1、综合测试 I 试题 第 1 页（共 4 页） 2022 届毕业生“极光杯”线上综合测试 I 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 a1. 函数3sincosyxx的最小正周期是 A. 4 B.
2、2 C. D. 2 a2. 设 2 i 1i zab ，则z是纯虚数的一个必要条件是 A. 1a B. 1a C. 1b D. 1b a3. 若数列 n a是公比为2的正项等比数列，则下列等比数列的公比不为2的是 A. 1 nn a a B. 1 2 nn aa C. 12 nnn a aa D. 12 3 nnn aaa a4. 设命题p： 2 , 2 2 x ， 1 xa x . 若p是真命题，则实数a的取值范围是 A. 3 2 ,) 2 B. 2,) C. 3 2 (, 2 D. (, 2 a5. 某市爆发了一种疾病，现用试剂X对该地市民进行检测若检测结果为阳性，则表 明被测者已患病；反
3、之，则表明被测者未患病假设试剂X的检测正确率为90%， 此疾病在该市的感染率为1%，则检测结果为阳性的人患有此疾病的概率为 A. 1 12 B. 1 11 C. 1 10 D. 1 9 a6. 已知 2 log 3a ， 2 log 0.3b ， 0.2 log0.3c ，则下列各式不成立的是 A. 0ab B. ac C. 5 2 ac D. 22 1bca 7. 已知点 12 ,F F在AOB的边OB上，且 1 1OF ， 2 3OF . 动点P在边OA上，且以 12 ,F F为焦点的椭圆E经过动点P. 若30AOB，则椭圆E离心率的范围是 A. 1 2 ( , 2 3 B. ( 2 0,
4、 3 C. 1 2 7 (, 27 D. (0, 2 7 7 姓名_ 考生号_ 座位号_ 综合测试 I 试题 第 2 页（共 4 页） a8. 与平面角的概念类似， 我们用立体角 刻画空间中物体对于定点的张角. 其定义如下： 以观测点为球心，作半径为 1 的单位球面，任意物体投影到该单位球面上的投影面 积，即为该物体相对于该观测点的立体角，通常用表示. 例如，半球面对于球心 的立体角2 ，整球面对于球心的立体角4 . 如图所示，我国2020年投入 使用的500米口径球面射电望远镜（简称 FAST），是中国国家“十一五”重大科 技基础设施建设项目. 该望远镜 的主体部分可以视为某与地面平 行的平
5、面截球面所得，且截面圆 直径500mD ，对于球心的立体 角约为110 120，则可以估算得 FAST 的高约为 A. 80m B. 130m C. 180m D. 230m 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 a9. 下列有关统计学相关概念的说法，正确的是 A. 若随机变量X满足()C(1) kn kk n P Xkpp ，0,1,kn，则X服从二项分布 B. 设 1220 ,a aa是严格单调递增的一组数据，则这组数据的上四分位数为 15 a C. 正态密度
6、函数为单峰函数，且峰值与标准差成反比 D. 在一元回归模型Ybxae中，随机误差e满足( )0E ec， 2 ( )D e 10. 若单位向量, a b是平面的一组基，cab，dab，则 A. ab B. cd C. | |2 2cd D. | |3|4cd 11. 在ABC中，, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，G是ABC的重心. 则下列能说明 ABC一定是等腰三角形的条件是 A. sinsinAB B. coscaB C. sin2sin2AB D. AGBC 12. 非空集合,A B满足1,2,10AB ，且AB中元素个数不大于1. 定义集合 |,ABxy xA yB，A B
7、 |,x xA xB，则 A. 集合,A B中元素个数之和为10或11 B. 集合AB中元素个数最多为17 C. 集合AB中元素个数最多为18 D. 集合A B中元素个数最多为9 综合测试 I 试题 第 3 页（共 4 页） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 若n为正整数，且 3 1 ()nx x 的展开项中有常数项，则n的最小值为_. 14. 若满足 1 tan() 43 ，则sin2_. 15. 设正方形ABCD的边长为2，E为AD的中点， 将AEB和DEC分别沿,EB EC折 起，使得,A D两点重合于P，则三棱锥PEBC的体积为_. 16. 过双曲线
8、 2 2 2 1 x y a (0)a 的左顶点M作互相垂直的两条直线 12 ,l l，分别与双曲线 交于,A B两点，已知直线AB与x轴平行. 则_a ；设点M到直线AB的 距离为d，则 | d AB 的取值范围是_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 设数列 n a满足：对任意正整数n，有 32 1 21 999 n n aaa an . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 nn a bn，求数列 n b的前n项和 n S. 18.（12 分） 在RtABC中，B为直角顶点，, ,a b c分别为, ,A B
9、C所对的边，且 5 () 7 bac. （1）求coscosAC的值； （2）设点,A B C满足ABBC，BCCA，CAAB. 记A B C的面积为 的 1 S，ABC的面积为 2 S，求 1 2 S S 的值. 注：（秦九韶公式）三边长分别为, ,a b c的三角形面积 222 222 1 () 42 acb Sa c . 19.（12 分） 在空间四边形ABCD中，ABBC，ABCD，BCCD，2AD . （1）若ABBCCD，求异面直线BC和AD所成角的余弦值； （2）若, , ,A B C D均在球O上，求球O的半径与四面体ABCD体积的最大值. 综合测试 I 试题 第 4 页（共
10、4 页） 20.（12 分） 根据以往的经验， 某工程施工期间的降水量X（单位： mm） 对工期的影响如下表： 降水量X 0,300) 300,600) 700,900) 900,) 工期延误天数Y 0 2 5 8 历史气象资料表明：该工程施工期间降水量X小于300,600,900的概率分别为0.3, 0.7,0.9. （1）求工期延误天数Y的均值与方差； （2）求在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过5天的概率； （3）由于该工程在7 8月施工，故当气温较高时，工人可能无法按时完成当日计 划工作量. 已知在某个40天的施工周期内，有30天的最高气温不低于35 C，这其中仅 有12天完
11、成了当日的工作量；剩余10天中，有8天完成了当日的工作量. 依据小概率 值0.005的 2 独立性检验，判断“当日最高气温不低于35 C”和“工人能完成当日 的工作量”是否相互独立，并写出零假设. 附： 2 2 () ()()()() n adbc ac bd bc ad ，临界值 0.005 7.879x. 21.（12 分） 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点坐标分别为( 2,2)A ， ( 2,0)B ，(2,0)C，(2,2)D. 点,E F G分别为线段,AD CD BC上一点（不含端点） ， 且满足BEEF，EFFG. （1）若点E在第二象限，求|CG的最大值；
12、 （2）过点B作直线FG的垂线，垂足为点H， 求H的轨迹方程. 22.（12 分） 设函数( )logaf xxax(0a 且1)a . （1）讨论( )f x的零点个数； （2）设 11 (1)n n a nn ，求证： * n N，有 12 eln(1)2eln n naaan. 综合测试 I 解析 第 1 页（共 9 页） 2022 届湖北省教科研协作体综合测试 I（解析版） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答
13、案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 a1. 函数3sincosyxx的最小正周期是 B A. 4 B. 2 C. D. 2 a2. 设 2 i 1i zab ，则z是纯虚数的一个必要条件是 A A. 1a B. 1a C. 1b D. 1b a3. 若数列 n a是公比为2的正项等比数列，则下列等比数列的公比不为2的是 C A. 1 nn a a B. 1 2 nn aa C. 12 nnn a aa
14、D. 12 3 nnn aaa a4. 设命题p： 2 , 2 2 x ， 1 xa x . 若p是真命题，则实数a的取值范围是 B A. 3 2 ,) 2 B. 2,) C. 3 2 (, 2 D. (, 2 a5. 某市爆发了一种疾病，现用试剂X对该地市民进行检测若检测结果为阳性，则表 明被测者已患病；反之，则表明被测者未患病假设试剂X的检测正确率为90%， 此疾病在该市的感染率为1%，则检测结果为阳性的人患有此疾病的概率为 A A. 1 12 B. 1 11 C. 1 10 D. 1 9 a6. 已知 2 log 3a ， 2 log 0.3b ， 0.2 log0.3c ，则下列各式不
15、成立的是 D A. 0ab B. ac C. 5 2 ac D. 22 1bca 7. 已知点 12 ,F F在AOB的边OB上，且 1 1BF ， 2 3BF . 动点P在边OA上，且以 12 ,F F为焦点的椭圆E经过动点P. 若30AOB，则椭圆E离心率的范围是 D A. 2 (0, 3 B. (1 2, 2 3 C. 1 2 7 (, 27 D. (0, 2 7 7 姓名_ 考生号_ 座位号_ 综合测试 I 解析 第 2 页（共 9 页） a8. 与平面角的概念类似， 我们用立体角 刻画空间中物体对于定点的张角. 其定义如下： 以观测点为球心，作半径为 1 的单位球面，任意物体投影到该
16、单位球面上的投影面 积，即为该物体相对于该观测点的立体角，通常用表示. 例如，半球面对于球心 的立体角2 ，整球面对于球心的立体角4 . 如图所示，我国2020年投入 使用的500米口径球面射电望远镜（简称 FAST），是中国国家“十一五”重大科 技基础设施建设项目. 该望远镜 的主体部分可以视为某与地面平 行的平面截球面所得，且截面圆 直径500mD ，对于球心的立体 角约为110 120，则可以估算得 FAST 的高约为 B A. 80m B. 130m C. 180m D. 230m 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。
17、全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 a9. 下列有关统计学相关概念的说法，正确的是 AC A. 若随机变量X满足()C(1) kn kk n P Xkpp ，0,1,kn，则X服从二项分布 B. 设 1220 ,a aa是严格单调递增的一组数据，则这组数据的上四分位数为 15 a C. 正态密度函数为单峰函数，且峰值与标准差成反比 D. 在一元回归模型Ybxae中，随机误差e满足( )0E ec， 2 ( )D e 10. 若单位向量, a b是平面的一组基，cab，dab，则 BD A. ab B. cd C. | | 2 2cd D. | |3| 4cd 11
18、. 在ABC中，, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，G是ABC的重心. 则下列能说明 ABC一定是等腰三角形的条件是 AD A. sinsinAB B. coscaB C. sin2sin2AB D. AGBC 12. 非空集合,A B满足1,2,10AB ，且AB中元素个数不大于1. 定义集合 |,ABxy xA yB，A B |,x xA xB，则 ACD A. 集合,A B中元素个数之和为10或11 B. 集合AB中元素个数最多为17 C. 集合AB中元素个数最多为18 D. 集合A B中元素个数最多为9 综合测试 I 解析 第 3 页（共 9 页） 三、填空题：本题共 4
19、小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 若n为正整数，且 3 1 ()nx x 的展开项中有常数项，则n的最小值为_. 5 14. 若满足 1 tan() 43 ，则sin2_. 4 5 15. 设正方形ABCD的边长为2，E为AD的中点， 将AEB和DEC分别沿,EB EC折 起，使得,A D两点重合于P，则三棱锥PEBC的体积为_. 3 3 16. 过双曲线 2 2 2 1 x y a (0)a 的左顶点M作互相垂直的两条直线 12 ,l l，分别与双曲线 交于,A B两点，若直线AB与x轴平行，则_a ；设点M到直线AB的距 离为d，则 | d AB 的取值范围是_. 1； 1 (
20、0, ) 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 设数列 n a满足：对任意正整数n，有 32 1 21 999 n n aaa an . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 nn a bn，求数列 n b的前n项和 n S. 解：（1）由题意，令1n ，得 1 1a . 1n 时， 33122 11 2122 ()()(1)1 999999 nn nn aaaaaa aann . 因此 1 1 9 n n a ， n a的通项公式为 1 9n n a ()n N. （2）由（1）及条件可得， 1 1 1 ( ) 9
21、9 n n n n bn . 因此 011 111 1 ( )2( )( ) 999 n n Sn 12 1111 1 ( )2( )( ) 9999 n n Sn 得： 121 1 1( ) 811111 9 1( )( )( )( )( ) 1 999999 1 9 n nnn n Snn ， 化简得 81191 1( ) ( ) 64989 nn n n S . 综合测试 I 解析 第 4 页（共 9 页） 18.（12 分） 在RtABC中，B为直角顶点，, ,a b c分别为, ,A B C所对的边，且 5 () 7 bac. （1）求coscosAC； （2）设点,A B C满足A
22、BBC，BCCA，CAAB. 记A B C的面积为 的 1 S，ABC的面积为 2 S，求 1 2 S S 的值. 注：（秦九韶公式）三边长分别为, ,a b c的三角形面积 222 222 1 () 42 acb Sa c . 解：（1）由条件及正弦定理，得 77 sinsinsin 55 ACB. 又A与C互余，故 7 sinsinsinsin()sincos 25 ACAAAA . 两边平方得 49 12sincos 25 AA， 故 1 4912 coscoscoscos()sincos(1) 22 2525 ACAAAA . （2）在RtABC中，0 2 BAC ，联立 22 7 s
23、incos 5 sincos1 BACBAC BACBAC ， 解得 3 cos 5 BAC或 4 cos 5 BAC. 若 3 cos 5 BAC，不妨设5AC ，则3AB ，4BC ， 2 1 3 46 2 S . 在A BC中，3BCAB，28A BBC，coscos()0A BCABC， 由余弦定理， 22 2 cos73A CBCBABC BAA BC； 同理可得6 5A B ，97B C ，代入秦九韶公式得 1 42S ，故 1 2 42 7 6 S S . 若 4 cos 5 BAC，不妨设5AC ，则4AB ，3BC ， 2 1 4 36 2 S . 同计算得2 13A C ，
24、145A B ，153B C ，故 1 42S ，仍有 1 2 7 S S . 综上所述， 1 2 7 S S . 注：若考生使用纯几何做法，只要过程合理，步骤清晰完整，也给分. 综合测试 I 解析 第 5 页（共 9 页） 19.（12 分） 在空间四边形ABCD中，ABBC，ABCD，BCCD，2AD . （1）若ABBCCD，求异面直线BC和AD所成角的余弦值； （2）若, , ,A B C D均在球O上，求球O的半径和四面体ABCD体积的最大值 解：（1）设异面直线BC和AD所成角为， 则 () |cos| | | | BC ADBCABBCCD BCADBCABBCCD . 由于AB
25、BC，ABCD，BCCD，故AB BC AB CD0BC CD. 于是 222 |ABBCCDABBCCD. 而ABBCCD，故 2 3 |cos| 3| |3| BC ADBC BCADBCBC . 即异面直线BC和AD所成角的余弦值为 3 3 . （2）因为ABBC，ABCD，,BC CD 平面BCD，且BCCDC， 故AB 平面BCD. 又BD平面BCD，故AB BD，ABD为直角三角形. 又因为ABBC，BCCD，因此ABC、BCD都是直角三角形. 由勾股定理， 22222222 ADABBDABBCCDACCD. 由勾股定理的逆定理知，ACD也是直角三角形. 因此AD的中点M满足：
26、1 2 MAMBMCMDAD，故M即是球心O， 球O的半径 1 1 2 rAD. 四面体ABCD的体积 11 36 BCD VABSABBCCD . 利用三个正数的算术-几何平均不等式：对任意正数, ,x y z， 有不等式 3 xyz xyz 成立；当且仅当xyz时，上述不等式取等号. 令上面不等式中 2 xAB， 2 yBC， 2 zCD，可以得到 222 222 4 33 ABBCCD ABBCCDABBCCD ， 当且仅当xyz，即 2 3 3 ABBCCD时，上述不等式取等号. 因此，当 2 3 3 ABBCCD时，四面体ABCD体积取到最大值 2 9 . 综合测试 I 解析 第 6
27、 页（共 9 页） 20.（12 分） 根据以往的经验， 某工程施工期间的降水量X（单位： mm） 对工期的影响如下表： 降水量X 0,300) 300,600) 700,900) 900,) 工期延误天数Y 0 2 5 8 历史气象资料表明：该工程施工期间降水量X小于300,600,900的概率分别为0.3, 0.7,0.9. （1）求工期延误天数Y的均值与方差； （2）求在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过5天的概率； （3）由于该工程在7 8月施工，故当气温较高时，工人可能无法按时完成当日计 划工作量. 已知在某个40天的施工周期内，有30天的最高气温不低于35 C，这其中仅
28、有12天完成了当日的工作量；剩余10天中，有8天完成了当日的工作量. 依据小概率 值0.005的 2 独立性检验，判断“当日最高气温不低于35 C”和“工人能完成当日 的工作量”是否相互独立，并写出零假设. 附： 2 2 () ()()()() n adbc ac bd bc ad ，临界值 0.005 7.879x. 解：（1）由题，(0,300)0.3P X ，(300,600)0.70.30.4P X ， ( 6 0 0 , 9 0 0 ) )0 . 90 . 70 . 3P X ，(900,)10.90.1P X . 对应有(0)0.3P Y ，(2)0.4P Y ，(5)0.2P Y
29、 ，(8)0.1P Y . 因此( )0 0.32 0.45 0.28 0.12.6E Y ， 2222 ( )0.3 (02.6)0.4 (22.6)0.2 (52.6)0.1 (82.6)6.24D Y . （2）记事件A：降水量X至少是300；事件B：工期延误不超过5天. 故所求概率 ()0.40.26 (|) ( )0.40.20.17 P AB P B A P A . （3）记零假设为 0 H. 由题可写出零假设如下： 0 H：“当日最高气温不低于35 C”和“工人能完成当日的工作量”相互独立. 根据题意可以得到如下的22列联表： 工人完成当日工作量 工人未完成当日工作量 最高气温低
30、于35 C 8 2 最高气温不低于35 C 12 18 故 2 2 0.005 40 (8 182 12) 4.87.879 10 302020 x , 0 H不能被推翻. 因此，可以认为“当日最高气温不低于35 C”和“工人能完成当日的工作量”相 互独立. 综合测试 I 解析 第 7 页（共 9 页） 21.（12 分） 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点坐标分别为( 2,2)A ， ( 2,0)B ，(2,0)C，(2,2)D. 点,E F G分别为线段,AD CD BC上一点（不含端点） ， 且满足BEEF，EFFG. （1）若点E在第二象限，求|CG的最大值； （2
31、）过点B作直线FG的垂线，垂足为点H， 求H的轨迹方程. 解：（1）设(2,2)E t ，则|AEt，且点E在第二象限，从而02t . 由于四边形BEFH为矩形， 且BEEF，EFFG， 故BAEEDFFCG. 所以 | | ABDECF AEDFCG ，可得 | |(4) | |2 DEAEtt DF AB ， 32 (4) 2 | |1 2 |(44 ) |24 tt t CFAE CGttt AB . 设 32 ( )44f tttt， 2 ( )384(32)(2)f ttttt. 因此( )f t在 2 (0, ) 3 上单调递增，在 2 ( ,2) 3 上单调递减， 所以，当 2
32、| 3 AE 时， max 28 |( ) 327 CGf. （2）由题，四边形BEFH为矩形，因此BHEF. 由于点,E F不为对应线段的端点，则(0,2)(2,4)t. 由（1）可得(2,2)E t ， (4) (2,2) 2 tt F ， (4) (4,) 2 tt EFtBH ， 因此点H的坐标为 (4) (2,) 2 tt t . 因为 (4) 2(2)2(2) 22 tttt ， 故H的横坐标 H x和纵坐标 H y满足 ( 2)(2) 2 HH H xx y ， 即H在抛物线 2 4 2 x y 上. 注意到2( 2,0)(0,2) H xt ， 故H的轨迹方程为： 2 4 2
33、x y ，( 2,0)(0,2)x 综合测试 I 解析 第 8 页（共 9 页） 22.（12 分） 设函数( )logaf xxax(0a 且1)a . （1）讨论( )f x的零点个数； （2）设 11 (1)n n a nn ，求证： * n N，有 12 eln(1)2eln n naaan. 解：（1）( )f x的定义域为(0,)，对任意0a 都有 1 ( )1 10f a . 对( )f x求导数得 1ln1 ( ) lnln axa fxa xaxa . 若1a ，则ln0 xa ，ln10axa ， 故( )0fx ，( )f x在(0,)上单调递增，( )f x只有一个零点
34、 1 a ； 若01a，令( )0fx 得 1 ln x aa . 结合分母ln0 xa 得： x 1 (0,) lnaa 1 lnaa 1 (,) lnaa ( )fx 0 ( )f x 极小 因此( )f x的最小值为 1 ln() 11lnln( ln )1 ln () lnlnlnln aa aa f aaaaa . 设( )ln1g ttt ，(1)0g， 1 ( )1g t t ， 因此( )g t在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，( )(1)0g tg. 令ln(0,)ta ，得 1( ) ()0 ln g t f aat ，当且仅当 1 ea 时等号成立. （i）当
35、 1 ea 时，( )f x只有一个零点e； （ii）当 1 0ea 时，(1)0fa， 1 ()0 ln f aa ，故( )f x在 1 (1,) lnaa 上有 一根 1 x，另一根为 1 a ； （iii）当 1 e1a 时，一根为 1 a ；又由于0 x 时，lnxx， 综合测试 I 解析 第 9 页（共 9 页） 故( )(1ln ) ln x f xa xa a ，所以 22 1 ()0 ln f aa . 因此( )f x在 22 11 (,) lnlnaa aa 上有一根 2 x. 综上所述，当 1 e (1,)a 时，( )f x有一个零点； 当 11 (0,e )(e ,
36、1)a 时，( )f x有两个零点. （2）由（1）知， 111 ln(1)ln(1)1 n nn nnn ，故 1 (1)e n n a n . 又当ex 时，ln0 e x x，故elnxx. 令 1 (1)nx n ，得 e ln(1)ln eln(1)ln n annnnn n . 所以， 12 e(ln2ln1)(ln3ln2)ln(1)ln eln(1) n aaannn； 另一方面， 1 ln(1)(1) 1 1 1 11e11e eee (2) e n nn nn n n n a nnnn nn ， 其中前两个不等号应用不等式 1 ln1x x (1)x 和e1 x x(0)x 可以得到. 而当1n 时，有 e11 e(1)eln(1)elnln(1) 1 n nn nnn . 因此1n 时， 1 22eln1a 成立；当2n 时， 12n aaa 2e(ln2ln1)(ln3ln2)lnln(1)2elnnnn. 至此， 不等式得证.
