1、第一讲第一讲 现代投资理论现代投资理论 华东师范大学金融学系华东师范大学金融学系 葛正良葛正良 一、基本概念一、基本概念 (一一) 确定性、不确定性、风险确定性、不确定性、风险 1.确定性：投资者的未来收益是确定的、无误差，完确定性：投资者的未来收益是确定的、无误差，完 全可预见。全可预见。 2.不确定性：投资者的未来收益完全不能确定。不确定性：投资者的未来收益完全不能确定。 3. 风险：未来收益发生的概率可预见，但未来收益风险：未来收益发生的概率可预见，但未来收益 变化程度不可预见。变化程度不可预见。 风险风险 系统风险：宏观方面的因素系统风险：宏观方面的因素 非系统风险：微观方面的因素非系
2、统风险：微观方面的因素 一、基本概念一、基本概念 （二）投资者偏好与无差异曲线（二）投资者偏好与无差异曲线 1. 投资者偏好是指投资者对风险态度投资者偏好是指投资者对风险态度 经济状况经济状况 不景气不景气 景气景气 证券证券A A 证券证券B B 证券证券C C 2 2 1.2 1.2 1.8 1.8 2 2 2.8 2.8 2.6 2.6 发生概率发生概率 0.50.5 0.50.5 根据期望收益的定义，我们可以求出证券根据期望收益的定义，我们可以求出证券A A、B B、C C预期收益的平均值：预期收益的平均值： 证券证券A A：期望收益：期望收益=2=2 证券证券B B：期望收益：期望收
3、益=2=2 证券证券C C：期望收益：期望收益=2.2=2.2 一、基本概念一、基本概念 收益确定为无风险资产（证券收益确定为无风险资产（证券A A ），收益不确定为风险资产（证），收益不确定为风险资产（证 券券B B、C C） 在期望收益相同情况下，选择风险小的投资对象，没有与风险对在期望收益相同情况下，选择风险小的投资对象，没有与风险对 称的风险报酬绝不选择风险资产，这被称之为称的风险报酬绝不选择风险资产，这被称之为“风险规避者风险规避者”. .他们他们 选择证券选择证券A A ，但也会选择证券，但也会选择证券C C， 为得到高收益的机会而愿意以承担高风险为代价，选择高风险证为得到高收益的
4、机会而愿意以承担高风险为代价，选择高风险证 券，被称之为券，被称之为“风险偏好者风险偏好者”（Risk LoverRisk Lover）。对于风险偏好者，在）。对于风险偏好者，在 对证券对证券A A与证券与证券B B作出选择时，即使两者期望收益相同，也会选择风险作出选择时，即使两者期望收益相同，也会选择风险 大的证券大的证券B B。 仅以期望收益的大小为标准来选择投资对象，被称之为仅以期望收益的大小为标准来选择投资对象，被称之为“风险中立风险中立 者者”。对于风险中立者，由于证券。对于风险中立者，由于证券C C的期望收益最大，故选择证券的期望收益最大，故选择证券C C， 而证券而证券A A和证
5、券和证券B B的期望收益相同，故被视为是无差别的投资对象。的期望收益相同，故被视为是无差别的投资对象。 一、基本概念一、基本概念 2.无差异曲线对投资者偏好的描述无差异曲线对投资者偏好的描述 （1）风险规避者）风险规避者 （r） （r）（r） （3）风险偏好者）风险偏好者 （2）风险中立者）风险中立者 一、基本概念一、基本概念 3.投资者风险承受能力与无差异曲线的定量描述投资者风险承受能力与无差异曲线的定量描述 无差异线表达式无差异线表达式 E（rp）=Ui + b2 p Ui= E（rp）- b2 p Ui 曲线在收益轴上截距曲线在收益轴上截距 b 风险厌恶系数，风险厌恶系数，b数值大风险厌
6、恶程度高，反之相反。数值大风险厌恶程度高，反之相反。 T 风险承受能力风险承受能力, T数值大数值大, 风险承受能力强，反之相反。风险承受能力强，反之相反。 T =1/b b =1/T b =(Ers-rf)2 /2 (Erc -rf)s2 Ers 风险资产组合期望收益率风险资产组合期望收益率 Erc 风险资产与无风险资产组合后期望收益率风险资产与无风险资产组合后期望收益率 s2风险资产组合方差风险资产组合方差 一、基本概念一、基本概念 举例说明举例说明: 国债国债% 股票组合股票组合% 期望收益期望收益 % 标准差标准差% 0 100 12 15 20 80 11.1 12 40 60 10
7、.2 9 50 50 9.75 7.5 60 40 9.3 6 80 20 8.4 3 100 0 7.5 0 一、基本概念一、基本概念 Rf=7.5 % s=15 % 代入代入: b =(12-7.5)2 /2 (Erc 7.5) 152=22.22 Erc 166.67 若若50%国债股,50%票组合 b =22.22 9.75 166.67=50 (%) E（rp）=Ui + 50 (%) 2 p Ui= E（rp）50 (%) 2 p 因为：因为：T =1/b=1/50 (%) ，故，故 E（rp）=Ui + 22 p Ui= E（rp）22 p （3）无差异线与有效边界线联立方程，求
8、切点，得出最优组合。）无差异线与有效边界线联立方程，求切点，得出最优组合。 一、基本概念一、基本概念 （三）投资者偏好与（三）投资者偏好与效用效用比较比较 收益最大化是所有投资者追求目标，但运用收益最大化原则不能帮收益最大化是所有投资者追求目标，但运用收益最大化原则不能帮 助投资者在以下两种证券作选择：助投资者在以下两种证券作选择： 国债国债B ： 收益收益 10 ， 概率概率 1 1 股票股票C： 收益收益 -8 -8 ， 概率概率 0.250.25 收益收益 16 16 ， 概率概率 0.50.5 收益收益 24 24 ， 概率概率 0.250.25 因为未来股票因为未来股票C C究竟为哪
9、一个值事先不确定。运用收益最大化原则投究竟为哪一个值事先不确定。运用收益最大化原则投 资者应选择股票资者应选择股票C ，因为股票，因为股票C期望收益期望收益1212，大于国债，大于国债B收益收益10，在，在 进行投资抉择时，若考虑风险，不能说股票进行投资抉择时，若考虑风险，不能说股票C优于优于国债国债B. 依据对风险的不同偏好，追求效用最大化还是收益最大化是有区别依据对风险的不同偏好，追求效用最大化还是收益最大化是有区别 的，投资效用的决定取决于投资收益水平与风险程度两个因素。的，投资效用的决定取决于投资收益水平与风险程度两个因素。 一、基本概念一、基本概念 在不确定性条件下；期望效用是由期望
10、收益与风险所决定的投资效用，在不确定性条件下；期望效用是由期望收益与风险所决定的投资效用， 用公式表示如下：用公式表示如下： 该公式表示，如果风险不变，期望收益的增加会引起投资者期望效该公式表示，如果风险不变，期望收益的增加会引起投资者期望效 用的增大，或者如果风险减少，而期望收益不减少时，也将会引起期用的增大，或者如果风险减少，而期望收益不减少时，也将会引起期 望效用增大，计算期望效用公式为：望效用增大，计算期望效用公式为： 1 ( ) n iii i E uPu ( ) ( ),E uf E r 一一.基本概念基本概念 必须了解效用函数的概率分布，以便找到每一种选择对象的期望必须了解效用函
11、数的概率分布，以便找到每一种选择对象的期望 效用。在不确定性条件下，投资者能够扩大的仅仅是其期望效用。效用。在不确定性条件下，投资者能够扩大的仅仅是其期望效用。 由于不同的投资者对风险的容忍程度不同，同一投资对象给他们带由于不同的投资者对风险的容忍程度不同，同一投资对象给他们带 来的效用也各不相同，反映在效用函数的图型上，其形状也各不相同。来的效用也各不相同，反映在效用函数的图型上，其形状也各不相同。 假定有证券假定有证券Z Z，其期初价格为，其期初价格为1010元，未来价格的变动情况如下：元，未来价格的变动情况如下： 期末价格期末价格 概率概率 9 9 1/2 1/2 11 11 1/2 1
12、/2 该项投资的期末期望价值为该项投资的期末期望价值为1/21/2* *9+1/29+1/2* *11=1011=10，即期望收益等于期初的，即期望收益等于期初的 价格，也就是说，该项投资的净收益为价格，也就是说，该项投资的净收益为0.0.所以，从期望收益角度分析，所以，从期望收益角度分析， 投资者无法作出是否购入的决策。投资者无法作出是否购入的决策。 一、基本概念一、基本概念 然而，从期望效用理论来看，投资者是否购入该种证券，完全依然而，从期望效用理论来看，投资者是否购入该种证券，完全依 赖他对风险的态度，即对收益不确定证券的偏好程度赖他对风险的态度，即对收益不确定证券的偏好程度。 风险回避
13、者为凹型效用函数，都满足其一阶导数非负，即，二阶导数风险回避者为凹型效用函数，都满足其一阶导数非负，即，二阶导数 为负，即的条件。加一个单位，期望效用也随之提高，但其程度呈递为负，即的条件。加一个单位，期望效用也随之提高，但其程度呈递 减趋势。减趋势。 EU(r)=1/2U(9)+1/2U(11)EU(r)=1/2U(9)+1/2U(11) 风险回避者不会购买期望价值与购入价格相等的收益不确定的证券，风险回避者不会购买期望价值与购入价格相等的收益不确定的证券， 凹型效用函数把货币收益为凹型效用函数把货币收益为0 0的情况解释为效用损失。的情况解释为效用损失。 风险偏好者为获取高收益不惜以承担巨
14、大风险为代价，风险偏好风险偏好者为获取高收益不惜以承担巨大风险为代价，风险偏好 者的效用函数呈凸型，意即随着风险偏好者财富或收益的增长，边际者的效用函数呈凸型，意即随着风险偏好者财富或收益的增长，边际 效用也增长。效用也增长。 一、基本概念一、基本概念 10 11 9 D C A B 9 10 N 11 D C B A 9.7M U(11) U(10) EU(X) U(9) U(X) U(X) X EU(X) U(10) 特殊的效用假定，即投资者的效用函数是线性函数，投资者将会依据期特殊的效用假定，即投资者的效用函数是线性函数，投资者将会依据期 望收益最大化原则作出投资选择。望收益最大化原则作
15、出投资选择。 已知购入价格为已知购入价格为1010元，预期期末价值为元，预期期末价值为1111元时，概率是元时，概率是1/21/2；为；为9 9元时，元时， 概率也是概率也是1/21/2，也即得到，也即得到1 1元收益与遭受元收益与遭受1 1元损失的概率相同。元损失的概率相同。 9 10 U(9) U(10) U(11) C X U(X) 11 特殊的效用函数曲线特殊的效用函数曲线 该投资选择的期望效用是：该投资选择的期望效用是： 并且已经知道它是由图中的点并且已经知道它是由图中的点C C表示。由于表示。由于 在此，依据期望效用最大化原则还是期望收益最大化原则在此，依据期望效用最大化原则还是期
16、望收益最大化原则 进行投资选择是无差别的。如果购入价格低于进行投资选择是无差别的。如果购入价格低于1010元，投资者会元，投资者会 投资购入：购入价格高于投资购入：购入价格高于1010元，投资者则决不会购入。只有其元，投资者则决不会购入。只有其 净期望收益为正时，该投资者才会选择购入净期望收益为正时，该投资者才会选择购入. . 风险偏好者，即使是净期望价值为风险偏好者，即使是净期望价值为0 0，也总愿意冒风险；，也总愿意冒风险； 风险回避者则不同，他们总难以接受风险；风险回避者则不同，他们总难以接受风险； 而对与效用函数为线性型的投资者来说，任何风险都是而对与效用函数为线性型的投资者来说，任何
17、风险都是 无差别，无差别， 此类投资者称之为风险中立者。此类投资者称之为风险中立者。 ( )1/ 2 (9) 1/ 2 (11)EU xUU ( )(10)EU xU 一、基本概念一、基本概念 一、基本概念一、基本概念 一、基本概念一、基本概念 一、基本概念一、基本概念 2 1 ( )( ) 1/ 2 U0.031/ 2 U 0.09 1/ 2 ( 3.045) 1/ 2 (8.595) 2.785 ( )1/ 2 (0) 1/ 2 (0.06) 0 1/ 2 (5.82) 2.91 ( )1 (0.03) 1 (2.955) 2.955 ii i E U APU r E U BUU E U
18、CU 风险规避者投资风险规避者投资ABC三证三证 券期望效用计算券期望效用计算 从三者的期望效用看，由于从三者的期望效用看，由于 投资选择投资选择C C的收益变动性最的收益变动性最 小，即其风险最小，风险回小，即其风险最小，风险回 避者对投资选择避者对投资选择C C的满意程的满意程 度最高。度最高。 一、基本概念一、基本概念 风险中立者即风险无差别投资者的期望效用值也可以算如下：风险中立者即风险无差别投资者的期望效用值也可以算如下： ( )1/ 2 U0.031/ 2 U 0.09 1/ 2 ( 3) 1/ 2 (9) 3 ( )1/ 2 (0) 1/ 2 (0.06) 0 1/ 2 (6)
19、3 ( )1 (0.03) 1 (3) 3 E U A E U BUU E U CU 对于风险中立者来说，虽然三种投资对象对于风险中立者来说，虽然三种投资对象A A、B B、C C的预期风险不同，但由于它们的预期风险不同，但由于它们 的期望收益相同，则期望效用也相同，即有的期望收益相同，则期望效用也相同，即有EU(A)=EU(B)=EU(C)EU(A)=EU(B)=EU(C)。 一、基本概念一、基本概念 利用同样方法，风险偏好者的期望效用可计算如下利用同样方法，风险偏好者的期望效用可计算如下: ( )1/ 2 U0.031/ 2 U 0.09 1/ 2 ( 2.055) 1/ 2 (9.405
20、) 3.225 ( )1/ 2 (0) 1/ 2 (0.06) 0 1/ 2 (6.18) 3.09 ( )1 (0.03) 1 (3.045) 3.045 E U A E U BUU E U CU 由于风险偏好者喜欢收益变动性较大的资产，故认为资产由于风险偏好者喜欢收益变动性较大的资产，故认为资产A的期望效用最大。的期望效用最大。 一、基本概念一、基本概念 U=100r-50r2 U=100r+50r2 u u 风险规避者效用函数曲线风险规避者效用函数曲线 风险偏好者效用函数曲线风险偏好者效用函数曲线 一、基本概念一、基本概念 U=100r 风险中立者效用函数曲线风险中立者效用函数曲线 一、
21、基本概念一、基本概念 一、基本概念一、基本概念 A C B B I* A C I1I2 E(I) I1 I* E(I)I2 EU(I) UE(I) U(I*) X X U(X) U(X) UE(I) EU(I) 风险规避者效用函数确定风险规避者效用函数确定 风险偏好者效用函数确定风险偏好者效用函数确定 一、基本概念一、基本概念 U*(X)0 I1I3I2I4 U(X) X 风险规避者效用函数双重性风险规避者效用函数双重性 一、基本概念一、基本概念 I2I1 E(I) B A D C F E UE(I) EU(I) U(X) X 风险规避者主观效用函数确定风险规避者主观效用函数确定 一、基本概念
22、一、基本概念 (四四)未来收益的随机性及概率分布未来收益的随机性及概率分布 收益率收益率 r = （1）收益率的两种类型：离散型与连续性）收益率的两种类型：离散型与连续性 离散型：收益率在未来取得有限个数值离散型：收益率在未来取得有限个数值 W1W0 W0 比较好比较好一般一般 坏坏 收益（收益（r） 0.50.30.2 概率（概率（p） 40%30%30% 股票股票S1 , 只受一种因素影响只受一种因素影响P (概率概率) 0.4 0.3 r(收益率收益率) 0.20.30.50 二、二、单一证券期望收益率与风险单一证券期望收益率与风险 1、单一证券单一证券收益率的期望值收益率的期望值 股票
23、股票S1：收益：收益 r1 r2 r3 . rn 概率概率 p1 p2 p3 . pn 期望收益率期望收益率=r1 p1 + r2 p2 + . + rn pn n = r= ri i p pi i i=1i=1 二、二、单一证券期望收益率与风险单一证券期望收益率与风险 e.g. 有有3种证券种证券 A . B. C证券的相应收益率和概率分布情况如下证券的相应收益率和概率分布情况如下 A.B.C 三个股票三个股票 E (rA)= 0.3 *50% +0.4*10% +0.3*(-30%) =10% 预期收益率预期收益率 E (rB)=0.3*15% +0.4*10% +0.3*5% =10%
24、E (rc)= 0.3*25% +0.4*20% +0.3*15% =20% 经济状况经济状况繁荣繁荣正常正常衰退衰退 概率大小概率大小0.30.40.3 A收益率收益率50%10%-30% B收益率收益率15%10%5% C收益率收益率25%20%15% 二、二、单一证券期望收益率与风险单一证券期望收益率与风险 2.单一证券方差、标准差单一证券方差、标准差 方差：描述收益率的离散程度方差：描述收益率的离散程度 Var (r) = 2 ( r ) = ri - E ( r )2Pi 以上表为例计算方差以上表为例计算方差 Var (rA) =0.096 A =30.98% Var (rB) =0
25、.0015 B =12.25% Var (rC) =0.0015 C =12.25% n i=1i=1 二、二、单一证券期望收益率与风险单一证券期望收益率与风险 3、协方差、相关系数、协方差、相关系数 协方差：描述不同证券间的相互关联性的指标协方差：描述不同证券间的相互关联性的指标 AB =COV(rA,rB) =E(rA-E (rA) rB-E(rB) 相关系数相关系数：AB = ， AB -1,1 AB = 1, 完全正相关完全正相关 AB =-1, 完全负相关完全负相关 AB = 0， 不相关不相关 AB AB 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 （一）两种风险证券
26、投资组合的收益与风险的关系（一）两种风险证券投资组合的收益与风险的关系 证券组合权重（证券组合权重（Portfolio Weight）：）： A B XA XB （XA + XB =1） 1、两种风险证券投资组合期望收益率、两种风险证券投资组合期望收益率E（rp） ： E（rp）=E（XArA + XBrB） =XA E（rA）+ XB E（rB） 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 2、两种风险证券投资组合的风险测定（、两种风险证券投资组合的风险测定（rp） Var（ rp ）= E rp E（ rp ） = XA22A + X2B2B +2 XA XB Cov（rA
27、,rB） = XA22A + X2B2B +2 XA XB ABAB AB= Cov（rA, rB）/ AB ） 影响组合风险的因素包括：影响组合风险的因素包括： 证券之间相关性证券之间相关性 组合中各证券本身的方差组合中各证券本身的方差(2i)大小大小 各证券在组合中所占权重各证券在组合中所占权重 组合证券数目多少组合证券数目多少 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 3、两种风险证券组合线、两种风险证券组合线 （XA + XB =1 ） E（rp） =XAE（rA） +XBE（rB） =XAE（ rA ） +（1XA）E（ rB ） Var（ rp ）= XA22A +
28、 X2B2B +2 XA XB Cov（rA ,rB） = XA22A + （1X A)22B +2 XA （1X A) Cov（rA ,rB） = XA22A + (1X A)2 2B +2 XA (1X A)ABAB 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 A、B完全正相关完全正相关 若若AB=1, 公式简化为公式简化为: =XA22A + (1-X A)2 2B +2 XA (1-X A)ABAB1/2 =| XA A +（1- XA）B | E（ rp ）与）与XA 、XB是正线形关系，是正线形关系， 与与XA 、XB也是正线形关系也是正线形关系 与与E（rp）是正线
29、形关系，）是正线形关系， 数值最大数值最大。 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 A、B完全负相关：完全负相关：AB = - 1，公式简化为，公式简化为: p =XA22A + (1-X A)2 2B 2 XA (1-X A)ABAB1/2 =| XA A （1- XA）B | 与与E（rp）是负线形关系，）是负线形关系，p数值最小数值最小。 A、B不完全相关不完全相关 ： -1 AB 1 与与E（rp）是双曲线关系，）是双曲线关系，p数值中性。数值中性。 AB = 0 公式简化为公式简化为: 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 =XA2A2 +（1
30、XA）2B2 1/2 结论结论： （1）相同收益下，）相同收益下，两种证券相关性越低，两种证券相关性越低， AB 越小，组合风险越小越小，组合风险越小 （2）相同风险下，相同风险下，AB 越小，组合收益越大越小，组合收益越大 E（rp） AB=- 0.5 AB = -1 AB=0 AB=0.5 AB=1 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 相关系数越小，分散的效果就越强。相关系数为相关系数越小，分散的效果就越强。相关系数为-1-1时，分散效果最强。时，分散效果最强。 通常人们把这一现象称为通常人们把这一现象称为“风险分散效果风险分散效果”。即使构成组合中处于完全正。即使构
31、成组合中处于完全正 相相 关，随着放入组合中的证券数目增加。风险同样可以逐渐减小，这称之为关，随着放入组合中的证券数目增加。风险同样可以逐渐减小，这称之为 “风险的联营效果风险的联营效果”。 （二）多种风险证券组合收益风险关系（二）多种风险证券组合收益风险关系 n n Var（rp）= Xi Xj ij n i=1 j=1 ij 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 例：例：A、B、C、D 四个股票四个股票 XiERi i A0.20.10.04 B0.30.120.06 C0.40.140.08 D0.10.160
32、.10 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 四种股票的相关系数及协方差如下：四种股票的相关系数及协方差如下： ABCD A 1 （0.0016） 0.8 （ 0.00192） -0.2 （-0.0064） 0.6 （0.0024） B 0.8 （0.00192） 1 （0.0036） -0.2 （-0.0096） 0.6 （0.0036） C -0.2 （-0.0064） -0.2 （-0.0096） 1 （0.0064） -0.4 （-0.0072） D 0.6 （0.0024） 0.6 （0.0036） -0.4 （-0.0072） 1 （0.010） 第五讲第五讲
33、证券投资组合理论证券投资组合理论 二、风险资产的投资组合收益风险关系二、风险资产的投资组合收益风险关系 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 0.20.20.0016+0.30.00192-0.40.0064+0.10.0024 + 0.30.20.00192+0.30.0036-0.40.0096+0.10.0036 +0.40.2-0.0064-0.30.0096+0.40.0064-0.10.0072 + 0.10.20.0024+0.30.0036-0.40.0072+0.10.01 = 0.001466 1/2 =3.83% 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最
34、优投资组合 1.写出投资者无差异曲线（前已论述）写出投资者无差异曲线（前已论述） 2、求风险资产组合时的有效边界、求风险资产组合时的有效边界 （1）导出有效边界三条规则）导出有效边界三条规则 对于相同收益率，不同标准差的证券组合，投资者偏好标准差小的组合对于相同收益率，不同标准差的证券组合，投资者偏好标准差小的组合 对于标准差对于标准差 一样的资产组合，投资者偏好收益率高的组合一样的资产组合，投资者偏好收益率高的组合 若一种投资组合比另一种证券组合具有较高的收益率和较高若一种投资组合比另一种证券组合具有较高的收益率和较高 的标准差，则由投资的标准差，则由投资 者偏好定者偏好定 （2）E（r）准
35、则准则 E（r） p A B C E D F E（r）准则准则 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 （3） N种证券有效边界的确定可利用拉格朗日乘数法求种证券有效边界的确定可利用拉格朗日乘数法求 极值方法导出（或矩阵求解）极值方法导出（或矩阵求解）. .为简便起见，以下我们以为简便起见，以下我们以3 个证券为例，用图解法导出有效边界。个证券为例，用图解法导出有效边界。 设证券设证券A、B和证券和证券C组成一个证券组合，组成一个证券组合，xA+xB+xC=1， xA、xB、xC为为3种证券的组合权数。种证券的组合权数。rA、rB和和rC为相应的收为相应的收 益率，益率，A、B和和C
36、为相应的标准差，为相应的标准差，AB、BC和和AC 为各证券的协方差。为各证券的协方差。 下图描述了下图描述了3个证券的投资权数图，图中横坐标为个证券的投资权数图，图中横坐标为xA，纵坐标，纵坐标 为为xB。图中三角形内部表示组合中每种证券权数为正；边界线。图中三角形内部表示组合中每种证券权数为正；边界线MN线线 段上，段上，C证券投资权数为零；纵轴的左上方，表示证券证券投资权数为零；纵轴的左上方，表示证券A做空；横轴做空；横轴 的下方，表示证券的下方，表示证券B做空，做空，MN线段的右上方延长线表示证券线段的右上方延长线表示证券C做空。做空。 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合
37、 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 XA XB 等收益线等收益线 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 标准差相同时，不同投资比例的证券组合在组合权数标准差相同时，不同投资比例的证券组合在组合权数 图上的情况。将图上的情况。将xC=1-xA-xB代入方差公式，得：代入方差公式，得： 2222222 (1)2 2(1)2(1) PAABBABCABAB AABACBABBC xxxxx x xxxxxx 22222222 222 (2)(2)2() 2()2() PAAACCBBBCCABABBCACC AACCBBC
38、CC xxx x xx 化简得：化简得： 关于关于xA和和xB的二次方程，在组合权数图上则是一个斜椭圆曲线的二次方程，在组合权数图上则是一个斜椭圆曲线。 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 把等收益线和等方差椭圆都绘制在组合权数图上，把等收益线和等方差椭圆都绘制在组合权数图上， 如图如图 所示。所示。 由等收益率公式可知，由等收益率公式可知， 组合收益率越大，组合收益率越大， 等收益等收益 线与纵轴截距越处于横轴的下方，线与纵轴截距越处于横轴的下方， 因而等收益线沿左下因而等收益线沿左下 是递增的方向，是递增的方向， 即即E1E2E6， 一般风险和收益率变一般风险和收益率变 动一
39、致，因此动一致，因此12223242。 等收益曲线和等方差椭圆的左切点，等收益曲线和等方差椭圆的左切点， 表示收益一定时最表示收益一定时最 小方差的组合点。小方差的组合点。 这些切点位于同一条直线上，这些切点位于同一条直线上， 这条直这条直 线叫临界线。线叫临界线。 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 最小方差组合权数求临界线最小方差组合权数求临界线 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 图中图中E左边的等收益线和等方差椭圆的切点符合均值方差准则，左边的等收益线和等方差椭圆的切点符合均值方差准则， 即收益一定，即收益一定， 方差最小；方差最小； 方差一定，方差一定，
40、收益最大。这些切点都是有效切点，收益最大。这些切点都是有效切点， 对应于下图中的曲对应于下图中的曲 线线AE段。段。 而而E右边的临界线部分用虚线绘出。右边的临界线部分用虚线绘出。 尽管它们也由切点组成，尽管它们也由切点组成， 但不能但不能 满足均值方差准则，满足均值方差准则， 故它们不是有效切点，故它们不是有效切点， 这些点对应于下图中的这些点对应于下图中的EF部分。部分。 A B C E 有效边界线（虚线部分无意义）有效边界线（虚线部分无意义） D F 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 4）无差异线与有效边界线联立方程，求切点，得出最优组合。）无差异线与有效边界线联立方程，
41、求切点，得出最优组合。 4、最优投资组合、最优投资组合 与有效边界相割切线非最优选择与有效边界相割切线非最优选择 与有效边界不相切的无差异曲线属不可行与有效边界不相切的无差异曲线属不可行 图图B为一般风险规避者最优选择为一般风险规避者最优选择 图图A为高度风险规避者最优选择为高度风险规避者最优选择 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 总之，求最优投资组合，一般遵循以下步骤：总之，求最优投资组合，一般遵循以下步骤： 1. 找出投资者效用函数表达式找出投资者效用函数表达式 2. 确定投
42、资组合中各风险资产的期望收益率、风险（标准差）确定投资组合中各风险资产的期望收益率、风险（标准差） 及协方差。及协方差。 3. 求出求出N种风险资产组合的期望收益率与风险及各风险资产的种风险资产组合的期望收益率与风险及各风险资产的 组合权数，写出有效边界的表达式并在组合权数，写出有效边界的表达式并在E(r)-图上绘出有图上绘出有 效边界。（引入无风险资产后，有效边界转变为直线，这效边界。（引入无风险资产后，有效边界转变为直线，这 在以后部分介绍）在以后部分介绍） 4. 通过建立拉格朗日函数求得投资者效用最大化时的最优投通过建立拉格朗日函数求得投资者效用最大化时的最优投 资组合，或通过找出投资者
43、无差异曲线与有效边界的切点资组合，或通过找出投资者无差异曲线与有效边界的切点 确定最优投资组合。确定最优投资组合。 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 （一）无风险资产的标准差、方差、协方差均为零（一）无风险资产的标准差、方差、协方差均为零 F2=0，F =0， CoviF =0 （二）无风险资产与风险资产组合收益组合方差（二）无风险资产与风险资产组合收益组合方差 1、无风险资产与单一风险资产（、无风险资产与单一风险资产（A）组合）组合 两资产组合收益率：两资产组合收益率：E（rp）=XA E（rp）+ XF rf XF =1- XA E（rp）=rf + XAE（rA）-rf
44、五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 两资产组合方差：两资产组合方差： 2 P= X 2 A 2 A+2 XA XF CovAF+ XF 22 F CovAF=0 F=0 P 2= X A 2 A 2 P = XAA, 此式转为此式转为 XA = , 代入前式代入前式: 得：得：E（rp）= rf + *P P A E（rA）- rf /A 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 B A C 图示图示 E（rA） rf C A B 斜率为斜率为 （单位风险补偿） 截距为截距为rf，向右上倾斜直线表明，向右上倾斜直线表明P越高， 越高， E（rp）越大。两者为正相关。）越大
45、。两者为正相关。 A点为点为100% 持有持有A股票，股票，F点为点为100% 持有持有 无风险资产，无风险资产，C为为A股票与无风险资产股票与无风险资产F的 的 不同组合，不同组合，B代表卖空代表卖空F买入买入A。 。 引入无风险资产后，该线为有效边界线，引入无风险资产后，该线为有效边界线， E（rA）- rf A 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 2、无风险资产与风险资产组合的再组合、无风险资产与风险资产组合的再组合 设设A、B 股票为风险资产组合，（更多股票组合相同），形成新组股票为风险资产组合，（更多股票组合相同），形成新组 合合T。 E（rT）= YA E（rA）+
46、YB E（rB） T = （YA 2 A 2 + Y B 2 B 2 +2 Y A YB AB ） ） 1/2 引入无风险资产引入无风险资产F，组合收益与组合风险为：，组合收益与组合风险为： E（rp）=rf + P P = XTT 这一组合就是对这一组合就是对F、A、B进行组合。进行组合。 E（rT）- rf T 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 rf T B A A、B形成有效边界线形成有效边界线 CAL (T) CAL（B） CAL（A） 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 由风险资产组合由风险资产组合N N与无风险资产与无风险资产F F形成资本线形成资本线
47、 为最优线，为最优线，N N为最优风险组合。位于最优线上的每为最优风险组合。位于最优线上的每 一组合均由一组合均由F F与与N N构成。在这条线上，在相同风险构成。在这条线上，在相同风险 水平上有最大期望收益率；在相同收益率水平上水平上有最大期望收益率；在相同收益率水平上 有最小风险。由此，引入无风险资产后，资本线有最小风险。由此，引入无风险资产后，资本线 成为有效边界，它与原风险型有效边界的切点（成为有效边界，它与原风险型有效边界的切点（N N） 就是最优风险资产组合。就是最优风险资产组合。 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 以两个风险资产组合为例求最优投资组合以两个风险资产
48、组合为例求最优投资组合 1.1.计算风险资产计算风险资产E E（r r）、）、 2.2.确定最优先风险组合中多风险资产组合权数确定最优先风险组合中多风险资产组合权数 确定最优先风险资产组合确定最优先风险资产组合N N实际上就是在实际上就是在 时，时， 求出求出CALCAL斜率最大时的资金分配比例斜率最大时的资金分配比例 ii j 及 1 AB yy AB yy与 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 2 22 () () () () ()() AfBBfAB A AfBfAABfAB E rrE rr y E rrE rrE rrfE rr 1 BA yy 3.3.最优投资组合的确
49、定最优投资组合的确定 求求F与与N组合权数（已知投资者期望效用函数组合权数（已知投资者期望效用函数 EU=E（r）-b2 (b(b风险厌恶系数与成反比风险厌恶系数与成反比) ) 2) 2 () Nf N N E rr b 1 fN 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 案例：案例： 假设市场上只有两种风险证券假设市场上只有两种风险证券A A、B,B,它们的期望它们的期望 收益率分别为收益率分别为E(rE(rA A)=0.20.E(r)=0.20.E(rB B)=0.15,)=0.15,风险（标准差）分风险（标准差）分 别为别为 A =0.45、 b=0.32 ，A A与与B B之间
50、的协方差为之间的协方差为AB=0.0475 ， 同时市场上的无风险资产收益率同时市场上的无风险资产收益率r rf f=0.08=0.08。若某投资者的。若某投资者的 期望效用函数期望效用函数 EU=E（r）-b2，且厌恶风险系数且厌恶风险系数b=4b=4，试确定，试确定 有效边界并求出该投资者的最优投资组合。有效边界并求出该投资者的最优投资组合。 设最风险资产组合设最风险资产组合N N中证券中证券A A、B B所占据资金比例分别为所占据资金比例分别为, , 可算出：可算出： 最优风险资产组合最优风险资产组合N N的期望收益率为的期望收益率为 AB yy与 0.5140 A y 10.4860
