1、第六十一讲：两个计数原理 【核心考点】 1. 掌握分类加法计数原理，分步乘法计数原理。 2. 能利用两个原理解决一些简单的实际问题。 【知识梳理】 1、分类计数原理。 完成一件事，可以有 n 类办法，在第 1 类办法中有 1 m种不同的方法，在第 2 类办法中有 2 m种不同的方法，,在第 n 类办法中有 n m种不同的方法,那么完成 这件事共有 N = _种不同的方法。 2、分步计数原理 完成一件事， 需要分成 n 个步骤， 做第 1 步有 1 m种不同的方法， 做第 2 步有 2 m 种不同的方法做第 n 步有 n m种不同的方法,那么完成这件事共有 N = _种不同的方法. 3、说明 （
2、1）应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成（注：分类 做到不重不漏） ；应用分步计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此 独立的步骤。 （2）一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复 与是遗漏。分步时要注意步与步之间的连续性。 （3）元素重复的问题，往往用分步乘法计数原理。 【学情自测】 1、从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可以乘轮船，还可以坐飞机， 一天中，火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班，飞机有 1 班，那么一天中乘坐 这些交通工具，从甲地到乙地共有_种不同的走法 . 2、由电键组 A，B 组成的串联电路中，接通电源要使电
3、灯发光的方法共有 _种 3、已知集合 A=1,2,3,4，B=5,6,7，C=8,9现在从这三个集合中取出两 个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（） A24 个B36 个C26 个D27 个 4、现有 6 名同学听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可以自由选择其中 的一个讲座，不同选法的种数是（） A 6 5B 5 6 C 6 5 4 3 2 2 D6 5 4 3 2 【典题分析】 题型 1：分类加法计数原理 例 1 用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共 有_个(用数字作答) 【方法规律】 应用分类加法计数原理,首先根据问题的特点，确定分类的标准
4、，分类应满足： 完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类，要做到不重不漏， 尽量做到一题多解，从不同的角度考虑问题。 题型题型 2 2：分步乘法计数原理：分步乘法计数原理 例 2 有 0，1，2，8 这 9 个数字，用五张卡片，正反两面分别写上 0，8；1， 7；2，5；3，4；6，6；且 6 可作 9 用，则这五张卡片共能拼成不同的四位数的 个数为_个. 点评： 运用分步乘法计数原理,要确定好次序解题时,关键是分清楚完成这件事是 分类还是分步,在应用分步乘法计数原理时,各个步骤都完成,才算完成这件事, 步骤之间互不影响,即前一步用什么方法,还要注意元素是否可以重复选取. 题型题型
5、 3 3：综合应用：综合应用 例 3 如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求 在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的 种法总数为() A96B84 C60D48 【方法规律】 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的就是在开始计算之前要仔细分析，首 先我们可以考虑问题是否应当分类，分类能使问题的复杂程度大大降低分类能使问题的复杂程度大大降低。 总结提升（学习小结）总结提升（学习小结） 1、两个原理是推导排列、组合数公式的依据，又是解决排列、组合问题的基本 方法；同时，又能独立地解决一些简单的计数问题，因此掌握两个原理是学 好本章的基础。
6、2、在运用这两个原理解决有关计数问题时，第一要注意搞清楚“完成一件事” 的具体含义，应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事” ；第二 要善于分清具体问题的“分类”与“分步” 。 “分类”表现为其中任何一类的 任何一种方法均可独立完成所给事情，而“分步”必须把各步均完成才能完 成所给事情。在解题过程中要能正确地得出结论，还必须有科学处理题中所 给事件的能力，对于同一事件可做不同的处理，从而得到不同的解法。 【题组练习】 1、满足,1,0,1,2a b ，且关于x的方程 2 20axxb有实数解的有序数对 , a b的个数为（） A14B13C12D10 2、从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为, a b，共可得 到lglgab的不同值的个数是（） A9B10C18D20 3、从 0，1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （） A、243B、252C、261D、279 4、已知集合1, 1,3,4,5,6, 7MN ，从两个集合中各取一个元素作为 点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个 数是（） A、18B、10C、16D、14 5、若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取出 4 个不同的数，其和为偶数，则 不同的取法共有（） A、60 种B、63 种C、65 种D、66 种
