1、1 / 8 主主题题 幂函数的图像与性质 教学内容教学内容 1. 了解幂函数的概念； 2. 掌握常见幂函数的图像与性质。 （以提问的形式回顾）（以提问的形式回顾） 观察下列函数，它们的关系式有什么共同特点？ （1）yx； （2） 2 yx； （3） 3 yx； （4） 1 2 yx； （5） 1 yx. 都是以自变量x为底数，指数为常数，自变量x前的系数为 1，只有一项。由此，引入幂函数的定义. 幂函数的定义：一般地，形如 k yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，k 是常数，且kQ； 这里要注意强调系数是 1 和指数是有理数。 判断：下列各式中表示幂函数的有（） A、 1 2 3yxB、 x
2、 yxC、 2 3 yxD、2xy E、 74 yxF、 0.5 yxG、 2 yx 答案：C E F 思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？我们上一章讲了函数的哪些基本性质？ （回顾第三章的内容函数的性质，考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像） 下面我们进入精讲提升，来看一下幂函数的这些性质。 （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 研究函数 1 2 yx 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的图像 2 / 8 解：函数 1 2 yx 的定义域为(0,)，值域为(0,)。 （1）奇偶性。 因为函数的定义域不关于原点对称，所以该
3、函数是非奇非偶的函数。 （2）单调性。 对任意 12 ,(0,)x x ，且 12 xx 可得 12 0 xx则 12 11 0 xx 即 12 yy 所以函数 1 2 yx 在(0,)上为减函数。 由以上几点分析函数的图像的性质：由0,0 xy，可知函数的图像只在第一象限； 由函数非奇非偶，可知图像不对称；由函数是减函数，可知 y 随 x 的增大而减小。 描点作图： 试一试：仿照例 1 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？ （1）yx 1； （2）yx 2； （3）y 1 4 x 先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和
4、根式有意义的实数x 的集合； （1） （2）的定义域都是x|x0， （3）的定义域是（0，） ； （1）是奇函数， （2）是偶函数， （3） 既不是奇函数也不是偶函数它们的图像都经过点（1，1） ，且在第一象限内函数单调递减，都类似于反比例 函数图像的趋势。 小结：研究函数图像的基本步骤（方法） 3 / 8 1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。 2、由单调性判断图像的变化趋势。 3、由奇偶性判断函数图像是否对称。 例 2. 指出 2 3 yx的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。 解： 2 32 3 yxx定义域为 R，值域为0,) （1）奇偶性。 对任意xR，满足xR ，
5、使得 322 3 ()()( )fxxxf x 所以该函数是偶函数。 （2）单调性。 对任意 12 ,0,)x x ，且 12 xx 所以 22 12 0 xx，故有 22 33 12 0 xx即 12 yy 所以 2 3 yx在0,)上为增函数。 同理可得 2 3 yx在(,0上为增减数。 描点作图： 仿照例 2 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？ （1）y 2 1 x； （2）y 3 1 x； （3）y 2 5 x； （1）定义域为0，） ， （2） （3）定义域都是 R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数， （2）是奇函数， （3）是偶函数它们的图像都
6、经过点（0，0）和（1，1） ，且在第一象限内函数单调递增都类似于y 2 1 x的 4 / 8 函数图像的趋势。 例 3.指出函数 7 3 yx的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图像。 定义域：R 值域：R 奇偶性：奇 单调性：增函数 试一试：仿照例 3 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？ （1） 3 yx（2） 4 3 yx（3） 5 4 yx （1） （2）定义域都是 R， （3）定义域为0，） ；其中（1）是奇函数， （2）是偶函数， （3）既不是奇函 数也不是偶函数.它们的图像都经过点（0，0）和（1，1） ，且在第一象限内函数单调递增都
7、类似于 2 yx的 函数图像的趋势。 幂函数总结： 5 / 8 例 4. 已知幂函数 2 2 1 m m y x 在区间,0上是减函数，求m的最大负整数值. 解：解：由 2 2 1 m m y x 在,0上是减函数且m是整数，知 2 20mm 且 2 2mm 为偶数， 故m的最大负整数值为3. 试一试：已知幂函数 2 13 22 pp Zf xxp 在0,上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p的值， 并写出相应的函数 解：解：因为 2 13 22 pp f xxpZ 在0,是增函数，所以 2 13 0 22 pp，即 2 230pp，解 得13p ，所以p 0、1、2. 当p 0 时， 3 2
8、 yx不是偶函数，故p 0 舍去；当p 1 时， 2 yx是偶函数，故p 1 符合题意；当p 2 时， 3 2 yx不是偶函数，故p 2 舍去. 综上p 1， 2 yf xx. （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 比较大小： 1. 已知函数（1）2xy ； （2） 1 4 yx； （3） 1 y x ； （4） 4 3 yx，写出分别具下列性质的函数 图像与x轴有交点的：；图像关于原点对称的：； 定义域内单调递减的：；在定义域内有反函数的：. 解：解：无 2. 幂函数 2 23*mm yxmN 的图像与坐标轴无公共点且是偶函数，则m的是 解：解：因为 2 23*mm yxmN
9、与坐标轴无公共点，所以 2 230mm， 6 / 8 又 2 23mm yx 是偶函数，因此 2 23mm是偶数，所以13m 或 3. 比较下列各组中两个数的大小： （1） 5 3 5 . 1， 5 3 7 . 1； （2）0.71.5，0.61.5； （3） 3 2 )2 . 1( ， 3 2 )25. 1( 解析解析： （1）考查幂函数 y 5 3 x的单调性，在第一象限内函数单调递增， 1.51.7， 5 3 5 . 1 5 3 7 . 1， （2）考查幂函数 y 2 3 x的单调性，同理 0.71.50.61.5 （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， 3 2 )2 . 1(
10、3 2 2 . 1 ， 3 2 )25. 1( 3 2 25. 1 ，又 3 2 2 . 1 3 2 25. 1 ， 3 2 )2 . 1( 3 2 25. 1 4. 已知 2 2kk xkZf x 满足 23ff （1）求k的值； （2）是否存在正数m，使 121,1,2g xmf xmx x 的值域为 17 4, 8 ？为若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 解解： （1）由 2 19 24 k f xx 且 23ff，知 f x在0,上单调递增， 故 2 20kk，12k 因此1k 或 0； （2） 2 f xx， 2 2 2 2141 121,1,2 24 mm g xmxmx
11、m xx mm ， 对称轴为 1 1 2 x m ，则 1 12 2m ，得 1 2 m ，与0m 矛盾， 所以m不存在. 提高练习： 1、作函数 ) 1( , 1 1 ) 1( , 2 1 1 )( x x xx xf的图像，并根据函数图像讨论方程axf)(，)(Ra的实根个数。 7 / 8 2、讨论函数 33 1)(, 1)(xxhxxg的图像与幂函数 3 )(xxf的图像的关系， 并在同一直角坐标系 中分别作出函数)(),(),(xhxgxf的图像。 3、讨论函数 x x y 12 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出此函数的大致图像。 本节课主要知识点：幂函数的概念，幂函数的图像和性
12、质 【巩固练习】 1. 下列函数中不是幂函数的是（） AyxB 3 yxC2yxD 1 yx 答案：C 2. 已知幂函数 2 23 ( )() mm f xxmZ 为偶函数，且在(0,)上是减函数，求( )f x的解析式. 8 / 8 解：由题设知 2 230mm得13m .因为mZ，所以0,1,2;m 又因为( )f x为偶函数，所以 2 1.234mmm ，所以 4 ( )f xx. 【预习思考】 问题 1：某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂 的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 问题 2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的 84%.求出这种物质的剩留量 随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为 1,时间变量用 x 表示,剩留量用 y 表示。
