1、第四十三讲：空间点、直线、平面之间的位置关系第四十三讲：空间点、直线、平面之间的位置关系 【学习目标学习目标】 1. 理解空间直线、平面位置关系的定义； 2. 了解可以作出推理依据的公理和定理； 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 【重点、难点重点、难点】 重点：理解空间中直线、平面位置关系的定义； 难点：运用公理、定理证明一些简单命题。 【知识梳理知识梳理】 1 1、四个公理、四个公理 （1）公理 1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 用符号语言表述为： （2）公理 2：经过的三点，有且只有一个平面。 推论 1：经过一条直线和这条直线外
2、的一点，有且只有一个平面。 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共 直线。 用符号语言表述为： （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线. 用符号语言表述为： 2 2、直线与直线的位置关系、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 点一个平面内，没有公共异面直线：不同在 直线 直线 共面直线 （2）异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa /，bb /，把 a 与 b 所成 的叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 范围： 3 3、
3、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 （1）空间中直线与平面的位置关系 位置关系图形表示符号表示公共点 直线在平面内a无数个 直线 不在 平面 内 直线与平面平行/a个 直 线 与 平 面 相 交 直线与平 面斜交 Aa个 直线与平 面垂直 a个 （2）空间中平面与平面的位置关系 位置关系图形表示符号表示公共点 两平面平行 / 个 两平面相交 l 个 4 4、等角定理、等角定理 空间中如果两个角的，那么这两个角相等或互补. 【常用结论】 （1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. （2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. （3
4、）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1：判断空间两直线的位置关系：判断空间两直线的位置关系 例 1 如图,正方体 1111 ABCDABC D，MN、分别是 11 C D， 1 CC的 中点，有以下结论： 直线AM与 1 CC是相交直线； 直线 1 A M与BN是相交直线； 直线AM与BN是平行直线； 直线 BN 与 1 MB是异面直线； 直线MN与AC所成的角为60； 其中正确的结论为。 【方法规律】【方法规律】 在直线判断不好处理的情况下，反证法、模型法（如构造几何体：正方体、 空间四边形等
5、）和特例排除法等式解决此类问题的三种常用便捷方法. 【题组练习】 1、下列命题中，正确的是 () A经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面 B经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面 C经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 D经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 2、 在下列四个图中，HMNG,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点， 则表示直线MNGH, 是异面直线的图形有.（填序号） 3、 在三棱锥ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点， 如果EFHGP， 则点P（） A一定在直线BD上B一定在直线AC上 C在直线AC或BD上D不在直
6、线AC上，也不在直线BD上 4、给出下列命题： 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； 若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； 若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行； 若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行. 其中正确的命题的个数是（） A1B2C3D4 题型题型 2 2：异面直线所成的角：异面直线所成的角 例 2 在长方体 1111 DCBAABCD中，1 BCAB，3 1 AA，则异面直线 1 AD与 1 DB所成 角的余弦值为（） A. 5 1 B. 6 5 C. 5 5 D. 2 2 【方法规律】【方法规律】 （1）求异面直线所成角的基本
7、步骤： 作出角； 把作出的角放入到某一个三角形中；解三角形；检验角的范围。 （2）作出异面直线所成角的方法主要有：平移线段法：中点平移与顶点平移；补形法。 （3）注意异面直线所成的角的范围，异面直线所成的角是锐角或直角，即设异面直线所成 的角为，则(0, 2 【题组练习】 1、将边长为 2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得2BD ，则异面直线AB和CD所 成角的余弦值为（） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 6 3 2、四棱锥PABCD的底面是一个正方形，PA 平 面 ,2,ABCD PAABE 是棱PA的中点， 则异面直线 BE与AC所成角的余弦值是 （） A 15 5 B 10 5 C 6 3 D 6 2 3、如图，在长方体 1111 ABCDABC D 中，2 5AB ，4AD，异面直线BD与 1 AC所成角的 余弦值为 1 15 ，则该长方体外接球的表面积为（） A50B100 C400 D 500 3 4、 在四面体ABCD中，FE,分别是CDAB,的中点， 若ACBD,所成的角为 o 60， 且1 ACBD， 则EF的长为. 5、在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形 的四面体称为鳖臑。如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且 CDBCAB，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（） A. 2 1 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3
