1、1 函数压轴之二阶导数问题 一、考情分析一、考情分析 1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题 中必有一题是导数题。 利用导数求解函数的单调性、 极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要 内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和 函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接 判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需 要利用“二次求导”才
2、能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题.若遇这类问题， 必须“再构造，再求导” 。本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的 应用。 3、解决这类题的常规解题步骤为： 求函数的定义域； 求函数的导数)( xf，无法判断导函数正负； 构造求)( )(xfxg=，求 (x) g； 列出)(),( ,xgxgx的变化关系表； 根据列表解答问题。 2 二、经验分享二、经验分享 方法二次求导 使用情景对函数( )f x一次求导得到( )fx之后，解不等式( )0( )0fxfx和难度较大甚至根本解不出. 解题步骤 设( )( )g xfx，再求( )g x，求出( )0(
3、 )0g xg x和的解，即得到 函数( )g x的单调性，得到 函数( )g x的最值，即可得到( )fx的正负情况，即可得到函数( )f x的单调性. 三、题型归纳三、题型归纳 (一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围 例 1例 1.【2020 届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】 （最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x的不等式 2 2ln2 12xm xmx在0,上恒成立， 则整数m的最小值为 （） A.1B.2C.3D.4 3 【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1x时，mm21)1 (21ln2化简： 3 4
4、 m；令2x时，mm422)1 (22ln2，化简 4 2ln22 m 你还可以在算出 3,4，选择题排除法。B 为最佳选项。高中资料分享 QQ 群：608396916 【第二种解法（二次求导）】： 2 2ln2 12xm xmxm xx xx 2 2 1 1ln 构 造)(xf xx xx 2 2 1 1ln 求 导 2 2 2 1 ln 2 1 1 )( xx xxx xf ， 令0)( xf， 即 0ln 2 1 -xx，再令)(xgxxln 2 1 -， x xg 1 2 1 )( 在，0，0)( xg，)(xg在 ，0上是单调递减，设点t，0ln 2 1 -tt)(xf在t0，递减；
5、)(xf在, t递增， 所以 max )(xf)(tf= tt 2 1 1ttln 2 t 1 ， 0) 1 (, 0) 2 1 (gg ， 1 , 2 1 t ， 2 , 1 t 1 所以 m 的最大值是 2. 例 2.若不等式ln120 xxxkk对任意的2,x都恒成立，则整数k的最大值为 （） A3B4C5D6 4 【解析】因为ln120 xxxkk变形),2( 2 ln x x xxx k令 2 ln x xxx xg 求导： 2 2 ln24 x xx xg，令 ,ln24xxxh求导 , 2 1 x xh 在，2上 , 0 xh ,ln24xxxh为增函数；0)8(, 0)7(hh
6、 令 2 2 ln24 x xx xg=0，零点 0 x）（ 9 , 8满足, 0ln24 000 xxxh即4ln2 00 xx， 所以在 0 8x，时， , 0 xg 2 ln x xxx xg是单减， 在9 0， x时， , 0 xg 2 ln x xxx xg是单增的 高中资料分享 QQ 群：608396916 0min xgxg9 , 8, 2 2 4 0 0 0 0 0 x x x x x）（ ，再令2 0 xt，7 , 6t 7 , 6, 1 2 )( 0min t t tgxgxg, 所以，时，6t41 2 min t ，, 4)( min xgk取整数，那么k的最大值是 4
7、例 3.【2019 浙江 22】已知实数0a ，设函数( )= ln1,0.f xaxxx （1）当 3 4 a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）对任意 2 1 ,) e x均有( ), 2 x f x a 求a的取值范围.（e=2.71828为自然对数的底 数） 5 【解析】：（）当 3 4 a 时， 3 ( )ln1,0 4 f xxx x 31( 12)(2 11) ( ) 42 141 xx f x xxxx ，高中资料分享QQ群：608396916 所以，函数( )f x的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+） （ ） 由 1 (1) 2 f a ， 得 2 0
8、 4 a 当 2 0 4 a时 ，( ) 2 x f x a 等 价 于 2 2 1 2ln0 xx x aa 令 1 t a ，则2 2t 设 2 ( )212ln ,2 2g ttxtxx t，则( )(2 2)84 2 12lng tgxxx （i）当 1 , 7 x 时， 1 12 2 x ，则( )(2 2)84 2 12lng tgxxx 记 1 ( )42 2 1ln , 7 p xxxx x，则 2212121 ( ) 11 xxxx p x xxxx x . 所以，( )(1)0p xp因此，( )(2 2)2 ( )0g tgp x （ii）当 2 11 , e7 x 时，
9、 12ln(1) ( )1 2 xxx g tg xx 令 2 11 ( )2ln(1), e7 q xxxxx ，则 ln2 ( )10 x q x x ，故( )q x在 2 11 , e7 上单 调递增， 所以 1 (x)q( ) 7 q 由 （i） 得 12 712 7 (1)0 7777 qpp 所以，( )0 时, 由于04)(44 22 aaaa，可知0)(, 0)(xfxg即，函数)(xf在 R 上是减 函数；高中资料分享 QQ 群：608396916 当a0 时, 解0)(xg得 a a x 1，且 a a a a 11 在区间 a a 1 ,和区间 ,1 a a 上，0)(
10、, 0)(xfxg即，函数)(xf是增函数； 在区间 a a a a 1 ,1上，0)(, 0)(xfxg即，函数)(xf是减函数 综上可知： 当a0 时， 函数)(xf在 R 上是减函数； 当a0 时,函数y=F(x)的图象恒在 y=F(x)的图象上方,求实数a的取值范围 【解析】()F(x)=e x+sinxax, ( )cos x F xexa 因为x=0 是F(x)的极值点,所以(0)1 10,2Faa 又当a=2 时,若x0,( )cos0 x F xexa x=0 是F(x)的极小值点,a=2 符合题意 () a=1, 且PQ/x轴,由f(x1)=g(x2)得: 1 21 sin
11、x xex,所以 1 2111 sin x xxexx 令( )sin, ( )cos10 xx h xexx h xex 当x0 时恒成立 x0,+)时,h(x)的最小值为h(0)=1|PQ|min=1 ()令( )( )()2sin2. xx xF xFxeexax 则( )2cos2 . xx xeexa ( )( )2sin xx S xxeex 因为( )2cos0 xx S xeex 当x0 时恒成立, 所以函数S(x)在0,)上单调递增, S(x)S(0)=0 当x0,+)时恒成立; 因此函数( ) x在0,)上单调递增,( )(0)42xa当x0,+)时恒成立 当a2 时,(
12、)0 x,( )x在0,+)单调递增,即( )(0)0 x 故a2 时F(x)F(x)恒成立 22 0 00 0 2( )0,( )0,(0,), 0( )0.( )0,(0)0 (0,)( )0( )()00, 2.14 axxx xxxx xxxF xFxx aa 当时，又在单调递增， 总存在 使得在区间，上导致在递减，而， 当时，这与对恒成立不符， 不合题意.综上 取值范围是 - ,2分 9. 已知三次函数( )f x的最高次项系数为 a，三个零点分别为1,0,3. 若方程072 )( ax x xf 有两个相等的实根，求 a 的值； 若函数 2 ( )( )2xf xx在区间) 3 ,
13、( a 内单调递减，求 a 的取值范围. 【解析】 （1）依题意，设( )(1)(3)f xax xx072 )( ax x xf 有两个相等实根， 即 2 (22)40axaxa有两个相等实根，044)22( 2 aaa， 即 3 1 a或1a。 （2） 32 ( )(22)3xaxaxax在) 3 ,( a 内单调递减， 2 ( )32(22)30 xaxaxa在) 3 ,( a 恒成立， 2 0 001 ( )3 ( )2(22)( )30 333 a aaa aaa aaa 或或 10. 对于三次函数 32 ( )f xaxbxcxd(0)a 定义： （1） 设( )fx是函数( )y
14、f x的导数( )yfx的导数， 若方程( )0fx有实数解 0 x， 则称点 00 ,()xf x为函数( )yf x的“拐点” ； 定义： （2）设 0 x为常数，若定义在R上的函数( )yf x对于定义域内的一切实数x，都有 000 ()()2 ()f xxf xxf x成立，则函数( )yf x的图象关于点 00 ,()xf x对称 己知 32 ( )322f xxxx，请回答下列问题： （1）求函数( )f x的“拐点”A的坐标 （2）检验函数( )f x的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐 点”的结论（不必证明） 23 （3）写出一个三次函数( )G x
15、，使得它的“拐点”是( 1,3)（不要过程） 【解析】 （1）依题意，得： 2 ( )362fxxx，( )66fxx。 由( )0fx，即660 x。1x ，又(1)2f， 32 ( )322f xxxx的“拐点”坐标是(1, 2)。 （2）由(1)知“拐点”坐标是(1, 2)。而 (1)(1)fxfx= 32 (1)3(1)2(1)2xxx 32 (1)3(1)2(1)2xxx = 22 2666444xx=2 (1)f， 由定义(2)知： 32 322f xxxx关于点(1, 2)对称。 一般地，三次函数 32 f xaxbxcxd(0)a 的“拐点”是,() 33 bb f aa ，它
16、就 是( )f x的对称中心。 （或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心； 任何一个三次函数平移后可以是奇函数）都可以给分 （ 3 ） 3 ( )(1)(1)3(0)G xa xb xa或 写 出 一 个 具 体 的 函 数 , 如 32 ( )334G xxxx或 32 ( )3G xxxx。 11. 已知函数( )lnf xxx （I）求函数( )f x的单调递减区间； （II）若 2 ( )6f xxax 在(0,)上恒成立，求实数a的取值范围； （III）过点 2 (,0)Ae作函数( )yf x图像的切线，求切线方程 解： （）( )ln1fxx( )0fx得l
17、n1x 1 0 x e 函数( )f x的单调递减区间是 1 (0, ) e ； （） 2 ( )6f xxax 即 6 lnaxx x 设 6 ( )lng xxx x 则 2 22 6(3)(2) ( ) xxxx g x xx 24 当(0,2)x时( )0g x ，函数( )g x单调递减； 当(2,)x时( )0g x ，函数( )g x单调递增； ( )g x最小值(2)5ln2g实数a的取值范围是(,5ln2； （）设切点 00 (,)T xy则 0 () AT kfx 00 0 0 2 ln ln1 1 xx x x e 即 2 00 ln10e xx 设 2 ( )ln1h xe xx，当0 x 时( )0h x ( )h x是单调递增函数 ( )0h x 最多只有一个根，又 2 222 111 ()ln10he eee 0 2 1 x e 由 0 ()1fx 得切线方程是 2 1 0 xy e .
