 0000 1 110 1 1001 a a ， 2),()(ArAr,方程组(*)有无穷多解，其全部解为 a k 1 1 1 ,c a k 1 2 ,ck 3 ，其中c为任意常数 可由 321 ,线性表示, 但表示式不唯一,其表示式为 321 ) 1 () 1 1 (cc a a 【评注评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000). (21) (本题满分 13 分) 设n阶矩阵 1 1 1 bb bb bb A. () 求A的特征值和特征向量; () 求可逆矩阵P, 使得APP 1 为对角矩阵. 【分析分
29、析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程 0| AE和齐次线性方程组0)(xAE来解决. 【详解详解】() 1当0b时， 1 1 1 | bb bb bb AE 1 )1 () 1(1 n bbn, 得A的特征值为bn) 1(1 1 ，b n 1 2 对bn) 1(1 1 ， - 12 - bnbb bbnb bbbn AE ) 1( ) 1( ) 1( 1 ) 1(11 1) 1(1 11) 1( n n n 0000 1111 1111 1111 n n n 0000 1111 1111 1111 n n n 0000 00 00 1111 nn nn n 00
30、00 1100 1010 1001 解得 T ) 1 , 1 , 1 , 1 ( 1 ，所以A的属于 1 的全部特征向量为 T kk) 1 , 1 , 1 , 1 ( 1 (k为任意不为零的常数) 对b1 2 ， bbb bbb bbb AE 2 000 000 111 得基础解系为 T )0 , 0 , 1, 1 ( 2 ， T )0 , 1, 0 , 1 ( 3 ， T n ) 1, 0 , 0 , 1 (, 故A的属于 2 的全部特征向量为 nn kkk 3322 ( n kkk, 32 是不全为零的常数) 2当0b时， n AE) 1( 100 010 001 | , 特征值为1 1
31、n ，任意非零列向量均为特征向量 - 13 - () 1当0b时，A有n个线性无关的特征向量，令),( 21n P，则 b b bn APP 1 1 ) 1(1 1 2当0b时，EA ，对任意可逆矩阵P, 均有 EAPP 1 【评注评注】 本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵 的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未 知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分 13 分) 设A，B为两个随机事件,且 4 1 )(AP, 3 1 )|(ABP, 2 1 )|(BAP
32、, 令 不发生， 发生， A A X 0 , 1 .0 , 1 不发生， 发生， B B Y 求 () 二维随机变量),(YX的概率分布; ()X与Y的相关系数 XY ; () 22 YXZ的概率分布. 【分析分析】本题的关键是求出),(YX的概率分布，于是只要将二维随机变量),(YX的各取值对转化为随机事 件A和B表示即可 【详解】【详解】() 因为 12 1 )|()()(ABPAPABP，于是 6 1 )|( )( )( BAP ABP BP， 则有 12 1 )(1, 1ABPYXP， 6 1 )()()(0, 1ABPAPBAPYXP， 12 1 )()()(1, 0ABPBPBAP
33、YXP， 3 2 )()()(1)(1)(0, 0ABPBPAPBAPBAPYXP， ( 或 3 2 12 1 6 1 12 1 10, 0YXP)， 即),(YX的概率分布为： - 14 - Y X01 0 1 3 2 12 1 6 1 12 1 ()方法一：因为 4 1 )(APEX， 6 1 )(BPEY， 12 1 )(XYE， 4 1 )( 2 APEX， 6 1 )( 2 BPEY， 16 3 )( 22 EXEXDX， 16 5 )( 22 EYEYDY， 24 1 )(),(EXEYXYEYXCov， 所以X与Y的相关系数 15 15 15 1),( DYDX YXCov XY
34、 方法二：X, Y 的概率分布分别为 X01Y01 P 4 3 4 1 P 6 5 6 1 则 6 1 , 4 1 EYEX， 16 3 DX，DY= 36 5 , E(XY)= 12 1 , 故 24 1 )(),(EYEXXYEYXCov，从而 . 15 15),( DYDX YXCov XY ()Z的可能取值为：0，1，2 3 2 0, 00YXPZP， 4 1 1, 00, 11YXPYXPZP， 12 1 1, 12YXPZP， 即Z的概率分布为： Z012 P 3 2 4 1 12 1 【评注评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问
35、 题，属于综合性题型 (23) (本题满分 13 分) - 15 - 设随机变量X的分布函数为 ， ， x x x xF 0 ,1 ),( 其中参数1, 0. 设 n XXX, 21 为来自总体X的简单随机样本, () 当1时, 求未知参数的矩估计量; () 当1时, 求未知参数的最大似然估计量; () 当2时, 求未知参数的最大似然估计量. 【分析】【分析】 本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】【详解】当1时,X的概率密度为 ， ， 10 1, ),( 1 x x x xf ()由于 1 1 ,
36、 1 );( dx x xdxxxfEX 令X 1 ,解得 1 X X , 所以, 参数的矩估计量为 1 X X . () 对于总体X的样本值 n xxx, 21 , 似然函数为 n i i n n i nix xxx xfL 1 1 21 ., 0 ), 2 , 1( 1, )( );()( 其他 当), 2 , 1( 1nixi时,0)(L, 取对数得 n i i xnL 1 ln) 1(ln)(ln, 对求导数，得 - 16 - n i i x n d Ld 1 ln )(ln ， 令0ln )(ln 1 n i i x n d Ld ，解得 n i i x n 1 ln ， 于是的最大似然估计量为 n i i x n 1 ln ( ) 当2时,X的概率密度为 ， ， x x x xf 0 , 2 ),( 3 2 对于总体X的样本值 n xxx, 21 , 似然函数为 n i i n nn i nix xxx xfL 1 3 21 2 ., 0 ), 2 , 1(, )( 2 );()( 其他 当), 2 , 1(nixi时,越大，)(L越大, 即的最大似然估计值为 ,min 21n xxx, 于是的最大似然估计量为 ,min 21n XXX
