1、静安区静安区 2020 学年第二学期教学质量检测学年第二学期教学质量检测 高三数学试卷高三数学试卷2021.04 一一. 填空题（本大题共填空题（本大题共 8 题，每题题，每题 6 分，共分，共 48 分）分） 1 82 ) 1 ( x x 的展开式中 4 x项的系数是 2设变量 x，y 满足约束条件 . , 2 , 10 yx y x 则yxz的最大值为 3. . 已知奇函数)(xfy 的周期为 2，且当)1 , 0(x时， xxf 2 log)(则)5 . 7(f的值为 4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面 积为 5投掷两颗六个面上分别刻有 1 到 6 的点数的均匀的骰 子，得
2、到其向上的点数分别为m和n，则复数 i i mn nm 为虚数的概率为 6某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为 500 立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面 的长和宽之和为 20 米若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的 造价最低，蓄水池的高应该为米 7如图，在直角梯形 ABCD 中，BCAD/， 90ADC， 2AD，1BC，P为梯形的腰DC上的动点，则 |3|PBPA的最小值为 8已知桶 0 A中盛有 2 升水，桶 0 B中盛有 1 升水现将桶 0 A中的水的 4 3 和桶 0 B中的水的 4 1 倒入桶 1 A中， 再将桶 0 A与桶 0 B中剩余的水倒入桶 1 B中；
3、然后将桶 1 A中的水的 4 3 和桶 1 B 中的水的 4 1 倒入桶 2 A中，再将桶 1 A与桶 1 B中剩余的水倒入桶 2 B中；若如此继续操作下 去，则桶 n A ()n N中的水比桶 n B ()n N中的水多升 1 1 2 1 1 2 2 2 正视图 俯视图 侧视图 第 4 题图 二二、选择题、选择题（本大题共（本大题共 3 题，每题题，每题 6 分，共分，共 18 分）分） 9函数)0( 2 xxy的反函数为（） A)0( xxy;B )0( xxy; C)0( xxy;D )0( xxy 10某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示 年薪（万元）135958070605240
4、31 人数112134112 该公司雇员年薪的标准差约为（） A24.5（万元）;B25.5（万元）;C26.5（万元）;D27.5（万元） 11在 1,2,3,4,5,6,7 中任取 6 个不同的数作为一个 3 行 2 列矩阵的元素，要求矩阵的第 2 行 的两个数字之和等于 5，而矩阵的第 1 行和第 3 行的两个数字之和都不等于 5，则可组 成不同矩阵的个数为（） A204;B260;C384;D480 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题题，共，共 84 分）分） 12（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）
5、分） 已知正方形ABED的边长为2，O为两条对角线的交点，如图所示，将 RtBED 沿 BD 所在的直线折起，使得点 E 移至点 C，满足ACAB （1）求四面体ABCD的体积V; （2）请计算： 直线BC与AD所成角的大小; 直线BC与平面ACD所成的角的大小 第 12 题图 A B ED C O 13（本题满分（本题满分 14 分；第分；第 1 小题小题 7 分，第分，第 2 小题小题 7 分）分） 设 xa x xf 2 )(常数aR)，且已知3x是方程012)( xxf的根 （1）求函数)(xfy 的值域; （2）设常数Rk，解关于 x 的不等式：.) 1()()2(kxkxfx 14
6、（本题满分（本题满分 16 分；第分；第 1 小题小题 7 分，第分，第 2 小题小题 9 分）分） 已知椭圆1 2 2 2 y x 的左焦点为F，O为坐标原点 （1）求过点F、O，并且与抛物线xy8 2 的准线相切的圆的方程; （2） 设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点， 线段AB的垂直平分线与x轴 交于点G，求点G的横坐标的取值范围 15（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 6 分）分） 将正奇数 1,3,5,7,按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数， 从第 2 行开始，每一
7、行所有的正整数的个数都是上一行的 2 倍设),( Njiaij是位于这个 数阵中第i行（从上往下数） 、第j列（从左往右数）的数 （1）设 1nn ab ()n N，求数列 n b的通项公式; （2）若2021 mn a，求m、n的值; （3）若记这个数阵中第n行各数的和为 n S， 数列 n S的前 n 项和为 n T，求极限 n n n S T 1 lim 的值 16（本题满分（本题满分 22 分，第分，第 1 小题小题 7 分，第分，第 2 小题小题 7 分，第分，第 3 小题小题 8 分）分） 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点),(yxP绕坐标原点O旋转角至点) , ( yxP
8、（1）试证明点的旋转坐标公式： .cossin ,sincos yxy yxx （2）设2 , 0，点)1,0(P绕坐标原点O旋转角至点 1 P，点 1 P再绕坐标原点O旋转 角至点 2 P，且直线 21P P的斜率1k，求角的值; （3）试证明方程63 2 xyx的曲线C是双曲线，并求其焦点坐标 x y O ),(yxP ) , ( yxP 第 16 题图 第 1 行1 第 2 行35 第 3 行791113 第 15 题图 静安区静安区 2020 学年第二学期教学质量检测高三数学试卷学年第二学期教学质量检测高三数学试卷 答案与评分参考标准答案与评分参考标准 一一.170；23；31；4)2
9、3( ； 5. 6 5 ；65；75；8. . n 2 1 二二、9B； 10B； 11C 12解：（1）由已知，有1COAO，2 ACAB， 222 ACCOAO AOCO（2 分） 又由已知，有BDCO 由可得CO是三棱锥ABDC 的高， （2 分） 所以，. 3 1 12 2 1 3 1 2 V（2 分） （2）分别以OA、OB、OC为坐标轴 建立空间直角坐标系xyzO （1 分） 则有，)0 , 0 , 1 (A，)0 , 1 , 0(B，) 1 , 0 , 0(C,)0 , 1, 0( D，（1 分） 1 , 1, 0 BC，0 , 1, 1AD，1 , 0 , 1AC 设BC与AD
10、所成角的大小为， 则 2 1 | | cos ADBC ADBC 故，BC与AD所成角的大小为 60（3 分） 设zyxn,为平面ACD的一个法向量，BC与n所在的直线所成的角为, 则 . 0 , 0 nAC nAD 即 . 0 , 0 zx yx 令1x，得1 , 1, 1n. . 3 6 32 2 | | cos nBC nBC 故，BC与平面ACD所成的角为）（或 3 6 arcsin 3 6 arccos 2 .（3 分） 注：用几何的方法同样给分。 13解：（1）将3x代入方程012)( xxf，解得 2a， 故 x x xf 2 )( 2 （2 分） 令xt2，则4 4 2 2 t
11、 t x x , 80, （4 分） 故， x x xf 2 )( 2 的值域为 , 80, （1 分） A B ED C O z x y （2）kxkxfx) 1()()2(2x)， 0) 1( 2 kxkx(2x)， 即，0)(1(kxx(2x)（3 分） 1）当) 1 ,(k时，不等式的解集为1 , k；（1 分） 2）当1k时，不等式的解集为；（1 分） 3）当2 , 1 (k时，不等式的解集为k, 1（1 分） 4）当), 2( k时，不等式的解集为k,22, 1（1 分） 14解：抛物线xy8 2 的准线为2x（1 分） 圆过点F、O，圆心M在直线 2 1 x上 设 tM, 2 1
12、 ，则圆的半径为. 2 3 )2( 2 1 r（2 分） 由rOM ，得. 2 3 2 1 2 2 t 解得.2t（2 分） 于是，所求圆的方程为. 4 9 2 2 1 2 2 yx（1 分） （2）设直线AB的方程为)0)(1(kxky，代入1 2 2 2 y x ，整理得 . 0224)21 2222 kxkxk（2 分） 因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不相等的实根 记),( 11 yxA，),( 22 yxB，AB中点),( 00 yxN，则 12 4 2 2 21 k k xx， 2 00 22 2 , 2112 kk xy kk （1 分） 直线AB的垂直平分线NG的方
13、程为).( 1 00 xx k yy（2 分） 令0y，则. 24 1 2 1 121212 2 22 2 2 2 2 2 00 kk k k k k k kyxxG（2 分） 因为0k，所以. 0 2 1 G x 故，点G的横坐标的取值范围.0 , 2 1 （2 分） 15解：（1）由已知，这个数阵的第 n 行有 1 2 n 个数， 所以，前1n行一共有122221 1221 nn 个数 n b1221) 12( 2 1 nn ()n N（6 分） （用数学归纳法证明同样给分） （2）令202112 n ，满足不等式的最大整数为 10（3 分） 2021) 1( 212 10 n 解得.50
14、0n（3 分） 所以，.500,10nm （3）由题意， nn nn nn n S2432 2 ) 12(2 2) 12( 1 11 1 ，（2 分） 2 12531nn ， 122221 122 nn ， 2 1 1 12 n n T，（2 分） n n n S T 1 lim nn n n 243 12 lim 1 2 1 . 3 1 243 124 lim 1 1 nn nn n （2 分） 16解：（1）设将 x 轴正半轴绕坐标原点O旋转角至点OP，rOP， （1 分） 则，由任意角的三角比定义，有 sin ,cos ry rx 和 ).sin( ),cos( ry rx （2 分）
15、所以， .sincoscossin ,sinsincoscos rry rrx （2 分） 将 sin ,cos ry rx 代入，得 .cossin ,sincos yxy yxx （2 分） （2）方法 1：设点 1 P， 2 P的坐标分别为),( 11 yx，),( 22 yx， 由点的旋转坐标公式，有 cos ,sin 1 1 y x 与 .2cos ,2sin 2 2 y x （2 分） 由直线 21P P的斜率1k，得1 sin2sin cos2cos ， cossin2cos2sin ) 4 sin() 4 2sin( （2 分） ) 4 (2 4 2 k，或 22 , 44 k
16、kZ k2或, 23 2 kZk，（2 分） )2 , 0(， 2 、 6 7 、 6 11 （1 分） 方法 2：由三角比的定义，可得点设点 1 P的坐标分别为) 2 sin(), 2 (cos( ，即 )cos,(sin；同理可得 2 P的坐标为)2cos,2(sin， 以下与解法 1 相同 （3） 设),(yxP为方程13 2 xyx的曲线上任意一点， 将点),(yxP绕坐标原点O旋转角至 点) , ( yxP 则， .cossin ,sincos yxy yxx 可解得 .cossin ,sincos yxy yxx （1 分） 注：以上这个反解可以省略，后面的方程不同，但不影响证明结
17、论 将代入方程，得6cossin)sincos(3)sincos( 2 ）（yxyxyx， 整理，得6)2cos32(sin)cossin3(sin)cossin3(cos 2222 yxyx 令02cos32sin，可解得0 3 2sin）（ ， 6 是该方程的解，（2 分） 所以，将方程13 2 xyx的曲线按顺时针旋转 6 ，所得曲线C的方程为： 1 12 4 22 yx 故，曲线C是以)0 , 4( 1 F和)0 , 4( 2 F为焦点的双曲线（2 分） 又因为双曲线C是由曲线C绕坐标原点O旋转而得到的，所以曲线C也是双曲线 （1 分） 将点)0 , 4( 2 F按逆时针旋转 6 ，得到点)2 , 32( 2 F， 所以，双曲线C的焦点坐标为)2, 32( 1 F与)2 , 32( 2 F（2 分）
